Urto disco proiettile
Un cilindro di massa M e raggio R è fermo su di un piano scabro con coefficienti di attrito statico e dinamico pari a $\mu_s$ e $\mu_d$. Ad un certo istante, la massa viene colpita da un proiettile puntiforme di massa m che viaggia a velocità v orizzontale e ad una quota L rispetto al centro geometrico del cilindro. L'urto è completamente anaelastico.
Calcolare:
1) la velocità angolare del cilindro subito dopo l'urto
2) la velocità del centro di massa del cilindro subito dopo l'urto
3) l'energia dissipata durante l'urto
Dopo l'urto il cilindro striscia finchè, per attrito, non raggiunge il rotolamento perfetto
Calcolare:
4) Durante il rotolamento perfetto, la velocità angolare quando la massa si trova a transitare nel punto più alto
io ho pensato di fare cosi: m
1) Poichè c'è attrito, il momento angolare si conserva solo per un polo nel punto di contatto. Allora si ha:
$ mv(R+L) = (I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega $
$ \omega = \frac{mv(R+L)}{I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2} $
2) $v_{CM} = \omega R$
3) $\Delta E = \frac{1}{2}(I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega ^2 - \frac{1}{2} mv^2 $
4) Non so, proverei una cosa del genere:
$L_att - \DeltaU = \Delta K $
Dove il lavoro dell'attrito lo dovrei trovare come il prodotto scalare tra la forza (costante) e lo spostamento del centro di massa tra l'istante dell'urto e l'inizio del puro rotolamento
Calcolare:
1) la velocità angolare del cilindro subito dopo l'urto
2) la velocità del centro di massa del cilindro subito dopo l'urto
3) l'energia dissipata durante l'urto
Dopo l'urto il cilindro striscia finchè, per attrito, non raggiunge il rotolamento perfetto
Calcolare:
4) Durante il rotolamento perfetto, la velocità angolare quando la massa si trova a transitare nel punto più alto
io ho pensato di fare cosi: m
1) Poichè c'è attrito, il momento angolare si conserva solo per un polo nel punto di contatto. Allora si ha:
$ mv(R+L) = (I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega $
$ \omega = \frac{mv(R+L)}{I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2} $
2) $v_{CM} = \omega R$
3) $\Delta E = \frac{1}{2}(I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega ^2 - \frac{1}{2} mv^2 $
4) Non so, proverei una cosa del genere:
$L_att - \DeltaU = \Delta K $
Dove il lavoro dell'attrito lo dovrei trovare come il prodotto scalare tra la forza (costante) e lo spostamento del centro di massa tra l'istante dell'urto e l'inizio del puro rotolamento
Risposte
Subito dopo l'urto, la velocità del centro di massa del cilindro e la sua velocità angolare non sono legate da una relazione cinematica. Per questo motivo è necessario conservare la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale e il momento angolare totale rispetto al punto di contatto del cilindro con il piano. Ad ogni modo, il secondo membro dell'equazione che esprime la conservazione del momento angolare totale rispetto al punto di contatto non è corretta.
Allora dovrei risolvere il seguente sistema?
$mv(L+R) = (I_{cm} + m(L+R)^2)\omega + MVR + mV(L+R) $
$mv = (m+M)V $
$mv(L+R) = (I_{cm} + m(L+R)^2)\omega + MVR + mV(L+R) $
$mv = (m+M)V $
Stai sottovalutando la difficoltà del problema. Tra l'altro:
Ammesso e non concesso che la forza di attrito, non essendo necessariamente limitata superiormente, possa essere considerata una forza di natura non impulsiva. Ad ogni modo, anche se questo fosse il caso, la scrittura delle due equazioni richiederebbe una certa abilità.
"anonymous_0b37e9":
... è necessario conservare la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale ...
Ammesso e non concesso che la forza di attrito, non essendo necessariamente limitata superiormente, possa essere considerata una forza di natura non impulsiva. Ad ogni modo, anche se questo fosse il caso, la scrittura delle due equazioni richiederebbe una certa abilità.
