Determinante 4X4
Qual è il metodo più meccanico possibile (in stile Sarrus) per il calcolo del determinante di una matrice $4X4$, tipo la seguente: $A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) )$
Risposte
Ciao
quando hai una matrice diagonale, il determinante della matrice non è altro che il prodotto degli elementi sulla diagonale
quindi nel tuo caso $Det(A) = 1 \cdot -2 \cdot 5 \cdot 3 = -30$
quando hai una matrice diagonale, il determinante della matrice non è altro che il prodotto degli elementi sulla diagonale
quindi nel tuo caso $Det(A) = 1 \cdot -2 \cdot 5 \cdot 3 = -30$
ok in questo caso è diagonale, ma in generale il calcolo più meccanico quando ho una $4x4$ tipo quest'altra matrice, qual è? $B( ( 1 , 0, 1 , 0 ),( -3 , 0 , -4 , 1 ),( 1 , 2, 3 , 0 ),( 4 , -2 , 2 , 2 ) )$. Inoltre è corretto quest'altro ragionamento? Se ho: $A=( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) )$ e $B( ( a , 2d , g ),( b , 2e , h ),( c , 2f , i ) )$ e so che $|A|=2$ posso dire che $|B|$ è $4$, cioè considerando che $B$ è la trasposta di $A$ e che ha quindi lo stesso determinante di $A$, e sapendo che se si moltiplicano tutti gli elementi di una linea di $A$ per un numero $kepsilonR$, allora il determinante della nuova matrice è uguale a $k*|A|$. è corretto questo ragionamento?
"Francobati":
in generale il calcolo più meccanico quando ho una $4x4$ (...) qual è?
Lo sviluppo di Laplace. Ovviamente prima di applicarlo conviene sempre lavorare sensatamente sulla matrice, se non vuoi ritrovarti naufrago in un mare di calcoli.
"Francobati":
Inoltre è corretto quest'altro ragionamento? (...)
Sì
"Epimenide93":
Ovviamente prima di applicarlo conviene sempre lavorare sensatamente sulla matrice, se non vuoi ritrovarti naufrago in un mare di calcoli.
Quoto. Nel tuo caso si potrebbe scrivere al posto della prima colonna la differenza tra la prima e la terza, ottenendo così la matrice $$\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&-4&1\\-2&2&3&0\\2&-2&2&2\end{bmatrix}$$ Ora al posto della quarta colonna si può scrivere la differenza tra la quarta e la prima. Abbiamo così $$\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&-4&0\\-2&2&3&2\\2&-2&2&0\end{bmatrix}$$ A questo punto si può sviluppare lungo l'ultima colonna ottenendo $$\det = -2 \det\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&-4\\2&-2&2\end{bmatrix}$$ Ora hai una $3xx3$ e puoi applicare Sarrus. Oppure, più semplicemente, sviluppi lungo la prima riga e ottieni $$\left(-2\right)\cdot\left(-2\right) = 4$$
Ok grazie. Se io ho questa matrice: $( ( 0 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ))$ è falso dire che $B^5=B$? Qual è la proprietà che mi dà questa garanzia?
Sì è vero che $B^5 = B$ e il motivo è piuttosto semplice. Quanto fa $B^2$? Cosa ne deduci? 
Non capisco purtroppo. $B^5=B$ è vera o falsa? Se è vera, qual è la proprietà?
Certo che è vero! Ti ho scritto "Sì è vero che $B^5 = B$"...
La "proprietà" è semplice: $$B^2 = I_4$$ cioè l'identità, quindi $$B^4 = B^2\cdot B^2 = I_4\cdot I_4 = I_4$$ In conclusione $$B^5 = B^4\cdot B = I_4\cdot B = B$$ ed ecco qua.
La "proprietà" è semplice: $$B^2 = I_4$$ cioè l'identità, quindi $$B^4 = B^2\cdot B^2 = I_4\cdot I_4 = I_4$$ In conclusione $$B^5 = B^4\cdot B = I_4\cdot B = B$$ ed ecco qua.
Ma l'esercizio mi dice: quale tra le seguenti è FALSA?
- $|A^3|=3^9$;
-$|A^2|=3^3|A|$;
-$|(AB)^-1|=1/27$;
-$A^(-1)B^(-1)=( ( 0 ,0 , 1/3 ),( 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , 0 ) )$;
- $B^5=B$
- $|A^3|=3^9$;
-$|A^2|=3^3|A|$;
-$|(AB)^-1|=1/27$;
-$A^(-1)B^(-1)=( ( 0 ,0 , 1/3 ),( 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , 0 ) )$;
- $B^5=B$
Questa $B^2=I_4$ è generica? Cioè vale sempre per qualsiasi tipo di matrice quadrata di qualsiasi ordine o solo per questa matrice?
"Francobati":
Ma l'esercizio mi dice: quale tra le seguenti è FALSA?
E cosa ti devo dire?
$$B^5=B$$ è VERA. Quella falsa sarà un'altra...
"Francobati":
Questa $ B^2=I_4 $ è generica? Cioè vale sempre per qualsiasi tipo di matrice quadrata di qualsiasi ordine o solo per questa matrice?
Vale solo per questa matrice! Poi ci saranno altre matrici che elevate al quadrato fanno l'identità ma ovviamente non è una proprietà generale!
Ma chi è $A$? Se $A$ è $4\times 4$ quel prodotto non si può fare...
L'esercizio è il seguente: siano date le matrici: $A=( ( 3 , 0 , 0 ),( 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) )$ $B=( ( 0 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ) )$, quale tra le seguenti asserzioni è FALSA?
1) $|A^3|=3^9$.
2)$|A^2|=3^3|A|$.
3)$|(AB)^-1|=1/27$.
4) $A^-1B^-1=( ( 0, 0 , 1/3 ),( 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , 0) )$.
5)$B^5=B$.
(La matrice A si definisce matrice diagonale, e la B? Sono diagonali nel caso della diagonale principale o anche nel caso della secondaria)?
1) $|A^3|=3^9$.
2)$|A^2|=3^3|A|$.
3)$|(AB)^-1|=1/27$.
4) $A^-1B^-1=( ( 0, 0 , 1/3 ),( 0 , 1/3 , 0 ),( 1/3 , 0 , 0) )$.
5)$B^5=B$.
(La matrice A si definisce matrice diagonale, e la B? Sono diagonali nel caso della diagonale principale o anche nel caso della secondaria)?
La matrice $B$ si può definire antidiagonale.
L'asserzione falsa è la (4). Prova a fare il calcolo e vedrai che i segni sono tutti invertiti.
L'asserzione falsa è la (4). Prova a fare il calcolo e vedrai che i segni sono tutti invertiti.
Grazie mille, ma quindi il prodotto delle due matrici si fa necessariamente. Diciamo quindi che questo esercizio è un mix di proprietà e di calcoli effetti, cioè in parte teorico e in parte pratico?
Beh in questo caso i calcoli sono davvero facili! Infatti $A = 3I_3$, quindi $A^{-1} = 1/3 I_3$. Inoltre $B^{-1} = B$. Oppure puoi sfruttare il fatto che $$A^{-1}B^{-1} = \left(BA\right)^{-1}$$ e anche $BA$ è molto facile da calcolare.
In questo esercizio: Siano date le matrici: $A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) )$; $B=( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -3 , 0 , -4 , 1 ),( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 4 , -2 , 2 , 0 ) )$, quale tra le seguenti proprietà è vera:
1)La matrice $-2A$ non è invertibile.
2) $|2A^2B|!=0$.
3)$r(AB)=3$.
4)$|5A^-1|=5(1/|A|)$.
5)Nessuna delle altre risposte.
Conosco il determinante di $A$, cioè $-30$. Conosco anche il determinante di $B=0$. Inizio a ragionare sulla seconda risposta, e dico: $|2A^2B|=2^4*(-30)^2*0|=0$ quindi dico che la seconda è falsa. Poi rispondo alla quarta e dico: dato che $|A^-1|=1/|A|=-1/30$, $|5A^-1|=5^4*(-1/30)!=5(-1/30)$, e quindi anche la quarta è falsa. Non so come verificare la prima e la terza. Per quanto riguarda la terza so che $r(AB)$ e il minore tra il rango di $A$ e il rango di $B$, e dato che la matrice B ha determinante nullo, so che il rango massimo non potrà essere superiore a $3$, ma potrebbe essere anche $1$ o $2$, questo come faccio a saperlo?
1)La matrice $-2A$ non è invertibile.
2) $|2A^2B|!=0$.
3)$r(AB)=3$.
4)$|5A^-1|=5(1/|A|)$.
5)Nessuna delle altre risposte.
Conosco il determinante di $A$, cioè $-30$. Conosco anche il determinante di $B=0$. Inizio a ragionare sulla seconda risposta, e dico: $|2A^2B|=2^4*(-30)^2*0|=0$ quindi dico che la seconda è falsa. Poi rispondo alla quarta e dico: dato che $|A^-1|=1/|A|=-1/30$, $|5A^-1|=5^4*(-1/30)!=5(-1/30)$, e quindi anche la quarta è falsa. Non so come verificare la prima e la terza. Per quanto riguarda la terza so che $r(AB)$ e il minore tra il rango di $A$ e il rango di $B$, e dato che la matrice B ha determinante nullo, so che il rango massimo non potrà essere superiore a $3$, ma potrebbe essere anche $1$ o $2$, questo come faccio a saperlo?
In generale non è vero che il rango di un prodotto è il più piccolo tra i ranghi dei due fattori. Qui è vero perché una delle due matrici è non singolare. In generale, se $A$ è non singolare, allora $r(AB) = r(B)$. Quindi vogliamo verificare che $B$ ha rango $3$. Ci sono tre modi: si può trovare un minore $3\times 3$ di $B$ che ha determinante non nullo; si può ridurre $B$ a scalini e si vede che ha rango $3$; si guarda come è fatta $B$ e si scelgono tre colonne indipendenti (o tre righe, ma qui vedere le colonne è più facile) e si fa vedere che sono indipendenti.
Per quanto riguarda il primo punto, sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Se sappiamo che il determinante di $A$ è non nullo, cosa possiamo concludere sul determinante di $-2A$ (e perché?)?
Per quanto riguarda il primo punto, sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Se sappiamo che il determinante di $A$ è non nullo, cosa possiamo concludere sul determinante di $-2A$ (e perché?)?
Ma quello che ho detto io sul rango del prodotto di matrici non è equivalente alla tua definizione? Mi potresti fare un esempio in cui, in base alla mia definizione, potrei cadere in errore? Inoltre, posso dire che in generale:se una matrice quadrata (di qualsiasi dimensione) ha determinante diverso da $0$, per potere stabilire con esattezza il suo rango, basta verificare che il suo minore sia diverso da $0$? Cioè se per esempio avessi una $5x5$ con determinante diverso da $0$, per potere dire che il suo rango è $5$ mi basterebbe verificare la presenza di un minore di ordine $4$ con determinante diverso da $0$?
Il rango ha tante definizioni ma è in generale una proprietà che non si comporta bene rispetto al prodotto (in generale è solo vero che $r(AB) \le r(A),r(B)$ ma per far valere l'uguale servono ipotesi in più. Tu che definizione hai? Perché dici che la proprietà sul prodotto è equivalente alla definizione? Puoi pensare a un esempio considerando due matrici che non sono nulle (quindi entrambi i ranghi sono almeno $1$) ma il cui prodotto è zero; ci sono esempi già con le matrici $2\times 2$ ed è un buon esercizio pensare a come sono fatti.
Per quanto riguarda il determinante: se $\det(A) \ne 0$, allora $A$ è invertibile ed equivalentemente ha rango massimo. Non importa verificare nient'altro. I minori si usano quando vuoi verificare che una matrice ha rango almeno $r$. Se infatti esiste una sottomatrice $r \times r$ il cui determinante è non nullo, allora si può concludere che il rango è almeno (magari di più) $r$. Con il determinante siamo nel caso particolare dell'unico minore $n\times n$, corrispondente alla matrice stessa.
Per quanto riguarda il determinante: se $\det(A) \ne 0$, allora $A$ è invertibile ed equivalentemente ha rango massimo. Non importa verificare nient'altro. I minori si usano quando vuoi verificare che una matrice ha rango almeno $r$. Se infatti esiste una sottomatrice $r \times r$ il cui determinante è non nullo, allora si può concludere che il rango è almeno (magari di più) $r$. Con il determinante siamo nel caso particolare dell'unico minore $n\times n$, corrispondente alla matrice stessa.
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