Determinare una base dell'intersezione

zavo91
dati i sottospazi $V=<(0,0,1,1),(1,0,0,-1)>$ e $W=<(1,1,0,1),(1,1,-1,0)>$ di $R^4$ determinare una base di V$nn$W.
so come fare il procedimento ma non capisco come trovare l'elemento generico dei due sottospazi.

Risposte
zavo91
rifatto i conti mi viene la tua soluzione del sistema cioè [tex]\begin{cases} x=2k \\ y= k \\z=2k \\ t=-3k \end{cases}[/tex] cioè $k(2,1,2,-3)$ non mi è chiaro il perchè dici che la base è $(1,-2,-3)$

maurer
L'ho spiegato prima.

"maurer":

E adesso interpretiamo cosa abbiamo ottenuto: abbiamo ottenuto che l'elemento generico dell'intersezione è [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0)+t(1,0,1)[/tex]. Quindi l'elemento generico dell'intersezione è [tex](k,-2k,-3k)[/tex], ossia una base è proprio [tex](1,-2,-3)[/tex].

zavo91
"maurer":
L'ho spiegato prima.

[quote="maurer"]
E adesso interpretiamo cosa abbiamo ottenuto: abbiamo ottenuto che l'elemento generico dell'intersezione è [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0)+t(1,0,1)[/tex]. Quindi l'elemento generico dell'intersezione è [tex](k,-2k,-3k)[/tex], ossia una base è proprio [tex](1,-2,-3)[/tex].
[/quote]

massima confusione mi manca un passaggio da qualche parte....

maurer
Tu hai impostato il sistema [tex]x (0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0) + t(1,0,1)[/tex]. Le soluzioni [tex](x,y,z,t)[/tex] vanno interpretate alla luce di cosa hai chiesto tu all'inizio. Tu chiedevi che la coppia [tex](x,y)[/tex] fosse tale che [tex]x (0,1,1) + y(1,0,-1) \in W[/tex]. Capisci adesso? Trovati [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] (e abbiamo detto che sono [tex]x = 2k, y = k[/tex]), hai ottenuto che [tex]2k(0,1,1) + k(1,0,-1) \in V \cap W[/tex] (e anche che ogni elemento di [tex]V \cap W[/tex] si può scrivere in quel modo).

zavo91
potevo fare lo stesso ragionamento su z e t?

maurer
Certamente. Perché con il sistema iniziale imponevi simmetricamente che [tex]z(2,-1,0) + t(1,0,1) \in V[/tex]. Prova: ti verrà la stessa base.

zavo91
però dicendola sinceramente questo ultima tua considerazione quella del fatto che volevo la coppia(x,y) tale che ecc ecc in altri esercizi uguali non l'avevo mai fatta però trovavo le basi giuste....puro caso?

maurer
O più semplicemente ti erano capitati solo esercizi come quello di prima, in cui la somma delle dimensioni dei due sottospazi erano uguale alla dimensione dello spazio ambiente ;)

zavo91
ok grazie mille se ho altri problemi posto sicuramente nuove domande per voi e ne terrò conto di questa tua considerazione :) grazie mille

zavo91
riguardando questa discussione non ci sono ancora...

maurer
Spiegati meglio!

zavo91
"maurer":
Tu hai impostato il sistema [tex]x (0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0) + t(1,0,1)[/tex]. Le soluzioni [tex](x,y,z,t)[/tex] vanno interpretate alla luce di cosa hai chiesto tu all'inizio. Tu chiedevi che la coppia [tex](x,y)[/tex] fosse tale che [tex]x (0,1,1) + y(1,0,-1) \in W[/tex]. Capisci adesso? Trovati [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] (e abbiamo detto che sono [tex]x = 2k, y = k[/tex]), hai ottenuto che [tex]2k(0,1,1) + k(1,0,-1) \in V \cap W[/tex]
questo la base che trovo $(1,-2,-3)$ da qui [tex]x (0,1,1) + y(1,0,-1) \in W[/tex] come ci arrivo?

maurer
La natura stessa del sistema iniziale imponeva che, se [tex](x,y,z,t)[/tex] ne sono soluzione allora [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) \in W[/tex] (e, simmetricamente, [tex]z(2,-1,0) + t(1,0,1) \in V[/tex]).

zavo91
si ok fino a qui ci sono ma analiticamente che calvoli devo svolgere? proprio non lo capisco

maurer
[tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1) = z(2,-1,0) + t(1,0,1) \Rightarrow x(0,1,1) + y(1,0,-1)[/tex][tex]- z(2,-1,0) - t(1,0,1) = (0,0,0)[/tex]
[tex]\Rightarrow (y-2z -t, x +z, x -y-t) = (0,0,0)[/tex]
e quindi
[tex]\begin{cases} y - 2z -t = 0 \\ x + z = 0 \\ x - y - t= 0\end{cases}[/tex]
poi risolvi il sistema normalmente.

zavo91
ah ok ora ci sono e tutto mi è chiaro. Grazie

zavo91
scusa ma qui viene una base di 4 elementi quando sono in R^3....non capisco cavolo...non riesci a scrivermi i passaggi che faresti per passare dal sistema fino a trovare la base desiderata cioè la base $(1,-2,-3)$?

maurer
Ma... rileggendo i post precedenti mi accorgo che è la terza volta che rifacciamo lo stesso discorso!

Allora, riduciamo il sistema con Gauss

[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{matrix} \right) \stackrel{R_3 \to R_3 - R_2}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\stackrel{R_3 \to R_3 + R_1}{\longrightarrow} \left( \begin{matrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \end{matrix} \right)[/tex]
da cui
[tex]\begin{cases} y - 2z - t = 0 \\ x + z = 0 \\ 3z + 2t = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2k \\ y = -k \\ z = -2k \\ t = 3k \end{cases}, \quad k \in \mathbb R[/tex]
Questa è la soluzione generale. Adesso prendiamo i valori corrispondenti a [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] e li sostituiamo nell'espressione [tex]x(0,1,1) + y(1,0,-1)[/tex]. Facendo l'operazione otteniamo [tex]2k (0,1,1) - k(1,0,-1) = (-k,2k,3k)[/tex] che è l'elemento generico dell'intersezione dei nostri due sottospazi. Per [tex]k = -1[/tex] trovi [tex](1,-2,-3)[/tex], che è la base cercata.

zavo91
grazie ormai avevo perso la testa su questo esercizio

BRN1
Riapro questa discussione, perchè l'esercizio mi interessa.
Ho compreso tutti i passaggi, ma l'unica cosa che proprio non capisco e il perchè, alla fine, ottenendo (-k, 2k, 3k), poi debba porre k=-1 per ottenere la base (1, -2, -3).
Ho svolto altri esercizi simili, ma proprio mi sfugge il criterio con cui devo assegnare il valore a k.

Qualcuno ha un briciolo di pazienza per chiarirmi le idee?

Grazie!

.BRN

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