Come risolvo un sistema di equazioni lineari di questo tipo?
Per quali valori del parametro reale r il seguente sistema di equazioni lineari ammette (1) una soluzione, (2) infinite soluzioni, (3) nessuna soluzione? Nel secondo e terzo caso determinare l'insieme di tutte le soluzioni
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
Vi ricordo che non conoscendo β ed ε , magari penso che si riferiscano ai due numeri che sono riuscito a ricavare da un esercizio precedente. Ad esempio β=1 e ε=2 (ma è solo una mia supposizione, non lo so in realtà)
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
Vi ricordo che non conoscendo β ed ε , magari penso che si riferiscano ai due numeri che sono riuscito a ricavare da un esercizio precedente. Ad esempio β=1 e ε=2 (ma è solo una mia supposizione, non lo so in realtà)
Risposte
Intanto scriverei il sistema in forma matriciale
hai provato ad applicare il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli?
$((r,r,1),(r,1,r),(1,r,r)) ((x),(y),(z))=((beta),(epsilon),(-beta-epsilon))$
hai provato ad applicare il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli?
Si però non capisco in base a cosa devo determinare se il sistema ha infinite soluzioni, 1 soluzione ecc.
Cioè in quali casi? Ad esempio devo considerare se il parametro r è minore o maggiore di quale numero?
Cioè in quali casi? Ad esempio devo considerare se il parametro r è minore o maggiore di quale numero?
Prova a ridurre la matrice completa con l'algoritmo di Guass-Jordan e osserva bene cosa esce fuori. 
E' indifferente il metodo di soluzione che uso? Visto che mi avete detto di risolverlo ognuno con metodi diversi?
Non so cosa ti abbiano suggerito, però la scelta del metodo risolutivo non inficia i risultati ottenuti.
Capisco. Diciamo che sembra stupido, ma più che altro ho trovato difficoltà nella traccia. Nel senso che alle superiori ero abituato a fare equazioni lineari con termini noti di tipo 2,4,6 . Mentre adesso mi ritrovo β ed ε. E quindi non so come si agisce su questi
La traccia? Per fare?
Non so sei hai capito, in pratica avevo dei dubbi riguardanti la traccia dell'esercizio che ho posto. Cioè dove ci sta =β e =ε ero abituato a vedere =2 o =3 ad esempio... e non lettere...
Non ho capito a cosa ti serva la traccia! 
Senza sapere la traccia dell'esercizio come lo risolvo? Questa è la traccia
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
Con "traccia" credevo intendessi
Allora, hai provato a usare l'algoritmo di Gauss-Jordan? Si: posta i risultati; No: prova a farlo.
Non hai mai ridotto un sistema lineare dipendente da un parametro libero $hin RR$?
$Tr((r,r,1),(r,1,r),(1,r,r)) =r+1+r$
Allora, hai provato a usare l'algoritmo di Gauss-Jordan? Si: posta i risultati; No: prova a farlo.
Non hai mai ridotto un sistema lineare dipendente da un parametro libero $hin RR$?
Gauss funziona sempre ma in questo caso è meglio partire dal determinante che è pari a zero per $r=1$ e $r=-1/2$.
Riesci a proseguire da qui?
Il fatto che i termini noti siano delle lettere piuttosto che numeri non ha alcuna importanza ...
Riesci a proseguire da qui?
Il fatto che i termini noti siano delle lettere piuttosto che numeri non ha alcuna importanza ...
In genere ero abituato a usare il metodo di Sarrus/Cramer per matrici 3x3, ecco perchè parlo del problema delle lettere. Dato che come dico io poi i termini noti devo usarli anche per andarli a moltiplicare nelle svolgimento risolutivo delle matrici.
Non hai mai letto scritture del tipo
$2a$ oppure $5x$ 
Non capisco perché ti fai tutti 'sti problemi: non hai mai risolto equazioni/disequazioni con parametri e relative discussioni al biennio delle superiori?
Nel calcolo del determinante "entra" solo $r$ e nel calcolo delle soluzioni puoi benissimo evitare di usare Cramer ma solo la riduzione di Gauss; però vorrei farti notare che prima di tutto non devi mai perdere di vista la richiesta che in questa caso NON è la risoluzione del sistema ma capire se ha "una, nessuna o centomila" (cit.
) soluzioni in funzione del valore di $r$
E poi mostraci qualcosa che almeno si parla un po' più in concreto ...
Nel calcolo del determinante "entra" solo $r$ e nel calcolo delle soluzioni puoi benissimo evitare di usare Cramer ma solo la riduzione di Gauss; però vorrei farti notare che prima di tutto non devi mai perdere di vista la richiesta che in questa caso NON è la risoluzione del sistema ma capire se ha "una, nessuna o centomila" (cit.
) soluzioni in funzione del valore di $r$E poi mostraci qualcosa che almeno si parla un po' più in concreto ...
"Magma":
Non hai mai letto scritture del tipo
$2a$ oppure $5x$
No il problema era solo per β ed ε e non rx o ry.
Axpgn... direi che ci hai preso in pieno... Ho sbagliato proprio nel leggere la traccia.
Quindi in sostanza dovrei utilizzare la riduzione di Guass per calcolarmi il determinante?
Quindi in sostanza dovrei utilizzare la riduzione di Guass per calcolarmi il determinante?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il calcolo del determinante non c'entra con la riduzione secondo Gauss ...
- puoi ridurre la matrice con le mosse di Gauss per arrivare alla soluzione del sistema e poi discuterla in funzione di $r$
oppure
- calcolare il determinante e discuterlo in funzione di $r$ per stabilire quante soluzioni esistano (può essere necessario ridurre poi la matrice ma sarebbero conti comunque molto più semplici)
In questo caso la strada più semplice mi sembra la seconda ... quindi calcola il determinante con Sarrus e ci fai vedere cosa ti risulta ...
Data una applicazione $L:V->W$ che sia lineare tra spazi di dimensione finita.
Dato $w_0 inW$ e l’insieme $S={v inV:L(v)=w_0}$ allora l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme
dove $v_0$ è una soluzione particolare ovvero $L(v_0)=w_0$.
se $w_0=0$ non abbiamo molto da mostrare, basta calcolare il nucleo.
se $w_0ne0$ allora continuiamo come segue
Questo cosa dice? che se esiste una soluzione di $L(u)=w_0$ allora tutte e sole le soluzioni di questa equazione sono ottenute sommando a una soluzione $v_0$ particolare tutti un qualsiasi vettore del nucleo.
è chiaro che non ha senso parlare di $dim(v_0+Ker(L))=dim(S)$ poichè non sono spazi vettoriali
Però è anche vero che 'parte dell'insieme delle soluzioni' è costituito da nucleo che è uno spazio vettoriale.
Possiamo però parlare di 'soluzioni' indipendenti(nel senso di indipendenza lineare). Molto spesso troviamo che l'equazione ha $infty^(n-r)$ soluzioni che poi sarebbe $infty^(dimKer(L))$
il motivo è che se prendessimo una base del nucleo $B={u_1,...,u_m}$ allora considerando due soluzioni
$v_0+sum_(k=1)^(m)a_ku_k=v_0+sum_(k=1)^(m)b_ku_k => sum_(k=0)^(m)(a_k-b_k)u_k=0$
da cui per indipendenza lineare dei vettori della base sarà $a_k=b_k,forallk=1,...,m$
Questo, che è abbastanza ovvio, significa che combinazioni distinte di vettori della base di $Ker(L)$ danno vita a soluzioni distinte dell'equazione.
E' anche vero però che $v_0+Ker(L)$ è uno spazio affine avente giacitura $Ker(L)$ e dalla geometria affine sappiamo che la definizione di $dim(v_0+Ker(L))$ è data ed è precisamente la dimensione della giacitura quindi avremo
quanto ti ho detto quì serve poichè una equazione matriciale del tipo $A*X=Y$ puoi vederla come una applicazione lineare $L:K^n->K^m$ con matrice rappresentativa $A$ ponendo $L(X)=A*X$ e cercando le soluzioni della equazione $L(X)=Y$ e quindi potendo applicare questo ragionamento
Quindi 'l'algoritmo' per risolvere questi problemi potrebbe essere questo.
step 1. l'equazioni ammette soluzioni?
step 2.1. si allora avremo $dimKer(L)$ soluzioni indipendenti
step 2.2. no allora abbiamo finito.
è chiaro quindi che il problema si trasforma nella ricerca di una condizione necessaria e sufficiente affinché esista almeno una soluzione di una equazione del tipo $A*X=Y$
Questa condizione esiste sotto forma di un teorema ossia quello di Rouchè-Capelli che dice
una equazione $AX=Y$ ammette almeno una soluzione se e solo se $Y$ appartiene al sistema generato dalle colonne di $A$
per questo teorema di basta ricordare che $AX=sum_(k=1)^(m)x_kA_(k)$
nel tuo caso avrai che $|(r,r,1),(r,1,r),(1,r,r)|=3r^2-2r^3-1=(r-1)(r+1/2)^2$
dunque per $rne1,-1/2$ avrai sicuramente la compatibilità no? visto che sicuramente la matrice $A$ ha rango $3$ e se gli aggiungi una colonna il rango continua a rimanere $3$ e pertanto avrai che il nucleo avrà dimensione $0$ ed esisterà un'unica soluzione.
invece per $r=1,-1/2$ bisogna calcolare il rango della matrice incompleta, della incompleta e trarne le dovute conclusioni.
Penso basti per gli anni a seguire
EDIT: su quanto suggerito da Alex.
Dato $w_0 inW$ e l’insieme $S={v inV:L(v)=w_0}$ allora l’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme
$v_0+Ker(L)={v_0+v inV:v inKer(L)}$
dove $v_0$ è una soluzione particolare ovvero $L(v_0)=w_0$.
se $w_0=0$ non abbiamo molto da mostrare, basta calcolare il nucleo.
se $w_0ne0$ allora continuiamo come segue
1) $forallu in v_0+Ker(L)(L(u)=L(v_0+v)=L(v_0)+L(v)=w_0+0=w_0)$
2) $forall u in S(L(u-v_0)=L(u)-L(v_0)=w_0-w_0=0$
quindi $u-v_0 in Ker(L) => u=v_0+v, v in Ker(L)$ ossia $u in v_0+Ker(L)$
2) $forall u in S(L(u-v_0)=L(u)-L(v_0)=w_0-w_0=0$
quindi $u-v_0 in Ker(L) => u=v_0+v, v in Ker(L)$ ossia $u in v_0+Ker(L)$
Questo cosa dice? che se esiste una soluzione di $L(u)=w_0$ allora tutte e sole le soluzioni di questa equazione sono ottenute sommando a una soluzione $v_0$ particolare tutti un qualsiasi vettore del nucleo.
è chiaro che non ha senso parlare di $dim(v_0+Ker(L))=dim(S)$ poichè non sono spazi vettoriali
Però è anche vero che 'parte dell'insieme delle soluzioni' è costituito da nucleo che è uno spazio vettoriale.
Possiamo però parlare di 'soluzioni' indipendenti(nel senso di indipendenza lineare). Molto spesso troviamo che l'equazione ha $infty^(n-r)$ soluzioni che poi sarebbe $infty^(dimKer(L))$
il motivo è che se prendessimo una base del nucleo $B={u_1,...,u_m}$ allora considerando due soluzioni
$v_0+sum_(k=1)^(m)a_ku_k=v_0+sum_(k=1)^(m)b_ku_k => sum_(k=0)^(m)(a_k-b_k)u_k=0$
da cui per indipendenza lineare dei vettori della base sarà $a_k=b_k,forallk=1,...,m$
Questo, che è abbastanza ovvio, significa che combinazioni distinte di vettori della base di $Ker(L)$ danno vita a soluzioni distinte dell'equazione.
E' anche vero però che $v_0+Ker(L)$ è uno spazio affine avente giacitura $Ker(L)$ e dalla geometria affine sappiamo che la definizione di $dim(v_0+Ker(L))$ è data ed è precisamente la dimensione della giacitura quindi avremo
$dim(v_0+Ker(L))=dimKer(L)$
quanto ti ho detto quì serve poichè una equazione matriciale del tipo $A*X=Y$ puoi vederla come una applicazione lineare $L:K^n->K^m$ con matrice rappresentativa $A$ ponendo $L(X)=A*X$ e cercando le soluzioni della equazione $L(X)=Y$ e quindi potendo applicare questo ragionamento
Quindi 'l'algoritmo' per risolvere questi problemi potrebbe essere questo.
step 1. l'equazioni ammette soluzioni?
step 2.1. si allora avremo $dimKer(L)$ soluzioni indipendenti
step 2.2. no allora abbiamo finito.
è chiaro quindi che il problema si trasforma nella ricerca di una condizione necessaria e sufficiente affinché esista almeno una soluzione di una equazione del tipo $A*X=Y$
Questa condizione esiste sotto forma di un teorema ossia quello di Rouchè-Capelli che dice
una equazione $AX=Y$ ammette almeno una soluzione se e solo se $Y$ appartiene al sistema generato dalle colonne di $A$
per questo teorema di basta ricordare che $AX=sum_(k=1)^(m)x_kA_(k)$
nel tuo caso avrai che $|(r,r,1),(r,1,r),(1,r,r)|=3r^2-2r^3-1=(r-1)(r+1/2)^2$
dunque per $rne1,-1/2$ avrai sicuramente la compatibilità no? visto che sicuramente la matrice $A$ ha rango $3$ e se gli aggiungi una colonna il rango continua a rimanere $3$ e pertanto avrai che il nucleo avrà dimensione $0$ ed esisterà un'unica soluzione.
invece per $r=1,-1/2$ bisogna calcolare il rango della matrice incompleta, della incompleta e trarne le dovute conclusioni.
Penso basti per gli anni a seguire
EDIT: su quanto suggerito da Alex.
Ragazzi il problema non è il fatto di trovarmi con un risultato esatto o meno. Sto cercando di capire un po i passaggi da fare.
Il prof ha anche risolto l'esercizio, ma non riesco a interpretarlo perché alle superiori non ricordo di certo di essere arrivato così lontano su questo argomento, anche perché facevo un commerciale e non uno scientifico.
Il prof ha anche risolto l'esercizio, ma non riesco a interpretarlo perché alle superiori non ricordo di certo di essere arrivato così lontano su questo argomento, anche perché facevo un commerciale e non uno scientifico.
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