Come risolvo un sistema di equazioni lineari di questo tipo?
Per quali valori del parametro reale r il seguente sistema di equazioni lineari ammette (1) una soluzione, (2) infinite soluzioni, (3) nessuna soluzione? Nel secondo e terzo caso determinare l'insieme di tutte le soluzioni
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
Vi ricordo che non conoscendo β ed ε , magari penso che si riferiscano ai due numeri che sono riuscito a ricavare da un esercizio precedente. Ad esempio β=1 e ε=2 (ma è solo una mia supposizione, non lo so in realtà)
rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε
Vi ricordo che non conoscendo β ed ε , magari penso che si riferiscano ai due numeri che sono riuscito a ricavare da un esercizio precedente. Ad esempio β=1 e ε=2 (ma è solo una mia supposizione, non lo so in realtà)
Risposte
te li ho scritti...
"anto_zoolander":
Quindi 'l'algoritmo' per risolvere questi problemi potrebbe essere questo.
step 1. l'equazioni ammette soluzioni?
step 2.1. si allora avremo $dimKer(L)$ soluzioni indipendenti
step 2.2. no allora abbiamo finito.
è chiaro quindi che il problema si trasforma nella ricerca di una condizione necessaria e sufficiente affinché esista almeno una soluzione di una equazione del tipo $A⋅X=Y$
Questa condizione esiste sotto forma di un teorema ossia quello di Rouchè-Capelli che dice
una equazione $AX=Y$ ammette almeno una soluzione se e solo se Y appartiene al sistema generato dalle colonne di $A$
Sisi tranquillo. Avevo risposto qualche secondo dopo la tua risposta e quindi non avevo visto la domanda.Grazie mille
@anto
Hai scritto troppo e così hai sbagliato il finale (l'unica cosa che ho capito e l'unica che interessava all'OP ...
)
Sei proprio sicuro che $((1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1))$ e $((-1/2, -1/2, 1),(-1/2, 1, -1/2),(1, -1/2, -1/2))$ abbiano rango $3$?
È vero il contrario di quello che hai scritto: per $r!=1 ^^ r!=-1/2$ la soluzione esiste sempre ed è unica; in caso contrario si continua ad indagare ...
Cordialmente, Alex
Hai scritto troppo e così hai sbagliato il finale (l'unica cosa che ho capito e l'unica che interessava all'OP ...
)Sei proprio sicuro che $((1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1))$ e $((-1/2, -1/2, 1),(-1/2, 1, -1/2),(1, -1/2, -1/2))$ abbiano rango $3$?
È vero il contrario di quello che hai scritto: per $r!=1 ^^ r!=-1/2$ la soluzione esiste sempre ed è unica; in caso contrario si continua ad indagare ...
Cordialmente, Alex
Mi permetto di dire ‘errore di battitura’. Un errore dovevo farlo per forza 
Non occorre fare grandi calcoli ma una riflessione.
Questo sistema ha una o infinite soluzioni se (beta, epsilon, -beta-epsilon) appartiene allo spazio delle colonne (=kernel=immagine=nucleo=come preferisci chiamarlo).
E' una matrice quadrata, ergo se ha rango massimo (=3) allora non esiste uno spazio nullo, ne di conseguenza uno spazio nullo sinistro (=spazio nullo delle colonne) perchè anche le righe saranno indipendenti (in altre parole anche la trasposta ha rango massimo=3). Se ci troviamo in questa situazione, allora l'immagine corrisponde all'intero R3, ergo esisterà per forza una combinazione lineare x,y,z delle colonne che genererà anche il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) e sarà unica.
Se invece la matrice è singolare, allora (sempre perchè è una matrice quadrata) avrà rango 1 o 2 ergo lo spazio delle colonne avrà dimensione 1 o 2 ed esisterà uno spazio nullo sinistro di dimensione 2 o 1.
Quindi se la matrice è singolare si possono dare due casi.
A) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) è una combinazione lineare dello spazio delle colonne e quindi anche di tutte le combinazioni lineari della soluzione particolare + le omogenee (=il sistema ha infinite soluzioni)
B) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) non sta nello spazio delle colonne, ergo sta nello spazio nullo sinistro (=il sistema ha zero soluzioni).
Per quanto riguarda la soluzione del problema in se, basta calcolare il determinante. Per r=1 e r=-1/2 il determinante è zero, ergo la matrice è singolare.
La matrice è non singolare per r diverso da 1 e da -1/2, ergo,come detto sopra, in questi casi il sistema in discussione ha sempre una e una sola soluzione.
