Curvatura e Geodetiche del Toro

[Alexp1]

Visto che ultimamente questo forum scarseggia di esercizi di geometria differenziale, ho pensato di postarne uno carino che ho trovato in rete....
Vediamo chi avrà voglia di risolverlo....(immagino nessuno)....

Ricavare la curvatura gaussiana $k$ e le equazioni delle geodetiche del toro

$x(u,v)=\{((\alpha+rcos(u))*cos(v)), ((\alpha+rcos(u))*sin(v)), (rsin(u)):}$

con $0r$


P.S: Se nessuno tentasse di risolverlo, più avanti posterò comunque la soluzione, che comunque potrebbe interessare!

[gugo82]

@tinam73: Nel caso in esame [tex]$r$[/tex] è quel che dici, ma invece [tex]$a$[/tex] è il raggio della circonferenza descritta dai centri delle circonferenzine verticali.
Vista in sezione la situazione è questa:
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes();
circle([2,0],1);
text([1,0],"a", belowleft); text([2,0.5],"r",left);
stroke="red"; line([0,0],[2,0]);
stroke="dodgerblue"; line([2,0],[2,1]);[/asvg]

[cirasa]

"gugo82":@cirasa:
[quote="cirasa"]Che ce ne siano un paio, che sono anche geodetiche, si vede ad occhio.
Sto cercando di capire come si dimostra che sono le uniche

Quando ho fatto il calcolo ad occhio non mi sembravano uniche...
Ma probabilmente sono le uniche geodetiche, questo può essere vero.
(Incidentalmente questo è un grosso aiuto... )
[/quote]

Ok, allora io vedo sei cammini di lunghezza [tex]\pi(a+r)[/tex] che collegano [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex]. Di questi due sono geodetiche e quattro no

Edit: Anzi no, ne vedo dieci, di cui due geodetiche.

[gugo82]

@cirasa: Esatto sono esattamente dieci cammini, né uno di più né uno di meno.
Dimostrazione analitica?
Esistono percorsi più brevi?

In ogni caso, si può generalizzare un po'; basta fare due conticini.

Esercizio:

Sia [tex]$\alpha \in [0,\pi]$[/tex] (perchè basta considerare solo metà ciambella).
Sia [tex]$P=(a+r,0,0)$[/tex] e [tex]$Q$[/tex] il punto sull'equatore esterna del toro corrispondente a [tex]$P$[/tex] mediante una rotazione d'angolo [tex]$\alpha$[/tex] intorno all'asse delle quote; in termini meno sintetici [tex]$Q=((a+r)\cos \alpha, (a+r)\sin \alpha ,0)$[/tex].
Supponiamo di voler andare da [tex]$P$[/tex] a [tex]$Q$[/tex] in due modi distinti:

modo a: seguendo il più corto arco di equatore congiungente [tex]$P$[/tex] e [tex]$Q$[/tex];

modo b: seguendo i tre restanti lati di un rettangolo curvilineo formato da archi congruenti di meridiani passanti per [tex]$P$[/tex] e [tex]$Q$[/tex], dall'arco di equatore di cui al modo a e da un arco di parallelo.

Si veda la figura che segue (in giallo il cammino percorso nel modo a, in azzurro quello percorso nel modo b):



1. Determinare la lunghezza dei cammini percorsi nel modo a e nel modo b.

2. Determinare se esistono angoli [tex]$\alpha$[/tex] per i quali è vantaggioso muoversi secondo il modo b; in caso affermativo quantificare il "risparmio".

Ovviamente senza ledere la generalità (per ragioni di simmetria of course) nel modo b si possono considerare i soli percorsi rettangolari giacenti nel semispazio [tex]$z\geq 0$[/tex].

[Alexp1]

Beh, per quanto riguarda il secondo quesito, (premetto che sono di fretta e ci ho pensato solo pochi minuti, quindi potrei sbagliarmi ) credo che la risposta dipenda anche dal rapporto che c'è tra $a$ ed $r$, ossia di quanto è maggiore $a$ rispetto ad $r$.
Per esempio "ad occhio" se poniamo $a=2r$, allora penso che sia vantaggioso il modo b per $\alpha>\pi/4$....però non ho fatto i conti.

