Algebra lineare
Sia $ A= { ( (x) , (y) , (z) ) $ appartenente $ R^3 $ tale che $ x-2z=0 }$ e sia:
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
$ H= { f $ appartenente $ End(R^3) $ tale che $ f(A)\subseteq A(perpendicolare)} $
1. Calcolare una dimensione e una base di A e A(perpendicolare)
2.Provare che H è un sottospazio di R^3 e calcolarne una dimensione
3.scrivere esplicitamente un elemento non nullo di H
Questo era un esercizio del mio compito, il punto 1 penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fareste un grande piacere!), mentre sugli altri 2 non so proprio come muovermi.. Potete darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Ma cosa scelgo cosa mettere uguale a 1 e cosa a 5 e cosa a zero?
Non importa cosa metti a 1 cosa a 5 o cosa a 264. L'importante è che siano a 0 le cose giuste. Gli altri valori possono essere arbitrari. La mia scelta è stata fatta con l'obiettivo di avere una matrice semplice come risultato finale. Ma qualsiasi altra matrice con gli zeri al posto giusto andrebbe bene.
Okay. Ma da cosa intuisco quali valori della matrice devono essere nulli?
Se un vettore deve andare in un sottospazio allora viene mandato in 0 nel sottospazio complementare.
Quindi per imporre le condizioni giuste alla matrice che devo trovare, prima di tutto dovrei trovare il sottospazio complementare ad $ A^(\bot) $ ?
Potresti per favore illustrarmi il procedimento corretto? Come vedi sto facendo diversi tentativi senza però riuscire a capire per bene le cose e quindi sbagliando..
puoi darmi una mano? Grazie!
Potresti per favore illustrarmi il procedimento corretto? Come vedi sto facendo diversi tentativi senza però riuscire a capire per bene le cose e quindi sbagliando..
puoi darmi una mano? Grazie!
Non ci stiamo capendo. Devi costruire la matrice come nel caso della base standard, solo che la base non è standard ovvero hai sia il vettore iniziale che quello finale espresso secondo la base in questione.
"vict85":
Non ci stiamo capendo. Devi costruire la matrice come nel caso della base standard, solo che la base non è standard ovvero hai sia il vettore iniziale che quello finale espresso secondo la base in questione.
Questo l'avevo capito, quello che non comprendo è come fare a ricavare le condizioni della matrice (ovvero quali elementi dovrei porre uguali a zero)... Ho riletto anche il messaggio che mi avevi inviato qualche giorno fa, eppure non riesco a capire come tu abbia dedotto quali elementi annullare
Se tu sapessi che il sottogruppo generato dagli ultimi vettori standard fosse mandato nel sottogruppo generato dal primo che matrice faresti?
Se ho capito la domanda, cosa di cui non ho la certezza, probabilmente moltiplicherei una matrice qualsiasi (a,b,c ecc) per il vettore del primo sotto gruppo e lo uguaglierei all'altro sottogruppo
Se \(\displaystyle M = (m_{ij}) \) è la matrice allora \(\displaystyle M\mathbf{e}_{j} = \sum m_{ij}\mathbf{e}_{i} \).
Siccome le tue ipotesi sono che \(\displaystyle M\mathbf{e}_{2} = \lambda\mathbf{e}_1 + 0\mathbf{e}_2 + 0\mathbf{e}_3 \) e \(\displaystyle M\mathbf{e}_{3} = \mu \mathbf{e}_1 + 0\mathbf{e}_2 + 0\mathbf{e}_3 \) direi che è abbastanza immediato cosa diventi 0.
Siccome le tue ipotesi sono che \(\displaystyle M\mathbf{e}_{2} = \lambda\mathbf{e}_1 + 0\mathbf{e}_2 + 0\mathbf{e}_3 \) e \(\displaystyle M\mathbf{e}_{3} = \mu \mathbf{e}_1 + 0\mathbf{e}_2 + 0\mathbf{e}_3 \) direi che è abbastanza immediato cosa diventi 0.
Perdonami ma non riesco proprio a capire come faccio a sapere che quelle sono le ipotesi..! Nel primo messaggio che hai scritto, mentre ragionavi sulla dimensione di $H$, hai affermato che $h_22=h_23=h_32=h_33$ .. Potresti chiarirmi questa frase? Perchè è coerente con tutto quello che hai detto dopo, ma non capisco come tu ci sia arrivato
Non so davvero come semplificarti il discorso oltre al fatto che quelli sono i coefficienti della matrice rispetto a quella base e che dicono che la matrice non manda quel sottogruppo in se stesso.
Lo puoi vedere in questo modo, più algebrico e quindi probabilmente più complesso.
\(\displaystyle \mathbb{R}^3 = A\oplus A^{\perp} \cong \mathbb{R}^2\oplus\mathbb{R} \).
Siano quindi \(\displaystyle i_1\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \) una mappa lineare con immagine \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle i_2\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3 \) la mappa \(\displaystyle i_2\colon 1\mapsto \mathbf{v} = (1,0,-2) \). Possiamo supporre senza troppi problemi che si abbia \(\displaystyle i_1(1,0) = (0,1,0) \) e \(\displaystyle i_1(0,1) = (1,0,2) \). Nota che la matrice rispetto a questo isomorfismo ha i due sottogruppi scambiati, ma mi sembrava più naturale presentare le cose così. Sia quindi \(\displaystyle p_1\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \) la proiezione sulla prima componente, ovvero tali che \(\displaystyle p_1A = \mathbb{R}^2 \), \(\displaystyle p_1A^{\perp} = 0 \), \(\displaystyle p_1\circ i_1 = \mathrm{id}_A \) e \(\displaystyle i_1\circ p_1 \) la mappa \( \mathbf{x}+\mathbf{y} \mapsto \mathbf{x} \) per ogni \(\displaystyle \mathbf{x}\in A \) e \(\displaystyle \mathbf{y}\in A^{\perp} \). Sia infine \(\displaystyle p_2\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) la proiezione sulla seconda componente. Non mi metto a riscrivere le cose, sono del tutto analoghe a \(\displaystyle p_1 \) con \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^{\perp} \) scambiate.
La condizione che \(\displaystyle h\in H \) se e solo se \(\displaystyle hA\subseteq A^{\perp} \) equivale a dire che esiste un \(\displaystyle f\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) \) (l'insieme delle mappe lineari tra i due spazi) tale che \(\displaystyle h\circ i_1 = i_2\circ f \). Ogni elemento \(\displaystyle g\in \mathrm{End}(\mathbb{R}^3) \) si può scrivere in maniera univoca come \(\displaystyle g = i_1\circ g_{11}\circ p_1 + i_2\circ g_{21}\circ p_1 + i_1\circ g_{12}\circ p_2 + i_2\circ g_{22}\circ p_2 \) per qualche \(\displaystyle g_{11}\in \mathrm{End}(\mathbb{R}^2) \), \(\displaystyle g_{22}\in \mathrm{End}(\mathbb{R}) \), \(\displaystyle g_{12}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) \), \(\displaystyle g_{21}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) \). Siccome
\(\displaystyle \begin{align} h\circ i_1 &= i_1\circ h_{11}\circ p_1\circ i_1 + i_2\circ h_{21}\circ p_1\circ i_1 + i_1\circ h_{12}\circ p_2\circ i_1 + i_2\circ h_{22}\circ p_2\circ i_1 \\
&= i_1\circ h_{11} + i_2\circ h_{21}
\end{align}\)
Si ricava che \(\displaystyle h_{11} \) deve essere ma mappa nulla. La dimensione è data dal fatto che \(\displaystyle \dim H = \dim \mathrm{End}(\mathbb{R}) + \dim \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) + \mathrm{Lin}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) = 1+2+2 = 5 \).
A livello di matrice questo discorso è legato alla suddivisione della matrice a blocchi.
Lo puoi vedere in questo modo, più algebrico e quindi probabilmente più complesso.
\(\displaystyle \mathbb{R}^3 = A\oplus A^{\perp} \cong \mathbb{R}^2\oplus\mathbb{R} \).
Siano quindi \(\displaystyle i_1\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \) una mappa lineare con immagine \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle i_2\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3 \) la mappa \(\displaystyle i_2\colon 1\mapsto \mathbf{v} = (1,0,-2) \). Possiamo supporre senza troppi problemi che si abbia \(\displaystyle i_1(1,0) = (0,1,0) \) e \(\displaystyle i_1(0,1) = (1,0,2) \). Nota che la matrice rispetto a questo isomorfismo ha i due sottogruppi scambiati, ma mi sembrava più naturale presentare le cose così. Sia quindi \(\displaystyle p_1\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 \) la proiezione sulla prima componente, ovvero tali che \(\displaystyle p_1A = \mathbb{R}^2 \), \(\displaystyle p_1A^{\perp} = 0 \), \(\displaystyle p_1\circ i_1 = \mathrm{id}_A \) e \(\displaystyle i_1\circ p_1 \) la mappa \( \mathbf{x}+\mathbf{y} \mapsto \mathbf{x} \) per ogni \(\displaystyle \mathbf{x}\in A \) e \(\displaystyle \mathbf{y}\in A^{\perp} \). Sia infine \(\displaystyle p_2\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) la proiezione sulla seconda componente. Non mi metto a riscrivere le cose, sono del tutto analoghe a \(\displaystyle p_1 \) con \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^{\perp} \) scambiate.
La condizione che \(\displaystyle h\in H \) se e solo se \(\displaystyle hA\subseteq A^{\perp} \) equivale a dire che esiste un \(\displaystyle f\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) \) (l'insieme delle mappe lineari tra i due spazi) tale che \(\displaystyle h\circ i_1 = i_2\circ f \). Ogni elemento \(\displaystyle g\in \mathrm{End}(\mathbb{R}^3) \) si può scrivere in maniera univoca come \(\displaystyle g = i_1\circ g_{11}\circ p_1 + i_2\circ g_{21}\circ p_1 + i_1\circ g_{12}\circ p_2 + i_2\circ g_{22}\circ p_2 \) per qualche \(\displaystyle g_{11}\in \mathrm{End}(\mathbb{R}^2) \), \(\displaystyle g_{22}\in \mathrm{End}(\mathbb{R}) \), \(\displaystyle g_{12}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) \), \(\displaystyle g_{21}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) \). Siccome
\(\displaystyle \begin{align} h\circ i_1 &= i_1\circ h_{11}\circ p_1\circ i_1 + i_2\circ h_{21}\circ p_1\circ i_1 + i_1\circ h_{12}\circ p_2\circ i_1 + i_2\circ h_{22}\circ p_2\circ i_1 \\
&= i_1\circ h_{11} + i_2\circ h_{21}
\end{align}\)
Si ricava che \(\displaystyle h_{11} \) deve essere ma mappa nulla. La dimensione è data dal fatto che \(\displaystyle \dim H = \dim \mathrm{End}(\mathbb{R}) + \dim \mathrm{Lin}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2) + \mathrm{Lin}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}) = 1+2+2 = 5 \).
A livello di matrice questo discorso è legato alla suddivisione della matrice a blocchi.
In effetti io per la dimensione di H avevo ragionato così.. Anche se è molto più laborioso!
Ad ogni modo, è corretto dire :
Poichè i vettori $e_2$ e $w$ sono mandati in $A^(\bot)$ allora possiamo dire che $h_22=h_23=h_32=h_33$ ?
Ad ogni modo, è corretto dire :
Poichè i vettori $e_2$ e $w$ sono mandati in $A^(\bot)$ allora possiamo dire che $h_22=h_23=h_32=h_33$ ?
Si, quelli sono i coefficienti relativi al blocco che rappresenta l'endomorfismo nullo di A identificato prima.
Perfetto, grazie mille per la pazienza e la disponibilità!
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