Concetto: campo vettoriale
Buon pomeriggio a tutti.
Avrei gentilmente bisogno di un aiuto nella comprensione di questo argomento. La domanda è: che cos'è un campo vettoriale? Fatta qualche ricerca sul web, da wiki scopro che
E fin qui, ok no problem.
Ma come faccio a disegnarlo? Se poi volessi utilizzare il software Mathematica cosa devo scrivere all'interno di
Che cosa sono $f_x$ e $f_y$?
Nella speranza di non avervi disturbato, vi ringrazio come al solito per il vostro determinante aiuto.
Grazie,
Paolo
Avrei gentilmente bisogno di un aiuto nella comprensione di questo argomento. La domanda è: che cos'è un campo vettoriale? Fatta qualche ricerca sul web, da wiki scopro che
"Wikipedia ha detto":
In matematica un campo vettoriale su uno spazio euclideo è una costruzione del calcolo vettoriale che associa a ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso.
E fin qui, ok no problem.
Ma come faccio a disegnarlo? Se poi volessi utilizzare il software Mathematica cosa devo scrivere all'interno di
PlotVectorField[{$f_x, f_y$},{$x, x_(min), x_(max)$},{$y,y_(min), y_(max)$}]
Che cosa sono $f_x$ e $f_y$?
Nella speranza di non avervi disturbato, vi ringrazio come al solito per il vostro determinante aiuto.
Grazie,
Paolo
Risposte
Se $f$ va da $\RR^2$ in $\RR^2$ $f_x$ e $f_y$ saranno le due componenti del campo immagino. Per visualizzare un campo vettoriale di solito si identificano dominio e codominio con la sola accortezza di pensare il dominio come insieme di punti e il codominio come insieme di vettori.
"Luca.Lussardi":
Se $f$ va da $\RR^2$ in $\RR^2$ $f_x$ e $f_y$ saranno le due componenti del campo immagino. Per visualizzare un campo vettoriale di solito si identificano dominio e codominio con la sola accortezza di pensare il dominio come insieme di punti e il codominio come insieme di vettori.
già, questo è quanto dice anche l'help di mathematica... ma potresti spiegarmi meglio cosa si intende per "componenti" di un campo vettoriale? Io sono fermo alle componenti di un vettore....
Grazie mille, Luca. Sei sempre molto gentile. Paolo
Un esempio: $f(x,y)=(2x+y,3y-e^x)$; allora $f_x(x,y)=2x+y$ e $f_y(x,y)=3y-e^x$. Le componenti sono sempre funzioni a valori scalari.
il campo è una funzione... questa funzione associa ad un punto un vettore... questo vettore ha delle componenti.
dire componenti del campo o del vettore è la stessa cosa...
dire componenti del campo o del vettore è la stessa cosa...
Non proprio la stessa cosa, diciamo che le componenti del campo sono le funzioni che mandano il punto nelle componenti del vettore immagine...
"Luca.Lussardi":
Un esempio: $f(x,y)=(2x+y,3y-e^x)$; allora $f_x(x,y)=2x+y$ e $f_y(x,y)=3y-e^x$. Le componenti sono sempre funzioni a valori scalari.
ok, eccomi di nuovo qua. Dunque, ciò che dici tu è chiaro. Chiedo solo un'ultima cosa: guardate qui:
http://mathworld.wolfram.com/VectorField.html
Potete dirmi come fa a tracciare i campi vettoriali? Cosa vuol dire, ad esempio, nel primo ${x,y}$? $x$ è la componente $x$ del campo (e quindi di ogni singolo vettore)? Scusatemi, forse è banale, ma proprio non ci arrivo...
GRAZIE MILLE,
Paolo
Sì, ${x,y}$ vuol dire il campo $f(x,y)=(x,y)$.
Ma allora come mai nel quarto ho ${-y,x}$? Cosa vuol dire che $-y$ è la componente $x$ del campo, da un punto di vista grafico? Scusa se rompo... thanks
P.S. Intendevo dire il quarto esempio sempre nella pagina web indicata sopra...
Vuol dire che al punto di coordinate $(x,y)$ devi appiccicare il vettore di componenti $(-y,x)$.
Ora inizio a capire.... e scusami ancora, ma dov'è il legame di queste cose spettacolari con le equazioni differenziali (sempre lì vado a finire.. mannaggia ) ?
Ancora thanks
) ?Ancora thanks
Il legame sta nel fatto che la ricerca di curve tracciate nel piano che in ogni punto siano tangenti al vettore del campo dato appiccicato in quel punto corrisponde alla risoluzione di un'equazione differenziale; la soluzione di tale equazione, se c'è, si dice anche che è una curva integrale del campo assegnato.
Incomincio a ricompattare le cose... ora lavoro un po' per vedere se ho capito e poi dopo ti faccio sapere i risultati. Grazie veramente, Luca.
GRAZIE GRAZIE
Paolo
GRAZIE GRAZIE
Paolo
Quindi, se ti chiedessi qual è il campo vettoriale associato all'equazione differenziale lineare $y'+y=x$ (che ammette come integrale generale $y=x-1+ce^-x$) tu cosa mi risponderesti?
Io ho iniziato un ragionamento: se ho $y'+y=x$, so che in ogni punto $(x_0,y_0)$ del piano la retta tangente alla curva avrà coefficiente angolare pari a
$y'+y=x$
$y'=x_0-y_0$
Quindi ho l'inclinazione dei tanti vettori che devo andare a disegnare. Ma come faccio a determinarne le componenti? Ho anche il modulo e devo giocare con trigonometria? O è tutto più semplice e io sono fuso e ho bisogno di una bella dormita?
Grazie ancora,
Paolo
Io ho iniziato un ragionamento: se ho $y'+y=x$, so che in ogni punto $(x_0,y_0)$ del piano la retta tangente alla curva avrà coefficiente angolare pari a
$y'+y=x$
$y'=x_0-y_0$
Quindi ho l'inclinazione dei tanti vettori che devo andare a disegnare. Ma come faccio a determinarne le componenti? Ho anche il modulo e devo giocare con trigonometria? O è tutto più semplice e io sono fuso e ho bisogno di una bella dormita?
Grazie ancora,
Paolo
Allora, ho dormito (poco, ma ho dormito) e ho avuto una giornata un po' movimentata.. però eccomi di nuovo qua... e non ho fatto grandi passi avanti... Could you help me, please? Thanks.
Pol
Pol
Dunque... procedendo in maniera moooolto empirica ( 
) ieri sera verso mezzanotte sono arrivato ad un risultato (non è granchè, ma mi ha dato lo stesso le sue soddisfazioni )... Partendo di nuovo dall'equazione proposta prima, vale a dire $y'+y=x$ l'ho scritta come $y'=x-y$ e quindi $(dy/dx)=x-y$. Il campo vettoriale $(1, x-y)$ è in qualche modo "associato" a questa equazione. Infatti, se lo si rappresenta su un piano cartesiano si vede che i vettori seguono la direzione (in ogni punto) della tangente alle infinite curve integrali dell'equazione (dico infinite perchè a partire dall'integrale generale, che è $y=x-1+ce^(-x)$, ottengo, assegnando differenti valori a $c$, curve diverse). Dirò ancora: in alcuni punti del piano i vettori sono allineati su una stessa direzione che è proprio la retta $y=x-1$ (integrale particolare ottenuto ponendo $c=0$).
Da ciò ho poi ricavato - ripeto solo in maniera empirica - una legge più generale: data l'equazione differenziale $y'=f(x,y)$ il campo vettoriale ad essa associato è $(1,f(x,y))$, vale a dire quello che ha componente $x$ costante uguale a 1, e componente $y=f(x,y)$.
Ora, mi dite perché??? Non mi basta sapere come ma, con spirito matematico, mi interrogo (e vi chiedo) anche il perchè di ciò che ho appena scritto.
Vi prego aiutatemi ad uscire dalla mia ignoranza ( )
Un grazie in anticipo
Pol
) ieri sera verso mezzanotte sono arrivato ad un risultato (non è granchè, ma mi ha dato lo stesso le sue soddisfazioni )... Partendo di nuovo dall'equazione proposta prima, vale a dire $y'+y=x$ l'ho scritta come $y'=x-y$ e quindi $(dy/dx)=x-y$. Il campo vettoriale $(1, x-y)$ è in qualche modo "associato" a questa equazione. Infatti, se lo si rappresenta su un piano cartesiano si vede che i vettori seguono la direzione (in ogni punto) della tangente alle infinite curve integrali dell'equazione (dico infinite perchè a partire dall'integrale generale, che è $y=x-1+ce^(-x)$, ottengo, assegnando differenti valori a $c$, curve diverse). Dirò ancora: in alcuni punti del piano i vettori sono allineati su una stessa direzione che è proprio la retta $y=x-1$ (integrale particolare ottenuto ponendo $c=0$). Da ciò ho poi ricavato - ripeto solo in maniera empirica - una legge più generale: data l'equazione differenziale $y'=f(x,y)$ il campo vettoriale ad essa associato è $(1,f(x,y))$, vale a dire quello che ha componente $x$ costante uguale a 1, e componente $y=f(x,y)$.
Ora, mi dite perché??? Non mi basta sapere come ma, con spirito matematico, mi interrogo (e vi chiedo) anche il perchè di ciò che ho appena scritto.
Vi prego aiutatemi ad uscire dalla mia ignoranza (
)Un grazie in anticipo
Pol
Considera una soluzione $y(x)$ dell'equazione differenziale $y'(x)=f(x,y)$.
A questa puoi associare una curva in $\RR^2$ utilizzando la parametrizzazione $x(t)=t,y(t)=y(x(t))$, dove il parametro $t$ varia nell'intervallo in cui è definita (oppure in cui vuoi restringere) la soluzione.
Il vettore tangente in ogni punto di questa curva è dato da $(x'(t),y'(t))=(1,f(x,y))$.
Puoi associare all'equazione differenziale un campo vettoriale formato dai vettori tangenti a questa curva.
Partendo da un certo punto di questo campo (che rappresenta la condizione iniziale del tuo problema) puoi seguire i vettori tangenti ottenendo una curva, che rappresenta proprio quella associata alla soluzione del problema date quelle condizioni iniziali.
Questo metodo ti permette di apprezzare il comportamento della soluzione anche se non è possibile risolvere esplicitamente l'equazione differenziale.
A questa puoi associare una curva in $\RR^2$ utilizzando la parametrizzazione $x(t)=t,y(t)=y(x(t))$, dove il parametro $t$ varia nell'intervallo in cui è definita (oppure in cui vuoi restringere) la soluzione.
Il vettore tangente in ogni punto di questa curva è dato da $(x'(t),y'(t))=(1,f(x,y))$.
Puoi associare all'equazione differenziale un campo vettoriale formato dai vettori tangenti a questa curva.
Partendo da un certo punto di questo campo (che rappresenta la condizione iniziale del tuo problema) puoi seguire i vettori tangenti ottenendo una curva, che rappresenta proprio quella associata alla soluzione del problema date quelle condizioni iniziali.
Questo metodo ti permette di apprezzare il comportamento della soluzione anche se non è possibile risolvere esplicitamente l'equazione differenziale.
ok, ora sto ricomponendo i pezzi...
Grazie per la risposta, Eredir
Paolo
Grazie per la risposta, Eredir
Paolo
Mi rendo conto che sta diventando quasi un'ossessione.. sono paranoico lo so (oltre che logorroico ). Ancora una domanda su questi benedetti campi vettoriali.
Eredir, è tutto perfettamente chiaro quello che mi hai spiegato tu. Mi sono divertito anche a "tornare indietro": mi inventavo un campo di componenti $(1, f(x,y))$ e mi risolvevo l'equazione differenziale "associata" $y'=f(x,y)$. Tutto chiaro fin qui.
Ma cosa succede se la componente rispetto a $x$ del campo non è $1$? Per esempio, qual è l'equazione differenziale "associabile" a $f(x,y)=(x,y)$ o $f(x,y)=(x-1,y+1)$ o ancora $f(x,y)=(sinx,cosy)$? Vi prego di perdonarmi se sono diventato pesante, ma la curiosità e la voglia di imparare sono davvero alte....
Vi ringrazio in anticipo...
Paolo
). Ancora una domanda su questi benedetti campi vettoriali. Eredir, è tutto perfettamente chiaro quello che mi hai spiegato tu. Mi sono divertito anche a "tornare indietro": mi inventavo un campo di componenti $(1, f(x,y))$ e mi risolvevo l'equazione differenziale "associata" $y'=f(x,y)$. Tutto chiaro fin qui.
Ma cosa succede se la componente rispetto a $x$ del campo non è $1$? Per esempio, qual è l'equazione differenziale "associabile" a $f(x,y)=(x,y)$ o $f(x,y)=(x-1,y+1)$ o ancora $f(x,y)=(sinx,cosy)$? Vi prego di perdonarmi se sono diventato pesante, ma la curiosità e la voglia di imparare sono davvero alte....
Vi ringrazio in anticipo...
Paolo
Provo a fare qualche ragionamento poichè sono davvero poco esperto di questo argomento.
Direi che possiamo riciclare l'idea di associare ad una curva un'equazione differenziale.
Intanto questa cosa certamente non si può fare per ogni campo vettoriale, poichè mentre ad ogni funzione puoi associare una parametrizzazione di una curva di $\RR^2$ non è vero il viceversa (basta pensare alla circonferenza).
Nel caso del campo vettoriale $f(x,y)=(x,y)$ vogliamo trovare una curva del tipo $x(t)=f(t),y(t)=g(t)$ che abbia come vettore tangente in ogni punto il vettore di componenti $(x,y)$.
Quindi risolviamo le due equazioni differenziali $x'(t)=x(t),y'(t)=y(t)$ ottenendo le soluzioni $x(t)=c_1e^t,y(t)=c_2e^t$.
Queste rappresentano la parametrizzazione di una retta il cui coefficiente angolare è determinato dalle condizioni iniziali.
Allora questo campo vettoriale è collegato ad un'equazione differenziale del tipo $y'(x)=c$, la cui soluzione è una funzione lineare.
Anche in questo caso semplice però non puoi collegare tutte le curve che ottieni alle soluzioni di quell'equazione differenziale. Ad esempio ottieni anche la curva che rappresenta la retta $x=0$, che non è una funzione della variabile indipendente $x$.
Quindi per ragioni di questo tipo non credo sia molto utile fare il collegamento con le equazioni differenziali per campi vettoriali generici.
Direi che possiamo riciclare l'idea di associare ad una curva un'equazione differenziale.
Intanto questa cosa certamente non si può fare per ogni campo vettoriale, poichè mentre ad ogni funzione puoi associare una parametrizzazione di una curva di $\RR^2$ non è vero il viceversa (basta pensare alla circonferenza).
Nel caso del campo vettoriale $f(x,y)=(x,y)$ vogliamo trovare una curva del tipo $x(t)=f(t),y(t)=g(t)$ che abbia come vettore tangente in ogni punto il vettore di componenti $(x,y)$.
Quindi risolviamo le due equazioni differenziali $x'(t)=x(t),y'(t)=y(t)$ ottenendo le soluzioni $x(t)=c_1e^t,y(t)=c_2e^t$.
Queste rappresentano la parametrizzazione di una retta il cui coefficiente angolare è determinato dalle condizioni iniziali.
Allora questo campo vettoriale è collegato ad un'equazione differenziale del tipo $y'(x)=c$, la cui soluzione è una funzione lineare.
Anche in questo caso semplice però non puoi collegare tutte le curve che ottieni alle soluzioni di quell'equazione differenziale. Ad esempio ottieni anche la curva che rappresenta la retta $x=0$, che non è una funzione della variabile indipendente $x$.
Quindi per ragioni di questo tipo non credo sia molto utile fare il collegamento con le equazioni differenziali per campi vettoriali generici.
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