Umm allora non so, mi servirebbe un aiuto
Non vorrei che la soluzione prevedesse, subito dopo l'urto, un atto di moto traslatorio. In questo caso, subito dopo l'urto, la velocità angolare sarebbe nulla e basterebbe una sola equazione, la conservazione del momento angolare.
L'impulso fornito dovrebbe essere lungo il raggio, è possibile se la velocità del proiettile è tutta orizzontale? Purtroppo non ho il disegno vero del problema, quello pubblicato è solo uno schema. Se non fosse come affermi forse credo di aver compreso le 2 equazioni:
$ m v (R+L) = I_{cm}\omega + M v_{cm} R + m \sqrt{v_{cm}^2 + \omega^2 r_m^2} r_m $
$ m v = M v_{cm}+ m \sqrt{v_{cm}^2 + \omega^2 r_m^2} cos (\theta) $
dove $cos(\theta)$ è l'angolo formato dalla velocità di m con l'orizzontale (in un s.d.r. fisso) e $r_m$ è il modulo del vettore posizione che individua la posizione di m rispetto al polo, che non sono riuscito a ricavare
$ m v (R+L) = I_{cm}\omega + M v_{cm} R + m \sqrt{v_{cm}^2 + \omega^2 r_m^2} r_m $
$ m v = M v_{cm}+ m \sqrt{v_{cm}^2 + \omega^2 r_m^2} cos (\theta) $
dove $cos(\theta)$ è l'angolo formato dalla velocità di m con l'orizzontale (in un s.d.r. fisso) e $r_m$ è il modulo del vettore posizione che individua la posizione di m rispetto al polo, che non sono riuscito a ricavare
Solo in assenza di attrito, qualunque sia la direzione della velocità del proiettile. Tuttavia, essendo l'urto anelastico, anche questa ipotesi, a rigore, dovrebbe essere abbandonata. Tra l'altro, la sua assunzione non risolverebbe le criticità di natura teorica del problema. Se posso darti un consiglio, lascerei perdere. Viceversa, assumerei l'ipotesi di velocità angolare nulla subito dopo l'urto. Per il semplice fatto che, assumere la velocità angolare diversa da zero subito dopo l'urto, richiederebbe la scrittura di due equazioni piuttosto impegnative.
Non sono sicuro di aver colto la perplessità (se c'è) comunque la forza di attrito che inizia ad agire subito dopo l'urto non è impulsiva, pertanto è corretto assumere che subito prima dell'urto e subito dopo la quantità di moto si conserva.
"Faussone":
Non sono sicuro di aver colto la perplessità (se c'è) comunque la forza di attrito che inizia ad agire subito dopo l'urto non è impulsiva, pertanto è corretto assumere che subito prima dell'urto e subito dopo la quantità di moto si conserva.
E dunque $\omega = 0$ ?
@ Faussone
Se, subito dopo l'urto, la velocità angolare non è nulla, allora la quantità di moto del sistema, lungo la direzione verticale, non si conserva. Infatti, subito dopo l'urto, mentre la quantità di moto del cilindro è necessariamente diretta lungo la direzione orizzontale, la quantità di moto del proiettile sviluppa una componente lungo la direzione verticale:
avendo indicato con C il centro del cilindro. A questo punto, poiché la reazione vincolare esercitata dal piano, diretta lungo la direzione verticale, è necessariamente impulsiva, anche la forza di attrito, non essendo limitata superiormente:
può essere impulsiva. In definitiva, imporre che la forza di attrito non sia impulsiva non mi sembra deducibile da un principio primo. Ad ogni modo, assumendo, come ipotesi ad hoc, la forza di attrito non impulsiva, si conserva la quantità di moto lungo la direzione orizzontale e il momento angolare rispetto al punto di contatto. Tuttavia, proprio l'impossibilità di applicare esclusivamente principi primi e la complessità nello scrivere le due equazioni mi avevano indotto a semplificare il problema assumendo, sempre come ipotesi ad hoc, che la velocità angolare, subito dopo l'urto, fosse nulla. Vero è che, essendo la prima domanda relativa alla velocità angolare, ritengo improbabile che la soluzione possa contemplare un'ipotesi del genere.
