Autovalori infiniti
Buonasera a tutti, avrei bisogno di nuovo del vostro aiuto. Ho difficoltà con questo esercizio:
"Sia $ mathbb(K) $ un campo e $ mathbb(K) ^oo $ lo spazio vettoriale delle succesioni a valori in $ mathbb(K) $. Dimostrare che l'operatore lineare $ f:mathbb(K)^ oo rarr mathbb(K)^ oo $ definito da $ f(x1,x2,x3,...)=(x2,x3,x4,...) $ ammette infiniti autovalori. Dato un autovalore $ lambda $ dimostrare poi che il corrispondente autospazio $ V_(lambda ) $ ha dimensione finita e calcolarne una base.
E' ovvio che non posso calcolare la matrice associata, ma devo utilizzare la definizione di autovalore, ma non riesco a far vedere che sono infiniti...
"Sia $ mathbb(K) $ un campo e $ mathbb(K) ^oo $ lo spazio vettoriale delle succesioni a valori in $ mathbb(K) $. Dimostrare che l'operatore lineare $ f:mathbb(K)^ oo rarr mathbb(K)^ oo $ definito da $ f(x1,x2,x3,...)=(x2,x3,x4,...) $ ammette infiniti autovalori. Dato un autovalore $ lambda $ dimostrare poi che il corrispondente autospazio $ V_(lambda ) $ ha dimensione finita e calcolarne una base.
E' ovvio che non posso calcolare la matrice associata, ma devo utilizzare la definizione di autovalore, ma non riesco a far vedere che sono infiniti...
Risposte
Presumo tu intenda $f(x_1, x_2, \ldots)=(x_2,x_3, \ldots)$, vero? Cioè è il solito operatore di shift?
guarda, quella era la traccia dell'esercizio d'esame che purtroppo non sono riuscita a risolvere. Non so cosa intendesse il professore...
Ma stai andando a memoria oppure ce l'hai proprio sotto mano?
Si ce l'ho sottomano e stavo cercando di capire come svolgerlo
"feddy":
Presumo tu intenda $f(x_1, x_2, \ldots)=(x_2,x_3, \ldots)$, vero? Cioè è il solito operatore di shift?
Si, scusami è questo.
Ah, ecco.
Cerca di capire come agisce l'operatore. Prendi $e_n$. Cosa ottieni se applici l'operatore $f$ ad $e_n$?
Cerca di capire come agisce l'operatore. Prendi $e_n$. Cosa ottieni se applici l'operatore $f$ ad $e_n$?
$ e_(1) $ lo manderebbe "all'inifnito" diciamo, $ e_(2) $ in prima colonna e così via, dove la matrice ha dimensione infinta. Sto ragionando nel modo giusto?
No
Innanzitutto, devi risolvere $f(x_1,x_2, \ldots)=\lambda (x_1,x_2,x_3,\ldots)$. Per definizione di $f$ questo equivale a dire risolvere $(x_2, x_3, \ldots)=\lambda (x_1,x_2,x_3,\ldots)$.
Ora, guarda quello che hai davatni, componente per componente: $x_2=\lambda x_1, x_3=\lambda x_2, \ldots...$. Nota che puoi scegliere $x_1$ arbitrario: infatti, $x_2= \lambda x_1, x_3=\lambda x_2 = \lambda^2 x_1, \ldots $
Per cui ogni $\lambda \in \mathbb{K}$ è autovalore dell'operatore di shift sinistro. Il corrispondente autovettore $V_{\lambda}$ ce l'hai praticamente già pronto.
Domanda: è un operatore compatto?
Ora, guarda quello che hai davatni, componente per componente: $x_2=\lambda x_1, x_3=\lambda x_2, \ldots...$. Nota che puoi scegliere $x_1$ arbitrario: infatti, $x_2= \lambda x_1, x_3=\lambda x_2 = \lambda^2 x_1, \ldots $
Per cui ogni $\lambda \in \mathbb{K}$ è autovalore dell'operatore di shift sinistro. Il corrispondente autovettore $V_{\lambda}$ ce l'hai praticamente già pronto.
Domanda: è un operatore compatto?
Per impratichirti, prova a vedere se l'operatore di shift destro $T(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$ ha autovalori.
ok, grazie... La domanda sulla compattezza mi fa strano, perché durante il corso di Geometria 1 non abbiamo affrontato l'argomento, quindi non so di cosa si tratta.
Ups, credevo stessi facendo analisi funz. e e avessi messo questa domanda in geometria e algebra lineare per errore.
Perdonami.
Perdonami.
"feddy":
Per impratichirti, prova a vedere se l'operatore di shift destro $T(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)$ ha autovalori.
Allora, anche qui applico la definizione $ (0,x_1,x_2,...)=lambda(x_1,x_2,x_3,..) $ , cioè $ 0=lambdax_1 $
$ x_1=lambdax_2 $ ecc... quindi o $ lambda=0 $ o $ x_1=0 $
Ricordati che per definizione cerchi $ \vec{x} \ne 0$... anche perché altrimenti quell'eqquazione è sempre verificata.
Quindi, come hai detto te, o $\lambda =0$ o $x_1=0$. Se $\lambda =0$, allora $x_1=x_2= \ldots=0$ e dunque ho un vettore identicamente nullo. Dunque non è accettabile.
Se invece $x_1=0$, allora si ha $\lambda x_2 =0$. Ancora, o $\lambda =0$ o $x_3=0$. Ma $\lambda=0$ non può accadere (l'abbiamo appena visto), dunque $x_2=0$. Ma allora $0=\lambda x_3$, da cui si ottiene $x_1=x_2=x_3= \ldots=0$, che è un vettore identicamente nullo.
Pertanto, $T$ non ha autovalori
Quindi, come hai detto te, o $\lambda =0$ o $x_1=0$. Se $\lambda =0$, allora $x_1=x_2= \ldots=0$ e dunque ho un vettore identicamente nullo. Dunque non è accettabile.
Se invece $x_1=0$, allora si ha $\lambda x_2 =0$. Ancora, o $\lambda =0$ o $x_3=0$. Ma $\lambda=0$ non può accadere (l'abbiamo appena visto), dunque $x_2=0$. Ma allora $0=\lambda x_3$, da cui si ottiene $x_1=x_2=x_3= \ldots=0$, che è un vettore identicamente nullo.
Pertanto, $T$ non ha autovalori
Perfetto, grazie mille!!!
Di nulla 
@feddy
Vero anto. Infatti era stata la mia prima idea, però forse per le prime volte in effetti è meglio fare vedere come sono i primi termini della sequenza.
Poi eh, de gustibus...
Poi eh, de gustibus...
Allora mi sa che non ho capito qual è l'autovettore... 
Per lo shift sinistro, l'abbiamo praticamente già fatto. $V_\lambda=\{ (x_1,\lambda x_1, \lambda^2 x_1, \ldots ) : x_1 in \mathbb{K}\}$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo