Base in F7[x]
Buongiorno a tutti..
Ho un quesito:
devo trovare la base di alcuni sottospazi vettoriali un pò "insoliti": $W=_(F_7) sub F_7[x]$
Siccome ci sono le parentesi "<...>" questo vuol dire che lo spazio è generato da quei tre polinomi, giusto?
Quindi la base sarebbe $B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5}$ ??? E il fatto che sia in $F_7$ come posso farlo vedere?
Poi c'è quest'altro sottospazio $T={f | f(x)=0$ $ per $ $x notin {1,2,\pi} } sub V={f | f :RR \to RR}$. Per questo sottospazio non ho idea di quali possano essere le funzioni generatrici..
Anche solo un aiutino...
Ho un quesito:
devo trovare la base di alcuni sottospazi vettoriali un pò "insoliti": $W=
Siccome ci sono le parentesi "<...>" questo vuol dire che lo spazio è generato da quei tre polinomi, giusto?
Quindi la base sarebbe $B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5}$ ??? E il fatto che sia in $F_7$ come posso farlo vedere?
Poi c'è quest'altro sottospazio $T={f | f(x)=0$ $ per $ $x notin {1,2,\pi} } sub V={f | f :RR \to RR}$. Per questo sottospazio non ho idea di quali possano essere le funzioni generatrici..
Anche solo un aiutino...
Risposte
"klodette89":No!, inizia a notare che:
...Quindi la base sarebbe $ B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5} $ ???...
\[
W\subseteq\langle1,x,x^2,x^3\rangle
\]
quali sono le coordinate di quei vettori rispetto al sistema libero considerato al rigo di sopra?
Se non sono chiaro, non ti vergognare di domandare!
Per ricavarne le coordinate dovrei mettere a sistema i vettori $x^2+2, 2x^3-x^2,2x^3-5$ ?
Ma no!
E.g.: \(\displaystyle x^3-4x^2+2\) ha coordinate \(\displaystyle(1,-4,0,2)=(1,3,0,1)\) rispetto al riferimento (vettoriale) \(\displaystyle(x^3,x^2,x,1)\)!
E.g.: \(\displaystyle x^3-4x^2+2\) ha coordinate \(\displaystyle(1,-4,0,2)=(1,3,0,1)\) rispetto al riferimento (vettoriale) \(\displaystyle(x^3,x^2,x,1)\)!
Le coordinate sono:
$(2,0,1,0), (0,0,-1,2), (-5,0,0,2)$ rispetto al rif. $(1,x,x^2,x^3)$
$(2,0,1,0), (0,0,-1,2), (-5,0,0,2)$ rispetto al rif. $(1,x,x^2,x^3)$
Ora che fai per capire se quei vettori sono lin. ind.?
Ragiona come se tu fossi su \(\displaystyle\mathbb{R}\) (o \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Ragiona come se tu fossi su \(\displaystyle\mathbb{R}\) (o \(\displaystyle\mathbb{C}\)).
Devo verificare che la combinazione lineare dei vettori sia =0 per $\lambda_i$ tutti $=0$ . Giusto?
Ma mettendo a sistema trovo che, in $F_7$, ho un $7\lambda =0$ ma questo vuol dire che il $\lambda$ può essere un qualsiasi valore poichè l'uguaglianza con 0 la ottengo dal fatto che $\bar 7$ $=\bar 0$.
Dico bene=
Ma mettendo a sistema trovo che, in $F_7$, ho un $7\lambda =0$ ma questo vuol dire che il $\lambda$ può essere un qualsiasi valore poichè l'uguaglianza con 0 la ottengo dal fatto che $\bar 7$ $=\bar 0$.
Dico bene=
Quella è la maniera bruta; e comunque, facendo i calcoli otterresti che non sono lin. ind. e non capiresti quanti sono lin. indip.
La maniera più semplice è studiare il rango della matrice (a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{F}_7\)) ottenuta con i vettori che hai trovato!
La maniera più semplice è studiare il rango della matrice (a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{F}_7\)) ottenuta con i vettori che hai trovato!
si, il metodo del rango è quello più usato ma, siccome non è stato ancora trattato l'argomento "rango", ho usato il metodo "bruto"....
