Urto disco proiettile
Un cilindro di massa M e raggio R è fermo su di un piano scabro con coefficienti di attrito statico e dinamico pari a $\mu_s$ e $\mu_d$. Ad un certo istante, la massa viene colpita da un proiettile puntiforme di massa m che viaggia a velocità v orizzontale e ad una quota L rispetto al centro geometrico del cilindro. L'urto è completamente anaelastico.
Calcolare:
1) la velocità angolare del cilindro subito dopo l'urto
2) la velocità del centro di massa del cilindro subito dopo l'urto
3) l'energia dissipata durante l'urto
Dopo l'urto il cilindro striscia finchè, per attrito, non raggiunge il rotolamento perfetto
Calcolare:
4) Durante il rotolamento perfetto, la velocità angolare quando la massa si trova a transitare nel punto più alto
io ho pensato di fare cosi: m
1) Poichè c'è attrito, il momento angolare si conserva solo per un polo nel punto di contatto. Allora si ha:
$ mv(R+L) = (I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega $
$ \omega = \frac{mv(R+L)}{I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2} $
2) $v_{CM} = \omega R$
3) $\Delta E = \frac{1}{2}(I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega ^2 - \frac{1}{2} mv^2 $
4) Non so, proverei una cosa del genere:
$L_att - \DeltaU = \Delta K $
Dove il lavoro dell'attrito lo dovrei trovare come il prodotto scalare tra la forza (costante) e lo spostamento del centro di massa tra l'istante dell'urto e l'inizio del puro rotolamento
Calcolare:
1) la velocità angolare del cilindro subito dopo l'urto
2) la velocità del centro di massa del cilindro subito dopo l'urto
3) l'energia dissipata durante l'urto
Dopo l'urto il cilindro striscia finchè, per attrito, non raggiunge il rotolamento perfetto
Calcolare:
4) Durante il rotolamento perfetto, la velocità angolare quando la massa si trova a transitare nel punto più alto
io ho pensato di fare cosi: m
1) Poichè c'è attrito, il momento angolare si conserva solo per un polo nel punto di contatto. Allora si ha:
$ mv(R+L) = (I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega $
$ \omega = \frac{mv(R+L)}{I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2} $
2) $v_{CM} = \omega R$
3) $\Delta E = \frac{1}{2}(I_{cm} + MR^2 + m(R+L)^2) \omega ^2 - \frac{1}{2} mv^2 $
4) Non so, proverei una cosa del genere:
$L_att - \DeltaU = \Delta K $
Dove il lavoro dell'attrito lo dovrei trovare come il prodotto scalare tra la forza (costante) e lo spostamento del centro di massa tra l'istante dell'urto e l'inizio del puro rotolamento
Risposte
Ho determinato il momento angolare del proiettile rispetto al punto di contatto considerando separatamente i due contributi alla sua velocità dopo l'urto:
Per quanto riguarda il primo contributo, visto che il braccio è uguale a $R+L$:
Per quanto riguarda il secondo contributo, visto che il braccio è ancora uguale a $R+L$:
In definitiva, sommando:
A me continua a sembrare corretto.
Ho preferito, più intuitivamente, fare il modulo del contributo alla velocità per il braccio (la distanza del punto di contatto dalla retta sulla quale giace il contributo alla velocità).
P.S.
Il procedimento è corretto perché i due contributi al momento angolare hanno la stessa direzione (perpendicolare al piano della figura) e lo stesso verso (il modulo della somma è uguale alla somma dei moduli).
$vecv_P=vecv_C+vec\omegaxx(P-C)$
Per quanto riguarda il primo contributo, visto che il braccio è uguale a $R+L$:
$mv_C(R+L)$
Per quanto riguarda il secondo contributo, visto che il braccio è ancora uguale a $R+L$:
$m\omegaR(R+L)$
In definitiva, sommando:
$mv_C(R+L)+m\omegaR(R+L)=m(v_C+\omegaR)(R+L)$
A me continua a sembrare corretto.
