Calcolo di gruppi fondamentali
Salve a tutti, sto cercando di rispondere a queste due domande:
1) Siano $p_0,q_0 \in \mathbb{R^3}$ due distinti punti di $\mathbb{R^3}$.
Determinare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R^3}\setminus \{p_0,q_0\}$ motivando la risposta
$\mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}$ ammette una retrazione forte su $S^2$ quindi $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}) \cong \{0\}$
ma come faccio a calcolare $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\})$
2)Sia $p_0$ un punto e $r$ una retta di $\mathbb{R^3}$ Determinare il gruppo di $\mathbb{R^3} \setminus (r \cup \{p_0\})$
$\mathbb{R^3} \setminus {r}$ si retrae su un infinito cilindro il quale a sua volta si retrae su $S^1$ quindi il suo gruppo fondamentale è $mathbb{Z}$
Come faccio a determinare $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \ {r \cup p_0\})$
Grazie
1) Siano $p_0,q_0 \in \mathbb{R^3}$ due distinti punti di $\mathbb{R^3}$.
Determinare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R^3}\setminus \{p_0,q_0\}$ motivando la risposta
$\mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}$ ammette una retrazione forte su $S^2$ quindi $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}) \cong \{0\}$
ma come faccio a calcolare $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\})$
2)Sia $p_0$ un punto e $r$ una retta di $\mathbb{R^3}$ Determinare il gruppo di $\mathbb{R^3} \setminus (r \cup \{p_0\})$
$\mathbb{R^3} \setminus {r}$ si retrae su un infinito cilindro il quale a sua volta si retrae su $S^1$ quindi il suo gruppo fondamentale è $mathbb{Z}$
Come faccio a determinare $Pi(\mathbb{R^3} \setminus \ {r \cup p_0\})$
Grazie
Risposte
Questi esercizi si risolvono utilizzando il teorema di (Seifert-)Van Kampen. 
Per quanto riguarda il primo esercizio, ho provato a risolverlo così:
Sia $p_0=(0,0,1) q_0=(0,0,-1)$. Considero il ricoprimento di $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\}$ dato da $A= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z> -1/2 \}$ e $B= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z< 1/2\}$ $A$ e $B$ sono rispettivamente omeomorfi a $mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}$ e $\mathbb{R^3}\setminus \{q_0\}$, che sono semplicemente connessi. Inoltre $A \cap B$ è contraibile e connesso per archi.
Dal teorema di SVK segue che $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\}$ è semplicemente connesso
E' corretto? e per il secondo esercizio come posso fare?
Grazie
Sia $p_0=(0,0,1) q_0=(0,0,-1)$. Considero il ricoprimento di $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\}$ dato da $A= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z> -1/2 \}$ e $B= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R^3}: z< 1/2\}$ $A$ e $B$ sono rispettivamente omeomorfi a $mathbb{R^3} \setminus \{p_0\}$ e $\mathbb{R^3}\setminus \{q_0\}$, che sono semplicemente connessi. Inoltre $A \cap B$ è contraibile e connesso per archi.
Dal teorema di SVK segue che $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0,q_0\}$ è semplicemente connesso
E' corretto? e per il secondo esercizio come posso fare?
Grazie
Forse per il primo esercizio Van Kampen è un overkilling, dato che si vede "ad occhio" che quello spazio topologico è semplicemente connesso!
Il secondo esercizio si risolve esattamente alla stessa maniera: trova un ricoprimento finito ed aperto di quello spazio, in modo che tu possa applicare van Kampen.
Il secondo esercizio si risolve esattamente alla stessa maniera: trova un ricoprimento finito ed aperto di quello spazio, in modo che tu possa applicare van Kampen.
Grazie, ma non riesco a trovare un ricoprimento aperto per quello spazio. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Grazie
Scusa, se fissi \(\displaystyle p_0=(0,0,-1)\) ed \(\displaystyle r\equiv\begin{cases}x=0\\z=1\end{cases}\), basta prendere di nuovo \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) come prima; e...
"j18eos":
Scusa, se fissi \( \displaystyle p_0=(0,0,-1) \) ed \( \displaystyle r\equiv z=1 \), basta prendere di nuovo \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) come prima; e...
Scusami $r$ deve essere una retta perchè hai scritto \( \displaystyle r\equiv z=1 \) che è un piano?
Scusa, ho sbagliato a scrivere; ora ho corretto!
Ok, grazie. Ma prendendo $A$ e $B$ come prima arrivo alla stessa conclusione dell'esercizio precedente cioè che $\mathbb{R^3} \setminus \{r \cup p_0 \}$ è semplicemente connesso?
No, ti sbagli: pensa a un cappio attorno alla retta \(\displaystyle r\); questi non è contraibile a un punto.
L'esempio del cappio intorno alla retta mi è chiaro ma tornando all'esercizio come devo andare avanti utilizzando Van Kampen.
Grazie
Grazie
Ma che domanda è? 
Scusami era un'abbreviazione per indicare Seifert Van Kampen
Sì, l'avevo capito che SVK è un acronimo per Seifert-Van Kampen;
ma mi domando: hai trovato un ricoprimento aperto (e finito) di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\setminus\{P,r\}\), perché non sai applicare il teorema di SVK?
ma mi domando: hai trovato un ricoprimento aperto (e finito) di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\setminus\{P,r\}\), perché non sai applicare il teorema di SVK?
Il problema e che non riuscivo a trovare questo ricoprimento aperto e tu mi hai suggerito
Nel primo esercizio avevo detto che $A$ e $B$ sono rispettivamente omeomorfi a $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0 \}$ e $\mathbb{R^3} \setminus \{ q_0\}$ e quindi semplicemente connessi ma adesso...
"j18eos":
Scusa, se fissi \( \displaystyle p_0=(0,0,-1) \) ed \( \displaystyle r\equiv\begin{cases}x=0\\z=1\end{cases} \), basta prendere di nuovo \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) come prima; e...
Nel primo esercizio avevo detto che $A$ e $B$ sono rispettivamente omeomorfi a $\mathbb{R^3} \setminus \{p_0 \}$ e $\mathbb{R^3} \setminus \{ q_0\}$ e quindi semplicemente connessi ma adesso...
Dai su, che \(\displaystyle\pi_1(A)\) e \(\displaystyle\pi_1(A\cap B)\) li sai calcolare! 
Ci provo
$A \cap B$ è contraibile e quindi semplicemente connesso.
$\Pi_1(A) \cong \Pi_1(\mathbb{R^3} \setminus {r}) \cong \Pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$
$\Pi_1(B) \cong \Pi_1(\mathbb{R^3 \setminus {p_0}) \cong {0}$ Quindi applicando Van Kampen ho che $\Pi_1\(mathbb{R^3} \setminus {r \cup p_0}) \ cong \mathbb{Z}$
E' sbagliato?
$A \cap B$ è contraibile e quindi semplicemente connesso.
$\Pi_1(A) \cong \Pi_1(\mathbb{R^3} \setminus {r}) \cong \Pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$
$\Pi_1(B) \cong \Pi_1(\mathbb{R^3 \setminus {p_0}) \cong {0}$ Quindi applicando Van Kampen ho che $\Pi_1\(mathbb{R^3} \setminus {r \cup p_0}) \ cong \mathbb{Z}$
E' sbagliato?
"NRyoma":No, assolutamente!
...E' sbagliato?
Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto. Una cosa però non riesco a capire: perchè $A$ che è stato definito nella stessa maniera dell'esercizio 1 ha stesso gruppo fondamentale di $\mathbb{R^3} \setminus {r}$ mentre nell'esercizio 1 avevo detto che $A$ è semplicemente connesso?
"j18eos":
...pensa a un cappio attorno alla retta \(\displaystyle r\); questi non è contraibile a un punto.
L'esempio del cappio è chiaro e che $\mathbb{R^3} \setminus {r}$ ha stesso gruppo fondamnetale di $S^1$ anche. Ma $A$, che se non mi sbaglio è un semispazio perchè ha stesso gruppo fondamentale di $\mathbb{R^3} \ setminus {r}$?
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