Assegnazione e studio di applicazioni lineari
Salve ragazzi,
ho da pochi giorni iniziato a studiare algebra e geometria lineare (materia del primo anno di ingegneria industriale) e ho già incontrato qualche problemino. Sui preliminari riguardanti matrici, sistemi lineari, generatori, basi ecc ecc penso ormai di non avere grossi problemi... i problemi inizio a riscontrarli adesso dove mi viene richiesto:
ES.1 Data l'applicazione lineare $f:RR^{2,2}->RR^{2,2}:$
$f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((1,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d))$,
definire $f$ nei modi:
B (mediante le immagini di una base del dominio)
C (mediante una matrice associata all'applicazione lineare rispetto a due basi assegnate, una del dominio e una del condominio).
ES.2 Data l'applicazione lineare $f.RR_{[x]_3}->RR^3:$
$f(p(x))=(p(1),p(0),p(2)),$
dove $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
allora l'applicazione lineare $f$è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
definire $f$ nei modi:
(come sopra)
Ps. ho già provato esercizi di questo tipo ma con applicazioni lineari del tipo $f:RR^3->RR^3$ o $f:RR^{2,2}->RR^3$, queste applicazioni invece mi hanno fatto entrare nel pallone! sicuramente sarà qualche sciocchezza ma non avendo ancora dimestichezza con l'argomento mi sono proprio bloccato. chi mi da una mano?
ho da pochi giorni iniziato a studiare algebra e geometria lineare (materia del primo anno di ingegneria industriale) e ho già incontrato qualche problemino. Sui preliminari riguardanti matrici, sistemi lineari, generatori, basi ecc ecc penso ormai di non avere grossi problemi... i problemi inizio a riscontrarli adesso dove mi viene richiesto:
ES.1 Data l'applicazione lineare $f:RR^{2,2}->RR^{2,2}:$
$f((a,b),(c,d))=((3,2),(-1,1))*((1,b),(c,d))=((3a+2c,3b+2d),(-a+c,-b+d))$,
definire $f$ nei modi:
B (mediante le immagini di una base del dominio)
C (mediante una matrice associata all'applicazione lineare rispetto a due basi assegnate, una del dominio e una del condominio).
ES.2 Data l'applicazione lineare $f.RR_{[x]_3}->RR^3:$
$f(p(x))=(p(1),p(0),p(2)),$
dove $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ e quindi:
$p(1)=a+b+c+d$
$p(0)=d$
$p(2)=8a+4b+2c+d$
allora l'applicazione lineare $f$è così definita:
$f(ax^3+bx^2+cx+d)=(a+b+c+d,d,8a+4b+2c+d)$
definire $f$ nei modi:
(come sopra)
Ps. ho già provato esercizi di questo tipo ma con applicazioni lineari del tipo $f:RR^3->RR^3$ o $f:RR^{2,2}->RR^3$, queste applicazioni invece mi hanno fatto entrare nel pallone! sicuramente sarà qualche sciocchezza ma non avendo ancora dimestichezza con l'argomento mi sono proprio bloccato. chi mi da una mano?
Risposte
"Frink":
Allora:
la matrice associata alla tua funzione la puoi scrivere anche in funzione della base $epsilon$ e dovresti ...
stavo già scrivendo il post, sto leggendo solo ora la tua risp..
dopo una mattinata a sbatterci la testa ho risolto il metodo che precedentemente avevo intrapreso e penso proprio di aver averlo risolto. il metodo che tu mi hai appena consigliato l'ho preso in esame e me lo sto studiando e valutando (effettivamente lo sto trovando semplice).
Se i calcoli sono corretti, il procedimento è giusto. Come vedi però col calcolo matriciale riesci a sbrigartela molto più in fretta di così ^.^
ciao frink, ti chiedo l'ultimo chiarimento sull'argomento!