P.S: Gugo non essere troppo severo se ho sbagliato, perchè ho ragionato a "spanne", ho la bimba che mi obbliga a giocare con lei (la dura vita del papà )

[gugo82]

In realtà non ci sei.

Il "guadagno" nella scelta di un modo rispetto all'altro (modulo erroracci nei conti da parte mia; li ho fatti seriamente a tarda notte e praticamente hanno demolito una mia ipotesi) non sembra dipendere da [tex]$a$[/tex], ma solo da [tex]$\alpha$[/tex], da [tex]$r$[/tex] e dall'ampiezza [tex]$\beta$[/tex] degli archi di meridiano (in particolare la dipendenza da [tex]$r$[/tex] è lineare, quindi si può sempre pensare [tex]$r=1$[/tex] senza fare troppi casini).
Il che effettivamente pare strano, ma secondo me è legato proprio alla geometria dei cammini che ho scelto.

Salutami la bimba (che ormai avrà tre anni, immagino).

[Alexp1]

Hai ragione
me ne sono accorto poco dopo aver postato..... ma ero impossibilitato a correggere.....

[cirasa]

@gugo (a proposito dei cammini da [tex]P(a+r,0,0)[/tex] a [tex]Q=-P[/tex]):
Io stavo pensando che ci potrebbero essere cammini di questo tipo:

Ovviamente sto considerando il toro come lo spazio quoziente di [tex][0,1]\times[0,1][/tex] rispetto alla relazione di equivalenza ottenuta identificando i lati opposti del quadrato.
Nello spazio tridimensionale dovrebbe apparire più o meno così:

(quest'ultima immagine è stata fatta da questa bellissima pagina web)
Siamo sicuri che la lunghezza di questi cammini (che sono geodetiche per quanto visto prima) sia maggiore di [tex]\pi(r+a)[/tex]?
Io penso di sì, ma non ne sono certo. Tu dici:

"gugo82":@cirasa: Esatto sono esattamente dieci cammini, né uno di più né uno di meno.

Ci vorrebbe una dimostrazione che, secondo me, è non banale o quantomeno io non vedo una strada in discesa, in quanto la parametrizzazione di curve siffatte e il calcolo della loro lunghezza è (per me) non immediata. Si dovrebbero integrare le equazioni delle geodetiche, cosa non immediata.
Tu hai una dimostrazione del fatto che sono "esattamente dieci"?

P.S. E comunque prima ho detto che vedevo dieci cammini di cui due geodetiche o otto no.
Più precisamente avrei dovuto scrivere che due sono per intero delle geodetiche, mentre le altre otto sono solo geodetiche a tratti (con ovvio significato).

[tinam73]

"cirasa":
Siamo sicuri che la lunghezza di questi cammini (che sono geodetiche per quanto visto prima) sia maggiore di [tex]\pi(r+a)[/tex]?

cirasa ma cosa intendi con questa tua frase? cosa significa che il cammino sia più lungo o no della prima forma forma? io no ho ancora capito bene cosa intendiate con $\pi(a+r)$ aiutami per favore.

[cirasa]

Ciao tinam,
credo che sia chiaro chi sono $r$ ed $a$ (guarda anche il disegno postato da gugo) nel toro.
Credo che sia anche chiaro chi sia $pi$ (pi greco): è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro.
Quindi $pi(a+r)$ non è altro che un numero che descrive la lunghezza di queste particolari curve (dette anche cammini) sulla varietà.
E ora veniamo all'altra domanda

"tinam73":cosa significa che il cammino sia più lungo o no della prima forma forma?

Praticamente mi stai chiedendo cos'è la lunghezza di un cammino.
Detto in maniera moooolto semplificata: supponi di avere una grossa ciambella (il nostro toro). Hai un filo che giace sulla superficie della ciambella (la curva) con un punto iniziale e un punto finale. La lunghezza della curva non è altro che la lunghezza del filo.

[anonymous_af8479]

Se può servire :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Esercizi/EserciziSuperficie/1/G106Esercizio.htm .

Colgo l'occasione per salutare tutti, dopo un lungo periodo di assenza.

[Alexp1]

Ciao Arrigo, che piacere ritornare a leggerti qui....ottima la tua segnalazione, per altro anche l'esercizio che ho postato io, trovato in rete, l'ho attinto da uno dei tuo esercizi postati nella tua e-school.

