Circonferenza
Salve ragazzi.
ho un problemino mi è stato dato un sistema dove la prima equazione è una sfera ed il secondo è un piano mi richiede di calcolare il centro ed il raggio dell cerchio frutto dell'intersezione tra il piano e la sfera messi a sistema ... come dovrei procedere ?
ho un problemino mi è stato dato un sistema dove la prima equazione è una sfera ed il secondo è un piano mi richiede di calcolare il centro ed il raggio dell cerchio frutto dell'intersezione tra il piano e la sfera messi a sistema ... come dovrei procedere ?
Risposte
Beh... risolvi il sistema! 
Prova a postare le equazioni che vediamo.
Prova a postare le equazioni che vediamo.
e si l'ho fatto ma mi esce una circonferenza di 2x^2 + y^2 +6x +2y +4 = 0 i termini di secondo grado non dovrebbero avere gli stessi coefficenti per essere una circonferenza ?
Dovresti postare l'equazione della sfera e del piano, così controlliamo tutto dall'inizio.
ok allora questa è la sfera x^2+y^2+z^2+4x+2y-1 = 0 questo è il piano x-z+1=0 e sono messi a sistema...
"3Caos0":
ok allora questa è la sfera x^2+y^2+z^2+4x+2y-1 = 0 questo è il piano x-z+1=0 e sono messi a sistema...
Ok, il calcolo che hai fatto è giusto. Se non sbaglio la curva "sembra" un'ellisse per questioni di proiezione. A questo punto ti conviene trovare la distanza del piano dal centro della sfera e ragionare sul triangolo rettangolo formato da questa distanza, dal raggio della sfera e dal raggio della circonferenza-intersezione.
quindi mi stai dicendo che dopo aver risolto il sistema classifico la curva che ne deriva così saprò dire se si tratta di iperbole,ellisse,parabola o un'intersezione trà due rette così potro trovarmi tutti i valori che voglio ?
"3Caos0":
quindi mi stai dicendo che dopo aver risolto il sistema classifico la curva che ne deriva così saprò dire se si tratta di iperbole,ellisse,parabola o un'intersezione trà due rette così potro trovarmi tutti i valori che voglio ?
Ehm veramente no... Ti sto dicendo che in questo caso il sistema non ci porta da nessuna parte perchè l'equazione non è quella di una circonferenza (per questioni di proiezione) mentre sappiamo che la curva sarà una circonferenza. Quindi la strada da seguire è un'altra, cioè quella del triangolo rettangolo...
allora scusa ho capito che vuoi dire !!! io prima rispondo e poi ragiono ahahah XD
ti faccio vedere il mio ragionamento che poi è quello che mi hai ft capire tu :
in primis ho trovato centro e raggio della sfera secondo le rispettive formule e mi è uscito Cs ( -2 -1 0 ) rs = radical 28
dopo di che ho trovato la distanza ortogonale tra il centro della sfera Cs ed il piano e mi è uscito -1/rad 2
poi grazie a pitagora avendo l'ipotenusa (raggio sfera ) ed il cateto maggiore ( distanza punto piano ) ho trovato il cateto minore che sarebbe il raggio del cerchio ( rc ) e mi è uscito rad56/2 (tutto sotto radice)
poi per trovarmi il centro di tale circonferenza ho trovato una retta ortogonale al piano per Cs e sarebbe x + z + 2 = 0
ho fatto l'intersezione di questa retta con il piano (mettendoli a sistema) e trovo così il centro della circonferenza ( Cc ) che mi esce ( -3/2 0 1/2 )
giusto ?
p.s. scusa non so ancora scrivere tramite formule
ti faccio vedere il mio ragionamento che poi è quello che mi hai ft capire tu :
in primis ho trovato centro e raggio della sfera secondo le rispettive formule e mi è uscito Cs ( -2 -1 0 ) rs = radical 28
dopo di che ho trovato la distanza ortogonale tra il centro della sfera Cs ed il piano e mi è uscito -1/rad 2
poi grazie a pitagora avendo l'ipotenusa (raggio sfera ) ed il cateto maggiore ( distanza punto piano ) ho trovato il cateto minore che sarebbe il raggio del cerchio ( rc ) e mi è uscito rad56/2 (tutto sotto radice)
poi per trovarmi il centro di tale circonferenza ho trovato una retta ortogonale al piano per Cs e sarebbe x + z + 2 = 0
ho fatto l'intersezione di questa retta con il piano (mettendoli a sistema) e trovo così il centro della circonferenza ( Cc ) che mi esce ( -3/2 0 1/2 )
giusto ?
p.s. scusa non so ancora scrivere tramite formule
"3Caos0":
Cs ( -2 -1 0 ) rs = radical 28
Non mi risulta il raggio. L'equazione della sfera è $x^2+y^2+z^2+4x+2y-1 = 0$. Per trovare centro e raggio utilizzo il completamento dei quadrati:$$
(x+2)^2-4+(y+1)^2-1+z^2-1=0 \Rightarrow (x+2)^2+(y+1)^2+z^2 = 6
$$Quindi il centro è $(-2, -1, 0)$ e il raggio è $\sqrt{6}$.
PS. Una distanza non può essere negativa!
ehhhh hai ragione gg non ci sto con la testa non mi riporta nessun calcolo !!! ho pure scoperto che la retta perpendicolare al piano non è perpendicolare -.- gentilmente puoi dare un'occhiata.
io ho messo l'eq del piano in forma parametrica trovando il vettore direttore parallelo e poi ho fatto lo scalare per un ipotetico vettore che passa per Cs ho sempre fatto così perchè adesso non mi esce ? :/
io ho messo l'eq del piano in forma parametrica trovando il vettore direttore parallelo e poi ho fatto lo scalare per un ipotetico vettore che passa per Cs ho sempre fatto così perchè adesso non mi esce ? :/
La cosa in realtà è più semplice: il vettore formato con i coefficienti di un piano è ortogonale al piano stesso, giusto? Quindi il vettore $(1, 0, -1)$ è ortogonale al piano $x-z+1=0$. Utilizziamo questo vettore come direttore della retta, quindi quest'ultima in forma parametrica sarà$$
r = \begin{pmatrix}
-2\\-1\\0
\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$ Posto il link al disegno (nel caso tu riesca a vederlo )
http://i49.tinypic.com/atreoi.jpg
r = \begin{pmatrix}
-2\\-1\\0
\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$ Posto il link al disegno (nel caso tu riesca a vederlo
)http://i49.tinypic.com/atreoi.jpg
EDIT
Questo è il disegno completo
Questo è il disegno completo
a me la retta in forma cartesiana esce x+z+2 = 0 quindi il mio calcolo è comunque giusto anche se all'apparenza è errato ok grazie infinitamente,oggi non è giornata !!!
cmq il disegno non si vede non fà nnt l'imp è che ho cpt
grazie ancora !!!
cmq il disegno non si vede non fà nnt l'imp è che ho cpt
grazie ancora !!!
"3Caos0":
a me la retta in forma cartesiana esce x+z+2 = 0
Questo è un piano. La retta è l'intersezione del piano che hai scritto con il piano $y=-1$.
"3Caos0":
cmq il disegno non si vede
Non capisco come mai, io lo vedo benissimo... mah
e si volevo dire il piano oggi non stò con la concentrazione giusta...
però scusa è giusto poi trovare il centro facendo l'intersez di x+z+2 = 0 e x-z+1 =0 ?
non saprei sarà per via della connessione lenta :/ boh !!!
però scusa è giusto poi trovare il centro facendo l'intersez di x+z+2 = 0 e x-z+1 =0 ?
non saprei sarà per via della connessione lenta :/ boh !!!
"3Caos0":
però scusa è giusto poi trovare il centro facendo l'intersez di x+z+2 = 0 e x-z+1 =0 ?
No, così stai facendo l'intersezione tra due piani (che se esiste è una retta) mentre tu devi fare l'intersezione tra un piano e una retta (due piani), cioè l'intersezione tra tre piani:$$
\begin{cases}
x+z+2=0\\y=-1\\x-z+1=0
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
x=-\frac{3}{2}\\y=-1\\z=-\frac{1}{2}
\end{cases}
$$Quindi il centro della circonferenza è $(-3/2, -1, -1/2)$.
Forse tu davi per scontato l'$y=-1$ ma è da scrivere...
ma scusa e l' y = -1 come lo hai trovato ( spiegamelo in linea generale così da utilizarlo in tutti i casi)
La retta perpendicolare al piano $x-z+1=0$ e passante per il centro della sfera era$$
\begin{cases}
x+z+2=0\\y=-1
\end{cases}
$$ ricavata dall'espressione parametrica che avevamo trovato prima. Era quello che dicevamo qui.
\begin{cases}
x+z+2=0\\y=-1
\end{cases}
$$ ricavata dall'espressione parametrica che avevamo trovato prima. Era quello che dicevamo qui.
hai ragione l'ho dato per scontato infatti il risultato esce apparte per la y perchè nello scalare la y se ne andava per via del vettore direttore del piano che aveva la y = 0 e nella fretta non avevo preso in considerazione che una retta è intersezione fra 2 piani non aggiungendo il parametro y = -1 che implica che la retta intersezione fra 2 piani passi per c !
A questo punto la distanza tra il centro della sfera e il piano è pari alla distanza tra $(-2, -1, 0)$ e $(-3/2, -1, -1/2)$ cioè$$
\sqrt{\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$Quindi il raggio della circonferenza è$$
\sqrt{6-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}
$$se non ho fatto errori di calcolo.
\sqrt{\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$Quindi il raggio della circonferenza è$$
\sqrt{6-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}
$$se non ho fatto errori di calcolo.
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