Se usi il metodo bruto, trovi (facilmente) solo che quei vettori non sono lin. ind.; per cui hai che la dimensione è al massimo \(\displaystyle2\): confermi?
Si.
Ho fatto così:
$\lambda_1 *a+ \lambda_2 *b+ \lambda_3 *c =0$ con $a= (2,0,1,0) b=(0,0-1,2) c=(-5,0,0,2)$
Ho fatto bene?
Se è così, ho ottenuto che $ 7* \lambda_3 = 0 $ da qui capisco che non sono indipendenti e la dimensione è al max 2. Giusto?
Ho fatto così:
$\lambda_1 *a+ \lambda_2 *b+ \lambda_3 *c =0$ con $a= (2,0,1,0) b=(0,0-1,2) c=(-5,0,0,2)$
Ho fatto bene?
Se è così, ho ottenuto che $ 7* \lambda_3 = 0 $ da qui capisco che non sono indipendenti e la dimensione è al max 2. Giusto?
"klodette89":Embeh? Questo è vero perché sei sul campo di \(\displaystyle7\) elementi!
...ho ottenuto che $ 7* \lambda_3 = 0 $...
Che sistema ti esce?
$\{(2\lambda_2+2\lambda_3=0),(\lambda_1-\lambda_2=0),(2\lambda_1-5\lambda_3=0):}$
da cui segue $\{(2\lambda_2+2\lambda_3=0),(-2\lambda_2+5\lambda_3=0):}$
da cui ancora $7\lambda_3=0$ e poichè siamo in $F_7$ vuol dire che $0*\lambda_3=0$
Trovato questo risultato mi verrebbe da dire che l'uguaglianza è soddisfatta $AA$ valore di $\lambda_3$
Sbaglio?
da cui segue $\{(2\lambda_2+2\lambda_3=0),(-2\lambda_2+5\lambda_3=0):}$
da cui ancora $7\lambda_3=0$ e poichè siamo in $F_7$ vuol dire che $0*\lambda_3=0$
Trovato questo risultato mi verrebbe da dire che l'uguaglianza è soddisfatta $AA$ valore di $\lambda_3$
Sbaglio?
A parte che nel secondo sistema devi ricordati di scrivere \(\displaystyle\lambda_1=\lambda_2\); scritto così, ottieni che quei vettori non sono linearmente indipendenti, in particolare (seguendo le tue notazioni) \(\displaystyle c\) è combinazione lineare di \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\)! : )
Ora va tutto bene!
Ora va tutto bene!
Si, ho dimenticato di scriverlo.
Siccome i vettori non sono indipendenti, quello spazio ha $dim=2$ e la base sarebbero i primi 2 vettori?
Siccome i vettori non sono indipendenti, quello spazio ha $dim=2$ e la base sarebbero i primi 2 vettori?
Sì; tra l'altro, era pure facile perché \(\displaystyle a+b=c\)! : )
Grazie mille!
Hai per caso qualche aiuto sul sottospazio T?
Devo trovare una funzione che è sempre nulla tranne che per $x= 1,2,\pi$
Hai per caso qualche aiuto sul sottospazio T?
Devo trovare una funzione che è sempre nulla tranne che per $x= 1,2,\pi$
In quanti modi puoi scegliere \(\displaystyle f(0),f(1),f(\pi)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)?
Scusa ma dici in quanti modi posso scegliere la $f$ funzione?
O.o
O.o
Scusami: \(\displaystyle T\) non è uno spazio vettoriale; ad esempio: \(\displaystyle f(0)=1,g(0)=-1\Rightarrow f(0)+g(0)=0\iff f+g\not\in T\)!
O detta più semplicemente: \(\displaystyle T\) non possiede un vettore nullo...
O detta più semplicemente: \(\displaystyle T\) non possiede un vettore nullo...
Armando, sì che [tex]T[/tex] è un sottospazio: nella definizione di [tex]T[/tex] non si dice che [tex]f(1),f(2),f(\pi)[/tex] devono essere diversi da zero. 
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