Aiutino piccolo [posizione reciproca sottospazi]
Scusate se ho una retta $r:{(x=1+t),(y=-t),(z=-3):}$ e un piano $\pi:2x-4y+7=0$
come trovo la posizione reciproca, di solito la studio tra 2 retta ma qui come si fa? [mod="Martino"]Ho specificato il titolo. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]
come trovo la posizione reciproca, di solito la studio tra 2 retta ma qui come si fa? [mod="Martino"]Ho specificato il titolo. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]
Risposte
Forse questa discussione può aiutarti
http://www.matematicamente.it/forum/quesito-su-retta-t66702.html?highlight=posizione%20reciproca
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Ora vedo...grazie
Non riesco a capire, la posizione la devo studiare come studio normalmente la posizione reciproca tra rette?
Consiste nel considerare la matrice fatta dai coefficienti dei 3 piani.
Cosa non ti è chiaro di preciso?
Cosa non ti è chiaro di preciso?
"Alxxx28":
Consiste nel considerare la matrice fatta dai coefficienti dei 3 piani.
Cosa non ti è chiaro di preciso?
Come risolvere l'esercizio, lo studio della posizione reciproca...perchè ho letto i post relativi al link ma non ho capito laproceduara giusta per svolgerlo.
Per iniziare ti scrivi la matrice seguente
$ ( ( A , B ,C ),( A' , B' ,C' ),( \alpha ,\beta ,\gamma ) ) $
dove $ r: { ( Ax+By+Cz+D=0 ),( A'x+B'y+C'z+D'=0 ):} $
e $\vec n=(\alpha ,\beta ,\gamma)$ è il vettore normale al piano $\pi$
Adesso prova a ragionare sulle possibili situazioni
Alternativa: dato che hai le equazioni parametriche di $r$, conosci già il suo vettore di direzione $\vec v_r=(1,-1,0)$
Quindi se $< \vec n , \vec v_r > = 0$ vuol dire che $r$ è parallela al piano $\pi$
Se invece $\vec v_r $ al vettore $\vec n$, allora il piano $\pi$ è ortogonale alla retta.
In questo modo eviti il passaggio alle equazioni cartesiane, per quanto riguarda la retta $r$.
$ ( ( A , B ,C ),( A' , B' ,C' ),( \alpha ,\beta ,\gamma ) ) $
dove $ r: { ( Ax+By+Cz+D=0 ),( A'x+B'y+C'z+D'=0 ):} $
e $\vec n=(\alpha ,\beta ,\gamma)$ è il vettore normale al piano $\pi$
Adesso prova a ragionare sulle possibili situazioni
Alternativa: dato che hai le equazioni parametriche di $r$, conosci già il suo vettore di direzione $\vec v_r=(1,-1,0)$
Quindi se $< \vec n , \vec v_r > = 0$ vuol dire che $r$ è parallela al piano $\pi$
Se invece $\vec v_r $ al vettore $\vec n$, allora il piano $\pi$ è ortogonale alla retta.
In questo modo eviti il passaggio alle equazioni cartesiane, per quanto riguarda la retta $r$.
"Alxxx28":
Quindi se $< \vec n , \vec v_r > = 0$ vuol dire che $r$ è parallela al piano $\pi$
Se invece $\vec v_r $ al vettore $\vec n$, allora il piano $\pi$ è ortogonale alla retta.
In questo modo eviti il passaggio alle equazioni cartesiane, per quanto riguarda la retta $r$.
questo $< \vec n , \vec v_r > = 0$ è un prodotto vettoriale giusto?
mentra il vettore normale del piano è $\alpha=2 ,\beta=4 ,\gamma=0$?
un altra cosa per questo cosa indendi penso che hai mancato qualche termine
"Se invece $\vec v_r $ al vettore $\vec n$, allora il piano $\pi$ è ortogonale alla retta."
"kiblast":
questo $< \vec n , \vec v_r > = 0$ è un prodotto vettoriale giusto?
prodotto scalare
"kiblast":
mentra il vettore normale del piano è $\alpha=2 ,\beta=4 ,\gamma=0$?
$\beta$ è -4, per il resto ok
"kiblast":
un altra cosa per questo cosa indendi penso che hai mancato qualche termine
"Se invece $\vec v_r $ al vettore $\vec n$, allora il piano $\pi$ è ortogonale alla retta."
Si scusa, intendevo "se $\vec v_r $ è proporzionale al vettore $\vec n$ "
quindi moltiplico (1*2)+(-1*4)+(0*0)=0 quindi la retta e il piano non sono parallele e i vettori non sono propozionali quindi non sono ortogonali cosa deduco?
"kiblast":
quindi moltiplico (1*2)+(-1*4)+(0*0) $\ne$ 0 quindi la retta e il piano non sono parallele e i vettori non sono propozionali quindi non sono ortogonali cosa deduco?
Il fatto che non sono proporzionali non implica la non ortogonalità.
Penso che lo sai, ma non ti sei espresso/a al meglio.
Comunque puoi dedurre che piano e retta sono incidenti, e sicuramente non ortogonali.
quindi in via definitiva per controllare la posizione reciproca tra una retta e un piano faccio:
1) prodotto scalare tra il vettore direttore di r e il vdettore normale a$\pi$ uguale a zero, se l'equazione non è soddisfatta non sono paralleli.
2)potrebbero essere incidenti in un punto, quindi metto a sistema le equazioni cartesiane(vero?
)
E per controllare l'ortogonalità, come faccio? Ulima domanda, un piano e una retta posso essere sghembi ? io penso di si
1) prodotto scalare tra il vettore direttore di r e il vdettore normale a$\pi$ uguale a zero, se l'equazione non è soddisfatta non sono paralleli.
2)potrebbero essere incidenti in un punto, quindi metto a sistema le equazioni cartesiane(vero?
)E per controllare l'ortogonalità, come faccio? Ulima domanda, un piano e una retta posso essere sghembi ? io penso di si
Una retta e un piano sono ortogonali se il vettore direttore della retta è parallelo al vettore normale del piano.
Lo studio del parallelismo lo faccio cosi? $v_r=\lambdan_\pi$?
Si, ma il parallelismo è tra i due vettori, attento/a a non fare confusione
edit: mi riferisco all' equazione da te scritta $v_r=\lambda n_{\pi}$
In $E^3$ sicuramente no. In spazi euclidei di dimensione maggiore può essere, ma non sono informato su questo.
edit: mi riferisco all' equazione da te scritta $v_r=\lambda n_{\pi}$
Ulima domanda, un piano e una retta posso essere sghembi ? io penso di si
In $E^3$ sicuramente no. In spazi euclidei di dimensione maggiore può essere, ma non sono informato su questo.
ok grazie, e lo studio dell'ortogonalità allora come lo risolvo? scusa lo so do fastidio ma non ho nessun esercizio per confrontare e mi trovo in grande dificoltà...xd
Attraverso il risultato che ottieni dal seguente prodotto scalare $< \vec v_r,\vec n_{\pi} >$ puoi stabilire se i due vettori sono ortogonali oppure no.
Come saprai $< \vec v_r,\vec n_{\pi} > = ||vec v_r|| \cdot || vec n_{\pi} || cos\phi$ e $\phi$ rappresenta l' angolo convesso tra i due vettori.
Non ti preoccupare, nessun fastidio
Come saprai $< \vec v_r,\vec n_{\pi} > = ||vec v_r|| \cdot || vec n_{\pi} || cos\phi$ e $\phi$ rappresenta l' angolo convesso tra i due vettori.
"kiblast":
scusa lo so do fastidio ma non ho nessun esercizio per confrontare e mi trovo in grande dificoltà...xd
Non ti preoccupare, nessun fastidio
devo fare sempre cosi per studiare la posizione reciproca tra una retta e un piano?
Si, ma puoi anche seguire il metodo che ti dicevo prima, determinando il rango della matrice dei coefficienti.
Per far questo però devi ricavare prima le equazioni cartesiane della retta.
Per far questo però devi ricavare prima le equazioni cartesiane della retta.
"Alxxx28":
Per iniziare ti scrivi la matrice seguente
$ ( ( A , B ,C ),( A' , B' ,C' ),( \alpha ,\beta ,\gamma ) ) $
dove $ r: { ( Ax+By+Cz+D=0 ),( A'x+B'y+C'z+D'=0 ):} $
e $\vec n=(\alpha ,\beta ,\gamma)$ è il vettore normale al piano $\pi$
L'equazione cartesiana la ricavo sostituendo un valore a piacere, vero?
una volta scritta la matrice in questo modo, ragionando, se la matrice ha rango massimo il sistema è incopantibile e quindi retta e piano sono paralleli, se il rango è zero sono incidenti, ma non conosco il punto, e per vedere se sono incidenti in modo ortogonale devo usare quella formula che hai scritto tu per l'angolo tra i vettori?
"kiblast":
L'equazione cartesiana la ricavo sostituendo un valore a piacere, vero?
Dove intendi fare la sostituzione? Ricordi il teorema sul passaggio da equazioni parametriche a cartesiane?
"kiblast":
una volta scritta la matrice in questo modo, ragionando, se la matrice ha rango massimo il sistema è incopantibile e quindi retta e piano sono paralleli
no, è sbagliato ciò che dici. Perchè dovrebbe essere incompatibile il sistema?
"kiblast":
se il rango è zero sono incidenti, ma non conosco il punto, e per vedere se sono incidenti in modo ortogonale devo usare quella formula che hai scritto tu per l'angolo tra i vettori?
rango uguale a zero??
ma scherzi?Mi sa tanto che dovresti ripassare la definizione di rango.
Per l' ortogonalità ok comunque.
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