se partiamo dalla matrice e dobbiamo trovarci l'equazione lineare? ho provato a fare un esercizio e l'ho svolto nel seguente modo (chiedo a te perché il prof ci ha dato solo i testi degli es. ma non i risultati o comunque le risoluzioni quindi non so se il lavoro che faccio è corretto):
$f:RR^3->RR^3$ definita dalla matrice associata $A=((2,-1,1),(0,1,-1),(1,1,0))$
$\epsilon_1=\epsilon_2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ (basi canoniche)
ricordando che le colonne della matrice associata sono le componenti rispetto alla base $\epsilon_2$ delle immagini della base $\epsilon_1$, scriviamo:
$f(1,0,0)=(1,0,0)*2+(0,1,0)*0+(0,0,1)*1=(2,0,1)$
$f(0,1,0)=(1,0,0)*(-1)+(0,1,0)*1+(0,0,1)*1=(-1,1,1)$
$f(0,0,1)=(1,0,0)*1+(0,1,0)*(-1)+(0,0,1)*0=(1,-1,0)$
queste che abbiamo appena trovate sono le immagini rispetto a $\epsilon_1$
calcoliamo adesso le immagini del generico elemento $(x,y,z) in RR^3$:
$(x,y,z)=a(2,0,1)+b(-1,1,1)+c(1,-1,0)=>\{(2a-b+c=x),(b-c=y),(a+b=z):}=>\{(a=(x+y)/2),(b=(-x-y+2z)/2),(c=(-x-3y+2z)/2):}$
trovati i valori di $a,b,c$, moltiplichiamo quest'ultime con la matrice $A$:
$((2,-1,1),(0,1,-1),(1,1,0))*(((x+y)/2),((-x-y+2z)/2),((-x-3y+2z)/2))=(((2x-y)/2),((-y-2z)/2),((-x-3y)/2))$
vediamo che:
$f(x,y,z)=((2x-y)/2),((-y-2z)/2),((-x-3y)/2)$
e quindi:
$f(x,y,z)=((2x-y)/2)(2,0,1),((-y-2z)/2)(-1,1,1),((-x-3y)/2)(1,-1,0)$
da cui segue l'equazione dell'applicazione richiesta:
$f(x,y,z)=((3x-4y+2z)/2,(x+2y-2z)/2,x-y-z)$
se partiamo dalla matrice e dobbiamo trovarci l'equazione lineare? ho provato a fare un esercizio e l'ho svolto nel seguente modo (chiedo a te perché il prof ci ha dato solo i testi degli es. ma non i risultati o comunque le risoluzioni quindi non so se il lavoro che faccio è corretto):
$f:RR^3->RR^3$ definita dalla matrice associata $A=((2,-1,1),(0,1,-1),(1,1,0))$
$\epsilon_1=\epsilon_2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ (basi canoniche)
ricordando che le colonne della matrice associata sono le componenti rispetto alla base $\epsilon_2$ delle immagini della base $\epsilon_1$, scriviamo:
$f(1,0,0)=(1,0,0)*2+(0,1,0)*0+(0,0,1)*1=(2,0,1)$
$f(0,1,0)=(1,0,0)*(-1)+(0,1,0)*1+(0,0,1)*1=(-1,1,1)$
$f(0,0,1)=(1,0,0)*1+(0,1,0)*(-1)+(0,0,1)*0=(1,-1,0)$
queste che abbiamo appena trovate sono le immagini rispetto a $\epsilon_1$
calcoliamo adesso le immagini del generico elemento $(x,y,z) in RR^3$:
$(x,y,z)=a(2,0,1)+b(-1,1,1)+c(1,-1,0)=>\{(2a-b+c=x),(b-c=y),(a+b=z):}=>\{(a=(x+y)/2),(b=(-x-y+2z)/2),(c=(-x-3y+2z)/2):}$
trovati i valori di $a,b,c$, moltiplichiamo quest'ultime con la matrice $A$:
$((2,-1,1),(0,1,-1),(1,1,0))*(((x+y)/2),((-x-y+2z)/2),((-x-3y+2z)/2))=(((2x-y)/2),((-y-2z)/2),((-x-3y)/2))$
vediamo che:
$f(x,y,z)=((2x-y)/2),((-y-2z)/2),((-x-3y)/2)$
e quindi:
$f(x,y,z)=((2x-y)/2)(2,0,1),((-y-2z)/2)(-1,1,1),((-x-3y)/2)(1,-1,0)$
da cui segue l'equazione dell'applicazione richiesta:
$f(x,y,z)=((3x-4y+2z)/2,(x+2y-2z)/2,x-y-z)$
"lucalaspina":
$(x,y,z)=a(2,0,1)+b(-1,1,1)+c(1,-1,0)=>\{(2a-b+c=x),(b-c=y),(a+b=z):}=>\{(a=(x+y)/2),(b=(-x-y+2z)/2),(c=(-x-3y+2z)/2):}$
Così esprimi un generico vettore in coordinate rispetto alla base dell'immagine...
Il vettore generico è espresso in coordinate rispetto alla base $epsilon_1$ come $ (x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) $.
Quindi la sua immagine sarà (per linearità di $f$)
$f(x,y,z)=$
$=f(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1))=$
$=x*f(1,0,0)+y*f(0,1,0)+z*f(0,0,1)=$
$=x*(2,0,1)+y*(-1,1,1)+z(1,-1,0)=$
$=(2x-y+z,y-z,x+y)$
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