Aiutino piccolo [posizione reciproca sottospazi]

[kiblast]

Scusate se ho una retta $r:{(x=1+t),(y=-t),(z=-3):}$ e un piano $\pi:2x-4y+7=0$

come trovo la posizione reciproca, di solito la studio tra 2 retta ma qui come si fa? [mod="Martino"]Ho specificato il titolo. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]

[kiblast]

scusa determinante = 0 e quindi rango < 3 perche ci sono di vettori prpozionali....

[Alxxx28]

Ok, al limite può essere due il rango, dato che obbligatoriamente i piani che formano la retta, devono essere incidenti

[kiblast]

Quindi in via definitiva per studiare la posizione rciproca devo:

Se ho le equazioni parametriche della retta e il piano, conosco già il suo vettore di direzionale che moltiplico( in modo scalare) per il vettore normale alla superficie e potrebbero accadere 2 cose:

prodotto=0 piano e retta sono paralleli

prodotto$\ne0,\ne \lambdax$ incidenti non ortogonalmente.

se sono incidenti faccio $< \vec v_r,\vec n_{\pi} > = ||vec v_r|| \cdot || vec n_{\pi} || cos\phi$ se risulata essere 90° sono ortogonali

giusto?

EDIT: modificato per avere una visione totale dello svolgimento.

[Alxxx28]

"kiblast":
prodotto=$\lambda$x piano e retta sono ortogonali

prodotto $≠0$,$≠λx$ incidenti non ortogonalmente

Cosa intendi con[tex]\lambda x[/tex] ?
Comunque in generale se il prodotto scalare è diverso da zero, piano e retta sono incidenti,
quindi i 3 casi che hai scritto si riducono a 2 (riguardo al prodotto scalare).
L' ortogonalità la verifichi senza usare il prodotto scalare.

[kiblast]

Intendevo propozionali, mentre se sono incidenti posso calcolarmi l'angolo con $< \vec v_r,\vec n_{\pi} > = ||vec v_r|| \cdot || vec n_{\pi} || cos\phi$ se risulata essere 90° sono ortogonali. giusto?

[Alxxx28]

"kiblast":Intendevo propozionali

ha senso solo in alcuni casi, quindi ti conviene evitare di ragionare in quel modo

"kiblast":
mentre se sono incidenti posso calcolarmi l'angolo con $< \vec v_r,\vec n_{\pi} > = ||vec v_r|| \cdot || vec n_{\pi} || cos\phi$ se risulata essere 90° sono ortogonali. giusto?

si, se $\phi$ è 90° i due vettori sono ortogonali

[kiblast]

dubbio: la norma di un vettore (esempio) (1,2,3) è uguale a = $sqrt(1*1+2*2+3*3)=sqrt(13)

[Alxxx28]

Si è giusto

[kiblast]

Ok grazie mille

[kiblast]

"kiblast":dubbio: la norma di un vettore (esempio) (1,2,3) è uguale a = $sqrt(1*1+2*2+3*3)=sqrt(13)

e se il vettore normale è ( 1,2,-3) il conto mi viene $13cos\phi=0$ e quindi il piano e la retta sono ortogonali?

[djcrocchette]

OK tutto chiaro,ma domando: per verificare che i due vettori sono ortogonali non basta vedere se sono proporzionali??? Quindi se vett direzionale e normale al piano sono proporzionali, ossia paralleli tra loro, retta e piano sono ortogonali...Giusto???

[kiblast]

penso di si

[djcrocchette]

Quindi non c'è bisogno di usare la formula con la norma dei vettori per il coseno di teta, giusto??

[kiblast]

questo non lo so, devi chiedere a qualcuno...

[djcrocchette]

Ti prego aiutami a chierire perchè mi manca solo quest'esercizio:
Allora abbiamo detto che se: $$ = 0 ---> allora retta e piano sono paralleli!
se: $$ diverso da 0 --->retta e piano sono incidenti! Giusto???

Ora nel tuo caso per verificare che sono ortogonali usi la formula della norma per il coseno, ma l'angolo come te lo trovi??? Nel mio caso mi viene (radice di 45) che moltiplica cos(teta)...come faccio??? Ho visto che hai uguagliato l'equazione a zero, ma facendo così il coseno è sempre 90° come hai svolto?

[kiblast]

sinceramente non lo so, era la cosa che avevo chiesto ad Alxxx28 ma non mi ha risposto...xd

tu per caso sai spiegarmi come mi trovo la comune perpendicorlare tra 2 rette sghembe?

[Alxxx28]

"djcrocchette":Ti prego aiutami a chierire perchè mi manca solo quest'esercizio:
Allora abbiamo detto che se: $$ = 0 ---> allora retta e piano sono paralleli!
se: $$ diverso da 0 --->retta e piano sono incidenti! Giusto???

si esatto

"djcrocchette":
Ora nel tuo caso per verificare che sono ortogonali usi la formula della norma per il coseno, ma l'angolo come te lo trovi??? Nel mio caso mi viene (radice di 45) che moltiplica cos(teta)...come faccio??? Ho visto che hai uguagliato l'equazione a zero, ma facendo così il coseno è sempre 90° come hai svolto?

[tex]\frac {< \vec n_{\pi},\vec v_r > }{||\vec n_{\pi}|| \ ||\vec v_r||}= cos\phi[/tex]
quindi da questa formula ottieni [tex]\phi= \arccos\frac {< \vec n_{\pi},\vec v_r > }{||\vec n_{\pi}|| \ ||\vec v_r||}[/tex]
dove [tex]\phi[/tex] è l' angolo convesso tra i due vettori, quindi sarà compreso tra 0 e [tex]\pi/2[/tex]

@ kiblast: se n' è già parlato altre volte di perpendicolare comune, prova a fare una ricerca

[kiblast]

lo so ma non ci capisco mai un tubo, tra piani che comprendondo entrabi le rette, costruzioni geometriche, nel caso di 2 rette sghembe quali sono i passaggi da seguire?

e poi , [tex]\frac {< \vec n_{\pi},\vec v_r > }{||\vec n_{\pi}|| \ ||\vec v_r||}= cos\phi[/tex] qui il numertatore come lo calcolo, questi vettori con la virgola in mezza e le <> ai lati, li devo dividere per la norma , ma come lo calcolo questo valore, non so se mi sono spiegato.

[Alxxx28]

"kiblast":lo so ma non ci capisco mai un tubo, tra piani che comprendondo entrabi le rette, costruzioni geometriche, nel caso di 2 rette sghembe quali sono i passaggi da seguire?

Andiamo fuori dall' argomento del topic parlando di rette sghembe

"kiblast":e poi , [tex]\frac {< \vec n_{\pi},\vec v_r > }{||\vec n_{\pi}|| \ ||\vec v_r||}= cos\phi[/tex] qui il numertatore come lo calcolo, questi vettori con la virgola in mezza e le <> ai lati, li devo dividere per la norma , ma come lo calcolo questo valore, non so se mi sono spiegato.

il prodotto scalare [tex]< \vec x, \vec y >[/tex] può essere definito anche in questo modo:
[tex]$\sum_{i=1}^n x_i y_i$[/tex] per [tex]\vec x, \vec y \in \mathbb{R}^n[/tex]
e [tex]x_i[/tex] è l' i-esima componente di [tex]\vec x[/tex]
mentre [tex]y_i[/tex] è l' i-esima componente di [tex]\vec y[/tex]