Autovalori infiniti

[Milenix]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di nuovo del vostro aiuto. Ho difficoltà con questo esercizio:
"Sia $ mathbb(K) $ un campo e $ mathbb(K) ^oo $ lo spazio vettoriale delle succesioni a valori in $ mathbb(K) $. Dimostrare che l'operatore lineare $ f:mathbb(K)^ oo rarr mathbb(K)^ oo $ definito da $ f(x1,x2,x3,...)=(x2,x3,x4,...) $ ammette infiniti autovalori. Dato un autovalore $ lambda $ dimostrare poi che il corrispondente autospazio $ V_(lambda ) $ ha dimensione finita e calcolarne una base.
E' ovvio che non posso calcolare la matrice associata, ma devo utilizzare la definizione di autovalore, ma non riesco a far vedere che sono infiniti...

[Milenix]

"feddy":Per lo shift sinistro, l'abbiamo praticamente già fatto. $V_\lambda=\{ (x_1,\lambda x_1, \lambda^2 x_1, \ldots ) : x_1 in \mathbb{K}\}$

però l'autospazio dovrebbe avere dimensione finita...

[feddy]

Leggi bene per favore. Questo è l'autospazio associato a $\lambda$. Ti pare che abbia dimensione infinita? Cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale? Rispondi troppo in fretta alle domande. Prenditi il tempo necessario e poi, evenutalemente se non capisci, rispondi. Così sembra di stare su una chat.

[dissonance]

@feddy: la tua domanda non ha senso perché non si è introdotta mai una norma. Questo ha l'aria di essere un esercizio puramente algebrico.

[feddy]

Ups, hai ragione. Solamente che nella mia testa (non so per quale motivo) avevo in mente il caso $f: l^2 \rightarrow l^2$