Se, subito dopo l'urto, la velocità angolare non è nulla, allora la quantità di moto del sistema, lungo la direzione verticale, non si conserva. Infatti, subito dopo l'urto, mentre la quantità di moto del cilindro è necessariamente diretta lungo la direzione orizzontale, la quantità di moto del proiettile sviluppa una componente lungo la direzione verticale:
$vecv_(P)=vecv_(C)+vec\omegaxx(P-C)$
avendo indicato con C il centro del cilindro. A questo punto, poiché la reazione vincolare esercitata dal piano, diretta lungo la direzione verticale, è necessariamente impulsiva, anche la forza di attrito, non essendo limitata superiormente:
$[F_a=\muR_V] ^^ [R_V rarr oo] rarr [F_a rarr oo]$
può essere impulsiva. In definitiva, imporre che la forza di attrito non sia impulsiva non mi sembra deducibile da un principio primo. Ad ogni modo, assumendo, come ipotesi ad hoc, la forza di attrito non impulsiva, si conserva la quantità di moto lungo la direzione orizzontale e il momento angolare rispetto al punto di contatto. Tuttavia, proprio l'impossibilità di applicare esclusivamente principi primi e la complessità nello scrivere le due equazioni mi avevano indotto a semplificare il problema assumendo, sempre come ipotesi ad hoc, che la velocità angolare, subito dopo l'urto, fosse nulla. Vero è che, essendo la prima domanda relativa alla velocità angolare, ritengo improbabile che la soluzione possa contemplare un'ipotesi del genere.
Questo problema è stato dato durante un'esame di meccanica del primo anno di fisica ed era da risolvere in 45 minuti, per cui dubito sia richiesta una difficoltà esagerata. Mi sembra assurdo pensare che ci debbano essere equazioni troppo complicate da risolvere
Non saprei cosa dire. Ad ogni modo, assumere che, subito dopo l'urto, la velocità angolare del sistema sia nulla, comporta almeno una contraddizione logica praticamente insormontabile. Se avessi dovuto sostenere l'esame, avrei proceduto nel modo più complesso.
P.S.
A mio parere, l'unica cosa che si può dedurre rigorosamente è la conservazione del momento angolare del sistema rispetto al punto di contatto. Insomma, senza introdurre una qualche ipotesi ad hoc, non è possibile procedere con due gradi di libertà.
P.S.
A mio parere, l'unica cosa che si può dedurre rigorosamente è la conservazione del momento angolare del sistema rispetto al punto di contatto. Insomma, senza introdurre una qualche ipotesi ad hoc, non è possibile procedere con due gradi di libertà.
"anonymous_0b37e9":
@ Faussone
Se, subito dopo l'urto, la velocità angolare non è nulla, allora la quantità di moto del sistema, lungo la direzione verticale, non si conserva.....
Sì corretto, io pensavo a quella orizzontale che è quella che serve per risolvere, quella verticale non si conserva perché agirebbe la forza verticale impulsiva del piano di appoggio.
In effetti il problema è diverso dal solito, se avesse chiesto solo il punto 4 era più "classico".
Per vedere quello che accade dopo l'urto bisogna scrivere bene la conservazione del momento angolare tenendo conto che subito dopo l'urto tutto tenderebbe a ruotare attorno al centro di massa complessivo, ma non può a causa della reazione del piano, quindi insomma il cilindro ruota attorno al proprio asse iniziando a strisciare. Conviene credo imporre la conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto col piano e la conservazione orizzontale della quantità di moto.
Questo dovrebbe consentire di calcolare sia la velocità angolare, sia la velocità del centro di massa subito dopo l'urto, non credo sia così difficile fatte queste osservazioni.
Ok. Intanto:
Giova sottolineare che le incognite sono proprio $v_C$ e $\omega$, le richieste delle prime due domande. Lascio a Nexus99 cimentarsi nella scrittura del secondo membro della seconda equazione:
sicuramente più impegnativa. Ad ogni modo, anche la risoluzione del sistema in funzione dei dati potrebbe richiedere un lasso di tempo non trascurabile.
Conservazione della quantità di moto lungo la direzione orizzontale
$mv=Mv_C+m[vecv_(C)+vec\omegaxx(P-C)]*veci rarr$
$rarr mv=Mv_C+mv_(C)+m\omegaRL/R rarr$
$rarr mv=(M+m)v_(C)+m\omegaL$
Giova sottolineare che le incognite sono proprio $v_C$ e $\omega$, le richieste delle prime due domande. Lascio a Nexus99 cimentarsi nella scrittura del secondo membro della seconda equazione:
Conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto
$mv(R+L)=...$
sicuramente più impegnativa. Ad ogni modo, anche la risoluzione del sistema in funzione dei dati potrebbe richiedere un lasso di tempo non trascurabile.
Bene.
Una precisazione su quello che ho scritto io: quando dicevo che il punto 4 è più classico, in realtà mi riferivo al problema usualmente dato di calcolare la velocità che assume un cilindro o una sfera quando rotola senza strisciare se si lancia in orizzontale, senza imprimerle rotazione, su un piano scabro (o quella di una sfera da biliardo quando rotola senza strisciare dopo essere stata colpita con una mazza in un certo punto, dando come dato l'impulso).
Questo problema qui anche per il punto 4 richiede un poco di attenzione.
EDIT: Anzi ripensandoci bene, a meno che mi stia perdendo qualcosa, il punto 4 non sono sicuro sia risolvibile realisticamente in sede di un esame di Fisica1. Non so cosa ne pensa Sergeant Elias.
Forse mi sbaglio...
Una precisazione su quello che ho scritto io: quando dicevo che il punto 4 è più classico, in realtà mi riferivo al problema usualmente dato di calcolare la velocità che assume un cilindro o una sfera quando rotola senza strisciare se si lancia in orizzontale, senza imprimerle rotazione, su un piano scabro (o quella di una sfera da biliardo quando rotola senza strisciare dopo essere stata colpita con una mazza in un certo punto, dando come dato l'impulso).
Questo problema qui anche per il punto 4 richiede un poco di attenzione.
EDIT: Anzi ripensandoci bene, a meno che mi stia perdendo qualcosa, il punto 4 non sono sicuro sia risolvibile realisticamente in sede di un esame di Fisica1. Non so cosa ne pensa Sergeant Elias.
Forse mi sbaglio...
@anonymous_0b37e9 come hai determinato l'angolo formato dalla velocità con l'asse x?
Per il momento angolare non si può far uso del teorema di Koenig?
Per esempio per quanto riguarda la sfera, il momento angolare dopo l'urto dovrebbe valere:
$I_{c} \omega + Mv_cR$
Mentre per il punto materiale:
$\vec{L} = \vec{r_m} \ times m (\vec{v_c} + \vec{\omega} \times \vec{r_m}) = \vec{r_m} \ times m \vec{v_c} + \vec{r_m} \ times m (\vec{\omega} \times \vec{r_m}) = rmv_c cos(R+L) \hat{k} + m \omega r_m^2 \hat{k}$
Solamente che non so ricavarmi la distanza tra m e il punto di contatto
Per il momento angolare non si può far uso del teorema di Koenig?
