Curvatura e Geodetiche del Toro

[Alexp1]

Visto che ultimamente questo forum scarseggia di esercizi di geometria differenziale, ho pensato di postarne uno carino che ho trovato in rete....
Vediamo chi avrà voglia di risolverlo....(immagino nessuno)....

Ricavare la curvatura gaussiana $k$ e le equazioni delle geodetiche del toro

$x(u,v)=\{((\alpha+rcos(u))*cos(v)), ((\alpha+rcos(u))*sin(v)), (rsin(u)):}$

con $0r$


P.S: Se nessuno tentasse di risolverlo, più avanti posterò comunque la soluzione, che comunque potrebbe interessare!

[cirasa]

Siamo d'accordo per [tex]\beta=0[/tex] e per [tex]\beta=\pi/2[/tex].

Per [tex]\beta=\pi[/tex], io affermo che ce ne sono otto o in altri termini [tex]8=2^3[/tex].
E' abbastanza ovvio (così tanto ovvio che mi era sfuggito prima ), semplici questioni di combinatoria.

Ti elenco i primi quattro. Lo scrivo abbastanza informalmente ma tanto ci capiamo:
1) Sopra/destra/sopra;
2) sopra/destra/sotto;
3) sopra/sinistra/sopra;
4) sopra/sinistra/sotto.
Gli altri quattro ormai li avrai capiti, basta cambiare il primo "sopra" con "sotto".

[gugo82]

Eh... Quelli con sopra/.../sotto e vv. non li avrei mai visti; ero troppo concentrato sui cammini "rettangolari", mentre questi qui sono "intrecciati" (in un certo senso).
Grazie per avermeli fatti notare.

[Alexp1]

Ottimo lavoro Gugo e complimenti per la pazienza di scrivere tutto compreso i disegni!!!

Se Luca ed Arrigo sono d'accordo (visto che sono coautori insieme a me) potremmo prendere questo tuo bel esercizio e riproporlo nel nostro libro...

[baldo891]

di che libro si tratta?

[Alexp1]

Beh mi fa piacere che ti interessi,anche se è un po' prematuro per il momento parlarne, in quanto non è ancora terminato....comunque è un libro di geometria differenziale, in particolare trattiamo la geometria differenziale della superficie...il lavoro è ancora lungo, speriamo di riuscire a terminarlo verso fine anno/inizio anno nuovo, poi per la pubblicazione chissà! comunque se ti interessa ti terrò informato!

[gugo82]

@Alexp: Veramente pensavo di farne un articolo per il magazine, non perchè sia oltremodo interessante, ma perchè potrebbe essere utile per dare spunti un po' più generali.
Lo stavo già mettendo in TeX... Quindi vedete un po' voi; se ne volete una copia basta chiedere (anche se credo dobbiate aspettare un po', ché penso di andare un po' a mare questa settimana e non so se avrò modo di scrivere).

[Alexp1]

Ahh bell'idea, fai bene a farne un'articoletto per il magazine!
Poi vedremo cosa fare, sicuramente ci servono esempi ed esercizi ed il tuo secondo me è uno spunto interessante, ma prima devo sentire Luca ed Arrigo!

[Centaine1]

E' possibile in qualche modo ricavare il cut locus del toro? E' possibile vederlo come luogo delle autointersezioni dei cerchi geodetici? Se è così come è possibile ricavarlo....? Ci sto impazzendo... ed è possibile trovarlo anche per una generica superficie di rotazione? Ho provato per il cilindro e non è difficile, ma come si può fare ad esempio per un cono? o per un catenoide?

[tinam73]

"Centaine": Ho provato per il cilindro e non è difficile

saresti gentile da dirmi come hai fatto?

[Lorin1]

Ho seguito tutta la discussione con molto interesse, nonostante non avessi tutte le conoscenze per capire bene il problema in questione, davvero complimenti.
Discussioni di questo genere, tra utenti esperti, dovrebbero essere all'ordine del giorno per rendere questo forum ancora più bello e ricco di approfondimenti.

[Centaine1]

appena ho fatto l'esame lo posto ma fondamentalmente ho fatto incrociare due geodetiche (con il pitch variabile) passanti per uno stesso punto P... le geodetiche sul cilindro sono eliche circolari per cui non sono difficili da scrivere... solo che non ho proprio idea di come si possa fare per il toro! e nemmeno per una generica superficie di rivoluzione... in generale è possibile scrivere la relazione di Clairaut per queste, ma non mi aiuta un granché per il cut locus purtroppo... Ho però trovato un programma molto carino per svolgere la cosa graficamente... si chiama Superficie.

[boba74]

Ciao, scusate se "riesumo" questa discussione, ma mi interessa il discorso geodetiche del toro, anche se non in senso matematico, ma in senso "botanico", vorrei infatti capire come si formano le fibre del legno in un tronco incurvato (che localmente quindi potrebbe essere rappresentato da un tronco di toro). Finchè il tronco è dritto possiamo immaginarlo come un cilindro: le fibre del legno parallele all'asse sono disposte lungo le generatrici del cilindro che sono linee geodetiche. Se a un certo punto il tronco fa una curva, localmente non è più un cilindro, ma diventa un toro. Domanda: le fibre che inizialmente erano parallele all'asse rimangono tutte geodetiche anche sul toro? In caso contrario: quali sono le geodetiche in questo caso? Mi interessa perchè ritengo che le nuove fibre di legno che si sviluppano l'anno successivo dovrebbero seguire delle geodetiche (per motivi di elasticità, prima che queste nuove fibre lignifichino è un po' come tendere una fune su una superficie curvilinea). Vorrei cercare di capire se può essere questo il motivo per cui molti tronchi d'albero che crescono incurvati hanno un movimento a elica delle vene che si avvolgono attorno al tronco anzichè seguirne pari pari la stessa curvatura.......

[boba74]

Provo a riformulare la domanda:
data la circonferenza v=0, trovare le geodetiche perpendicolari a tale circonferenza.
Io riesco a "immaginarne" 2, ossia l'equatore massimo e l'equatore minimo, vorrei riuscire a "visualizzare" tutte le altre, almeno nel loro tratto iniziale....

[Gamma3]

http://math.univ-lyon1.fr/~borrelli/Hev ... ex-en.html

E le geodetiche sono parametrizzate da rette sul piano... Molto bello oserei dire!