Algebra lineare
Sia $ A= { ( (x) , (y) , (z) ) $ appartenente $ R^3 $ tale che $ x-2z=0 }$ e sia:
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Non dovrebbe essere un sottospazio di $End(R^3)$? Comunque la prima parte del 2 non dovrebbe dare troppi problemi. Che tentativi hai fatto a proposito. Hai identificato \(A^\perp\)?
Ecco, calcolare una dimensione e una base di A l'ho fatto, penso correttamente, mentre per A perpendicolare non so come fare! Non riesco a capire come trovarlo, sui miei appunti non c'è questa spiegazione.. E' proprio quello che mi crea problemi A perpendicolare..
E sì scusami, un sottospazio di $End(R^3)$
E sì scusami, un sottospazio di $End(R^3)$
Allora, sapendo che due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è uguale a zero non dovrebbe essere difficile trovare il vettore ortogonale ad A.. Quindi dovresti avere:
x'-2z'= 0
Ora qualunque vettore soddisfi questa equazione è corretto, ad esempio il vettore $ ( (1) , (0) , (0) ) $
Aspettiamo però la risposta di qualcuno di più competente, non vorrei dare suggerimenti sbagliati
x'-2z'= 0
Ora qualunque vettore soddisfi questa equazione è corretto, ad esempio il vettore $ ( (1) , (0) , (0) ) $
Aspettiamo però la risposta di qualcuno di più competente, non vorrei dare suggerimenti sbagliati
Io lo avrei impostato così:
$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ ( (0 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0) , (1 , 0 , 0) ) ( (1) , (0) , (-2) )= 0} $
$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ -2x + z = 0} $
Qualcuno può confermare quello che ho scritto?
(Grazie comunque SeleneR per l'aiuto!)
$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ ( (0 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0) , (1 , 0 , 0) ) ( (1) , (0) , (-2) )= 0} $
$ A^(\bot) = {( (x) , (y) , (z) ) in R^3 $ tali che $ -2x + z = 0} $
Qualcuno può confermare quello che ho scritto?
(Grazie comunque SeleneR per l'aiuto!)
Scusami non ho capito i passaggi che hai seguito 
Comunque, secondo me, \( A^\perp \) te lo dà praticamente la traccia...
Se l'ho capita bene ti dice che $A$ è formato dai vettori $( (x) ,(y) ,(z) ) in RR^3 $ tali che $ x-2z=0 $ ,
e a me sembra che questo ultimo fatto si possa leggere come un prodotto scalare, dunque ...
Comunque, secondo me, \( A^\perp \) te lo dà praticamente la traccia...
Se l'ho capita bene ti dice che $A$ è formato dai vettori $( (x) ,(y) ,(z) ) in RR^3 $ tali che $ x-2z=0 $ ,
e a me sembra che questo ultimo fatto si possa leggere come un prodotto scalare, dunque ...
Su A sono d'accordo, ma non capisco il ragionamento su $ A^(\bot) $ ... 
"Carla1992":
Scusami non ho capito i passaggi che hai seguito
Comunque, secondo me, \( A^\perp \) te lo dà praticamente la traccia...
Se l'ho capita bene ti dice che $A$ è formato dai vettori $( (x) ,(y) ,(z) ) in RR^3 $ tali che $ x-2z=0 $ ,
e a me sembra che questo ultimo fatto si possa leggere come un prodotto scalare, dunque ...
La definizione di $A$ secondo me si può leggere come una condizione di ortogonalità :
$((x),(y),(z)) in A $ se e solo se $((x),(y),(z)) * ( (1), (0), (-2)) = 0 $
Ti torna ?
$((x),(y),(z)) in A $ se e solo se $((x),(y),(z)) * ( (1), (0), (-2)) = 0 $
Ti torna ?
"Sergio":
[quote="Pellegrini"]Ecco, calcolare una dimensione e una base di A l'ho fatto, penso correttamente, mentre per A perpendicolare non so come fare!
Non sarebbe male vedere che base hai trovato, comunque direi che una possibile base è \(\{(2,0,1),(0,1,0)\}\).
Infatti, se \(x=2,y=0,z=1\) si ha \(x-2z=2-2=0\), mentre se \(x=z=0\) si ha \(x-2z=0-0=0\) quale che sia \(y\).
A questo punto, trovare \(A^\perp\) vuol dire trovare \(x,y,z\) tali che:
\[ \begin{cases} \begin{bmatrix} 2 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=2x+z=0 \\[10pt]
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = y=0 \end{cases} \]
che porta a \((1,0,-2)\).
Infatti \((2,0,1)\cdot(1,0,-2)=0\) e \((0,1,0)\cdot(1,0,-2)=0\).
Quindi \(A\) ha dimensione 2 e una sua possibile base è \(\{(2,0,1),(0,1,0)\}\), \(A^\perp\) ha dimensione 1 e una sua possibile base è \(\{(1,0,-2)\}\).[/quote]
NOn mi torna la base di $ A $... Potrei sapere che procedimento hai utilizzato? Io l'avevo impostato così:
A = ${( (x) , (y) , (z)) in R^3 $ tale che $ x-2z =0 } $= ${( (2z) , (0) , (z)) $ tale che $ x,z in R } $= $ {z( (2) , (0) , (1)) $ tale che $ z in R } $
Se ho sbagliato, potresti illustrarmi il procedimento corretto?
"Carla1992":
La definizione di $A$ secondo me si può leggere come una condizione di ortogonalità :
$((x),(y),(z)) in A $ se e solo se $((x),(y),(z)) * ( (1), (0), (-2)) = 0 $
Ti torna ?
Sisi fin qui mi torna, però non riesco a capire come ricavare $ A^(\bot) $
"Sergio":
[quote="Pellegrini"]NOn mi torna la base di $ A $
Ne ero sicuro
[/quote]
Così prevedibile?
Per gli altri due punti? Questo adesso mi è chiaro, grazie mille!! Sugli altri due non so proprio come muovermi
"Pellegrini":
Sia $ A= { ( (x) , (y) , (z) ) $ appartenente $ R^3 $ tale che $ x-2z=0 }$ e sia:
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
\(\displaystyle A \) è definito attraverso l'equazione \(\displaystyle x-2z = 0 \) ovvero attraverso l'equazione \(\displaystyle \langle \mathbf{v} , \mathbf{x} \rangle = 0 \) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (1,0,-2) \). Perciò \(\displaystyle A = \mathbf{v}^{\perp} \). In sostanza una base di \(\displaystyle A^{\perp} \) è il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} \).
Per quanto riguarda una base di \(\displaystyle A \) non esiste un modo canonico. Per esempio puoi prendere due vettori casuali (che non siano un multiplo di \(\displaystyle \mathbf{v} \)) e proiettarli su \(\displaystyle A = \mathbf{v}^{\perp} \). In questo caso, non è necessario farlo perché una buona scelta si presenta da sola, ovvero il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_2 = (0,1,0) \) che è banalmente in \(\displaystyle A \) e il vettore \(\displaystyle \mathbf{w} = (2,0,1) \) che si ricava usando la formula solitamente usata in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Il punto 1 è quindi concluso. Nota che è una base ortogonale, infatti \(\displaystyle \mathbf{v}\times\mathbf{e}_2 = \mathbf{w} \).
Per il punto 2 basta osservare che \(\displaystyle A^{\perp} \) è un sottospazio vettoriale e quindi se \(\displaystyle fA\subseteq A^{\perp} \) e \(\displaystyle gA\subseteq A^{\perp} \) allora anche\(\displaystyle (\lambda f + \mu g)A\subseteq A^{\perp} \) perché le operazioni sono fatte nell'immagine.
Per quanto riguarda la dimensione, prendi \(\displaystyle \{\mathbf{v}, \mathbf{e}_2, \mathbf{w} \} \) come base di \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \) e ragiona sulle condizioni che devi imporre sulla matrice associata agli elementi di \(\displaystyle H \). Le condizioni sono le seguenti: I vettori \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) sono mandati in \(\displaystyle A^{\perp} \) ovvero sono tali che \(\displaystyle h_{22} = h_{23} = h_{32} = h_{33} \). Gli altri valori della matrice sono casuali. Quindi \(\displaystyle \dim H = \dim \mathrm{End}(\mathbf{R}^3) - 4 = 9 - 4 = 5 \).
Per esprimere gli elementi devi immagino esprimere una matrice del tipo costruito sopra attraverso la base canonica.
[edit] Mi sono accorto di un piccolo errore e ho corretto.
"vict85":
[quote="Pellegrini"]Sia $ A= { ( (x) , (y) , (z) ) $ appartenente $ R^3 $ tale che $ x-2z=0 }$ e sia:
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
\(\displaystyle A \) è definito attraverso l'equazione \(\displaystyle x-2z = 0 \) ovvero attraverso l'equazione \(\displaystyle \langle \mathbf{v} , \mathbf{x} \rangle = 0 \) dove \(\displaystyle \mathbf{v} = (1,0,-2) \). Perciò \(\displaystyle A = \mathbf{v}^{\perp} \). In sostanza una base di \(\displaystyle A^{\perp} \) è il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} \).
Per quanto riguarda una base di \(\displaystyle A \) non esiste un modo canonico. Per esempio puoi prendere due vettori casuali (che non siano un multiplo di \(\displaystyle \mathbf{v} \)) e proiettarli su \(\displaystyle A = \mathbf{v}^{\perp} \). In questo caso, non è necessario farlo perché una buona scelta si presenta da sola, ovvero il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_2 = (0,1,0) \) che è banalmente in \(\displaystyle A \) e il vettore \(\displaystyle \mathbf{w} = (2,0,1) \) che si ricava usando la formula solitamente usata in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Il punto 1 è quindi concluso. Nota che è una base ortogonale, infatti \(\displaystyle \mathbf{v}\times\mathbf{e}_2 = \mathbf{w} \).
Per il punto 2 basta osservare che \(\displaystyle A^{\perp} \) è un sottospazio vettoriale e quindi se \(\displaystyle fA\subseteq A^{\perp} \) e \(\displaystyle gA\subseteq A^{\perp} \) allora anche\(\displaystyle (\lambda f + \mu g)A\subseteq A^{\perp} \) perché le operazioni sono fatte nell'immagine.
Per quanto riguarda la dimensione, prendi \(\displaystyle \{\mathbf{v}, \mathbf{e}_2, \mathbf{w} \} \) come base di \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \) e ragiona sulle condizioni che devi imporre sulla matrice associata agli elementi di \(\displaystyle H \). Le condizioni sono le seguenti: I vettori \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) sono mandati in \(\displaystyle A^{\perp} \) ovvero sono tali che \(\displaystyle h_{22} = h_{23} = h_{32} = h_{33} \). Gli altri valori della matrice sono casuali. Quindi \(\displaystyle \dim H = \dim \mathrm{End}(\mathbf{R}^3) - 4 = 9 - 4 = 5 \).
Per esprimere gli elementi devi immagino esprimere una matrice del tipo costruito sopra attraverso la base canonica.
[edit] Mi sono accorto di un piccolo errore e ho corretto.[/quote]
Sto cercando di capire il tuo ragionamento.. Allora sono d'accordo, per la definizione di spazio ortogonale, che $A^(\bot) $ è un sottospazio vettoriale di $R^3$. Ragionando così:
$ f(A) sube A^(\bot) in End(R^3) $
$ g(A) sube A^(\bot) in End(R^3) $
Allora:
$[f(A) + g(A)] sube A^(\bot) in End(R^3)$
Poi, avendo $ \alpha , \beta in K $ posso dire che:
$ f(\alpha A)+ g(\beta A) sube A^(\bot) in End(R^3) $ = $\alpha f(A) + \beta g(A) sube A^(\bot) in End(R^3) $ = $ (\alpha f + \beta g)A sube A^(\bot) in End(R^3) $
In questa maniera ho dimostrato che H è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazioni per scalari.. Giusto? Sono d'accordo anche sulla dimensione di H, che però non ho calcolato col tuo stesso metodo...
Ho questa domanda: come faccio a scrivere la matrice associata ad H??? Una volta che riesco a scriverla dovrei riuscire a troverne un elemento non nullo no?
Come posso fare?
Grazie per l'aiuto!
Per la prima parte mi sembra corretto.
Riguardo al mio ragionamento. Sia \(\displaystyle h\in H \). Allora \(\displaystyle hA \subseteq A^{\perp} = \mathbb{R}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle A = \mathcal{L}(\mathbf{e}_2, \mathbf{w}) \), allora \(\displaystyle h(\mathbf{e}_2) = \alpha_{12}\mathbf{v} \) e \(\displaystyle h(\mathbf{w}) = \alpha_{13}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{v} \) può andare ovunque allora \(\displaystyle h(\mathbf{v}) = \alpha_{11}\mathbf{v} + \alpha_{21}\mathbf{e}_2 + \alpha_{31}\mathbf{w} \). Ovviamente potevi direttamente contare le variabili indipendenti scritte sopra per la dimensione. In ogni caso un elemento \(\displaystyle h\in H \) ha come matrice rispetto a quella base una matrice del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Per l'esempio ti basta comunque prendere dei valori di \(\displaystyle \alpha_{ij} \) molto particolari.
Riguardo al mio ragionamento. Sia \(\displaystyle h\in H \). Allora \(\displaystyle hA \subseteq A^{\perp} = \mathbb{R}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle A = \mathcal{L}(\mathbf{e}_2, \mathbf{w}) \), allora \(\displaystyle h(\mathbf{e}_2) = \alpha_{12}\mathbf{v} \) e \(\displaystyle h(\mathbf{w}) = \alpha_{13}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{v} \) può andare ovunque allora \(\displaystyle h(\mathbf{v}) = \alpha_{11}\mathbf{v} + \alpha_{21}\mathbf{e}_2 + \alpha_{31}\mathbf{w} \). Ovviamente potevi direttamente contare le variabili indipendenti scritte sopra per la dimensione. In ogni caso un elemento \(\displaystyle h\in H \) ha come matrice rispetto a quella base una matrice del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Per l'esempio ti basta comunque prendere dei valori di \(\displaystyle \alpha_{ij} \) molto particolari.
"vict85":
Per la prima parte mi sembra corretto.
Riguardo al mio ragionamento. Sia \(\displaystyle h\in H \). Allora \(\displaystyle hA \subseteq A^{\perp} = \mathbb{R}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle A = \mathcal{L}(\mathbf{e}_2, \mathbf{w}) \), allora \(\displaystyle h(\mathbf{e}_2) = \alpha_{12}\mathbf{v} \) e \(\displaystyle h(\mathbf{w}) = \alpha_{13}\mathbf{v} \). Siccome \(\displaystyle \mathbf{v} \) può andare ovunque allora \(\displaystyle h(\mathbf{v}) = \alpha_{11}\mathbf{v} + \alpha_{21}\mathbf{e}_2 + \alpha_{31}\mathbf{w} \). Ovviamente potevi direttamente contare le variabili indipendenti scritte sopra per la dimensione. In ogni caso un elemento \(\displaystyle h\in H \) ha come matrice rispetto a quella base una matrice del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Per l'esempio ti basta comunque prendere dei valori di \(\displaystyle \alpha_{ij} \) molto particolari.
E' corretto fare così? :
$ ( (a , b , c) , (d , e , f) , (g , h , i) ) ( (1) , (0) , (-2) ) = ( (0) , (0) , (0) ) $
$ \ { ( a -2c = 0 ) , ( d - 2f = 0 ) , ( g -2i = 0 ) : } $
$ \ { ( a = 2c ) , ( d = 2f ) , ( g = 2i ) : } $ $->$
$ ( (2 , 0 , 1) , ( 0 , 0 , 0) , (0 , 0 , 0) ) ( (0 , 0 , 0) , (2 , 0 , 1) , (0 , 0 , 0) ) ( (0 , 0 , 0) , (0 , 0 , 0) , (2 , 0 , 1) ) $
Non riesco a scrivere il sistema
però penso si capisca comunque
Non capisco perché dovrebbe venire 0.
In ogni caso \(\displaystyle \mathbf{e}_1 = \frac15\mathbf{v} + \frac25\mathbf{w} = \frac15(1,0,-2) + \frac25(2,0,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 = -\frac25\mathbf{v} + \frac15\mathbf{w} = -\frac25(1,0,-2) + \frac15(2,0,1) \).
La matrice di trasformazione è \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \) con inversa \(\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} \)
Quindi un generico elemento ha la forma
\begin{align} & \frac15\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\ =& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} & -2\alpha_{12} & -2\alpha_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\
=& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} + 2\alpha_{13} & 5\alpha_{12} & -2\alpha_{11} - 4\alpha_{31} + \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & -2\alpha_{21} \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} -4\alpha_{13} & -10\alpha_{12} & 4\alpha_{11} - 2\alpha_{31} -2\alpha_{13}\end{pmatrix}
\end{align}
Per esempio se poni \(\displaystyle \alpha_{21} = 5 \) e \(\displaystyle \alpha_{11} = \alpha_{31} = \alpha_{13} = \alpha_{12} = 1 \) ricavi la matrice:
\begin{align}\frac15\begin{pmatrix} 1 + 2 + 2 & 5 & -2 - 4 + 1 \\ 5 & 0 & -10 \\ -2 + 1 -4 & -10 & 4 - 2 -2\end{pmatrix} &= \frac15\begin{pmatrix} 5 & 5 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -10 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
Ora rimane da controllare che abbia fatto i calcoli giusti...
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
Sembra che almeno il risultato finale sia effettivamente in \(\displaystyle H \)
.
Per scrupolo controllo anche \(\displaystyle \mathbf{v} \):
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 +2 \\ 1+4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
quindi tutto sommato penso di aver fatto i calcoli corretti.
In ogni caso \(\displaystyle \mathbf{e}_1 = \frac15\mathbf{v} + \frac25\mathbf{w} = \frac15(1,0,-2) + \frac25(2,0,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 = -\frac25\mathbf{v} + \frac15\mathbf{w} = -\frac25(1,0,-2) + \frac15(2,0,1) \).
La matrice di trasformazione è \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \) con inversa \(\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} \)
Quindi un generico elemento ha la forma
\begin{align} & \frac15\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\ =& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} & -2\alpha_{12} & -2\alpha_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\
=& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} + 2\alpha_{13} & 5\alpha_{12} & -2\alpha_{11} - 4\alpha_{31} + \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & -2\alpha_{21} \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} -4\alpha_{13} & -10\alpha_{12} & 4\alpha_{11} - 2\alpha_{31} -2\alpha_{13}\end{pmatrix}
\end{align}
Per esempio se poni \(\displaystyle \alpha_{21} = 5 \) e \(\displaystyle \alpha_{11} = \alpha_{31} = \alpha_{13} = \alpha_{12} = 1 \) ricavi la matrice:
\begin{align}\frac15\begin{pmatrix} 1 + 2 + 2 & 5 & -2 - 4 + 1 \\ 5 & 0 & -10 \\ -2 + 1 -4 & -10 & 4 - 2 -2\end{pmatrix} &= \frac15\begin{pmatrix} 5 & 5 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -10 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
Ora rimane da controllare che abbia fatto i calcoli giusti...
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
Sembra che almeno il risultato finale sia effettivamente in \(\displaystyle H \)
.Per scrupolo controllo anche \(\displaystyle \mathbf{v} \):
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 +2 \\ 1+4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
quindi tutto sommato penso di aver fatto i calcoli corretti.
"vict85":
Non capisco perché dovrebbe venire 0.
In ogni caso \(\displaystyle \mathbf{e}_1 = \frac15\mathbf{v} + \frac25\mathbf{w} = \frac15(1,0,-2) + \frac25(2,0,1) \) e \(\displaystyle \mathbf{e}_3 = -\frac25\mathbf{v} + \frac15\mathbf{w} = -\frac25(1,0,-2) + \frac15(2,0,1) \).
La matrice di trasformazione è \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \) con inversa \(\displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} \)
Quindi un generico elemento ha la forma
\begin{align} & \frac15\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ \alpha_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\ =& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & 0 \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} & -2\alpha_{12} & -2\alpha_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix} = \\
=& \frac15\begin{pmatrix} \alpha_{11} + 2\alpha_{31} + 2\alpha_{13} & 5\alpha_{12} & -2\alpha_{11} - 4\alpha_{31} + \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & 0 & -2\alpha_{21} \\ -2\alpha_{11} + \alpha_{31} -4\alpha_{13} & -10\alpha_{12} & 4\alpha_{11} - 2\alpha_{31} -2\alpha_{13}\end{pmatrix}
\end{align}
Per esempio se poni \(\displaystyle \alpha_{21} = 5 \) e \(\displaystyle \alpha_{11} = \alpha_{31} = \alpha_{13} = \alpha_{12} = 1 \) ricavi la matrice:
\begin{align}\frac15\begin{pmatrix} 1 + 2 + 2 & 5 & -2 - 4 + 1 \\ 5 & 0 & -10 \\ -2 + 1 -4 & -10 & 4 - 2 -2\end{pmatrix} &= \frac15\begin{pmatrix} 5 & 5 & -5 \\ 5 & 0 & -10 \\ -5 & -10 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
Ora rimane da controllare che abbia fatto i calcoli giusti...
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 2-2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)
Sembra che almeno il risultato finale sia effettivamente in \(\displaystyle H \)
Per scrupolo controllo anche \(\displaystyle \mathbf{v} \):
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 +2 \\ 1+4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)
quindi tutto sommato penso di aver fatto i calcoli corretti.
Grazie.. Avrei ancora due domande, una di carattere più generale e una più specifica riguardo l'esercizio:
- In ogni esercizio in cui si richieda un elemento non nullo di un'applicazione lineare (come H ad esempio)
devo eseguire questi passaggi? Ossia trovare l'inversa e la matrice di trasformazione?
-Ancora non sono riuscita a capire le condizioni imposte alla matrice..
Grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
Allora, ho rifatto i conti ed impostato così il problema:
$ 1/5( (1, 0 , 2) , (0 , 1 , 0) , (-2 , 0 , 1) ) ( (a , b , c) , (d , e , f) , (g , h , i) ) ( (1 , 0 , -2) , (0 , 5 , 0) , (2 , 0, 1) ) = $
$ 1/5 ( (a+2g , b+2h , c+2i) , (d , e , f) , (-2a+g , -2b+h , -2c+i) ) ( (1 , 0 , -2) , (0 , 5 , 0) , (2 , 0 , 1) ) = $
$ 1/5 ( (a+2g+2c+4i , 5b+10h , -2a-4g+c+2i) , (d+2f , 5e , -2d+f) , (-2a+g-4c+2i , -10b+5h , 4a-2g-2c+i) ) $
Scegliendo poi $a = b = c = d = e = f = g = h = i = 1 $ ottengo:
$ 1/5 ( (9 , 15 , -3) , (3 , 5 , -1) , (-3 , -5 , 1) ) = $
$ ( (9/5 , 3 , -3/5) , (3/5 , 1 , -1/5) , (-3/5 , -1 , 1/5) ) $
Ho provato a fare la riprova:
$ ( (9/5 , 3 , -3/5) , (3/5 , 1 , -1/5) , (-3/5 , -1 , 1/5) ) ( (2) , (0) , (1) ) = $
$ ( ((18/5 - 3)) , ((6/5 - 1/5)) , ((-6/5 +1/5)) ) = $
$ ( (3) , (1) , (-1) ) = $
$ ( (1) , (0) , (-2) ) + ( (2) , (0) , (1) ) + ( (0) , (1) , (0) ) $
E' corretto?
$ 1/5( (1, 0 , 2) , (0 , 1 , 0) , (-2 , 0 , 1) ) ( (a , b , c) , (d , e , f) , (g , h , i) ) ( (1 , 0 , -2) , (0 , 5 , 0) , (2 , 0, 1) ) = $
$ 1/5 ( (a+2g , b+2h , c+2i) , (d , e , f) , (-2a+g , -2b+h , -2c+i) ) ( (1 , 0 , -2) , (0 , 5 , 0) , (2 , 0 , 1) ) = $
$ 1/5 ( (a+2g+2c+4i , 5b+10h , -2a-4g+c+2i) , (d+2f , 5e , -2d+f) , (-2a+g-4c+2i , -10b+5h , 4a-2g-2c+i) ) $
Scegliendo poi $a = b = c = d = e = f = g = h = i = 1 $ ottengo:
$ 1/5 ( (9 , 15 , -3) , (3 , 5 , -1) , (-3 , -5 , 1) ) = $
$ ( (9/5 , 3 , -3/5) , (3/5 , 1 , -1/5) , (-3/5 , -1 , 1/5) ) $
Ho provato a fare la riprova:
$ ( (9/5 , 3 , -3/5) , (3/5 , 1 , -1/5) , (-3/5 , -1 , 1/5) ) ( (2) , (0) , (1) ) = $
$ ( ((18/5 - 3)) , ((6/5 - 1/5)) , ((-6/5 +1/5)) ) = $
$ ( (3) , (1) , (-1) ) = $
$ ( (1) , (0) , (-2) ) + ( (2) , (0) , (1) ) + ( (0) , (1) , (0) ) $
E' corretto?
A me sembra corretto, comunque aspetterei la conferma di qualcuno più esperto di me
No, hai messo troppe cose a 1, non vedi che il vettore non viene mandato nel sottospazio corretto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo