Come risolvo un sistema di equazioni lineari di questo tipo?

anonimo201
Per quali valori del parametro reale r il seguente sistema di equazioni lineari ammette (1) una soluzione, (2) infinite soluzioni, (3) nessuna soluzione? Nel secondo e terzo caso determinare l'insieme di tutte le soluzioni

rx + ry + z = β
rx + y + rz = ε
x + ry + rz = -β -ε

Vi ricordo che non conoscendo β ed ε , magari penso che si riferiscano ai due numeri che sono riuscito a ricavare da un esercizio precedente. Ad esempio β=1 e ε=2 (ma è solo una mia supposizione, non lo so in realtà)

Risposte
anto_zoolander
te li ho scritti...

"anto_zoolander":
Quindi 'l'algoritmo' per risolvere questi problemi potrebbe essere questo.

step 1. l'equazioni ammette soluzioni?

step 2.1. si allora avremo $dimKer(L)$ soluzioni indipendenti

step 2.2. no allora abbiamo finito.

è chiaro quindi che il problema si trasforma nella ricerca di una condizione necessaria e sufficiente affinché esista almeno una soluzione di una equazione del tipo $A⋅X=Y$
Questa condizione esiste sotto forma di un teorema ossia quello di Rouchè-Capelli che dice

una equazione $AX=Y$ ammette almeno una soluzione se e solo se Y appartiene al sistema generato dalle colonne di $A$

anonimo201
:wink: Sisi tranquillo. Avevo risposto qualche secondo dopo la tua risposta e quindi non avevo visto la domanda.
Grazie mille

axpgn
@anto
Hai scritto troppo e così hai sbagliato il finale (l'unica cosa che ho capito e l'unica che interessava all'OP ... :lol: :lol: )

Sei proprio sicuro che $((1, 1, 1),(1, 1, 1),(1, 1, 1))$ e $((-1/2, -1/2, 1),(-1/2, 1, -1/2),(1, -1/2, -1/2))$ abbiano rango $3$?
È vero il contrario di quello che hai scritto: per $r!=1 ^^ r!=-1/2$ la soluzione esiste sempre ed è unica; in caso contrario si continua ad indagare ... :wink:

Cordialmente, Alex

anto_zoolander
Mi permetto di dire ‘errore di battitura’. Un errore dovevo farlo per forza :-D

Bokonon
Non occorre fare grandi calcoli ma una riflessione.
Questo sistema ha una o infinite soluzioni se (beta, epsilon, -beta-epsilon) appartiene allo spazio delle colonne (=kernel=immagine=nucleo=come preferisci chiamarlo).

E' una matrice quadrata, ergo se ha rango massimo (=3) allora non esiste uno spazio nullo, ne di conseguenza uno spazio nullo sinistro (=spazio nullo delle colonne) perchè anche le righe saranno indipendenti (in altre parole anche la trasposta ha rango massimo=3). Se ci troviamo in questa situazione, allora l'immagine corrisponde all'intero R3, ergo esisterà per forza una combinazione lineare x,y,z delle colonne che genererà anche il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) e sarà unica.

Se invece la matrice è singolare, allora (sempre perchè è una matrice quadrata) avrà rango 1 o 2 ergo lo spazio delle colonne avrà dimensione 1 o 2 ed esisterà uno spazio nullo sinistro di dimensione 2 o 1.
Quindi se la matrice è singolare si possono dare due casi.
A) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) è una combinazione lineare dello spazio delle colonne e quindi anche di tutte le combinazioni lineari della soluzione particolare + le omogenee (=il sistema ha infinite soluzioni)
B) il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) non sta nello spazio delle colonne, ergo sta nello spazio nullo sinistro (=il sistema ha zero soluzioni).

Per quanto riguarda la soluzione del problema in se, basta calcolare il determinante. Per r=1 e r=-1/2 il determinante è zero, ergo la matrice è singolare.
La matrice è non singolare per r diverso da 1 e da -1/2, ergo,come detto sopra, in questi casi il sistema in discussione ha sempre una e una sola soluzione.
La matrice ha rango 1 nel caso in cui r=1, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione del vettore c*(1,1,1). E chiaramente non lo è. Ergo ha zero soluzioni (caso B)
La matrice ha rango 2 nel caso in cui r=-1/2, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione delle prime due colonne. Oppure, visto che il vettore (beta, epsilon, -beta-epsilon) lo dice espressamente se la somma delle prime due righe (moltiplicate entrambe per -1) da la terza. Ed è questo il caso, ergo il sistema ha infinite soluzioni (caso A)

axpgn
"Bokonon":
La matrice ha rango 1 nel caso in cui r=1, ergo avrebbe infinite soluzioni solo e solo se (beta, epsilon, -beta-epsilon) fosse una combinazione del vettore c*(1,1,1). E chiaramente non lo è. Ergo ha zero soluzioni (caso B)

Non è esatto: nel caso in cui sia $beta$ che $epsilon$ fossero entrambi nulli (non lo sappiamo ma non è esplicitamente escluso) avremmo infinite soluzioni. :wink:

Cordialmente, Alex

Bokonon
"axpgn":

Non è esatto: nel caso in cui sia $beta$ che $epsilon$ fossero entrambi nulli (non lo sappiamo ma non è esplicitamente escluso) avremmo infinite soluzioni. :wink:

Cordialmente, Alex

Verissimo ma sarebbe diabolico dare un problema ammettendo anche la soluzione omogenea!

Magma1
"Bokonon":

Verissimo ma sarebbe diabolico dare un problema ammettendo anche la soluzione omogenea!

Perché andrebbe esclusa? :-k

anto_zoolander
"Bokonon":
appartiene allo spazio delle colonne (=kernel=immagine=nucleo=come preferisci chiamarlo).

Da quando l’immagine coincide con il nucleo?

Bokonon
"anto_zoolander":
Da quando l’immagine coincide con il nucleo?

Sono vecchia scuola, per me esistono solo spazio delle colonne, spazio delle righe e spazi nulli (che secondo me rendono bene l'idea).
Spulciando velocemente il forum, ho visto diversi nomi quasi esoterici per i medesimi concetti. Immagino di aver male interpretato il "nucleo". E' lo spazio nullo?

anto_zoolander
Lo spazio colonna per un omomorfismo lineare coincide con lo spazio immagine
Lo spazio nullo sarebbe il nucleo di un omomorfismo lineare

Bokonon
"anto_zoolander":
Lo spazio colonna per un omomorfismo lineare coincide con lo spazio immagine
Lo spazio nullo sarebbe il nucleo di un omomorfismo lineare

E anche il kernel è sempre lo spazio nullo a quanto ho appena visto.
Ho trovato e pure risposto al post che aveva un titolo che mi ha indotto in errore :)

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