La matrice ha rango 1 nel caso in cui r=1, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione del vettore c*(1,1,1). E chiaramente non lo è. Ergo ha zero soluzioni (caso B)
La matrice ha rango 2 nel caso in cui r=-1/2, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione delle prime due colonne. Oppure, visto che il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) lo dice espressamente se la somma delle prime due righe (moltiplicate entrambe per -1) da la terza. Ed è questo il caso, ergo il sistema ha infinite soluzioni (caso A)
Questo sistema ha una o infinite soluzioni se (beta, epsilon, -beta-epsilon) appartiene allo spazio delle colonne (=kernel=immagine=nucleo=come preferisci chiamarlo).
E' una matrice quadrata, ergo se ha rango massimo (=3) allora non esiste uno spazio nullo, ne di conseguenza uno spazio nullo sinistro (=spazio nullo delle colonne) perchè anche le righe saranno indipendenti (in altre parole anche la trasposta ha rango massimo=3). Se ci troviamo in questa situazione, allora l'immagine corrisponde all'intero R3, ergo esisterà per forza una combinazione lineare x,y,z delle colonne che genererà anche il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) e sarà unica.
Se invece la matrice è singolare, allora (sempre perchè è una matrice quadrata) avrà rango 1 o 2 ergo lo spazio delle colonne avrà dimensione 1 o 2 ed esisterà uno spazio nullo sinistro di dimensione 2 o 1.
Quindi se la matrice è singolare si possono dare due casi.
A) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) è una combinazione lineare dello spazio delle colonne e quindi anche di tutte le combinazioni lineari della soluzione particolare + le omogenee (=il sistema ha infinite soluzioni)
B) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) non sta nello spazio delle colonne, ergo sta nello spazio nullo sinistro (=il sistema ha zero soluzioni).
Per quanto riguarda la soluzione del problema in se, basta calcolare il determinante. Per r=1 e r=-1/2 il determinante è zero, ergo la matrice è singolare.
La matrice è non singolare per r diverso da 1 e da -1/2, ergo,come detto sopra, in questi casi il sistema in discussione ha sempre una e una sola soluzione.
La matrice ha rango 1 nel caso in cui r=1, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione del vettore c*(1,1,1). E chiaramente non lo è. Ergo ha zero soluzioni (caso B)
La matrice ha rango 2 nel caso in cui r=-1/2, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione delle prime due colonne. Oppure, visto che il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) lo dice espressamente se la somma delle prime due righe (moltiplicate entrambe per -1) da la terza. Ed è questo il caso, ergo il sistema ha infinite soluzioni (caso A)
"Bokonon":
La matrice ha rango 1 nel caso in cui r=1, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione del vettore c*(1,1,1). E chiaramente non lo è. Ergo ha zero soluzioni (caso B)
Non è esatto: nel caso in cui sia $beta$ che $epsilon$ fossero entrambi nulli (non lo sappiamo ma non è esplicitamente escluso) avremmo infinite soluzioni.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non è esatto: nel caso in cui sia $beta$ che $epsilon$ fossero entrambi nulli (non lo sappiamo ma non è esplicitamente escluso) avremmo infinite soluzioni.
Cordialmente, Alex
Verissimo ma sarebbe diabolico dare un problema ammettendo anche la soluzione omogenea!
"Bokonon":
Verissimo ma sarebbe diabolico dare un problema ammettendo anche la soluzione omogenea!
Perché andrebbe esclusa?
"Bokonon":
appartiene allo spazio delle colonne (=kernel=immagine=nucleo=come preferisci chiamarlo).
Da quando l’immagine coincide con il nucleo?
"anto_zoolander":
Da quando l’immagine coincide con il nucleo?
Sono vecchia scuola, per me esistono solo spazio delle colonne, spazio delle righe e spazi nulli (che secondo me rendono bene l'idea).
Spulciando velocemente il forum, ho visto diversi nomi quasi esoterici per i medesimi concetti. Immagino di aver male interpretato il "nucleo". E' lo spazio nullo?
Lo spazio colonna per un omomorfismo lineare coincide con lo spazio immagine
Lo spazio nullo sarebbe il nucleo di un omomorfismo lineare
Lo spazio nullo sarebbe il nucleo di un omomorfismo lineare
"anto_zoolander":
Lo spazio colonna per un omomorfismo lineare coincide con lo spazio immagine
Lo spazio nullo sarebbe il nucleo di un omomorfismo lineare
E anche il kernel è sempre lo spazio nullo a quanto ho appena visto.
Ho trovato e pure risposto al post che aveva un titolo che mi ha indotto in errore
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