Curvatura e Geodetiche del Toro
Visto che ultimamente questo forum scarseggia di esercizi di geometria differenziale, ho pensato di postarne uno carino che ho trovato in rete.... 
Vediamo chi avrà voglia di risolverlo....(immagino nessuno)....
Ricavare la curvatura gaussiana $k$ e le equazioni delle geodetiche del toro
$x(u,v)=\{((\alpha+rcos(u))*cos(v)), ((\alpha+rcos(u))*sin(v)), (rsin(u)):}$
con $0r$
P.S: Se nessuno tentasse di risolverlo, più avanti posterò comunque la soluzione, che comunque potrebbe interessare!
Vediamo chi avrà voglia di risolverlo....(immagino nessuno)....
Ricavare la curvatura gaussiana $k$ e le equazioni delle geodetiche del toro
$x(u,v)=\{((\alpha+rcos(u))*cos(v)), ((\alpha+rcos(u))*sin(v)), (rsin(u)):}$
con $0
P.S: Se nessuno tentasse di risolverlo, più avanti posterò comunque la soluzione, che comunque potrebbe interessare!
Risposte
Alex, correggimi se sbaglio.
Ciao gugo,
che bello vederti interessato alla geometria differenziale
comunque quello che dici è corretto, perchè è intuitivamente il concetto di geodetica, ma come poter estrapolare tali equazioni?
una dritta...bisogna cercare le curve che hanno derivata covariante nulla in ogni punto.
Ora che mi ci fai pensare essendo, come hai detto tu, il toro una superficie di rotazione, si potrebbero studiare le geodetiche anche sfruttando la relazione di Clairaut.
che bello vederti interessato alla geometria differenziale
comunque quello che dici è corretto, perchè è intuitivamente il concetto di geodetica, ma come poter estrapolare tali equazioni?
una dritta...bisogna cercare le curve che hanno derivata covariante nulla in ogni punto.
Ora che mi ci fai pensare essendo, come hai detto tu, il toro una superficie di rotazione, si potrebbero studiare le geodetiche anche sfruttando la relazione di Clairaut.
Ma il toro non è una superficie sviluppabile... quindi cosa vuol dire "svolgerlo sul piano"?
Si è vero, credo che gugo intendesse tagliarlo e "raddrizzarlo" in modo da farlo diventare un cilindro.
Più che altro era qualcosa per rendere intuitivamente l'idea
Più che altro era qualcosa per rendere intuitivamente l'idea
Sì, ma così facendo distorci le distanze, e non è più vero che allora le geodetiche sul piano vengono rimontate in geodetiche sul toro... questo è vero se fai un'isometria, ma il toro non ha curvatura nulla ovunque.
Si, purtroppo è vero se non c'è isometria il discorso di gugo si perde...
che tra l'altro anche il fatto della curvatura ovunque nulla non è detto che porti ad una isometria col piano,
visto che il th Egregium di Gauss dice che con l'isometria si ha la stessa curvatura, ma l'inverso non sempre vale.
L'idea intuitiva di gugo è corretta su superfici tipo cilindro e cono.
che tra l'altro anche il fatto della curvatura ovunque nulla non è detto che porti ad una isometria col piano,
visto che il th Egregium di Gauss dice che con l'isometria si ha la stessa curvatura, ma l'inverso non sempre vale.
L'idea intuitiva di gugo è corretta su superfici tipo cilindro e cono.
@Alex & Luca: Grazie per avermi fatto notare l'imperfezione.
Terrò a mente per le prossime volte.
Terrò a mente per le prossime volte.
Figurati, anzi ringrazio anche io Luca che ha segnalato tempestivamente anche la mia "leggerezza"....
Appena ho tempo posto la soluzione dell'esercizio!
Appena ho tempo posto la soluzione dell'esercizio!
Allora, partiamo calcolandoci i vettori tangenti, i vettori derivate seconde ed il versore normale $N$ che ci serviranno per scrivere i coefficienti del tensore metrico $g_(ij)$ e della seconda forma fondamentale.
$x_u=\{(-r*sin(u)*cos(v)), (-r*sin(u)*sin(v)), (r*cos(u)):}$
$x_v=\{(-(a+r*cos(u))*sin(v)), ((a+r*cos(u))*cos(v)), (0):}$
$x_(u u)=\{(-r*cos(u)*cos(v)), (-r*cos(u)*sin(v)), (-r*sin(u)):}$
$x_(uv)=\{(r*sin(u)*sin(v)), (-r*sin(u)*cos(v)), (0):}$
$x_(v v)=\{(-(a+r*cos(u))*cos(v)), (-(a+r*cos(u))*sin(v)), (0):}$
$N=(x_u X x_v)/(|x_u X x_v|)=(-cos(u)*cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u))$, dove con il simbolo $X$ indico il prodotto vettoriale.
Come anticipato sopra con queste ci andiamo a ricavare:
$g_(ij)=|(g_(11), g_(12)), (g_(21), g_(22))|$
ossia
$g_(11)=<>=r^2$
$g_(12)=g_(21)=<>=0$
$g_(22)=<>= (a+r*cos(u))^2$
e
$e=<>=r$
$f=<>=0$
$g=<>=(a+r*cos(u))*cos(u)$
La curvatura gaussiana $k$ la si ricava perciò agilmente da:
$k=(e*g-f^2)/(g_(11)*g_(22)-g_(12)^2)=(cos(u))/(r(a+r*cos(u)))$
Da quest'ultima è interessante notare come il toro sia una superficie che contenga punti planari, punti iperbolici e punti ellittici.
…più tardi continuerò col calcolo delle equazioni delle geodetiche!
$x_u=\{(-r*sin(u)*cos(v)), (-r*sin(u)*sin(v)), (r*cos(u)):}$
$x_v=\{(-(a+r*cos(u))*sin(v)), ((a+r*cos(u))*cos(v)), (0):}$
$x_(u u)=\{(-r*cos(u)*cos(v)), (-r*cos(u)*sin(v)), (-r*sin(u)):}$
$x_(uv)=\{(r*sin(u)*sin(v)), (-r*sin(u)*cos(v)), (0):}$
$x_(v v)=\{(-(a+r*cos(u))*cos(v)), (-(a+r*cos(u))*sin(v)), (0):}$
$N=(x_u X x_v)/(|x_u X x_v|)=(-cos(u)*cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u))$, dove con il simbolo $X$ indico il prodotto vettoriale.
Come anticipato sopra con queste ci andiamo a ricavare:
$g_(ij)=|(g_(11), g_(12)), (g_(21), g_(22))|$
ossia
$g_(11)=<
$g_(12)=g_(21)=<
$g_(22)=<
e
$e=<
$f=<
$g=<
La curvatura gaussiana $k$ la si ricava perciò agilmente da:
$k=(e*g-f^2)/(g_(11)*g_(22)-g_(12)^2)=(cos(u))/(r(a+r*cos(u)))$
Da quest'ultima è interessante notare come il toro sia una superficie che contenga punti planari, punti iperbolici e punti ellittici.
…più tardi continuerò col calcolo delle equazioni delle geodetiche!
@Alexp: Complimenti per la pazienza... Al momento fare tutti questi conti mi seccherebbe non poco!
Per quanto riguarda i vari tipi di punti (e correggimi se sbaglio), noto che quelli planari [risp. iperbolici, ellittici] sono quelli nei piani [tex]$z=\pm r$[/tex] [risp. nella parte interna della ciambella, nella parte esterna della ciambella].
Per quanto riguarda i vari tipi di punti (e correggimi se sbaglio), noto che quelli planari [risp. iperbolici, ellittici] sono quelli nei piani [tex]$z=\pm r$[/tex] [risp. nella parte interna della ciambella, nella parte esterna della ciambella].
"gugo82":
Per quanto riguarda i vari tipi di punti (e correggimi se sbaglio), noto che quelli planari [risp. iperbolici, ellittici] sono quelli nei piani [tex]$z=\pm r$[/tex] [risp. nella parte interna della ciambella, nella parte esterna della ciambella].
Si, hai detto bene!
Bene riprendiamo….
Per calcolare le equazioni delle geodetiche, bisogna sfruttare la derivata covariante (che per motivi di tempo, voglia e spazio non mi dilungherò a spiegare), in particolare uguagliarla a zero, questo proprio per il fatto che una geodetica deve avere derivata covariante nulla, ossia deve essere una curva con derivata prima costante.
Riassumendo, la formula per la derivata covariante di un campo vettoriale $V=v_1(t)*b_1+v_2(t)*b_2$ tangente ad una superficie lungo una curva è:
$(DV)/(dt)=\Sigma_(k=1)^2[v'_k + \Sigma_(i,j=1)^2\Gamma_(ij)^k x'_i*v_j]*b_k$, dove con $\Gamma_(ij)^k$ indico i simboli di Christoffel.
Comunque rimando i più curiosi a studiarsi per bene questi argomenti.
Torniamo all’esercizio….
I simboli di Christoffel sono dati da:
$\Gamma_(ij)^m=1/2*\Sigma_(k=1)^2[d/(dx_i)g_(jk)+ d/(dx_j)g_(ki)- d/(dx_k)g_(ij)]*g^(km) $
oppure dai sistemi:
$\{(\Gamma_(11)^1*g_(11)+ \Gamma_(11)^2*g_(12)=<>=1/2g_(11)_u), (\Gamma_(11)^1*g_(12)+ \Gamma_(11)^2*g_(22)=<>=g_(12)_u-1/2g_(11)_v):}$
$\{(\Gamma_(12)^1*g_(11)+ \Gamma_(12)^2*g_(12)=<>=1/2g_(11)_v), (\Gamma_(12)^1*g_(12)+ \Gamma_(12)^2*g_(22)=<>=1/2g_(22)_u):}$
$\{(\Gamma_(22)^1*g_(11)+ \Gamma_(22)^2*g_(12)=<>= g_(12)_v-1/2g_(22)_u), (\Gamma_(22)^1*g_(12)+ \Gamma_(22)^2*g_(22)=<>=1/2g_(22)_v):}$
$\Gamma_(11)^1=0$; $\Gamma_(11)^2=0$
$\Gamma_(12)^1=0$; $\Gamma_(12)^2=(-r*sin(u))/(a+r*cos(u))$;
$\Gamma_(22)^1=(sin(u)*(a+r*cos(u)))/r$; $\Gamma_(22)^2=0$;
Per calcolare le equazioni delle geodetiche, bisogna sfruttare la derivata covariante (che per motivi di tempo, voglia e spazio non mi dilungherò a spiegare), in particolare uguagliarla a zero, questo proprio per il fatto che una geodetica deve avere derivata covariante nulla, ossia deve essere una curva con derivata prima costante.
Riassumendo, la formula per la derivata covariante di un campo vettoriale $V=v_1(t)*b_1+v_2(t)*b_2$ tangente ad una superficie lungo una curva è:
$(DV)/(dt)=\Sigma_(k=1)^2[v'_k + \Sigma_(i,j=1)^2\Gamma_(ij)^k x'_i*v_j]*b_k$, dove con $\Gamma_(ij)^k$ indico i simboli di Christoffel.
Comunque rimando i più curiosi a studiarsi per bene questi argomenti.
Torniamo all’esercizio….
I simboli di Christoffel sono dati da:
$\Gamma_(ij)^m=1/2*\Sigma_(k=1)^2[d/(dx_i)g_(jk)+ d/(dx_j)g_(ki)- d/(dx_k)g_(ij)]*g^(km) $
oppure dai sistemi:
$\{(\Gamma_(11)^1*g_(11)+ \Gamma_(11)^2*g_(12)=<
$\{(\Gamma_(12)^1*g_(11)+ \Gamma_(12)^2*g_(12)=<
$\{(\Gamma_(22)^1*g_(11)+ \Gamma_(22)^2*g_(12)=<
$\Gamma_(11)^1=0$; $\Gamma_(11)^2=0$
$\Gamma_(12)^1=0$; $\Gamma_(12)^2=(-r*sin(u))/(a+r*cos(u))$;
$\Gamma_(22)^1=(sin(u)*(a+r*cos(u)))/r$; $\Gamma_(22)^2=0$;
Sfruttando ora (come detto prima) la derivata covariante uguagliata a zero, otteniamo il seguente sistema di equazioni:
$\{(u''+\Gamma_(11)^1u'^2+2\Gamma_(12)^1u'v'+\Gamma_(22)^1v'^2=0), (v''+\Gamma_(11)^2u'^2+2\Gamma_(12)^2u'v'+\Gamma_(22)^2v'^2=0):}$
dal quale si ricava (sostituendo i simboli di Christoffel calcolati) il sistema di equazioni differenziali delle geodetiche del toro:
$\{(u''+(sin(u)*(a+r*cos(u)))/r*v'^2=0), (v''-(2r*sin(u))/(a+r*cos(u))*u'v'=0):}$
Inutile dire che equazioni di questo tipo spesso sono irrisolvibili se non per via numerica….quindi io passo!
Se qualche analista con molta pazienza ha voglia di provare a risolverle è il benvenuto!!!
$\{(u''+\Gamma_(11)^1u'^2+2\Gamma_(12)^1u'v'+\Gamma_(22)^1v'^2=0), (v''+\Gamma_(11)^2u'^2+2\Gamma_(12)^2u'v'+\Gamma_(22)^2v'^2=0):}$
dal quale si ricava (sostituendo i simboli di Christoffel calcolati) il sistema di equazioni differenziali delle geodetiche del toro:
$\{(u''+(sin(u)*(a+r*cos(u)))/r*v'^2=0), (v''-(2r*sin(u))/(a+r*cos(u))*u'v'=0):}$
Inutile dire che equazioni di questo tipo spesso sono irrisolvibili se non per via numerica….quindi io passo!
Se qualche analista con molta pazienza ha voglia di provare a risolverle è il benvenuto!!!
Colgo l'occasione per raccontare qualche storiella, non direttamente rivolta a Gugo, ma a chiunque si trovi a passare da queste parti:
Naturalmente il fatto che i paralleli siano geodetiche non vale per tutte le superfici di rotazione.
Pensiamo ad esempio alla "semplice" sfera. Una volta introdotto un polo Nord e un polo Sud, l'unico parallelo che è anche una geodetica è l'equatore, mentre tutti gli altri paralleli non sono geodetiche.
Il problema, come ha spiegato Luca, è che la sfera (così come il toro) non si può "sviluppare" sul piano, a meno di deformare le distanze.
Quelle che sul piano ci sembrano "rette" potrebbero non esserlo sulla superficie deformata.
Si dimostra, infatti, che le geodetiche sulla sfera, come è ben noto, sono i cerchi di raggio massimo.
Riporto una parte di un libro che ho letto tempo fa "La congettura di Poincarè", Donald O'Shea:
Ed è lo stesso motivo per il quale (leggo sempre sullo stesso libro) la moschea di Washington (D.C.), che deve essere rivolta verso La Mecca (che si trova leggermente a Sud di Washington), fu costruita a metà degli anni '50 orientata a Nord-Est. Alcuni musulmani degli Stati Uniti (tra cui anche l'ambasciatore egiziano) non furono molto convinti, tanto che ne emersero varie discussioni, anche abbastanza astiose. Per fortuna i calcoli fatti erano giusti: la direzione della geodetica che passa per Washington e La Mecca era giusta!
"gugo82":
Visto che il toro è una superficie di rotazione, possiamo descrivere meridiani (circonferenze in semipiani contenenti l'asse [tex]$z$[/tex]) e paralleli (circonferenze parallele al piano [tex]$xy$[/tex]): tali curve sono ortogonali tra loro.
Se due punti [tex]$P,Q$[/tex] stanno sullo stesso meridiano [risp. parallelo], la geodetica che li congiunge è data dal più corto arco del meridiano [risp. paralleolo] che li congiunge.
Naturalmente il fatto che i paralleli siano geodetiche non vale per tutte le superfici di rotazione.
Pensiamo ad esempio alla "semplice" sfera. Una volta introdotto un polo Nord e un polo Sud, l'unico parallelo che è anche una geodetica è l'equatore, mentre tutti gli altri paralleli non sono geodetiche.
Il problema, come ha spiegato Luca, è che la sfera (così come il toro) non si può "sviluppare" sul piano, a meno di deformare le distanze.
Quelle che sul piano ci sembrano "rette" potrebbero non esserlo sulla superficie deformata.
Si dimostra, infatti, che le geodetiche sulla sfera, come è ben noto, sono i cerchi di raggio massimo.
Riporto una parte di un libro che ho letto tempo fa "La congettura di Poincarè", Donald O'Shea:
[...]Per esempio, Pechino e Filadelfia sono situate alla stessa latitudine. Se viaggiamo dall'una all'altra seguendo la linea latitudinale che le congiunge, percorriamo circa 16.300 chilometri. Il percorso lungo il cerchio massimo che le attraversa, invece, misura circa 11.000 chilometri e passa vicino al Polo Nord. E' un tragitto notevolmente più breve, ed è quello che un pilota d'aereo percepirebbe come retto. Sulla maggior parte delle mappe del mondo, invece, questo cerchio massimo sembrerebbe prima puntare verso Nord per poi ridiscendere.