Per esempio per quanto riguarda la sfera, il momento angolare dopo l'urto dovrebbe valere:
$I_{c} \omega + Mv_cR$
Mentre per il punto materiale:
$\vec{L} = \vec{r_m} \ times m (\vec{v_c} + \vec{\omega} \times \vec{r_m}) = \vec{r_m} \ times m \vec{v_c} + \vec{r_m} \ times m (\vec{\omega} \times \vec{r_m}) = rmv_c cos(R+L) \hat{k} + m \omega r_m^2 \hat{k}$
Solamente che non so ricavarmi la distanza tra m e il punto di contatto
Si tratta di determinare alcune grandezze geometriche analizzando la figura sottostante:
Premesso che il vettore rappresentato in figura è relativo al solo contributo:
alla velocità del proiettile:
Inoltre, per quanto riguarda il momento angolare del proiettile rispetto al punto di contatto, è necessario determinare la distanza del punto di contatto dalla retta sulla quale giace il contributo alla velocità:
In definitiva:
Non ci ho ancora pensato. Probabilmente intendi dire che è troppo complesso. Viste le prime tre domande, non mi stupirei affatto.
P.S.
Se ne hai voglia, dai un'occhiata alla seconda equazione. Non si sa mai.
Premesso che il vettore rappresentato in figura è relativo al solo contributo:
$vec\omegaxx(P-C)$
alla velocità del proiettile:
$cos\alpha=L/R$
Inoltre, per quanto riguarda il momento angolare del proiettile rispetto al punto di contatto, è necessario determinare la distanza del punto di contatto dalla retta sulla quale giace il contributo alla velocità:
$R+L$
In definitiva:
Momento angolare del cilindro rispetto al punto di contatto dopo l'urto
$Mv_CR+1/2MR^2\omega$
Momento angolare del proiettile rispetto al punto di contatto dopo l'urto
$mv_C(R+L)+m\omegaR(R+L)=m(v_C+\omegaR)(R+L)$
Conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto
$mv(R+L)=Mv_CR+1/2MR^2\omega+m(v_C+\omegaR)(R+L)$
"Faussone":
... non sono sicuro sia risolvibile realisticamente ...
Non ci ho ancora pensato. Probabilmente intendi dire che è troppo complesso. Viste le prime tre domande, non mi stupirei affatto.
P.S.
Se ne hai voglia, dai un'occhiata alla seconda equazione. Non si sa mai.
Speravo che riprendessi questo problema.
Mi torna tutto (Edit2:ho però ancora qualche dubbio sul momento angolare della massa, appena riesco faccio i conti e confermo).
Comunque mi incuriosisce il punto 4, non ho ancora provato a svolgerlo, ma a me non pare affatto immediato, Edit tolta aggiunta fatta che non aveva senso.
Mi torna tutto (Edit2:ho però ancora qualche dubbio sul momento angolare della massa, appena riesco faccio i conti e confermo).
Comunque mi incuriosisce il punto 4, non ho ancora provato a svolgerlo, ma a me non pare affatto immediato, Edit tolta aggiunta fatta che non aveva senso.
@anonymous_0b37e9
Umm si mi quadra, tranne una cosa, il momento angolare del proiettile non dovrebbe avere un termine come m $\omega r_m^2 \hat{k}$ ? non capisco come hai fatto il prodotto vettoriale
@Faussone il testo dice di assumere rotolamento perfetto del tutto
Umm si mi quadra, tranne una cosa, il momento angolare del proiettile non dovrebbe avere un termine come m $\omega r_m^2 \hat{k}$ ? non capisco come hai fatto il prodotto vettoriale
@Faussone il testo dice di assumere rotolamento perfetto del tutto
"Nexus99":
@anonymous_0b37e9
Umm si mi quadra, tranne una cosa, il momento angolare del proiettile non dovrebbe avere un termine come m $\omega r_m^2 \hat{k}$ ? non capisco come hai fatto il prodotto vettoriale
"
A me torna come ho scritto sopra, vediamo se concordate.
"Nexus99":
@Faussone il testo dice di assumere rotolamento perfetto del tutto
Sì ok, ma prima di arrivarci c'è slittamento, è quello che complica le cose (a meno non mi sfugga qualcosa).
NB: ho tolto l'aggiunta fatta nel messaggio di prima perché non aveva senso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo