Un paradosso della RR : le astronavi di Bell
Qualcuno forse lo conosce già, e mi scuso.
Premessa: in RR si possono trattare anche dei moti accelerati, per esempio con "accelerazione propria" costante. L'accelerazione propria è quella che sente un automobilista quando accelera, come forza applicata nella sua schiena.
In RR, una astronave S può avere accelerazione propria costante, ma l' accelerazione rispetto a un riferimento inerziale di partenza non è uguale alla accelerazione propria. Il moto che ne risulta dà luogo, nel diagramma di Minkowski dell'osservatore inerziale OI , ad una linea di universo che è un ramo di iperbole avente per asintoti la geodetica tipo luce del rif. inerziale. L'astronave si trova, in ogni instante del tempo coordinato (che è quello dell' OI di partenza), in un "riferimento inerziale di quiete momentanea" , il cui asse temporale $ct'$ è tangente all'iperbole nel punto in esame, e l'asse delle ascisse $x'$ , che è la "retta di contemporaneità" per S, è simmetrica di $ct'$ rispetto alla linea luce "locale" .
Spero di esse stato chiaro.
Cio premesso, la situazione descritta da Bell (anzi, da Dewan e Beran prima di lui, e poi da lui ripresentata nel suo libro: "Dicibile e indicibile nel mondo dei quanti" (ed Adelphi), è la seguente (uso lettere diverse) :
In un rif. inerziale $O(ct,x)$ ci sono due astronavi , $P$ e $Q$, ferme sull'asse $x$, con $Q$ davanti a $P$, a distanza $L$ tra loro. Le astronavi sono programmate in modo da partire nello stesso istante (di tempo coordinato evidentemente) e accelerare con accelerazione propria costante in maniera perfettamente identica (oggi diremmo che i computer di bordo sono stati programmati a questo scopo in maniera identica). Quindi durante il volo in fase di accelerazione esse hanno la stessa velocità, e ad ogni istante di tempo coordinato esse mantengono quindi la stessa distanza di partenza $L$. Questa distanza resta costante, anche se ad un certo istante (di tempo coordinato!) già programmato le navi smettono di accelerare e proseguono con velocità costante, cioè la velocità che posseggono nel momento in cui cessa l'accelerazione.
Ora, la domanda (paradossale) è : se tra le astronavi si trova un filo, steso ma senza tensione (diciamo, pochissimo teso, ma il filo ha comunque un certo carico di rottura), il filo durante il moto si romperà oppure no?
Bell dice che il quesito fu sottoposto a un gruppo di fisici del Cern, i quali esaminata la questione dissero : "No, il filo non si rompe, perché la distanza tra le navi resta costante" . E Bell poi aggiunge nel suo libro che chi ha dato questa risposta dopo un po' ci ripensa, e dà quella corretta : " Il filo si rompe, perché nel moto a velocità relativistica interviene la contrazione di Lorentz nel filo. La distanza costante tra le astronavi impedisce al filo di contrarsi, e perciò questo si rompe!"
Questa è la conclusione di Bell, e Dewan e Beran prima di lui.
E qui casca… il povero Bell! Dopo cinquant'anni, la discussione si può dire ancora non finita.
Molti hanno criticato la soluzione di Bell, poiché dicono che, come dovrebbe essere noto, la contrazione di Lorentz non induce alcuno stato di tensione nel filo.
MA il filo comunque si rompe. Non per la contrazione di Lorentz. E perché si rompe? Perché, per effetto del moto accelerato, il riferimento inerziale di quiete momentanea delle due astronavi cambia con continuità: quando l'astronave P che sta dietro si trova in $P_1$ (v. dis. allegato) il riferimento di quiete momentanea è $(ct_P,x_P)$ : la retta di contemporaneità $x_P$ interseca la linea di universo di Q in $Q_2$ , non in $Q_1$ : la distanza tra $P_1$ e $Q_2$, misurata da $P_1$ nel suo riferimento, (non guardate la geometria del foglio, la geometria ora è quella di Minkowski! ) è maggiore di quella di partenza (si vede dai calcoli) l'astronave Q si sta allontanando da P !
E quando P è in $P_2$ la velocità è ancora maggiore; supponiamo che la fase di accelerazione costante cessi proprio in $P_2$ e $Q_2$ : di qui in poi la velocità è costante; la retta $x'_P$ interseca la linea di universo di Q in $Q_3$, non già in $Q_2$.
LA distanza $P_2Q_3$ , o meglio l'intervallo spaziotemporale tra questi due eventi ( che essendo sull'asse $x'_P$ si può comunque chiamare distanza spaziale), risulta non contratta rispetto ad $L$ , ma addirittura maggiore di $L$ , e precisamente pari a : $ \gamma*L$.
E questo è logico: moltiplicando questa distanza $P_2Q_3$ per il fattore di contrazione $R = 1/\gamma$ deve risultare : $\gamma*L *1/\gamma = L $ , cioè questo prodotto deve restituire la distanza $P_2Q_2$ che è proprio la distanza costante misurata dall'osservatore di terra!
Se fosse continuato il moto accelerato, l'allontanamento tra P e Q sarebbe progressivo, nel riferimento di P la retta di contemporaneità (che sarebbe variabile) interseca l'iperbole di Q sempre più lontano.
Queste analisi, che hanno evidenziato l'errore di Bell, sono riportate da molti studiosi. Qui c'è un piccolo elenco, dopo il primo link che si trova su Internet.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bell's_spaceship_paradox
http://arxiv.org/abs/0906.1919
http://arxiv.org/abs/0903.5128
http://gpppc6.lps.umontreal.ca/azuelos/ ... aradox.pdf
http://fizika.phy.hr/fizika_a/av09/a18p045.pdf
http://studenci.fuw.edu.pl/~skfiz/stara ... _ships.pdf
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0301050
http://iopscience.iop.org/0031-9120/40/6/F03/
Io mi trovo d'accordo con Petkov, Franklin, Sfarti, e i due giapponesi Matsuda e Kinoshita.
Petkov ha fatto anche una presentazione semplificata in Power Point, che ho allegato. Anche gli italiani Tartaglia e Ruggero hanno analizzato il caso.
Non riporto formule, perché ci sono tutte nei documenti allegati. Il calcolo del 4-intervallo è molto chiaro in Sfarti (prima parte). Molti hanno fatto calcoli anche con la RG, e calcoli completi sulle linee di universo iperboliche delle due navi. Io mi sono fermato alla parte iniziale più il moto a vel. costante.
Il disegno che ho fatto è uguale a quello riportato da Petkov. Le due linee blu sono le iperboli di P e Q, a partire dalle posizioni iniziali. In $P_2$ e $Q_2$ il moto diventa uniforme, quindi le linee di universo sono le tangenti alle iperboli in questi punti , che passano per $P_3$ e $Q_3$ .
Premessa: in RR si possono trattare anche dei moti accelerati, per esempio con "accelerazione propria" costante. L'accelerazione propria è quella che sente un automobilista quando accelera, come forza applicata nella sua schiena.
In RR, una astronave S può avere accelerazione propria costante, ma l' accelerazione rispetto a un riferimento inerziale di partenza non è uguale alla accelerazione propria. Il moto che ne risulta dà luogo, nel diagramma di Minkowski dell'osservatore inerziale OI , ad una linea di universo che è un ramo di iperbole avente per asintoti la geodetica tipo luce del rif. inerziale. L'astronave si trova, in ogni instante del tempo coordinato (che è quello dell' OI di partenza), in un "riferimento inerziale di quiete momentanea" , il cui asse temporale $ct'$ è tangente all'iperbole nel punto in esame, e l'asse delle ascisse $x'$ , che è la "retta di contemporaneità" per S, è simmetrica di $ct'$ rispetto alla linea luce "locale" .
Spero di esse stato chiaro.
Cio premesso, la situazione descritta da Bell (anzi, da Dewan e Beran prima di lui, e poi da lui ripresentata nel suo libro: "Dicibile e indicibile nel mondo dei quanti" (ed Adelphi), è la seguente (uso lettere diverse) :
In un rif. inerziale $O(ct,x)$ ci sono due astronavi , $P$ e $Q$, ferme sull'asse $x$, con $Q$ davanti a $P$, a distanza $L$ tra loro. Le astronavi sono programmate in modo da partire nello stesso istante (di tempo coordinato evidentemente) e accelerare con accelerazione propria costante in maniera perfettamente identica (oggi diremmo che i computer di bordo sono stati programmati a questo scopo in maniera identica). Quindi durante il volo in fase di accelerazione esse hanno la stessa velocità, e ad ogni istante di tempo coordinato esse mantengono quindi la stessa distanza di partenza $L$. Questa distanza resta costante, anche se ad un certo istante (di tempo coordinato!) già programmato le navi smettono di accelerare e proseguono con velocità costante, cioè la velocità che posseggono nel momento in cui cessa l'accelerazione.
Ora, la domanda (paradossale) è : se tra le astronavi si trova un filo, steso ma senza tensione (diciamo, pochissimo teso, ma il filo ha comunque un certo carico di rottura), il filo durante il moto si romperà oppure no?
Bell dice che il quesito fu sottoposto a un gruppo di fisici del Cern, i quali esaminata la questione dissero : "No, il filo non si rompe, perché la distanza tra le navi resta costante" . E Bell poi aggiunge nel suo libro che chi ha dato questa risposta dopo un po' ci ripensa, e dà quella corretta : " Il filo si rompe, perché nel moto a velocità relativistica interviene la contrazione di Lorentz nel filo. La distanza costante tra le astronavi impedisce al filo di contrarsi, e perciò questo si rompe!"
Questa è la conclusione di Bell, e Dewan e Beran prima di lui.
E qui casca… il povero Bell! Dopo cinquant'anni, la discussione si può dire ancora non finita.
Molti hanno criticato la soluzione di Bell, poiché dicono che, come dovrebbe essere noto, la contrazione di Lorentz non induce alcuno stato di tensione nel filo.
MA il filo comunque si rompe. Non per la contrazione di Lorentz. E perché si rompe? Perché, per effetto del moto accelerato, il riferimento inerziale di quiete momentanea delle due astronavi cambia con continuità: quando l'astronave P che sta dietro si trova in $P_1$ (v. dis. allegato) il riferimento di quiete momentanea è $(ct_P,x_P)$ : la retta di contemporaneità $x_P$ interseca la linea di universo di Q in $Q_2$ , non in $Q_1$ : la distanza tra $P_1$ e $Q_2$, misurata da $P_1$ nel suo riferimento, (non guardate la geometria del foglio, la geometria ora è quella di Minkowski! ) è maggiore di quella di partenza (si vede dai calcoli) l'astronave Q si sta allontanando da P !
E quando P è in $P_2$ la velocità è ancora maggiore; supponiamo che la fase di accelerazione costante cessi proprio in $P_2$ e $Q_2$ : di qui in poi la velocità è costante; la retta $x'_P$ interseca la linea di universo di Q in $Q_3$, non già in $Q_2$.
LA distanza $P_2Q_3$ , o meglio l'intervallo spaziotemporale tra questi due eventi ( che essendo sull'asse $x'_P$ si può comunque chiamare distanza spaziale), risulta non contratta rispetto ad $L$ , ma addirittura maggiore di $L$ , e precisamente pari a : $ \gamma*L$.
E questo è logico: moltiplicando questa distanza $P_2Q_3$ per il fattore di contrazione $R = 1/\gamma$ deve risultare : $\gamma*L *1/\gamma = L $ , cioè questo prodotto deve restituire la distanza $P_2Q_2$ che è proprio la distanza costante misurata dall'osservatore di terra!
Se fosse continuato il moto accelerato, l'allontanamento tra P e Q sarebbe progressivo, nel riferimento di P la retta di contemporaneità (che sarebbe variabile) interseca l'iperbole di Q sempre più lontano.
Queste analisi, che hanno evidenziato l'errore di Bell, sono riportate da molti studiosi. Qui c'è un piccolo elenco, dopo il primo link che si trova su Internet.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bell's_spaceship_paradox
http://arxiv.org/abs/0906.1919
http://arxiv.org/abs/0903.5128
http://gpppc6.lps.umontreal.ca/azuelos/ ... aradox.pdf
http://fizika.phy.hr/fizika_a/av09/a18p045.pdf
http://studenci.fuw.edu.pl/~skfiz/stara ... _ships.pdf
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0301050
http://iopscience.iop.org/0031-9120/40/6/F03/
Io mi trovo d'accordo con Petkov, Franklin, Sfarti, e i due giapponesi Matsuda e Kinoshita.
Petkov ha fatto anche una presentazione semplificata in Power Point, che ho allegato. Anche gli italiani Tartaglia e Ruggero hanno analizzato il caso.
Non riporto formule, perché ci sono tutte nei documenti allegati. Il calcolo del 4-intervallo è molto chiaro in Sfarti (prima parte). Molti hanno fatto calcoli anche con la RG, e calcoli completi sulle linee di universo iperboliche delle due navi. Io mi sono fermato alla parte iniziale più il moto a vel. costante.
Il disegno che ho fatto è uguale a quello riportato da Petkov. Le due linee blu sono le iperboli di P e Q, a partire dalle posizioni iniziali. In $P_2$ e $Q_2$ il moto diventa uniforme, quindi le linee di universo sono le tangenti alle iperboli in questi punti , che passano per $P_3$ e $Q_3$ .
Risposte
Scusa Navigatore so che sei molto preparato in materia ma cercare di decifrare e elaborare tutto cio' che hai riportato implicherebbe molto tempo e il lettore (ma questa e' una mia opinione) spesso dopo le prime righe puo' distrarsi e lasciar perdere il tutto (compreso il sottoscritto).
Vorrei solo esprimere il mio parere nel modo piu' semplice possibile.
Ritorno al concetto di "corpo unico" espresso nella discussione precedente.
Astronave,filo,seconda astronave sono un corpo unico, Chi e' all'interno dell'astronave non si rendera' conto se e' soggetto a contrazione o meno perche' tutto intorno a lui sara' "ridimensionato" in maniera proporzionale.
Per lui il filo sara' sempre integro in quanto se c'e' contrazione il filo partecipera' in maniera solidale con le astronavi con le quali formera' questo "corpo unico".
L'inghippo e' nel considerare astronavi e filo appartenenti a sistemi differenti mentre invece e' lo stesso sistema.
Vorrei solo esprimere il mio parere nel modo piu' semplice possibile.
Ritorno al concetto di "corpo unico" espresso nella discussione precedente.
Astronave,filo,seconda astronave sono un corpo unico, Chi e' all'interno dell'astronave non si rendera' conto se e' soggetto a contrazione o meno perche' tutto intorno a lui sara' "ridimensionato" in maniera proporzionale.
Per lui il filo sara' sempre integro in quanto se c'e' contrazione il filo partecipera' in maniera solidale con le astronavi con le quali formera' questo "corpo unico".
L'inghippo e' nel considerare astronavi e filo appartenenti a sistemi differenti mentre invece e' lo stesso sistema.
"emit":
Scusa Navigatore so che sei molto preparato in materia ma cercare di decifrare e elaborare tutto cio' che hai riportato implicherebbe molto tempo e il lettore (ma questa e' una mia opinione) spesso dopo le prime righe puo' distrarsi e lasciar perdere il tutto (compreso il sottoscritto).
So bene che questo "paradosso" ( che io chiamerei semplicemente "effetto relativistico") è un po' duro da digerire…Ho faticato abbastanza a capire le argomentazioni dei vari commentatori che ho elencato. E ti assicuro che non è stato facile decifrarle, soprattutto per la parte di "moto iperbolico" di entrambe le astronavi, trattata analiticamente in vari testi allegati. Ma di questa non parlo neanche. Però, la parte relativa al moto delle astronavi a velocità costante, dopo la fase di accelerazione, si capisce abbastanza bene.
Vorrei solo esprimere il mio parere nel modo piu' semplice possibile.
Ritorno al concetto di "corpo unico" espresso nella discussione precedente.
Astronave,filo,seconda astronave sono un corpo unico, Chi e' all'interno dell'astronave non si rendera' conto se e' soggetto a contrazione o meno perche' tutto intorno a lui sara' "ridimensionato" in maniera proporzionale.
Per lui il filo sara' sempre integro in quanto se c'e' contrazione il filo partecipera' in maniera solidale con le astronavi con le quali formera' questo "corpo unico".
L'inghippo e' nel considerare astronavi e filo appartenenti a sistemi differenti mentre invece e' lo stesso sistema.
L'ho già detto quando abbiamo parlato del "moto a velocità costante" nel 3d relativo alla contrazione delle distanze: se si "ignora" tutta la fase di accelerazione, e si suppone che le due navi abbiano "già" la stessa velocità $v$ rispetto ad $O$ , il sistema è unico e nel proprio riferimento non c'è alcuna variazione di distanza ; quindi se immaginiamo che il filo venga "sparato" da una nave all'altra quando entrambe viaggiano a $v$ costante, e sistemato steso ma non "teso" tra le stesse, questo filo non si romperà. È la stessa situazione del filo tra le due sbarre che abbiamo esaminato nell'altro 3d: non si fa alcuna ipotesi di accelerazione iniziale con filo già presente tra le sbarre, ma si considera direttamente la fase di moto r.u.
Qui la situazione è diversa: le due navi partono dalla quiete accelerando alla stessa maniera, e tra esse c'è già un filo disteso che le collega.
È l'accelerazione che rovina la festa! A causa dell'accelerazione, sia pure uguale, delle due navi, succede che esse si allontanino tra loro, non conservano più la distanza che avevano alla partenza! E il filo si rompe. E questo è sempre "colpa" della relatività della contemporaneità tra eventi : se guardi il disegno, noti che $P_2$ considera contemporaneo l'evento $Q_3$ , non l'evento $Q_2$ , come invece fa l'osservatore terrestre.
Per semplificare, immagina di ridurre al minimo, al limite "zero" ( ma non proprio zero!) la fase di accelerazione, in modo da ignorare i tratti di iperbole $P_0P_2$ e $Q_0Q_2$ : cioè immagina che le accelerazioni alla partenza siano pressoché istantanee e cessino quasi subito, per cui le linee di universo delle due navi si riducono semplicemente a due segmenti rettilinei e paralleli, inclinati di $arctgv$ rispetto all'asse $ct$ : l'effetto sussiste ugualmente!
Questo assunto di ridurre a valore prossimo a zero la fase di accelerazione è identico a quello che si fa nel paradosso dei gemelli, quando si dice: " Il gemello arrivato sulla stella inverte istantaneamente di 180º la rotta e torna a terra" .
Ma si perde l'effetto del "paradosso" di Bell!
Se vuoi, posso fare anche un disegno semplificato e i calcoli relativi a questa parte di solo m.r.u. , che non sono difficili.
Per prima cosa noto che l'affluenza alla discussione e' ridotta ai minimi termini speriamo almeno di recuperare Lillina...(Se sei in lettura fatti sentire).Per rendere il fatto piu' semplice possibile puoi soffermarti sulla contemporaneita', fissando bene i sistemi di riferimento, in maniera descrittiva senza ne' grafici ne' formule magari quelli li lasciamo in secondo tempo.
Grazie
Grazie
Solo con le parole è più difficile Emit….io ti ringrazio perché sei la mia miglior prevenzione contro l'Alhzeimer... 
La fisica, e soprattutto la RR, si fa meglio con diagrammi e formule….Comunque ci provo. Fa' riferimento al disegno che ho già postato.
Innanzitutto, le due iperboli in blu (disegnate con Geogebra: avrei voluto limitarle ai tratti utili, cioè alla fase di accelerazione, da $P_0Q_0$ a $P_2Q_2$ , ma spero si sia capito questo…non so come fare con Geogebra) sono del tutto identiche, sovrapponibili se trasli una sull'altra, ed è logico : ognuna rappresenta la linea di universo della rispettiva astronave, e le due linee nel riferimento inerziale $O(ct,x)$ hanno "la stessa distanza" punto per punto nel senso orizzontale. Vuol dire, in termini di spaziotempo, che :
- gli eventi $P_0$ e $Q_0$ sono contemporanei per O
- gli eventi $P_1$ e $Q_1$ sono contemporanei per O
- gli eventi $P_2$ e $Q_2$ sono contemporanei per O
-……..eccetera……….
e il 4-intervallo tra le stesse coppie di istanti è uguale, cioè sono uguali le distanze spaziali.
Questo perché i programmi di partenza e di volo delle navi sono stati impostati a terra in questa maniera: partenza allo stesso istante, accelerazione (propria) costante ed uguale per entrambe, termine della fase di accelerazione all'istante di tempo (di O) : $t_(P2) = t_(Q2)$ e proseguimento del viaggio alla velocità costante raggiunta in questo istante.
Ecco perché gli ingegneri (che come sai a volte sono un po' tonti…) hanno collegato le navi con un filo lungo $L$, dietro suggerimento di alcuni fisici relativisti ( che più o meno talvolta equivalgono....), sicuri che nel viaggio la distanza tra le navi non muti, visto che le impostazioni sono quelle, e quindi il filo non si rompa….
E hanno fatto i conti senza l'oste Albert!!!
Infatti, mentre è vero che $t_(P0) = t_(Q0)$ anche per gli orologi di bordo, fin che le navi sono ferme a terra (stesso rif. inerziale!), non è più vero che sussistono le altre uguaglianze per gli orologi di bordo:
-$ t _(P1) = t_(Q1)$
-$ t'_(P2) = t'_(Q2)$
-……eccetera……
Questo perché, come dice l'oste anzidetto, "se due eventi sono contemporanei per un osservatore, non sono contemporanei per un altro in moto relativo rispetto al primo" !
Non appena le due navi partono con accelerazione propria costante ed uguale (e le loro linee di universo sono le iperboli), la contemporaneità va farsi benedire, in un certo senso. In figura ho disegnato in $P_1$ l'asse temporale $ct_P$ tangente all'iperbole, e l'asse spaziale $x_P$ che è simmetrico della linea luce (in rosso) per $P_1$. Se avessi voluto disegnare gli stessi assi in $Q_1$, avrei semplicemente disegnato una coppia di rette parallele (sul foglio!) a queste dette.
Però è chiaro che l'asse $x_P$ interseca l'iperbole di $Q$ nel punto $Q_2$ , non certo in $Q_1$ !
Perciò, l'evento che $P$ ritiene contemporaneo a $P_1$ è l'evento $Q_2$ , e il 4-intervallo da considerare pr valutare la distanza è ora $P_1Q_2$, non è $P_1Q_1$ come avevano erroneamente pensato i tonti di terra!
È chiaro? E cosí via, analizza da solo quello che succede quando $P$ è in $P_2$ : il 4-intervallo è ora $P_2Q_3$ !!!
Ti faccio notare che quando $P$ è in $P_1$ la nave $Q$ si trova in $Q_2$ secondo le valutazioni di $P$, quindi $Q$ secondo il programma ( che conoscono entrambi) cessa di accelerare, mentre $P$ sta ancora accelerando, perché deve ancora spostarsi in $P_2$ …..
Però, quando $Q$ è in $Q_2$ , non vede mica $P$ in $P_1$ !!! Lo vede un po' più "indietro" di $P_1$ , cioè nel punto (non disegnato) che si trova all'intersezione dell'iperbole di P con la retta di contemporaneità in $Q_1$, che non è parallela a $P_1Q_2$……
Percio durante la fase di accelerazione le due navi si allontanano progressivamente, e cessano di allontanarsi solo quando hanno smesso di accelerare entrambe: quando $P$ smette di accelerare, si trova in $P_2$ , mentre $Q$ si trova in $Q_3$.
Problemi di contemporaneità !
La fisica, e soprattutto la RR, si fa meglio con diagrammi e formule….Comunque ci provo. Fa' riferimento al disegno che ho già postato.
Innanzitutto, le due iperboli in blu (disegnate con Geogebra: avrei voluto limitarle ai tratti utili, cioè alla fase di accelerazione, da $P_0Q_0$ a $P_2Q_2$ , ma spero si sia capito questo…non so come fare con Geogebra) sono del tutto identiche, sovrapponibili se trasli una sull'altra, ed è logico : ognuna rappresenta la linea di universo della rispettiva astronave, e le due linee nel riferimento inerziale $O(ct,x)$ hanno "la stessa distanza" punto per punto nel senso orizzontale. Vuol dire, in termini di spaziotempo, che :
- gli eventi $P_0$ e $Q_0$ sono contemporanei per O
- gli eventi $P_1$ e $Q_1$ sono contemporanei per O
- gli eventi $P_2$ e $Q_2$ sono contemporanei per O
-……..eccetera……….
e il 4-intervallo tra le stesse coppie di istanti è uguale, cioè sono uguali le distanze spaziali.
Questo perché i programmi di partenza e di volo delle navi sono stati impostati a terra in questa maniera: partenza allo stesso istante, accelerazione (propria) costante ed uguale per entrambe, termine della fase di accelerazione all'istante di tempo (di O) : $t_(P2) = t_(Q2)$ e proseguimento del viaggio alla velocità costante raggiunta in questo istante.
Ecco perché gli ingegneri (che come sai a volte sono un po' tonti…) hanno collegato le navi con un filo lungo $L$, dietro suggerimento di alcuni fisici relativisti ( che più o meno talvolta equivalgono....), sicuri che nel viaggio la distanza tra le navi non muti, visto che le impostazioni sono quelle, e quindi il filo non si rompa….
E hanno fatto i conti senza l'oste Albert!!!
Infatti, mentre è vero che $t_(P0) = t_(Q0)$ anche per gli orologi di bordo, fin che le navi sono ferme a terra (stesso rif. inerziale!), non è più vero che sussistono le altre uguaglianze per gli orologi di bordo:
-$ t _(P1) = t_(Q1)$
-$ t'_(P2) = t'_(Q2)$
-……eccetera……
Questo perché, come dice l'oste anzidetto, "se due eventi sono contemporanei per un osservatore, non sono contemporanei per un altro in moto relativo rispetto al primo" !
Non appena le due navi partono con accelerazione propria costante ed uguale (e le loro linee di universo sono le iperboli), la contemporaneità va farsi benedire, in un certo senso. In figura ho disegnato in $P_1$ l'asse temporale $ct_P$ tangente all'iperbole, e l'asse spaziale $x_P$ che è simmetrico della linea luce (in rosso) per $P_1$. Se avessi voluto disegnare gli stessi assi in $Q_1$, avrei semplicemente disegnato una coppia di rette parallele (sul foglio!) a queste dette.
Però è chiaro che l'asse $x_P$ interseca l'iperbole di $Q$ nel punto $Q_2$ , non certo in $Q_1$ !
Perciò, l'evento che $P$ ritiene contemporaneo a $P_1$ è l'evento $Q_2$ , e il 4-intervallo da considerare pr valutare la distanza è ora $P_1Q_2$, non è $P_1Q_1$ come avevano erroneamente pensato i tonti di terra!
È chiaro? E cosí via, analizza da solo quello che succede quando $P$ è in $P_2$ : il 4-intervallo è ora $P_2Q_3$ !!!
Ti faccio notare che quando $P$ è in $P_1$ la nave $Q$ si trova in $Q_2$ secondo le valutazioni di $P$, quindi $Q$ secondo il programma ( che conoscono entrambi) cessa di accelerare, mentre $P$ sta ancora accelerando, perché deve ancora spostarsi in $P_2$ …..
Però, quando $Q$ è in $Q_2$ , non vede mica $P$ in $P_1$ !!! Lo vede un po' più "indietro" di $P_1$ , cioè nel punto (non disegnato) che si trova all'intersezione dell'iperbole di P con la retta di contemporaneità in $Q_1$, che non è parallela a $P_1Q_2$……
Percio durante la fase di accelerazione le due navi si allontanano progressivamente, e cessano di allontanarsi solo quando hanno smesso di accelerare entrambe: quando $P$ smette di accelerare, si trova in $P_2$ , mentre $Q$ si trova in $Q_3$.
Problemi di contemporaneità !
Prima di addentrarci ad esplorare quanto hai riportato soffermiamoci un attimo sul concetto di contemporaneita'.
Anche se immagino che ne avrai gia' discusso ritengo comunque importante ritornarci.
Classico esempio del vagone A---O---B. O si trova esattamente nel mezzo e da O partono due impulsi luminosi
che toccheranno A e B nello stesso istante calcolato dall'osservatore S all'interno del vagone.Ora ammettiamo che
nei punti dove arrivano gli impulsi ci siano due congegni che se "toccati" simultaneamente (sempre rispetto a S
solidale con il vagone) innescano l'esplosione del vagone.
Lo stesso vagone passa a velocita' relativistica davanti ad una stazione dove c'e osservatore S1 e qui S accende il dispositivo.
Per effetto della relativita' della contemporaneita' per S1 i segnali non toccheranno simultaneamente i punti A e B.
Quindi per lui non ci sara' nessuna esplosione.
Essendo pero' la realta' unica e vincolata al treno dobbiamo convincerci che l'esplosione ci sara'.
Quindi S1 dovra' "aggiustare" la sua osservazione per arrivare allo stesso risultato e cioe' vedere l'esplosione.
Per fare questo si ricorda della contrazione delle distanze e prova ad applicarla in modo da compensare la non contemporaneita' degli impulsi rispetto a lui ma senza successo.
In sintesi:
Lui vedra' prima (se il vagone ha rispetto a lui la direzione da A a B e lui si trova in corrispondenza del punto di mezzo del vagone) l'impulso arrivare ad A e dopo il secondo impulso arrivare a B).
Cioe' la luce impiega minor tempo rispetto a lui in un tratto e maggior tempo nell'altro.
Se la distanza A e B si contrae rispetto a lui il rapporto dei due tempi non cambia per cui per lui
gli impulsi non saranno mai sincronizzati e quindi per lui non ci sara' mai nessuna esplosione.
Dove si nasconde l'inghippo visto che la realta' e' unica?
Anche se immagino che ne avrai gia' discusso ritengo comunque importante ritornarci.
Classico esempio del vagone A---O---B. O si trova esattamente nel mezzo e da O partono due impulsi luminosi
che toccheranno A e B nello stesso istante calcolato dall'osservatore S all'interno del vagone.Ora ammettiamo che
nei punti dove arrivano gli impulsi ci siano due congegni che se "toccati" simultaneamente (sempre rispetto a S
solidale con il vagone) innescano l'esplosione del vagone.
Lo stesso vagone passa a velocita' relativistica davanti ad una stazione dove c'e osservatore S1 e qui S accende il dispositivo.
Per effetto della relativita' della contemporaneita' per S1 i segnali non toccheranno simultaneamente i punti A e B.
Quindi per lui non ci sara' nessuna esplosione.
Essendo pero' la realta' unica e vincolata al treno dobbiamo convincerci che l'esplosione ci sara'.
Quindi S1 dovra' "aggiustare" la sua osservazione per arrivare allo stesso risultato e cioe' vedere l'esplosione.
Per fare questo si ricorda della contrazione delle distanze e prova ad applicarla in modo da compensare la non contemporaneita' degli impulsi rispetto a lui ma senza successo.
In sintesi:
Lui vedra' prima (se il vagone ha rispetto a lui la direzione da A a B e lui si trova in corrispondenza del punto di mezzo del vagone) l'impulso arrivare ad A e dopo il secondo impulso arrivare a B).
Cioe' la luce impiega minor tempo rispetto a lui in un tratto e maggior tempo nell'altro.
Se la distanza A e B si contrae rispetto a lui il rapporto dei due tempi non cambia per cui per lui
gli impulsi non saranno mai sincronizzati e quindi per lui non ci sara' mai nessuna esplosione.
Dove si nasconde l'inghippo visto che la realta' e' unica?
@Navigatore
Ho l'impressione di impantanarmi sul concetto espresso nel post precedente.
Infatti se l'esplosione avviene anche per S1 (come deve essere) e' necessario che anche per S1 i due impulsi possano arrivare simultaneamente in A e B.
Ammettiamo che si abbia una contrazione per S1 del tragitto dell'impulso che da O va verso B possiamo farlo in virtu' del fatto che S1 con il suo orologio conta il tempo del tragitto lo moltiplica per v e tenendo conto della dilatazione temporale calcola un tratto piu' breve. La contrazione avviene nella direzione del moto.
Non puo' farlo nel tragitto impulso O---A perche' il raggio non e' nella direzione del moto.
Risultato e' che l'accorciamento del primo tragitto implica un tempo inferiore dell'impulso per toccare B.
Questo potrebbe compensare e il risultato e' che anche rispetto a lui i due impulsi sarebbero simultanei e cosi' anche per lui
avverrebbe l'esplosione e sembrerebbe tutto a posto.E invece no.Perche' allora il concetto di simulatneita' relativa non avrebbe piu' senso visto che per entrambi S e S1 accade lo stesso fatto e cioe' l'esplosione.
Fatto chiarezza su questo mettiamo il vagone in accelerazione per avvicinarci poco a poco al nostro"filo".
Ho l'impressione di impantanarmi sul concetto espresso nel post precedente.
Infatti se l'esplosione avviene anche per S1 (come deve essere) e' necessario che anche per S1 i due impulsi possano arrivare simultaneamente in A e B.
Ammettiamo che si abbia una contrazione per S1 del tragitto dell'impulso che da O va verso B possiamo farlo in virtu' del fatto che S1 con il suo orologio conta il tempo del tragitto lo moltiplica per v e tenendo conto della dilatazione temporale calcola un tratto piu' breve. La contrazione avviene nella direzione del moto.
Non puo' farlo nel tragitto impulso O---A perche' il raggio non e' nella direzione del moto.
Risultato e' che l'accorciamento del primo tragitto implica un tempo inferiore dell'impulso per toccare B.
Questo potrebbe compensare e il risultato e' che anche rispetto a lui i due impulsi sarebbero simultanei e cosi' anche per lui
avverrebbe l'esplosione e sembrerebbe tutto a posto.E invece no.Perche' allora il concetto di simulatneita' relativa non avrebbe piu' senso visto che per entrambi S e S1 accade lo stesso fatto e cioe' l'esplosione.
Fatto chiarezza su questo mettiamo il vagone in accelerazione per avvicinarci poco a poco al nostro"filo".
"emit":
……….
Lo stesso vagone passa a velocita' relativistica davanti ad una stazione dove c'e osservatore S1 e qui S accende il dispositivo.
Per effetto della relativita' della contemporaneita' per S1 i segnali non toccheranno simultaneamente i punti A e B.
Quindi per lui non ci sara' nessuna esplosione.
Mica vero! e dopo te lo spiego.
Essendo pero' la realta' unica e vincolata al treno dobbiamo convincerci che l'esplosione ci sara'.
Quindi S1 dovra' "aggiustare" la sua osservazione per arrivare allo stesso risultato e cioe' vedere l'esplosione.
Per fare questo si ricorda della contrazione delle distanze e prova ad applicarla in modo da compensare la non contemporaneita' degli impulsi rispetto a lui ma senza successo.
Be' , visto che "grandi affermazioni hanno bisogno di grandi prove", l'onere della prova spetterebbe a te….Come applicheresti la "contrazione" per compensare la non contemporaneità ?
Senza successo dici….sí, perché la contrazione non serve a compensare la non contemporaneità….
In sintesi:
Lui vedra' prima (se il vagone ha rispetto a lui la direzione da A a B e lui si trova in corrispondenza del punto di mezzo del vagone) l'impulso arrivare ad A e dopo il secondo impulso arrivare a B).
Cioe' la luce impiega minor tempo rispetto a lui in un tratto e maggior tempo nell'altro.
Se la distanza A e B si contrae rispetto a lui il rapporto dei due tempi non cambia per cui per lui
gli impulsi non saranno mai sincronizzati e quindi per lui non ci sara' mai nessuna esplosione.
Dove si nasconde l'inghippo visto che la realta' e' unica?
Infatti, la realtà è unica !
E sono unici gli "eventi" che hanno luogo nello spaziotempo!
Chissà perchè, chi sottopone certi paradossi ragiona sempre in termini di sola separazione spaziale ovvero di sola separazione temporale tra gli eventi. E questo è sbagliato!
L'unica separazione tra 2 eventi $A$ e $B$ che conta è rappresentata dal 4-intervallo ST, che è "invariante" passando da un rif. inerziale a un altro.
Nel tuo caso abbiamo i due eventi :
-ev. A : il segnale emesso da O arriva in A
-ev. B : il segnale emesso da O arriva in B
Indico le coordinate del treno con apice :$(ct',x')$ , quelle di terra senza apice : $(ct,x)$.
Il 4-intervallo invariante tra A e B si scrive , nei due riferimenti :
$\Deltas^2 = (x'_B-x'_A)^2 - c^2(t'_B - t'_A)^2 = (x_B-x_A)^2 - c^2(t_B - t_A)^2 $ ------(1)
Le tue condizioni sono :
$(x'_B-x'_A) = L_0 $ (lunghezza propria , o di riposo, del treno)
$t'_A =t'_B $ ( contemporaneità degli eventi nel treno)
Per cui il 4-intervallo si esprime, nelle coordinate dl treno : $\Deltas^2 = L_0^2$
E la (1) diventa : $ L_0^2 = (x_B-x_A)^2 - c^2(t_B - t_A)^2 $ ------(2)
E chiaro che, maggiore è la differenza di coordinate $(x_B-x_A)$ ( nel rif. di terra, questa differenza di coordinate spaziali tra i due eventi dipende dalla velocità, però occorre fare attenzione : questa differenza di coordinate non è la lunghezza contratta del treno! ), maggiore è la separazione temporale $(t_B - t_A)$ tra gli stessi eventi, però il 4-intervallo rimane lo stesso, ha modulo quadro $L_0^2$ , qualunque sia la velocità del treno rispetto alla terra.
Se mi dai tempo, metterò un disegno e anche i calcoli con le trasformazioni di Lorentz, per farti vedere "dove sta" la contrazione della lunghezza, e per dimostrarti quello che ho detto a proposito della differenza di coordinate$(x_B-x_A)$, che non è uguale a $L_c = L_0/\gamma$ . ( Anzi, ti anticipo già che risulta : $(x_B-x_A) = \gamma*L_0$, cioè è maggiore di $L_0$ !!!
Ma ho bisogno di tempo.
Perciò comunque il treno esplode, anche se l'osservatore di terra rileva che secondo le sue misurazioni i due eventi non sono contemporanei : maggiore è la velocità , maggiore è la differenza $(x_B-x_A)$ e maggiore è anche la differenza $(t_B - t_A)$ , però è sempre valida la costanza del 4-intervallo.
PS : ho visto l tuo ultimo post. Lo lascio stare per ora, devo completare quello che ho detto prima, altrimenti non ne usciamo più. Ti è piaciuta la bicicletta? E ora devi pedalare con me, attraverso equazioni e disegni !
Eccomi, con disegno e calcoli.
Il disegno è il diagramma di Minkowski nel rif. terrestre $(ct,x)$ di "quiete" ; il riferimento $(ct',x')$ è quello del treno AB in moto con vel. $v$ rispetto alla terra (linea blu scuro, che descrive la "striscia di universo" azzurra).
La lunghezza propria del treno è quindi :
$AB = L_0 = (x'_B - x'_A) $ ------(1)
Ad un certo istante, dal punto medio M del treno partono due segnali luminosi (linee rosse) che giungono in A e B contemporaneamente (per il tempo treno) :
$ t'_A = t'_B$ ----- (2)
La lunghezza "contratta" del treno $L_c$, misurata dall'osservatore terrestre, si ottiene sezionando la striscia di universo del treno con la retta di contemporaneità dell'osservatore terrestre, cioè l'asse $x$ . Quindi : $L_c = x_(B_0) - x_(A_0)$ .
Per verificare l'invarianza del 4-intervallo tra A e B, che nel riferimento del treno già ho detto essere uguale a :
$\Deltas^2 = L_0^2$
applichiamo le trasformazioni di Lorentz ai due eventi A e B :
$t'_A = \gamma(t_A - (vx_A)/c^2) $ ,,,,,, $ x'_A = \gamma(x_A - vt_A)$ ------ (3)
$t'_B = \gamma(t_B - (vx_B)/c^2) $ ,,,,,, $ x'_B = \gamma(x_B - vt_B)$ ------ (4)
Per cui, tenuto conto di quanto detto, si ha :
$t'_A = t'_B ====> t_A - (vx_A)/c^2 = t_B - (vx_B)/c^2 ====> t_B - t_A = v/c^2(x_B-x_A) $ ------(5)
$L_0 = x'_B - x'_A = \gamma (x_B - x_A) -\gamma v (t_B - t_A) = \gamma (x_B - x_A) - \gammav^2/c^2 ( x_B - x_A) =\gamma (x_B - x_A)(1-v^2/c^2) =(1-(v/c)^2)/sqrt(1-(v/c)^2) (x_B-x_A) = sqrt(1-(v/c)^2) (x_B - x_A) = 1/\gamma (x_B - x_A) $
da cui si ricava che : $ (x_B - x_ A) = \gammaL_0 $ , e quindi : $ t_B - t_A = v/c^2(x_B-x_A) = v/c^2\gammaL_0$-------(6)
Perciò il 4-intervallo nel rif. di terra vale :
$\Deltas^2 = \Deltax^2 - (c\Deltat)^2 = (\gammaL_0)^2 - c^2v^2/c^4(\gammaL_0)^2 = (\gammaL_0)^2 (1-v^2/c^2) = L_0^2$
come doveva essere.
Per calcolare la lunghezza contratta, notiamo dalla figura messa sopra che :
$x_A = x_(A_0) + vt_A $
$x_B = x_(B_0) + vt_B $
per cui : $x_B - x_A = (x_(B_0) - x_(A_0) ) + v(t_B - t_A)$
da cui, tenuto conto delle (6) :
$ x_(B_0) - x_(A_0) = \gammaL_0 - v^2/c^2\gammaL_0 = (1-(v/c)^2)/sqrt(1-(v/c)^2) L_0 = L_o/\gamma = L_c$-------(7)
E mi sembra di aver finito.
Nel disegno seguente, ho rappresentato il diagramma di Minkowski nel riferimento del treno, quindi ho eseguito una rotazione iperbolica degli assi . Si tratta della stessa situazione di prima. Si vede meglio la relazione tra $L_0$ ed $L_c$ .
È chiaro da quanto scritto che i due eventi A e B, contemporanei nel treno, non sono contemporanei nel rif. terrestre : maggiore è la separazione spaziale nel rif. terrestre , maggiore è anche la separazione temporale.
Ma il 4-intervallo è invariante.
Il disegno è il diagramma di Minkowski nel rif. terrestre $(ct,x)$ di "quiete" ; il riferimento $(ct',x')$ è quello del treno AB in moto con vel. $v$ rispetto alla terra (linea blu scuro, che descrive la "striscia di universo" azzurra).
La lunghezza propria del treno è quindi :
$AB = L_0 = (x'_B - x'_A) $ ------(1)
Ad un certo istante, dal punto medio M del treno partono due segnali luminosi (linee rosse) che giungono in A e B contemporaneamente (per il tempo treno) :
$ t'_A = t'_B$ ----- (2)
La lunghezza "contratta" del treno $L_c$, misurata dall'osservatore terrestre, si ottiene sezionando la striscia di universo del treno con la retta di contemporaneità dell'osservatore terrestre, cioè l'asse $x$ . Quindi : $L_c = x_(B_0) - x_(A_0)$ .
Per verificare l'invarianza del 4-intervallo tra A e B, che nel riferimento del treno già ho detto essere uguale a :
$\Deltas^2 = L_0^2$
applichiamo le trasformazioni di Lorentz ai due eventi A e B :
$t'_A = \gamma(t_A - (vx_A)/c^2) $ ,,,,,, $ x'_A = \gamma(x_A - vt_A)$ ------ (3)
$t'_B = \gamma(t_B - (vx_B)/c^2) $ ,,,,,, $ x'_B = \gamma(x_B - vt_B)$ ------ (4)
Per cui, tenuto conto di quanto detto, si ha :
$t'_A = t'_B ====> t_A - (vx_A)/c^2 = t_B - (vx_B)/c^2 ====> t_B - t_A = v/c^2(x_B-x_A) $ ------(5)
$L_0 = x'_B - x'_A = \gamma (x_B - x_A) -\gamma v (t_B - t_A) = \gamma (x_B - x_A) - \gammav^2/c^2 ( x_B - x_A) =\gamma (x_B - x_A)(1-v^2/c^2) =(1-(v/c)^2)/sqrt(1-(v/c)^2) (x_B-x_A) = sqrt(1-(v/c)^2) (x_B - x_A) = 1/\gamma (x_B - x_A) $
da cui si ricava che : $ (x_B - x_ A) = \gammaL_0 $ , e quindi : $ t_B - t_A = v/c^2(x_B-x_A) = v/c^2\gammaL_0$-------(6)
Perciò il 4-intervallo nel rif. di terra vale :
$\Deltas^2 = \Deltax^2 - (c\Deltat)^2 = (\gammaL_0)^2 - c^2v^2/c^4(\gammaL_0)^2 = (\gammaL_0)^2 (1-v^2/c^2) = L_0^2$
come doveva essere.
Per calcolare la lunghezza contratta, notiamo dalla figura messa sopra che :
$x_A = x_(A_0) + vt_A $
$x_B = x_(B_0) + vt_B $
per cui : $x_B - x_A = (x_(B_0) - x_(A_0) ) + v(t_B - t_A)$
da cui, tenuto conto delle (6) :
$ x_(B_0) - x_(A_0) = \gammaL_0 - v^2/c^2\gammaL_0 = (1-(v/c)^2)/sqrt(1-(v/c)^2) L_0 = L_o/\gamma = L_c$-------(7)
E mi sembra di aver finito.
Nel disegno seguente, ho rappresentato il diagramma di Minkowski nel riferimento del treno, quindi ho eseguito una rotazione iperbolica degli assi . Si tratta della stessa situazione di prima. Si vede meglio la relazione tra $L_0$ ed $L_c$ .
È chiaro da quanto scritto che i due eventi A e B, contemporanei nel treno, non sono contemporanei nel rif. terrestre : maggiore è la separazione spaziale nel rif. terrestre , maggiore è anche la separazione temporale.
Ma il 4-intervallo è invariante.
Ho capito perchè i due eventi A e B non sono simultanei per l'osservatore fermo a terra, ma non sono riuscito a capire una cosa: se chiamo E l'evento dell'esplosione del treno, nel sistema dell'osservatore che sta sul treno E sarà simultaneo ad A e B, ma per l'osservatore fermo a terra l'esplosione avverrà prima o dopo l'evento A (o l'evento B)?
Devono verificarsi entrambi gli eventi A e B, perchè l'esplosione abbia luogo. E questo per tutti gli osservatori, fermo restando che per il passeggero sul treno gli eventi sono contemporanei.
Ma l'ordine temporale in cui si verificano gli eventi dipende dagli osservatori.
Supponi che a terra ci sia un osservatore $O_1$ in una automobile, che corre sulla banchina parallelamente al treno con la stessa velocità del treno: evidentemente questo osservatore è "immobile" nel riferimento del treno. Perciò anche per lui gli eventi A e B sono contemporanei, come per il passeggero sul treno: il tempo scorre con lo stesso ritmo per entrambi!
Ma supponiamo che un altro osservatore $O_2$ a terra sia immobile sulla banchina: se il treno viaggia da sinistra a destra, è $O_2$ che viaggia in senso opposto nel riferimento del treno , cioè da destra verso sinistra, con velocità avente lo stesso modulo ma verso opposto. Sapresti dirmi quale dei due eventi avviene prima, per questo $O_2$? ("prima" è avverbio di tempo riferito al tempo dell'osservatore!).
E se sulla banchina c'è un osservatore $O_3$, che corre in automobile nella stessa direzione del treno ma è più veloce del treno stesso, sapresti dirmi quale dei due eventi avviene prima, per $O_3$ ?
Non preoccuparti troppo, è solo un gioco!
Ma l'ordine temporale in cui si verificano gli eventi dipende dagli osservatori.
Supponi che a terra ci sia un osservatore $O_1$ in una automobile, che corre sulla banchina parallelamente al treno con la stessa velocità del treno: evidentemente questo osservatore è "immobile" nel riferimento del treno. Perciò anche per lui gli eventi A e B sono contemporanei, come per il passeggero sul treno: il tempo scorre con lo stesso ritmo per entrambi!
Ma supponiamo che un altro osservatore $O_2$ a terra sia immobile sulla banchina: se il treno viaggia da sinistra a destra, è $O_2$ che viaggia in senso opposto nel riferimento del treno , cioè da destra verso sinistra, con velocità avente lo stesso modulo ma verso opposto. Sapresti dirmi quale dei due eventi avviene prima, per questo $O_2$? ("prima" è avverbio di tempo riferito al tempo dell'osservatore!).
E se sulla banchina c'è un osservatore $O_3$, che corre in automobile nella stessa direzione del treno ma è più veloce del treno stesso, sapresti dirmi quale dei due eventi avviene prima, per $O_3$ ?
Non preoccuparti troppo, è solo un gioco!
Ho provato a fare il disegno per O3. Il riferimento di O3 è (ct,x), mentre quello del treno è (ct',x'). Credo sia così:
Quindi per O3 dovrebbe avvenire prima l'evento B e poi l'evento A, sbaglio?
Quindi per O3 dovrebbe avvenire prima l'evento B e poi l'evento A, sbaglio?
Il tuo disegno non si vede molto bene. Ti suggerisco come fare, in tutti i casi.
Disegna innanzitutto il diagramma di Minkowski nel riferimento del treno : l'asse $ct'$ (verticale sul foglio di disegno) e l'asse $x'$ (orizzontale) sono il riferimento in cui il treno è in quiete. Quindi le linee di universo di A e B sono due linee verticali , parallele all'asse $ct'$ , la striscia di universo del treno è verticale, il treno è rappresentato da un segmento $AB$ orizzontale (o meglio, parallelo all'asse $x'$).
Per intenderci, è il secondo dei disegni che ho messo io.
Su questo diagramma ora puoi mettere la "linea di universo" , o temporale, di un osservatore qualsiasi.
La linea temporale di $O_1$ è banale: è parallela all'asse $ct'$ .
La linea di $O_2$, che è fermo in banchina, sarà inclinata rispetto all'asse $ct'$ nel verso opposto al moto del treno evidentemente, quindi da destra in basso a sinistra verso l'alto: infatti il treno viaggia da sinistra a destra rispetto alla banchina, quindi nel rif. del treno $O_2$ si sposta da Ds a Sin.
Come è messo l'asse $x$ di $O_2$ ? Ricordati del fatto che la linea luce, bisettrice degli assi $ct', x'$ , deve rimanere bisettrice anche degli assi di $O_2$ !
Ora, non devi far altro che condurre sul disegno le parallele all'asse $x$ dell'osservatore a partire da A da B .
E questa procedura vale sempre. Percio per $O_2$ anzidetto si verifica prima l'evento….non te lo dico!
L'osservatore $O_3$ è in moto, rispetto alla banchina, nello stesso verso del treno ma con velocità maggiore. Quindi, se consideri il treno "fermo" , $O_3$ è in moto sempre da Sin. a Ds. del foglio, ma con una velocità relativa al treno che è un po' più piccola di quella "assoluta" risp. alla banchina, giusto?
Percio la linea temporale di $O_3$ la tracci sul diagramma da Sin. in basso a Ds in alto. Poi tracci l'asse $x$ , e poi le parallele a quest'asse da $A$ e da $B$ , come prima.
Si, per $O_3$ avviene prima $B$ e poi $A$ !
LA regoletta è questa : nel rif. di un osservatore in moto, avviene prima (tempo osservatore!) l'evento che è più lontano spazialmente dall'osservatore stesso!
Cosi è fatta la Relativita !
Si potrebbe anche fare il calcolo della differenza di tempo misurata dall'osservatore col suo orologio tra i due eventi….ma questa non te la chiedo...
È intuitivo comunque che tale differenza è tanto maggiore quanto maggiore è la velocità relativa...
Disegna innanzitutto il diagramma di Minkowski nel riferimento del treno : l'asse $ct'$ (verticale sul foglio di disegno) e l'asse $x'$ (orizzontale) sono il riferimento in cui il treno è in quiete. Quindi le linee di universo di A e B sono due linee verticali , parallele all'asse $ct'$ , la striscia di universo del treno è verticale, il treno è rappresentato da un segmento $AB$ orizzontale (o meglio, parallelo all'asse $x'$).
Per intenderci, è il secondo dei disegni che ho messo io.
Su questo diagramma ora puoi mettere la "linea di universo" , o temporale, di un osservatore qualsiasi.
La linea temporale di $O_1$ è banale: è parallela all'asse $ct'$ .
La linea di $O_2$, che è fermo in banchina, sarà inclinata rispetto all'asse $ct'$ nel verso opposto al moto del treno evidentemente, quindi da destra in basso a sinistra verso l'alto: infatti il treno viaggia da sinistra a destra rispetto alla banchina, quindi nel rif. del treno $O_2$ si sposta da Ds a Sin.
Come è messo l'asse $x$ di $O_2$ ? Ricordati del fatto che la linea luce, bisettrice degli assi $ct', x'$ , deve rimanere bisettrice anche degli assi di $O_2$ !
Ora, non devi far altro che condurre sul disegno le parallele all'asse $x$ dell'osservatore a partire da A da B .
E questa procedura vale sempre. Percio per $O_2$ anzidetto si verifica prima l'evento….non te lo dico!
L'osservatore $O_3$ è in moto, rispetto alla banchina, nello stesso verso del treno ma con velocità maggiore. Quindi, se consideri il treno "fermo" , $O_3$ è in moto sempre da Sin. a Ds. del foglio, ma con una velocità relativa al treno che è un po' più piccola di quella "assoluta" risp. alla banchina, giusto?
Percio la linea temporale di $O_3$ la tracci sul diagramma da Sin. in basso a Ds in alto. Poi tracci l'asse $x$ , e poi le parallele a quest'asse da $A$ e da $B$ , come prima.
Si, per $O_3$ avviene prima $B$ e poi $A$ !
LA regoletta è questa : nel rif. di un osservatore in moto, avviene prima (tempo osservatore!) l'evento che è più lontano spazialmente dall'osservatore stesso!
Cosi è fatta la Relativita !
Si potrebbe anche fare il calcolo della differenza di tempo misurata dall'osservatore col suo orologio tra i due eventi….ma questa non te la chiedo...
È intuitivo comunque che tale differenza è tanto maggiore quanto maggiore è la velocità relativa...
Ok il disegno non si vedeva molto bene ma ho seguito il procedimento che hai scritto tu, solo che ho preso come assi perpendicolari quelli dell'osservatore O3 e poi ci ho messo la linea di universo del treno, che di conseguenza veniva da destra a sinistra nel foglio; ma se ho capito bene i due metodi sono equivalenti (e infatti mi viene anche a me che B precede A per O3.
Comunque se non sbaglio per O2 A dovrebbe venire prima di B, giusto? Il disegno dovrebbe essere come il secondo che hai messo tu, no?
Comunque se non sbaglio per O2 A dovrebbe venire prima di B, giusto? Il disegno dovrebbe essere come il secondo che hai messo tu, no?
Perfetto!
Il disegno si può fare a partire da qualsiasi osservatore considerato in quiete, quindi anche come hai fatto tu.
Tutti i diagrammi di Minkowski sono equivalenti tra loro, per descrivere una stessa situazione fisica.
Solo che essendo il treno un oggetto che a riposo ha lunghezza propria " alquanto estesa" pari a $L_0$ , mentre gli osservatori sono "puntiformi" (sto usando un linguaggio disinvolto per fari capire!) , è preferibile, secondo me, mettersi nel rif. di quiete del treno, e su questo tracciare le linee temporali di tutti gli osservatori che vogliamo.
MA comunque hai capito benissimo la questione, e come si risolve. Per $O_2$ avviene prima A .
E se ti metti nel rif. del treno, secondo me sei anche in grado di calcolare quella differenza di tempo che ti dicevo…guarda, per aiutarti, ti dico che la differenza di tempo tra gli eventi A e B, valutata da un osservatore in moto relativo con velocità $v$ , vale : $(vL_0)/c^2 $ .
Ti metto un disegno che avevo fatto tempo fa. Qui si parlava di due pietre A e B che cadono "contemporaneamente" in un vagone, e quindi vengono viste cadere in tempi diversi da osservatori diversi.
Le notazioni sono un po' diverse, ma il senso è lo stesso.
Il disegno si può fare a partire da qualsiasi osservatore considerato in quiete, quindi anche come hai fatto tu.
Tutti i diagrammi di Minkowski sono equivalenti tra loro, per descrivere una stessa situazione fisica.
Solo che essendo il treno un oggetto che a riposo ha lunghezza propria " alquanto estesa" pari a $L_0$ , mentre gli osservatori sono "puntiformi" (sto usando un linguaggio disinvolto per fari capire!) , è preferibile, secondo me, mettersi nel rif. di quiete del treno, e su questo tracciare le linee temporali di tutti gli osservatori che vogliamo.
MA comunque hai capito benissimo la questione, e come si risolve. Per $O_2$ avviene prima A .
E se ti metti nel rif. del treno, secondo me sei anche in grado di calcolare quella differenza di tempo che ti dicevo…guarda, per aiutarti, ti dico che la differenza di tempo tra gli eventi A e B, valutata da un osservatore in moto relativo con velocità $v$ , vale : $(vL_0)/c^2 $ .
Ti metto un disegno che avevo fatto tempo fa. Qui si parlava di due pietre A e B che cadono "contemporaneamente" in un vagone, e quindi vengono viste cadere in tempi diversi da osservatori diversi.
Le notazioni sono un po' diverse, ma il senso è lo stesso.
Alcune osservazioni da correggere.
Usciamo dalla stazione (ultimamente non mi sembra un posto molto sicuro).
Prendiamo un foglio e un compasso.
Fissata la punta Indichiamo con A il punto dove e' appoggiata la mina sul foglio.
Cominciamo a fare girare il compasso fino a ritornare in A.
Nello spazio tempo abbiamo una geodetica a spirale che sale su ct e si ferma in A1.
L'altezza di A1 rispetto all'asse x sara' condizionata dalla lentezza con la quale faccio girare il compasso.
Avro' sempre e comunque che A e A1 saranno sulla stessa verticale parallela a ct.
Tutti gli osservatori inerziali vedranno questa spirale piu' o meno schiacciata e allungata verso ct ma per tutti A e A1 saranno sempre sulla stessa verticale.
Possiamo dire che il quadrivettore A-A1 ha la stessa distanza spazio tempo per tutti gli osservatori inerziali.
Ad esempio se ammettiamo che quando chiudo il cerchio esplode lo studio deve essere sempre cosi' per tutti i riferimenti inerziali che "passano" davanti allo studio.
E' possibile immaginare questo quadrivettore come una fluttuazione spazio tempo ; dove
manca lo spazio "interviene" il tempo e viceversa nella stretta osservanza delle trasformate di Lorentz.
Ritengo che non si debba fare confusione comunque tra la rappresentazione "matematica" di due eventi
e la rappresentazione invece fisica nella quale spazio e tempo sono due realta' ben distinte.
Se ritorno al mio compasso non vedro' certo il mio cerchio non chiudersi e salire a spirale.
La rappresentazione matematica spaziotempo di eventi serve per dare giustificazione matematica ad un certo comportamento fisico.
L'invarianza del quadrivettore da' spiegazione comunque a molti paradossi della R.R.
Usciamo dalla stazione (ultimamente non mi sembra un posto molto sicuro).
Prendiamo un foglio e un compasso.
Fissata la punta Indichiamo con A il punto dove e' appoggiata la mina sul foglio.
Cominciamo a fare girare il compasso fino a ritornare in A.
Nello spazio tempo abbiamo una geodetica a spirale che sale su ct e si ferma in A1.
L'altezza di A1 rispetto all'asse x sara' condizionata dalla lentezza con la quale faccio girare il compasso.
Avro' sempre e comunque che A e A1 saranno sulla stessa verticale parallela a ct.
Tutti gli osservatori inerziali vedranno questa spirale piu' o meno schiacciata e allungata verso ct ma per tutti A e A1 saranno sempre sulla stessa verticale.
Possiamo dire che il quadrivettore A-A1 ha la stessa distanza spazio tempo per tutti gli osservatori inerziali.
Ad esempio se ammettiamo che quando chiudo il cerchio esplode lo studio deve essere sempre cosi' per tutti i riferimenti inerziali che "passano" davanti allo studio.
E' possibile immaginare questo quadrivettore come una fluttuazione spazio tempo ; dove
manca lo spazio "interviene" il tempo e viceversa nella stretta osservanza delle trasformate di Lorentz.
Ritengo che non si debba fare confusione comunque tra la rappresentazione "matematica" di due eventi
e la rappresentazione invece fisica nella quale spazio e tempo sono due realta' ben distinte.
Se ritorno al mio compasso non vedro' certo il mio cerchio non chiudersi e salire a spirale.
La rappresentazione matematica spaziotempo di eventi serve per dare giustificazione matematica ad un certo comportamento fisico.
L'invarianza del quadrivettore da' spiegazione comunque a molti paradossi della R.R.
Emit
ti aspettavo sul paradosso delle astronavi di Bell, ma invano….
Del tuo esempio cito solo questa tua frase, per ora….. :
….per dirti che nella "rappresentazione fisica" (non so che cosa tu voglia intendere….anzi forse lo capisco fin troppo bene : è la visione newtoniana classica!!!) lo spazio e il tempo non sono affatto due realtà ben distinte.
Lascia stare la matematica escogitata per trattare matematicamente questa questione. LA matematica viene dopo, molto dopo. Mi pare che Minkowski abbia inventato i 4-vettori circa 3 anni dopo l'articolo di Einstein sulla "elettrodinamica dei corpi in moto" , praticamente la RR .
Considera questo: tu vai dal tuo studio (dove c'è la bomba) alla stazione (dove c'è un'altra bomba, sul treno che passa….è diventato un 3d di bombaroli, questo! ) muovendoti nello spazio a 3 dimensioni e pure nel tempo, c'è poco da fare, il tempo passa, passa…e anche se puoi ritornare sui tuoi passi azzerando lo spostamento spaziale non puoi azzerare la variazione temporale…
Torno a ripeterti: la RR non si dimostra o si boccia con "paradossi" di viaggiatori spaziali, di treni e di bombe, di gemelli, di pali che entrano in garage…questi sono divertimenti. La RR si vede nei laboratori dove si lavora con particelle elementari, le uniche suscettibili di essere accelerate a velocità relativistica…
La RG si dimostra con osservazioni di astri lontani, con scoperte di buchi neri, con misure di periodi di stelle binarie, con la cosmologia relativistica…
Nel 1993 due fisici americani, Hulse e Taylor, hanno ricevuto il premio Nobel per la scoperta di una pulsar binaria, le cui radiazioni sono in accordo con le previsioni della RG sulla emissione di onde gravitazionali :
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/ ... press.html
Quest'altro articolo è stato pubblicato da poco sul sito di Le Scienze. Ripropone un articolo di qualche anno fa, sulla applicazione della Relativita a "macchine relativistiche" del 21º secolo. Leggilo se vuoi. Sei padrone di non crederci.
http://www.lescienze.it/edicola/2014/02 ... e-2001073/
Che cosa altro bisogna fare, per dimostrare che la Relatività funziona, almeno finora ?
Se non funziona, occorre trovare una teoria migliore! E allora, lo stesso Einstein sarebbe contento. Lo disse anche lui :
"Non mi aspetto di aver fatto qualcosa di definitivo…"
ti aspettavo sul paradosso delle astronavi di Bell, ma invano….
Del tuo esempio cito solo questa tua frase, per ora….. :
Ritengo che non si debba fare confusione comunque tra la rappresentazione "matematica" di due eventi
e la rappresentazione invece fisica nella quale spazio e tempo sono due realta' ben distinte.
….per dirti che nella "rappresentazione fisica" (non so che cosa tu voglia intendere….anzi forse lo capisco fin troppo bene : è la visione newtoniana classica!!!) lo spazio e il tempo non sono affatto due realtà ben distinte.
Lascia stare la matematica escogitata per trattare matematicamente questa questione. LA matematica viene dopo, molto dopo. Mi pare che Minkowski abbia inventato i 4-vettori circa 3 anni dopo l'articolo di Einstein sulla "elettrodinamica dei corpi in moto" , praticamente la RR .
Considera questo: tu vai dal tuo studio (dove c'è la bomba) alla stazione (dove c'è un'altra bomba, sul treno che passa….è diventato un 3d di bombaroli, questo! ) muovendoti nello spazio a 3 dimensioni e pure nel tempo, c'è poco da fare, il tempo passa, passa…e anche se puoi ritornare sui tuoi passi azzerando lo spostamento spaziale non puoi azzerare la variazione temporale…
Torno a ripeterti: la RR non si dimostra o si boccia con "paradossi" di viaggiatori spaziali, di treni e di bombe, di gemelli, di pali che entrano in garage…questi sono divertimenti. La RR si vede nei laboratori dove si lavora con particelle elementari, le uniche suscettibili di essere accelerate a velocità relativistica…
La RG si dimostra con osservazioni di astri lontani, con scoperte di buchi neri, con misure di periodi di stelle binarie, con la cosmologia relativistica…
Nel 1993 due fisici americani, Hulse e Taylor, hanno ricevuto il premio Nobel per la scoperta di una pulsar binaria, le cui radiazioni sono in accordo con le previsioni della RG sulla emissione di onde gravitazionali :
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/ ... press.html
Quest'altro articolo è stato pubblicato da poco sul sito di Le Scienze. Ripropone un articolo di qualche anno fa, sulla applicazione della Relativita a "macchine relativistiche" del 21º secolo. Leggilo se vuoi. Sei padrone di non crederci.
http://www.lescienze.it/edicola/2014/02 ... e-2001073/
Che cosa altro bisogna fare, per dimostrare che la Relatività funziona, almeno finora ?
Se non funziona, occorre trovare una teoria migliore! E allora, lo stesso Einstein sarebbe contento. Lo disse anche lui :
"Non mi aspetto di aver fatto qualcosa di definitivo…"
"emit":
Alcune osservazioni da correggere.
Usciamo dalla stazione (ultimamente non mi sembra un posto molto sicuro).
Prendiamo un foglio e un compasso.
Fissata la punta Indichiamo con A il punto dove e' appoggiata la mina sul foglio.
Cominciamo a fare girare il compasso fino a ritornare in A.
Nello spazio tempo abbiamo una geodetica a spirale che sale su ct e si ferma in A1.
L'altezza di A1 rispetto all'asse x sara' condizionata dalla lentezza con la quale faccio girare il compasso.
Avro' sempre e comunque che A e A1 saranno sulla stessa verticale parallela a ct.
Tutti gli osservatori inerziali vedranno questa spirale piu' o meno schiacciata e allungata verso ct ma per tutti A e A1 saranno sempre sulla stessa verticale.
Possiamo dire che il quadrivettore A-A1 ha la stessa distanza spazio tempo per tutti gli osservatori inerziali.
No, qui c'è un errore.
Ora lo "spazio" non è il solo asse x , è il piano del foglio xy, in quiete rispetto a te. L'asse temporale ct è , per te, perpendicolare al foglio.
A seconda della velocità di rotazione del compasso, sulla linea di universo per A parallela all'asse $ct$ non hai sempre lo stesso evento $A_1$. Hai tanti eventi $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ….eccetera , in funzione appunto della velocità con cui giri il compasso. Basta sviluppare in piano la superficie cilindrica, per vedere che le eliche cilindriche diventano segmenti di retta con inclinazioni diverse sul piano della superficie sviluppata.
Percio non c'è qui un unico quadrivettore $ A A_1$ .
Ad esempio se ammettiamo che quando chiudo il cerchio esplode lo studio deve essere sempre cosi' per tutti i riferimenti inerziali che "passano" davanti allo studio.
Si, ma gli eventi :
-inizio il cerchio in A
-chiudo il cerchio in $A_1$ , oppure in $A_2$ , ecc
ora non sono contemporanei neppure per te ! I due eventi $A$ ed $A_1$ sono, per te, separati nel tempo, pur essendo coincidenti nello spazio: infatti, sul piano xy i due eventi A ed $A_1$ sono nello stesso punto, ma $A_1$ si trova sull'asse $ct$ , ad una distanza dal piano che dipende dalla velocità
E se un altro osservatore passa davanti al foglio con una certa velocità relativa ad esso, i due eventi $A$ ed $A_1$ sono separati, per lui, sia nel tempo che nello spazio. Infatti, egli trasla rispetto al piano xy, cioè rispetto a te, nel tempo n cui tu giri il compasso.
………...
La rappresentazione matematica spaziotempo di eventi serve per dare giustificazione matematica ad un certo comportamento fisico.
L'invarianza del quadrivettore da' spiegazione comunque a molti paradossi della R.R.
Questo è fuori di dubbio. MA qual è lo scopo ultimo del tuo esempio?
Fermiamo una velocita' v e facciamo compiere un giro completo al mio compasso in modo che A (punto di partenza)
possa coincidere con B punto di arrivo.
Nello spazio tempo avro' una geodetica a spirale i cui punti sono tutti degli eventi.
Questa spirale avra' come caratteristica che la congiungente degli eventi A e B sara' una retta parallela all'asse ct.
Prima di continuare dimmi se condividi quanto scritto perche' se parto male e' inutile che continuo.
possa coincidere con B punto di arrivo.
Nello spazio tempo avro' una geodetica a spirale i cui punti sono tutti degli eventi.
Questa spirale avra' come caratteristica che la congiungente degli eventi A e B sara' una retta parallela all'asse ct.
Prima di continuare dimmi se condividi quanto scritto perche' se parto male e' inutile che continuo.
@navigatore:
Intendi dire che devo dimostrare come si arriva alla formula che hai scritto? Io ho fatto così:
Ho chiamato $ t' $ la coordinata temporale dei due eventi nel sistema di riferimento del treno, $ t_A $ la coordinata temporale dell'evento A nel sistema dell'osservatore $ O_2 $, $ t_B $ la coordinata temporale dell'evento B nel sistema di $ O_2 $, e $ x_A $ e $ x_B $ le coordinate spaziali dei due eventi nel riferimento di $ O_2 $. Poi ho usato le trasformazioni di Lorentz:
$ { (t' = gamma*(t_A-v*x_A/c^2 )), (t' = gamma*(t_B-v*x_B/c^2)) :} $
da cui risolvendo ho ottenuto:
$ t_B - t_A = v/c^2*(x_B - x_A) $-----1
Poi ho scritto:
$ (x_B-v*t_B)-(x_A-v*t_A) = L_0/gamma $
da cui ho ottenuto, ricavando $ x_B-x_A $ e sostituendo nella 1,:
$ t_B-t_A = v*L_0*gamma/c^2 $
Poi mi sono accorto che questa è esattamente la stessa formula ricavata da te rispondendo a emit in un dei primi post; ma non coincide con quella messa da te nel penultimo post, in cui manca il fattore $ gamma $.
Quindi quella formula che hai messo tu che intervallo mi dovrebbe dare?
E se ti metti nel rif. del treno, secondo me sei anche in grado di calcolare quella differenza di tempo che ti dicevo…guarda, per aiutarti, ti dico che la differenza di tempo tra gli eventi A e B, valutata da un osservatore in moto relativo con velocità v , vale : $ v*L_0/c^2 $ .
Intendi dire che devo dimostrare come si arriva alla formula che hai scritto? Io ho fatto così:
Ho chiamato $ t' $ la coordinata temporale dei due eventi nel sistema di riferimento del treno, $ t_A $ la coordinata temporale dell'evento A nel sistema dell'osservatore $ O_2 $, $ t_B $ la coordinata temporale dell'evento B nel sistema di $ O_2 $, e $ x_A $ e $ x_B $ le coordinate spaziali dei due eventi nel riferimento di $ O_2 $. Poi ho usato le trasformazioni di Lorentz:
$ { (t' = gamma*(t_A-v*x_A/c^2 )), (t' = gamma*(t_B-v*x_B/c^2)) :} $
da cui risolvendo ho ottenuto:
$ t_B - t_A = v/c^2*(x_B - x_A) $-----1
Poi ho scritto:
$ (x_B-v*t_B)-(x_A-v*t_A) = L_0/gamma $
da cui ho ottenuto, ricavando $ x_B-x_A $ e sostituendo nella 1,:
$ t_B-t_A = v*L_0*gamma/c^2 $
Poi mi sono accorto che questa è esattamente la stessa formula ricavata da te rispondendo a emit in un dei primi post; ma non coincide con quella messa da te nel penultimo post, in cui manca il fattore $ gamma $.
Quindi quella formula che hai messo tu che intervallo mi dovrebbe dare?
Emit :
certo, nello ST la mina del compasso, che sulla carta disegna una circonferenza (quindi, nel solo spazio la separazione finale è nulla), disegna invece una elica, perché la coordinata temporale varia : alla fine, la separazione tra i due eventi è lungo la generatrice del cilindro spaziotemporale, come hai detto.
Step 98 :
per semplificare (ma si tratta della stessa situazione del treno, solo che ora "fermiamo gli eventi A e B a terra" e ci facciamo passare davanti un osservatore $O$ a vel. relativistica) immagina due pali $A$ e $B$ fissi a terra su una strada rettilinea, a distanza $L_0$ tra loro : è la distanza propria, evidentemente. Immagina che si tratti di due traguardi, muniti di due orologi sincronizzati tra loro : $t_A = t_B$ in ogni istante. Ed è logico, i due orologi sono nello stesso riferimento terrestre $(ct,x)$.
La striscia di universo descritta da $L_0 = AB $ è parallela all'asse $ct$ (fatti pure un disegnino, così lo vedi).
Un osservatore $O(ct',x')$ in motocicletta passa a vel. relativistica prima davanti ad $A$ poi davanti a $B$; per lui la distanza $AB$ è "contratta" : $L_c = L_0/\gamma$ , d'accordo ? Ma come si determina sulla striscia d'universo di terra (quella prima detta) la lunghezza contratta misurata dal motociclista? Con la solita costruzione :
-devi tracciare l'asse $ct'$ inclinato di $arctgv$ rispetto a $ct$
-tale asse incontra le linee d'universo di $A$ e $B$ in due punti sul diagramma di Minkowski:l'evento A (la moto passa davanti al primo palo) e l'evento B (la moto passa davanti al secondo palo).
-devi ora tracciare l'asse $x'$ , retta di contemporaneità per il motociclista.Tale retta incontra la linea di universo di $B$ in un punto che chiamo $C$ . Il segmento $AC = \Deltax'$ rappresenta la lunghezza contratta $L_c$.
Invece la lunghezza propria è il segmento $A_0B_0 = \Deltax$ intercettato dall'asse $x$ sulle linee d'universo di A e di B, che sono perpendicolari all'asse $x$ evidentemente.
Scriviamo il 4-intervallo invariante $AC$ nei due sistemi di coordinate :
$\Deltax'^2 - (c\Deltat')^2 = \Deltax^2 - (c\Deltat)^2 $
e cioè, tenendo conto di quanto detto prima :
$L_c^2 = L_0^2 - (B_0C)^2 = L_0^2 -(c\Deltat)^2$
Infatti, $B_0C = c\Deltat$ è il tempo terrestre di cui l'orologio in B è andato più avanti rispetto all'orologio in A, mentre la moto si sposta da A a B. ( Lo so, sembra un po' confuso, ci vorrebbe un disegno per spiegare meglio…).
da cui : $(c\Deltat)^2 = L_0^2 - L_c^2 = L_0^2 - L_0^2/\gamma^2 =…..= L_0^2v^2/c^2 $
Percio : $ \Delta t ^2 = L_0^2v^2/c^4 $
Da cui : $\Deltat = (L_0*v)/c^2 $
Questo vuol dire anche, ragionando in termini di "rallentamento di orologi in moto" , che il motociclista arrivando in B trova che l'orologio di B sopravanza il tempo che lui si aspetterebbe di leggere della quantità : $L_0*v/c^2$
Infatti:
-secondo un osservatore terrestre, è il tempo del motociclista a scorrere più lentamente del suo
-ma secondo il motociclista, dovrebbe essere l'orologio di terra a rallentare rispetto al suo….
sarebbe bello sei riuscissi a visualizzare questo fatto sullo stesso diagramma di prima!
certo, nello ST la mina del compasso, che sulla carta disegna una circonferenza (quindi, nel solo spazio la separazione finale è nulla), disegna invece una elica, perché la coordinata temporale varia : alla fine, la separazione tra i due eventi è lungo la generatrice del cilindro spaziotemporale, come hai detto.
Step 98 :
per semplificare (ma si tratta della stessa situazione del treno, solo che ora "fermiamo gli eventi A e B a terra" e ci facciamo passare davanti un osservatore $O$ a vel. relativistica) immagina due pali $A$ e $B$ fissi a terra su una strada rettilinea, a distanza $L_0$ tra loro : è la distanza propria, evidentemente. Immagina che si tratti di due traguardi, muniti di due orologi sincronizzati tra loro : $t_A = t_B$ in ogni istante. Ed è logico, i due orologi sono nello stesso riferimento terrestre $(ct,x)$.
La striscia di universo descritta da $L_0 = AB $ è parallela all'asse $ct$ (fatti pure un disegnino, così lo vedi).
Un osservatore $O(ct',x')$ in motocicletta passa a vel. relativistica prima davanti ad $A$ poi davanti a $B$; per lui la distanza $AB$ è "contratta" : $L_c = L_0/\gamma$ , d'accordo ? Ma come si determina sulla striscia d'universo di terra (quella prima detta) la lunghezza contratta misurata dal motociclista? Con la solita costruzione :
-devi tracciare l'asse $ct'$ inclinato di $arctgv$ rispetto a $ct$
-tale asse incontra le linee d'universo di $A$ e $B$ in due punti sul diagramma di Minkowski:l'evento A (la moto passa davanti al primo palo) e l'evento B (la moto passa davanti al secondo palo).
-devi ora tracciare l'asse $x'$ , retta di contemporaneità per il motociclista.Tale retta incontra la linea di universo di $B$ in un punto che chiamo $C$ . Il segmento $AC = \Deltax'$ rappresenta la lunghezza contratta $L_c$.
Invece la lunghezza propria è il segmento $A_0B_0 = \Deltax$ intercettato dall'asse $x$ sulle linee d'universo di A e di B, che sono perpendicolari all'asse $x$ evidentemente.
Scriviamo il 4-intervallo invariante $AC$ nei due sistemi di coordinate :
$\Deltax'^2 - (c\Deltat')^2 = \Deltax^2 - (c\Deltat)^2 $
e cioè, tenendo conto di quanto detto prima :
$L_c^2 = L_0^2 - (B_0C)^2 = L_0^2 -(c\Deltat)^2$
Infatti, $B_0C = c\Deltat$ è il tempo terrestre di cui l'orologio in B è andato più avanti rispetto all'orologio in A, mentre la moto si sposta da A a B. ( Lo so, sembra un po' confuso, ci vorrebbe un disegno per spiegare meglio…).
da cui : $(c\Deltat)^2 = L_0^2 - L_c^2 = L_0^2 - L_0^2/\gamma^2 =…..= L_0^2v^2/c^2 $
Percio : $ \Delta t ^2 = L_0^2v^2/c^4 $
Da cui : $\Deltat = (L_0*v)/c^2 $
Questo vuol dire anche, ragionando in termini di "rallentamento di orologi in moto" , che il motociclista arrivando in B trova che l'orologio di B sopravanza il tempo che lui si aspetterebbe di leggere della quantità : $L_0*v/c^2$
Infatti:
-secondo un osservatore terrestre, è il tempo del motociclista a scorrere più lentamente del suo
-ma secondo il motociclista, dovrebbe essere l'orologio di terra a rallentare rispetto al suo….
sarebbe bello sei riuscissi a visualizzare questo fatto sullo stesso diagramma di prima!
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