Ed è lo stesso motivo per il quale (leggo sempre sullo stesso libro) la moschea di Washington (D.C.), che deve essere rivolta verso La Mecca (che si trova leggermente a Sud di Washington), fu costruita a metà degli anni '50 orientata a Nord-Est. Alcuni musulmani degli Stati Uniti (tra cui anche l'ambasciatore egiziano) non furono molto convinti, tanto che ne emersero varie discussioni, anche abbastanza astiose. Per fortuna i calcoli fatti erano giusti: la direzione della geodetica che passa per Washington e La Mecca era giusta!
@cirasa: Grazie delle precisazioni.
Sono fatti noti, ma ieri mi ero fatto trasportare dai ricordi ed avevo generalizzato alla sonfrasò... Mi ricordavo un esercizio del terzo anno, in cui calcolavo le geodetiche del cilindro (appunto) e poi la mancanza di attenzione ha fatto il resto.
Sono fatti noti, ma ieri mi ero fatto trasportare dai ricordi ed avevo generalizzato alla sonfrasò... Mi ricordavo un esercizio del terzo anno, in cui calcolavo le geodetiche del cilindro (appunto) e poi la mancanza di attenzione ha fatto il resto.
Siano [tex]$P=(a+r,0,0)$[/tex] e [tex]$Q=-P$[/tex].
Dire se esistono ed, in caso affermativo, determinare quanti sono i cammini [tex]$\gamma$[/tex] per [tex]$P$[/tex] e [tex]$Q$[/tex] tracciati sul toro [tex]$\mathbb{T}$[/tex] aventi lunghezza [tex]$\pi\ (a+r)$[/tex].
Sono tali cammini delle geodetiche su [tex]$\mathbb{T}$[/tex]?
Dire se esistono ed, in caso affermativo, determinare quanti sono i cammini [tex]$\gamma$[/tex] per [tex]$P$[/tex] e [tex]$Q$[/tex] tracciati sul toro [tex]$\mathbb{T}$[/tex] aventi lunghezza [tex]$\pi\ (a+r)$[/tex].
Sono tali cammini delle geodetiche su [tex]$\mathbb{T}$[/tex]?
Che ce ne siano un paio, che sono anche geodetiche, si vede ad occhio.
Sto cercando di capire come si dimostra che sono le uniche
Sto cercando di capire come si dimostra che sono le uniche
Stavo seguendo questo interessante argomento senza capirne molto, non sono ferrata su geodetiche e cose simili, però vorrei chiedervi cosa si intende con lunghezza $\pi(a+r)$ non lo capisco a dire la verità non capisco neanche cosa sia $\pi(a+r)$
@cirasa:
Quando ho fatto il calcolo ad occhio non mi sembravano uniche...
Ma probabilmente sono le uniche geodetiche, questo può essere vero.
(Incidentalmente questo è un grosso aiuto...)
@tinam73: Sarò molto informale, ma voglio solo rendere l'idea.
Le lunghezze su una superficie possono essere misurate usando la prima forma fondamentale che, rozzamente parlando, è il "modo di manifestarsi" del prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] sulla superficie: visto che in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] le distanze e perciò le lunghezze si misurano usando (in qualche modo) il prodotto scalare, è del tutto naturale che per misurare le lunghezze su una superficie si debba usare la prima forma fondamentale.
Se vuoi studiare un po' di Geometria Differenziale, un buon testo è sicuramente il DoCarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces.
"cirasa":
Che ce ne siano un paio, che sono anche geodetiche, si vede ad occhio.
Sto cercando di capire come si dimostra che sono le uniche
Quando ho fatto il calcolo ad occhio non mi sembravano uniche...
Ma probabilmente sono le uniche geodetiche, questo può essere vero.
(Incidentalmente questo è un grosso aiuto...
)@tinam73: Sarò molto informale, ma voglio solo rendere l'idea.
Le lunghezze su una superficie possono essere misurate usando la prima forma fondamentale che, rozzamente parlando, è il "modo di manifestarsi" del prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] sulla superficie: visto che in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] le distanze e perciò le lunghezze si misurano usando (in qualche modo) il prodotto scalare, è del tutto naturale che per misurare le lunghezze su una superficie si debba usare la prima forma fondamentale.
Se vuoi studiare un po' di Geometria Differenziale, un buon testo è sicuramente il DoCarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces.
grazie della risposta ed anche del consiglio, ma con $a$ intendete il raggio del buco della ciambella? e con r il raggio delle circonferenze diciamo verticali che compongono il toro?
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