Spero che questa non sia solo una "toccata e fuga", ma che tu possa riprendere a "farti vedere" da queste parti con una certa regolarità...
...è sicuramente un valore aggiunto per il forum avere utenti in gamba come te!!!

A presto!

[cirasa]

@anonymous_af8479: colgo l'occasione per fare i miei complimenti per il tuo splendido lavoro. Il tuo sito è una fonte inesauribile di scoperte. Grazie!

[tinam73]

@cirasa ma quindi $\pi(a+r)$ è la lunghezza del segmento $a+r$? la richiesta di gugo82 sarebbe di trovare curve che non siano più lunghe della lunghezza di $a+r$?

[cirasa]

Dimentichi che sei su una superficie curva.
Vediamo un altro modo di interpretare il concetto di curva (per la precisione di supporto di una curva) su una superficie.
Supponi di essere su un mondo a forma di ciambella e di voler andare da un punto all'altro.
La curva (detto anche cammino) non è altro che l'insieme dei punti che vengono da te percorsi (e non si tratta di un "segmento", il segmento mi fa pensare a qualcosa di rettilineo mentre qui sei su una superficie curva).
Supponi di camminare, sempre su questo ipotetico mondo a forma di ciambella, srotolando una corda, ben fissata al punto di partenza.
Quando giungi nel punto di arrivo, misuri la lunghezza della corda. Quella è la lunghezza della curva.

Ora osserva che ci sono vari modi per andare da un punto all'altro, ovvero varie curve che collegano due punti distinti.
Uno dei problemi proposti da Gugo è: quante sono le curve che partono da un punto fissato, finiscono in un altro e sono lunghe $pi(a+r)$?

Tieni conto che non puoi dire "il segmento $a+r$"...$a+r$ non è un segmento, è un numero!

[anonymous_af8479]

Grazie ! E' che sono tanto impegnato. Comunque seguo sempre.

A presto.

ps. adesso sto raccogliendo le mie conoscenze di fisica qui :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/LaMiaFisica.htm

(scusate il fuori tema e l'autopubblicità)

[tinam73]

"cirasa":
Uno dei problemi proposti da Gugo è: quante sono le curve che partono da un punto fissato, finiscono in un altro e sono lunghe $pi(a+r)$?

e come si fa a saperlo, tu che ragionamento hai fatto?

[cirasa]

Il primo punto $P$ è sull'equatore del toro, ovvero sul cerchio più grande che ottieni intersecando il toro con il piano $z=0$. L'altro ($Q$) è quello diametralmente opposto.
Ebbene, ci sono vari modi per "camminare" da $P$ a $Q$.
Uno è seguire l'Equatore; un altro può essere quello ottenuto andando all'interno del buco della ciambella, percorrendo una semicirconferenza interna e poi ritornare nella parte esterna.
Gli altri otto si ottengono cambiando qualche scelta. Per esempio si può percorrere la semicirconferenza da un lato o dall'altro oppure si può arrivare nella parte interna del buco da sopra o da sotto e così via.
Tutte queste curve hanno lunghezza $pi(a+r)$.

[gugo82]

@cirasa: Con "esattamente dieci cammini, né uno di più né uno di meno" mi riferivo a quelli trovati "ad occhio" da te e me dalla forma rettangolare (perciò poi ho postato il problema dei cammini); poi è probabilissimo che esistano altri cammini aventi la stessa lunghezza (o anche lunghezza minore), ma di forme diverse e casomai più regolari... Questo non lo so.

Però per quanto riguarda i cammini rettangolari (ossia i percorsi che stando al testo del problema si percorrono nel modo b) si può fare un teorema di unicità che dice che quei dieci sono gli unici.
Questo si fa risolvendo il problema; anzi, una volta risolto, si trova che quei dieci non sono nemmeno i cammini rettangolari di minima lunghezza che uno si aspetta!

Propongo la soluzione in spoiler, perchè i conti (per quanto lunghi e tediosi) sono elementari e potrebbero essere un buon esercizio per i ragazzi che bazzicano il foro, quindi non mi va di rovinare troppo la sorpresa.

