Base in F7[x]
Buongiorno a tutti..
Ho un quesito:
devo trovare la base di alcuni sottospazi vettoriali un pò "insoliti": $W=_(F_7) sub F_7[x]$
Siccome ci sono le parentesi "<...>" questo vuol dire che lo spazio è generato da quei tre polinomi, giusto?
Quindi la base sarebbe $B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5}$ ??? E il fatto che sia in $F_7$ come posso farlo vedere?
Poi c'è quest'altro sottospazio $T={f | f(x)=0$ $ per $ $x notin {1,2,\pi} } sub V={f | f :RR \to RR}$. Per questo sottospazio non ho idea di quali possano essere le funzioni generatrici..
Anche solo un aiutino...
Ho un quesito:
devo trovare la base di alcuni sottospazi vettoriali un pò "insoliti": $W=
Siccome ci sono le parentesi "<...>" questo vuol dire che lo spazio è generato da quei tre polinomi, giusto?
Quindi la base sarebbe $B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5}$ ??? E il fatto che sia in $F_7$ come posso farlo vedere?
Poi c'è quest'altro sottospazio $T={f | f(x)=0$ $ per $ $x notin {1,2,\pi} } sub V={f | f :RR \to RR}$. Per questo sottospazio non ho idea di quali possano essere le funzioni generatrici..
Anche solo un aiutino...
Risposte
Martino, in $T$ ci sono le funzioni $f(x)=0$ ma $x!={1,2,\pi }$ quindi di conseguenza, credo, $f(1)$ debba essere $!=0$ e così anche $f(2)$ e $f(\pi)$.
No, nella definizione di T non c'è scritto niente del genere. 
Un elemento di T è semplicemente una funzione [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] che è nulla su un certo sottoinsieme [tex]S[/tex], nella fattispecie [tex]S = \mathbb{R}-\{1,2,\pi\}[/tex].
Se [tex]S[/tex] è un qualsiasi sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] allora l'insieme [tex]T_S = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f|_S = 0\}[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{R}^{\mathbb{R}}[/tex], lo spazio delle funzioni [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]. Per [tex]f|_S = 0[/tex] intendo [tex]f(s)=0\ \forall s \in S[/tex].
E se [tex]\mathbb{R}-S[/tex] ha [tex]n[/tex] elementi allora [tex]\dim(T_S)=n[/tex]. Pensa alle funzioni caratteristiche dei punti. Ne parli anche in altri posti nel forum.
Un elemento di T è semplicemente una funzione [tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] che è nulla su un certo sottoinsieme [tex]S[/tex], nella fattispecie [tex]S = \mathbb{R}-\{1,2,\pi\}[/tex].
Se [tex]S[/tex] è un qualsiasi sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}[/tex] allora l'insieme [tex]T_S = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f|_S = 0\}[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{R}^{\mathbb{R}}[/tex], lo spazio delle funzioni [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]. Per [tex]f|_S = 0[/tex] intendo [tex]f(s)=0\ \forall s \in S[/tex].
E se [tex]\mathbb{R}-S[/tex] ha [tex]n[/tex] elementi allora [tex]\dim(T_S)=n[/tex]. Pensa alle funzioni caratteristiche dei punti. Ne parli anche in altri posti nel forum.
Stai parlando di una funzione $f : RR \to S$ tale che $f(x):=\{(0 , if x in S), (x , if x notin S):}$
Ovviamente uso la tua notazione per $S$.
Ovviamente uso la tua notazione per $S$.
@klodette Quello è il mio stesso erro: quelle funzioni sono in \(\displaystyle T\) ma non sono tutte e sole le funzioni in \(\displaystyle T\)!
Con la mia definizione [tex]T_S := \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f(s)=0\ \forall s \in S\}[/tex]. Nel seguito dati due insiemi [tex]A,B[/tex] indico con [tex]A^B[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]B \to A[/tex]. Qualsiasi operazione [tex]\ast[/tex] su [tex]A[/tex] induce un'operazione su [tex]A^B[/tex] definita da [tex](f \ast g)(b) := f(b) \ast g(b)[/tex] dove [tex]b \in B[/tex]. In particolare se [tex]A[/tex] è uno spazio vettoriale allora anche [tex]A^B[/tex] è uno spazio vettoriale con le operazioni indotte (la moltiplicazione per scalare sarà [tex](\lambda f)(b) := \lambda f(b)[/tex]).
Ora [tex]T_S \cong \mathbb{R}^{\mathbb{R}-S}[/tex] (come spazi vettoriali). L'isomorfismo è dato dalla restrizione a [tex]\mathbb{R}-S[/tex]. In pratica sto dicendo che conoscere una funzione di cui si sa che è nulla in ogni elemento di [tex]S[/tex] equivale a conoscerla fuori da [tex]S[/tex]. Nel tuo caso [tex]\mathbb{R}-S = \{1,2,\pi\}[/tex] quindi [tex]T_S \cong \mathbb{R}^{\{1,2,\pi\}} \cong \mathbb{R}^3[/tex].
Più esplicitamente, dato [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] considera la funzione [tex]\chi_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]\chi_a(x) = 1[/tex] se [tex]x=a[/tex] e [tex]\chi_a(x)=0[/tex] se [tex]x \neq a[/tex]. Allora certamente il tuo [tex]T[/tex] contiene [tex]\chi_1,\chi_2[/tex] e [tex]\chi_{\pi}[/tex] (sei d'accordo? Basta controllare la definizione). Non solo, ma ogni elemento [tex]f \in T[/tex] è del tipo [tex]\alpha \chi_1 + \beta \chi_2 + \gamma \chi_{\pi}[/tex], basta prendere [tex]\alpha = f(1)[/tex], [tex]\beta = f(2)[/tex] e [tex]\gamma = f(\pi)[/tex]. Inoltre, [tex]\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}[/tex] sono linearmente indipendenti (prendi una combinazione lineare che fa zero e prova a valutarla in [tex]1,2,\pi[/tex]). Quindi [tex]\{\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}\}[/tex] è una base di [tex]T[/tex].
Ora [tex]T_S \cong \mathbb{R}^{\mathbb{R}-S}[/tex] (come spazi vettoriali). L'isomorfismo è dato dalla restrizione a [tex]\mathbb{R}-S[/tex]. In pratica sto dicendo che conoscere una funzione di cui si sa che è nulla in ogni elemento di [tex]S[/tex] equivale a conoscerla fuori da [tex]S[/tex]. Nel tuo caso [tex]\mathbb{R}-S = \{1,2,\pi\}[/tex] quindi [tex]T_S \cong \mathbb{R}^{\{1,2,\pi\}} \cong \mathbb{R}^3[/tex].
Più esplicitamente, dato [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] considera la funzione [tex]\chi_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]\chi_a(x) = 1[/tex] se [tex]x=a[/tex] e [tex]\chi_a(x)=0[/tex] se [tex]x \neq a[/tex]. Allora certamente il tuo [tex]T[/tex] contiene [tex]\chi_1,\chi_2[/tex] e [tex]\chi_{\pi}[/tex] (sei d'accordo? Basta controllare la definizione). Non solo, ma ogni elemento [tex]f \in T[/tex] è del tipo [tex]\alpha \chi_1 + \beta \chi_2 + \gamma \chi_{\pi}[/tex], basta prendere [tex]\alpha = f(1)[/tex], [tex]\beta = f(2)[/tex] e [tex]\gamma = f(\pi)[/tex]. Inoltre, [tex]\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}[/tex] sono linearmente indipendenti (prendi una combinazione lineare che fa zero e prova a valutarla in [tex]1,2,\pi[/tex]). Quindi [tex]\{\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}\}[/tex] è una base di [tex]T[/tex].
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