"Nexus99":
... non capisco come hai fatto il prodotto vettoriale ...
Ho preferito, più intuitivamente, fare il modulo del contributo alla velocità per il braccio (la distanza del punto di contatto dalla retta sulla quale giace il contributo alla velocità).
P.S.
Il procedimento è corretto perché i due contributi al momento angolare hanno la stessa direzione (perpendicolare al piano della figura) e lo stesso verso (il modulo della somma è uguale alla somma dei moduli).
Innanzitutto scusatemi, ho avuto un poco di ripensamenti vari.
Ora ricontrollando ancora finalmente con calma bene su carta, confermo che mi torna quel momento angolare.
Quello che che non mi tornava del momento angolare scritto da @anonymous_0b37e9 era solo il contributo al momento angolare della massa $m$.
Quel momento è pari a
$m (vec v \times vec R_b)$
dove $vec v$ è la velocità della massa $m$ dopo l'urto e $vec R_b$ il vettore posizione della massa suddetta rispetto al punto (asse) di contatto.
Allora dato che possiamo scrivere
$vec v=vec v_c + vec omega \times vec R$
(con $vec v_c$ velocità del centro del cilindro e $vec omega$ velocità angolare)
per il momento angolare possiamo scrivere
$m (vec v \times vec R_b)=m (vec v_c + vec omega \times vec R) \times vec R_b=m v_c (R+L) +m (vec omega \times vec R \times vec R_b) $
con
$vec omega \times \vec R \times vec R_b = omega L(R+L)+omegaR^2(1-(L/R)^2)=omegaR(L+R)$
Non metto tutti i passaggi, il calcolo è abbastanza insidioso in effetti fatto così, molto meglio come ha fatto @anonymous_0b37e9 (ma io non lo avevo capito
).
Caspita, problema davvero tosto comunque, bisogna fare attenzione anche con le osservazioni geometriche per semplificarsi le cose, se no non se ne esce facilmente.
...e ancora manca il punto 4......
Ora ricontrollando ancora finalmente con calma bene su carta, confermo che mi torna quel momento angolare.
Quello che che non mi tornava del momento angolare scritto da @anonymous_0b37e9 era solo il contributo al momento angolare della massa $m$.
Quel momento è pari a
$m (vec v \times vec R_b)$
dove $vec v$ è la velocità della massa $m$ dopo l'urto e $vec R_b$ il vettore posizione della massa suddetta rispetto al punto (asse) di contatto.
Allora dato che possiamo scrivere
$vec v=vec v_c + vec omega \times vec R$
(con $vec v_c$ velocità del centro del cilindro e $vec omega$ velocità angolare)
per il momento angolare possiamo scrivere
$m (vec v \times vec R_b)=m (vec v_c + vec omega \times vec R) \times vec R_b=m v_c (R+L) +m (vec omega \times vec R \times vec R_b) $
con
$vec omega \times \vec R \times vec R_b = omega L(R+L)+omegaR^2(1-(L/R)^2)=omegaR(L+R)$
Non metto tutti i passaggi, il calcolo è abbastanza insidioso in effetti fatto così, molto meglio come ha fatto @anonymous_0b37e9 (ma io non lo avevo capito
).Caspita, problema davvero tosto comunque, bisogna fare attenzione anche con le osservazioni geometriche per semplificarsi le cose, se no non se ne esce facilmente.
...e ancora manca il punto 4......
Il 4 stavo pensando di risolverlo con il teorema dell'energia cinetica:
$L_a - mg(L-R) = \Delta K$ però dovrei ricavare l'accelerazione del del solo disco mentre riesco a ricavare solo l'accelerazione del centro di massa complessivo. Da quella poi non riesco a ricavare il resto che mi servirebbe perchè il centro di massa ruota a sua volta (o almeno credo
)
$L_a - mg(L-R) = \Delta K$ però dovrei ricavare l'accelerazione del del solo disco mentre riesco a ricavare solo l'accelerazione del centro di massa complessivo. Da quella poi non riesco a ricavare il resto che mi servirebbe perchè il centro di massa ruota a sua volta (o almeno credo
)
Concordo con quanto dici.
Senza fare altre assunzioni semplificatrici questo punto è difficilissimo, vorrei provare a farlo comunque quando/se riesco perché ovviamente una soluzione deve esistere.
Da notare che quando si innesca il rotolamento non è detto che dopo un poco il corpo non torni di nuovo a slittare, in generale.
Una cosa per me è certa: se avessi dovuto svolgere i primi 3 punti a un esame avrei avuto qualche difficoltà di tipo geometrico, il problema è cattivello in effetti a un esame di Fisica1, ma è fattibile, l'ultimo punto invece senza chiare linee guide per me non è adatto per un esame.
A meno che non stia travisando completamente qualcosa...
Senza fare altre assunzioni semplificatrici questo punto è difficilissimo, vorrei provare a farlo comunque quando/se riesco perché ovviamente una soluzione deve esistere.
Da notare che quando si innesca il rotolamento non è detto che dopo un poco il corpo non torni di nuovo a slittare, in generale.
Una cosa per me è certa: se avessi dovuto svolgere i primi 3 punti a un esame avrei avuto qualche difficoltà di tipo geometrico, il problema è cattivello in effetti a un esame di Fisica1, ma è fattibile, l'ultimo punto invece senza chiare linee guide per me non è adatto per un esame.
A meno che non stia travisando completamente qualcosa...
Comincio a pensare che ci siano dei problemi nel testo che mi hanno dato, anche perché ho fatto io stesso l'esame il giorno dopo che è stato assegnato questo problema e il compito era molto più facile e "classico", cosi come per i problemi dei giorni passati. Non so quanti studenti del primo anno riescano a fare questo problema in 45 minuti
Non si capisce nulla del 4 punto.
Vabbè è un problema di rotazione e traslazione mista,senza puro rotolamento
Questo vuol dire che hai un'equazione in meno.
Il punto di contatto pure non puoi usarlo come polo.
Si conserva il momento angolare che è tutto del proiettile.
Il momento di inerzia iniziale e angolare finale non sono impossibili
Con la conservazione dell'energia cinetica si fa il punto c).
Comunque il più è fatto
Vabbè è un problema di rotazione e traslazione mista,senza puro rotolamento
Questo vuol dire che hai un'equazione in meno.
Il punto di contatto pure non puoi usarlo come polo.
Si conserva il momento angolare che è tutto del proiettile.
Il momento di inerzia iniziale e angolare finale non sono impossibili
Con la conservazione dell'energia cinetica si fa il punto c).
Comunque il più è fatto
"Capitan Harlock":
Non si capisce nulla del 4 punto.
In realtà quello che è richiesto nel punto 4 si capisce benissimo.
Il fatto è che è difficile trovare la soluzione, la soluzione però con i dati a disposizione deve essere calcolabile. In meccanica classica date condizioni iniziali si può prevedere esattamente come evolve il sistema, questo caso non fa certo eccezione. (Se mancassero dati iniziali possiamo pensare di aggiungerli , ma non mi pare la questione sia la mancanza di dati.)
Per il resto chi volesse chiaramente capire la soluzione dei primi 3 punti consiglio piuttosto la lettura di questo e quest'altro messaggio di @anonymous_0b37e9 (la figura del secondo è molto importante per capire i passaggi).
Calcolata la velocità di traslazione e rotazione del cilindro si ha la risposta ai primi 2 punti, ma anche la risposta al punto 3 è immediata da quello.