Step 1 (Impostazione del problema).
Fissiamo l'angolo [tex]$\alpha \in [0,\pi]$[/tex].
L'arco di equatore esterno che congiunge [tex]$P$[/tex] e [tex]$Q$[/tex] ha lunghezza pari a [tex]$\alpha\ (a+r)$[/tex] (formula di Geometria elementare: la lunghezza di un arco di circonferenza uguaglia il prodotto tra la lunghezza del raggio e la misura in radianti dell'angolo al centro). Quindi in ogni caso il cammino percorso secondo il modo a ha lunghezza:

(1) [tex]$L=\alpha\ (a+r)$[/tex].

Guardiamo ora ai cammini percorsi secondo il modo b.
Innanzitutto bisogna scegliere quanto salire lungo il meridiano per [tex]$P$[/tex] (si ricordi che, per ragioni di simmetria basta considerare i soli cammini che giacciono nel semispazio [tex]$z\geq 0$[/tex]): per fare ciò basta introdurre una variabile [tex]$\beta \in [0,\pi]$[/tex] che misuri l'ampiezza dell'arco rispetto al centro del meridiano corrispondente. Fatto ciò, la lunghezza del tratto di meridiano percorso è:

[tex]$\lambda_1=\beta\ r$[/tex].

Dopodiché bisogna percorrere un tratto di parallelo di ampiezza [tex]$\alpha$[/tex] di cui però non conosciamo ancora il raggio [tex]$\rho$[/tex]. Per calcolarlo basta fare un disegnino in sezione (il [tex]$\rho$[/tex] che ci interessa è in arancione):
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes();
circle([2,0],1);
text([1,0],"a", belowleft); text([2.5,0],"r",below); text([1.25,0.866],"ro",above);
line([2.5,0],[2.5,0.866]); line([2,0],[2.5,0.866]);
stroke="red"; line([0,0],[2,0]);
stroke="dodgerblue"; line([2,0],[3,0]);
stroke="orange"; line([0,0.866],[2.5,0.866]);[/asvg]
e trarne [tex]$\rho =a+r\ \cos \beta$[/tex]. Ne cosegue che la lunghezza dell'arco di parallelo è:

[tex]$\lambda_2=\alpha\ (a+r\ \cos \beta)$[/tex].

Infine bisogna percorrere l'ultimo arco di meridiano, il quale ha lunghezza [tex]$\lambda_3=\lambda_1$[/tex].
Ne viene che la lunghezza totale di un generico cammino percorso nel modo b si ottiene:

(2) [tex]$\Lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=2\ \beta\ r+\alpha\ (a+r\ \cos \beta)$[/tex].

Per confrontare le lunghezze [tex]$L$[/tex] e [tex]$\Lambda$[/tex] basta formare la funzione deficit [tex]$\Delta (\beta; \alpha ,r) =\Lambda-L$[/tex] e studiare come essa varia al variare di [tex]$\beta$[/tex] (in funzione di [tex]$\alpha$[/tex]); in particolare è evidente che il cammino percorso al modo b è più corto [risp. più lungo] rispetto a quello percorso al modo a se e solo se [tex]$\Delta (\beta ;\alpha ,r)<0$[/tex] [risp. [tex]$>0$[/tex]].

Step 2 (Studio della funzione deficit)
Si ha:

[tex]$\Delta (\beta ;\alpha ,r) =2\ \beta\ r+\alpha\ (a+r\ \cos \beta) -\alpha\ (a+r) =(2\ \beta +\alpha\ \cos \beta -\alpha )\ r $[/tex],

ma, siccome la dipendenza da [tex]$r$[/tex] è lineare e siccome [tex]$\Delta$[/tex] non dipende da [tex]$a$[/tex] (sorprendentemente!), possiamo in prima battuta pensare [tex]$r=1$[/tex] e solo alla fine moltiplicare tutti i risultati per [tex]$r$[/tex]: detto un po' più rigorosamente, posto [tex]$\delta (\beta ;\alpha) :=\Delta (\beta ;\alpha ,1) =2\beta -\alpha\ \cos \beta -\alpha$[/tex], si ha:

[tex]$\Delta (\beta ;\alpha ,r)=\delta (\beta ;\alpha)\cdot r$[/tex]

e, poiché [tex]$r>0$[/tex], per i nostri scopi basta studiare il comportamento di [tex]$\delta (\beta ;\alpha)$[/tex].

Derivando troviamo:

[tex]$\frac{\partial \delta}{\partial \beta} (\beta ;\alpha) = 2-\alpha\ \sin \beta $[/tex],

quindi sono due i casi possibili:

I. quando [tex]$\alpha \in [0,2]$[/tex] la funzione [tex]$\delta (\cdot ;\alpha)$[/tex] è strettamente crescente in [tex]$[0,\pi]$[/tex] e, dato che [tex]$\delta (0;\alpha) =0$[/tex], si ha [tex]$\delta (\beta ;\alpha)>0$[/tex] per [tex]$\beta \in ]0,\pi]$[/tex]; pertanto il cammino percorso al modo b è sempre più lungo rispetto a quello percorso al modo a.

II. quando [tex]$\alpha \in ]2,\pi]$[/tex] la funzione [tex]$\delta (\cdot ;\alpha)$[/tex] ha solo due punti critici in [tex]$[0,\pi]$[/tex], i quali sono:

[tex]$\beta_1 =\arcsin \frac{2}{\alpha}$[/tex] e [tex]$\beta_2=\pi - \arcsin \frac{2}{\alpha}$[/tex];

si vede che [tex]$\delta (\cdot ;\alpha )$[/tex] decresce in [tex]$[\beta_1,\beta_2]$[/tex] e cresce al di fuori di tale intervallo, sicché [tex]$\beta_1$[/tex] e [tex]$\beta_2$[/tex] sono, rispettivamente, un punto di massimo e di minimo locali.
Guardando bene la situazione si intuisce che:

[tex]$\max_{[0,\pi]} \delta (\cdot ;\alpha ) =\max \{ \delta (\beta_1;\alpha), \delta (\pi ;\alpha)\} =\max \{ 2\ \arcsin \tfrac{2}{\alpha} + \sqrt{\alpha^2-4} -\alpha , 2\ (\pi -\alpha) \}$[/tex]*

[tex]$\min_{[0,\pi]} \delta (\cdot ;\alpha) =\min \{ \delta (\beta_2;\alpha), \delta (0 ;\alpha)\} =\min \{ 2\pi -2\ \arcsin \tfrac{2}{\alpha} -\sqrt{\alpha^2-4} -\alpha, 0\}$[/tex]**.

Visto che [tex]$2\ (\pi -\alpha) \geq 0$[/tex] il massimo assoluto di [tex]$\delta (\cdot ;\alpha)$[/tex] è sempre non negativo, quindi possiamo dire che per ogni [tex]$\alpha \in ]2,\pi]$[/tex] ci sono sempre degli angoli [tex]$\beta$[/tex] corrispondenti a percorsi modo b "non convenienti" rispetto a quello modo a.
D'altra parte, però, noi siamo interessati all'esistenza di percorsi modo b "convenienti", quindi è del tutto naturale andare a studiare il comportamento del minimo assoluto di [tex]$\delta (\cdot ;\alpha)$[/tex]: infatti se tale minimo, per qualche [tex]$\alpha \in ]2,\pi]$[/tex] risultasse [tex]$<0$[/tex], avremmo per qualche angolo [tex]$\beta$[/tex] intorno a [tex]$\beta_2$[/tex] dei cammini modo b strettamente più corti di quello modo a!

Step 3 (Studio del minimo della funzione deficit nel caso II)
Chiaramente, affinché sia [tex]$<0$[/tex] il minimo assoluto di [tex]$\delta (\cdot ;\alpha)$[/tex] occorre e basta che assuma anche valori negativi la funzione di [tex]$\alpha$[/tex]:

[tex]$u(\alpha):=2\pi -2\ \arcsin \tfrac{2}{\alpha} -\sqrt{\alpha^2-4} -\alpha$[/tex].

Evidentemente:

[tex]$\lim_{\alpha \to 2^+} u(\alpha) =\pi -2> 0$[/tex]

e per il teorema della permanenza del segno non possiamo sperare che [tex]$u$[/tex] assuma valori negativi per [tex]$\alpha$[/tex] troppo vicino a [tex]$2$[/tex]; d'altra parte:

[tex]$u(\pi) =\pi -\sqrt{\pi^2-4}-2\ \arcsin \frac{2}{\pi} \approx -0.66 <0$[/tex]

quindi è chiaro che per [tex]$\alpha$[/tex] vicino a [tex]$\pi$[/tex] si trova [tex]$u(\alpha)<0$[/tex] (che è ciò che ci interessa).
Per sapere cosa succede nell'intervallo [tex]$]2,\pi[$[/tex] proviamo a studiare la monotonia della [tex]$u$[/tex]; derivando (e con un po' di Algebra) si ottiene:

[tex]$u^\prime (\alpha) = -1-\frac{\sqrt{\alpha^2-4}}{\alpha} <0$[/tex]

ergo la [tex]$u$[/tex] decresce strettamente in [tex]$]2,\pi]$[/tex] e, per il teorema degli zeri, esiste un unico punto [tex]$\overline{\alpha} \in]2,\pi[$[/tex] tale che [tex]$u(\overline{\alpha})=0$[/tex].

Step 4 (Conclusioni)
Ne consegue che per [tex]$\alpha \in ]2,\overline{\alpha} ]$[/tex] non esistono cammini modo b strettamente più corti rispetto a quello modo a (abbiamo così migliorato e reso preciso il bound [tex]$2$[/tex] trovato all'inizio).

Invece per [tex]$\alpha \in ]\overline{\alpha} ,\pi]$[/tex] esistono davvero cammini modo b strettamente più corti di quello modo a ed essi si ottengono scegliendo l'angolo [tex]$\beta$[/tex] in un intorno dell'angolo [tex]$\beta_2 =\pi -\arcsin \tfrac{2}{\alpha}$[/tex], al quale corrisponde il cammino modo b più "conveniente" (cioè quello per il quale si ha [tex]$\delta =\min$[/tex]).

Visto che [tex]$u(\alpha)$[/tex] è decrescente strettamente, il guadagno maggiore scegliendo il percorso modo b di minima lunghezza (corrispondente a [tex]$\beta =\beta_2=\pi -\arcsin \tfrac{2}{\alpha}$[/tex]) si ottiene quando [tex]$\alpha =\pi$[/tex]: in tal caso il guadagno del percorso modo b su quello modo a è dato da:

[tex]$|\Delta (\pi -\arcsin \tfrac{2}{\pi} ;\pi ,r)| = |u(\pi)|\ r \approx 0.66\ r$[/tex]

e non dipende in alcun modo da [tex]$a$[/tex].
Se si considera il "guadagno percentuale":

[tex]$D :=\frac{|\Delta (\pi -\arcsin \tfrac{2}{\pi} ;\pi ,r)|}{L} =\frac{0.66}{\pi}\ \frac{r}{a+r} \approx 0.21\ \frac{r}{a+r}$[/tex]

si vede che esso, per fissato [tex]$r$[/tex], decresce strettamente al crescere di [tex]$a$[/tex] in [tex]$]r,+\infty[$[/tex] mentre, per fissato [tex]$a$[/tex], cresce strettamente al crescere di [tex]$r$[/tex] in [tex]$]0,a[$[/tex]; pertanto il "guadagno percentuale" non è mai maggiore del [tex]$10.5 \%$[/tex].

L'angolo [tex]$\overline{\alpha}$[/tex], che è il maggiore tra quelli per i quali non esistono percorsi modo b strettamente più corti di quello modo a è numericamente pari a circa [tex]$2.76 \approx \tfrac{22 \pi}{25}$[/tex] (quindi è davvero piccolo lo spazio in cui si guadagna!).

Un'ultima nota riguarda l'unicità dei dieci cammini nella questione posta in precedenza.
Disegnando il grafico si vede che [tex]$\delta (\cdot ;\pi)$[/tex] si annulla esattamente in [tex]$0$[/tex], [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] e [tex]$\pi$[/tex]; ragioni di simmetria portano a concludere che all'angolo [tex]$\beta=0$[/tex] corrispondono 2 cammini modo a (ossia lungo l'equatore esterno) mentre a ciascuno degli angoli [tex]$\beta =\tfrac{\pi}{2} ,\pi$[/tex] corrispondono 4 cammini, per un totale di 10.
Poiché per tali 10 cammini è [tex]$\delta =0$[/tex], si ha [tex]$\Lambda =L=\pi\ (a+r)$[/tex] come volevamo; d'altra parte che sia [tex]$\Lambda \neq L$[/tex] per tutti i cammini modo b rimanenti discende dalla monotonia di [tex]$\delta$[/tex].


__________
* Visto che, per [tex]$\alpha \in ]2,\pi]$[/tex], si ha [tex]$\tfrac{2}{\alpha} \in ]\tfrac{2}{\pi} ,1]$[/tex] e pure [tex]$\beta_1=\arcsin \tfrac{2}{\alpha} \in ] \arcsin \tfrac{2}{\pi}, \tfrac{\pi}{2}] \subset ]0,\tfrac{\pi}{2}]$[/tex], risulta [tex]$\cos \beta_1 >0$[/tex] e perciò:

[tex]$\cos \beta_1 =\sqrt{1-\sin^2 \beta_1} =\sqrt{1-\sin^2 \arcsin \frac{2}{\alpha}} =\sqrt{1-\frac{4}{\alpha^2}} =\frac{1}{\alpha}\ \sqrt{\alpha^2-4}$[/tex]

da cui il valore preciso di [tex]$\Delta (\beta_1 ;\alpha ,r)$[/tex].

** Con manipolazioni elementari:

[tex]$\cos \beta_2 =\cos (\pi -\beta_1) =-\cos \beta_1 =-\frac{1}{\alpha}\ \sqrt{\alpha^2-4}$[/tex]

da cui il valore preciso di [tex]$\delta (\beta_2 ;\alpha)$[/tex].

[cirasa]

Complimenti anche a te per la pazienza!
Avevo abbozzato conti simili ai tuoi, ma presto la pigrizia si era impossessata di me e avevo desistito

Comunque all'inizio non ci eravamo capiti, io cercavo curve qualsiasi da [tex]P(a+r,0,0)[/tex] a [tex]Q=-P[/tex], mentre tu (anche se non l'avevi mica esplicitamente detto ) ti riferivi ai cammini "rettangolari".
A proposito, se cerchiamo i cammini rettangolari, di cammini ce ne sono 14. Oltre alla simmetria sopra/sotto, c'è anche la simmetria destra/sinistra.
Detto più precisamente, il toro immerso in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] è simmetrico rispetto al piano [tex]z=0[/tex] e al piano [tex]y=0[/tex] (e vabbè anche rispetto al piano [tex]x=0[/tex], ma questo per i nostri scopi non importa).

[gugo82]

Aspetta cirasa... Perchè 14?

Per [tex]$\beta =0$[/tex] trovo l'arco di equatore; questo cammino ha un solo simmetrico buono (quello rispetto al piano [tex]$xz$[/tex]); quindi [tex]$\beta =0 \to \text{$2$ cammini}$[/tex].

Per [tex]$\beta =\pi$[/tex] trovo il cammino fatto da:

- semicirconferenza [tex]$PP_1$[/tex], con [tex]$P_1=(a-r,0,0)$[/tex]
- semicirconferenza [tex]$P_1P_2$[/tex], con [tex]$P_2=(-(a-r),0,0)$[/tex],
- semicirconferenza [tex]$P_2Q$[/tex];

questo cammino ha tre simmetrici (rispetto al piano [tex]$xz$[/tex], rispetto al piano [tex]$xy$[/tex], rispetto all'origine); quindi [tex]$\beta =\pi \to \text{$4$ cammini}$[/tex].

Per [tex]$\beta=\tfrac{\pi}{2}$[/tex] trovo il cammino fatto da:

- quarto di circonferenza [tex]$PQ_1$[/tex], con [tex]$Q_1=(a,0,r)$[/tex],
- semicirconferenza [tex]$Q_1Q_2$[/tex], con [tex]$Q_2=(-a,0,r)$[/tex],
- quarto di circonferenza [tex]$Q_2Q$[/tex];

questo cammino ha tre simmetrici (rispetto al piano [tex]$xz$[/tex], rispetto al piano [tex]$xy$[/tex], rispetto all'origine); quindi [tex]$\beta =\tfrac{\pi}{2} \to \text{$4$ cammini}$[/tex].

In totale [tex]$10$[/tex]. Gli altri quattro da dove escono?


Per quanto riguarda il testo della "variazione" hai ragione, avrei dovuto specificare.