Ciao a tutti,
qualche suggerimento/idea per approcciare il punto 4: perdonatemi se ripeterò roba già detta ma la lunghezza del thread non aiuta
Supponiamo nota la velocità angolare del blocco dopo l'urto, che è richiesta dai punti precedenti. Il moto del cilindro + massa è rototraslatorio e, in particolare, su di esso agiscono forze esterne (l'attrito) con momento non nullo. Per cui, il momento angolare non si conserva ed è presente una accelerazione angolare negativa che rallenta il rotolamento. Il CDM del corpo inoltre si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione negativa, che dipende dal coeff di attrito dinamico.
Questo succede fintantoché non si instaura il moto di puro rotolamento - a questo punto si instaura una precisa relazione tra velocità angolare. Inoltre da questo momento in poi la forza di attrito non esegue più lavoro e l'energia meccanica del sistema si conserva. Calcolata l'energia meccanica nel momento in cui parte il puro rotolamento, questa è una costante del moto.
Benché l'energia meccanica sia una costante del moto, la velocità angolare varia poiché l'altezza del proiettile (e quindi il termine di energia potenziale gravitazionale associato) varia nel tempo.
---
EDIT: il CDM del corpo NON si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, ovviamente.
Ovviamente perché la sua quota non è costante, e ci sta perché non esistono ragioni per cui esso si debba conservare dopo l'urto (agiscono giusto un po' di forze esterne ...).
Mi viene anche il dubbio che il modulo dell'attrito dinamico non sia esattamente così naive quanto inizialmente mi aspettavo.
Forse è meglio se ci rifletto con più calma ..
qualche suggerimento/idea per approcciare il punto 4: perdonatemi se ripeterò roba già detta ma la lunghezza del thread non aiuta
Supponiamo nota la velocità angolare del blocco dopo l'urto, che è richiesta dai punti precedenti. Il moto del cilindro + massa è rototraslatorio e, in particolare, su di esso agiscono forze esterne (l'attrito) con momento non nullo. Per cui, il momento angolare non si conserva ed è presente una accelerazione angolare negativa che rallenta il rotolamento. Il CDM del corpo inoltre si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione negativa, che dipende dal coeff di attrito dinamico.
Questo succede fintantoché non si instaura il moto di puro rotolamento - a questo punto si instaura una precisa relazione tra velocità angolare. Inoltre da questo momento in poi la forza di attrito non esegue più lavoro e l'energia meccanica del sistema si conserva. Calcolata l'energia meccanica nel momento in cui parte il puro rotolamento, questa è una costante del moto.
Benché l'energia meccanica sia una costante del moto, la velocità angolare varia poiché l'altezza del proiettile (e quindi il termine di energia potenziale gravitazionale associato) varia nel tempo.
---
EDIT: il CDM del corpo NON si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, ovviamente.
Ovviamente perché la sua quota non è costante, e ci sta perché non esistono ragioni per cui esso si debba conservare dopo l'urto (agiscono giusto un po' di forze esterne ...).
Mi viene anche il dubbio che il modulo dell'attrito dinamico non sia esattamente così naive quanto inizialmente mi aspettavo.
Forse è meglio se ci rifletto con più calma ..
"Lampo1089":
EDIT: il CDM del corpo NON si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, ovviamente.
Ovviamente perché la sua quota non è costante, e ci sta perché non esistono ragioni per cui esso si debba conservare dopo l'urto (agiscono giusto un po' di forze esterne ...).
Mi viene anche il dubbio che il modulo dell'attrito dinamico non sia esattamente così naive quanto inizialmente mi aspettavo.
Forse è meglio se ci rifletto con più calma ..
Eh già, quelle sono proprio le questioni che rendono quel punto così difficile.
Numericamente credo si riesca a calcolare come evolve il tutto dall'istante successivo all'urto del proiettile, ma per ora non vedo come scrivere delle equazioni generali (a dire il vero non mi ci sono mai messo di impegno seriamente, ci penso un poco e dopo un po' mi passa la voglia...
)
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