Un bel problema di meccanica: disco che rotola su cerchio
Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questo problema.
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
Risposte
Ok.
Obtorto collo anch'io ho risolto.
Mi viene lo stesso risultato di Mirco (non ci avevo fatto caso).
$1/4 m v^2 (1 + 1/2r^2/R^2)+1/2 m v^2$
Comunque Lorenzo devi per prima cosa calcolarti il vettore della velocità angolare del disco tenendo conto che hai due componenti una orizzontale e un'altra verticale.
Quindi calcoli l'energia cinetica come $1/2 vec(omega)^t I vec(omega) + 1/2m v^2$ dove $I$ è il tensore d'inerzia del disco calcolato in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa, congruente con quello adottato per $omega$ ovviamente.
Il primo addendo è l'energia cinetica rispetto al centro di massa il secondo è il contributo del centro di massa.
L'angolo $theta$ che hai indicato tu non entra.
EDIT: Il vettore è semplice da calcolare: basta scrivere che la velocità del centro di massa calcolata usando la componente lungo x è uguale a quella che calcoli utilizzando la componente verticale, perché il disco descrive appunto una circonferenza.
Obtorto collo anch'io ho risolto.
Mi viene lo stesso risultato di Mirco (non ci avevo fatto caso).
$1/4 m v^2 (1 + 1/2r^2/R^2)+1/2 m v^2$
Comunque Lorenzo devi per prima cosa calcolarti il vettore della velocità angolare del disco tenendo conto che hai due componenti una orizzontale e un'altra verticale.
Quindi calcoli l'energia cinetica come $1/2 vec(omega)^t I vec(omega) + 1/2m v^2$ dove $I$ è il tensore d'inerzia del disco calcolato in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa, congruente con quello adottato per $omega$ ovviamente.
Il primo addendo è l'energia cinetica rispetto al centro di massa il secondo è il contributo del centro di massa.
L'angolo $theta$ che hai indicato tu non entra.
EDIT: Il vettore è semplice da calcolare: basta scrivere che la velocità del centro di massa calcolata usando la componente lungo x è uguale a quella che calcoli utilizzando la componente verticale, perché il disco descrive appunto una circonferenza.
"Faussone":
Ovviamente mi viene un risultato diverso da entrambi, lo riporto ma non ne sono sicuro....
Purtroppo questi tre risultati, per giunta diversi, non mi sono d'aiuto.
"Faussone":
Comunque Lorenzo devi per prima cosa calcolarti il vettore della velocità angolare del disco tenendo conto che hai due componenti una orizzontale e un'altra verticale. Quindi calcoli l'energia cinetica come $1/2 vec(omega)^t I vec(omega) + 1/2m v^2$ dove $I$ è il tensore d'inerzia del disco calcolato in un sistema di riferimento centrato nel centro di massa. Il primo addendo è l'energia cinetica rispetto al centro di massa il secondo è il contributo del centro di massa.
Sì, immaginavo che il procedimento fosse questo. Purtroppo, senza dettagli, non ne esco. Oddio, la matrice d'inerzia dovrei riuscire a calcolarla, ma $\omega$ no.
"Faussone":
L'angolo $theta$ che hai indicato tu non entra.
Non capisco: $\theta$ è la coordinata lagrangiana! Spiega meglio quel "non entra"!
Grazie mille,
L.
P.S. Confermo: è proprio un bel problema!
"mircoFN":
mi consenta .... ma non è che hai preso il momento d'inerzia di una sfera?
GRRRR... maledette tabelle!
In effetti mi sono fidato di una tabella che avevo, e ho preso la sfera per un disco in piedi!
Adesso ho modificato e mi viene come a te.
sorry
Alla fine i risultati vengono uguali!
Io non mi ero reso conto che avevo scritto la stessa cosa di Mirco... Comunque Lorenzo ti ho aggiunto nel precedente messaggio un commento per il calcolo del vettore velocità angolare....
Il non entra riferito a $theta$ significa che non appare nell'espressione dell'energia cinetica, conta solo la sua derivata.
Io non mi ero reso conto che avevo scritto la stessa cosa di Mirco... Comunque Lorenzo ti ho aggiunto nel precedente messaggio un commento per il calcolo del vettore velocità angolare....
Il non entra riferito a $theta$ significa che non appare nell'espressione dell'energia cinetica, conta solo la sua derivata.
"Falco5x":
Adesso ho modificato e mi viene come a te.
Per favore ragazzi, me li mandate i passaggi salienti che vi hanno portato alla soluzione?
Grazie anticipate,
L.
"Faussone":
EDIT: Il vettore è semplice da calcolare: basta scrivere che la velocità del centro di massa calcolata usando la componente lungo x è uguale a quella che calcoli utilizzando la componente verticale, perché il disco descrive appunto una circonferenza.
Non capisco, così è troppo "descrittivo": avrei bisogno proprio dei passaggini!
$omega r = Omega R$ dove $omega$ è la componente orizzontale della velocità angolare e $Omega$ quella verticale.
Prova a guardare questi passaggi:
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}{I_{xy}}\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}{I_z}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}M{r^2}} \right)\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}M{r^2}} \right){\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{r^2}{\left( {\frac{{2\pi V}}{{2\pi R}}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{R^2}{{\dot \theta }^2}{\left( {\frac{r}{R}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2}\left[ {1 + \frac{1}{6}{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right][/tex]
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}{I_{xy}}\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}{I_z}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}M{r^2}} \right)\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}M{r^2}} \right){\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{r^2}{\left( {\frac{{2\pi V}}{{2\pi R}}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{R^2}{{\dot \theta }^2}{\left( {\frac{r}{R}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2}\left[ {1 + \frac{1}{6}{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right][/tex]
"Faussone":
$omega r = Omega R$ dove $omega$ è la componente orizzontale della velocità angolare e $Omega$ quella verticale.
Ragazzi, non è che voglio rompere le scatole: siete stati fin troppo disponibili ad aiutarmi (e gratis, per di più). Faccio solo sommessamente notare che più che un aiuto, questa sembra una caccia al tesoro, con qualche indizio, vago assai, una traccia qui e una là, quasi come se dire esplicitamente per bene la soluzione fosse troppo facile.
Ora, all'università, di professori così ne ho avuti decine (ho tre lauree, so di cosa parlo!). Però, ahem, quei professori, che più che spiegare la soluzione sembravano semi-nasconderla, non erano fra i miei preferiti...
Qualcuno ha voglia di spiegarmi passo per passo i procedimenti da fare per arrivare la soluzione. Dimenticatevi le mie lauree: fatelo "come se avessi sei anni" --- come diceva Denzel in Philadelphia.
Un caro saluto.
L.
Forse una descrizione 'fisica' ti aiuta:
1) il baricentro si muove di moto circolare uniforme e l'energia cinetica di traslazione è, credo, ovvia $1/2Mv^2$
2) rispetto a un sistema traslante con centro nel baricentro si hanno poi due moti di rotazione che avvengono attorno ad assi perpendicolari e principali d'inerzia
3) il moto di rotazione ($\omega=V/r$) attorno all'asse della ruota (che ci sarebbe anche se il binario fosse diritto) con la sua energia cinetica rotazionale associata al momento d'inerzia: $1/2Mr^2$
4) il moto di rotazione del disco attorno all'asse verticale normale al piano del binario ($\Omega=V/R$) con il momento d'inerzia $1/4Mr^2$
la somma di questi tre contributi che sono disaccoppiati fornisce l'energia cinetica complessiva.
1) il baricentro si muove di moto circolare uniforme e l'energia cinetica di traslazione è, credo, ovvia $1/2Mv^2$
2) rispetto a un sistema traslante con centro nel baricentro si hanno poi due moti di rotazione che avvengono attorno ad assi perpendicolari e principali d'inerzia
3) il moto di rotazione ($\omega=V/r$) attorno all'asse della ruota (che ci sarebbe anche se il binario fosse diritto) con la sua energia cinetica rotazionale associata al momento d'inerzia: $1/2Mr^2$
4) il moto di rotazione del disco attorno all'asse verticale normale al piano del binario ($\Omega=V/R$) con il momento d'inerzia $1/4Mr^2$
la somma di questi tre contributi che sono disaccoppiati fornisce l'energia cinetica complessiva.
"Falco5x":
Prova a guardare questi passaggi:
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}{I_{xy}}\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}{I_z}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{1}{2}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}M{r^2}} \right)\frac{{{R^2}{{\dot \theta }^2}}}{{{r^2}}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}M{r^2}} \right){\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{r^2}{\left( {\frac{{2\pi V}}{{2\pi R}}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}{8}M{R^2}{{\dot \theta }^2}{\left( {\frac{r}{R}} \right)^2}[/tex]
[tex]K = \frac{3}{4}M{R^2}{{\dot \theta }^2}\left[ {1 + \frac{1}{6}{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right][/tex]
L'energia cinetica è uguale a quella di traslazione del centro di massa più quella di rotolamento del disco (asse parallelo al piano xy) più quella di rotazione del disco su sé stesso (azsse z): infatti il disco dopo un giro di rivoluzione ha anche compiuto un giro di rotazione. La velocità angolare di questa rotazione si ottiene dal periodo di rotazione (T), il quale è uguale alla lungheza della circonferenza descritta diviso la velocità (V) di traslazione del centro di massa.
Se non ti è chiaro qualcosa adesso fammi domande specifiche, altrimenti non so cosa dirti se non capisco bene i tuoi dubbi residui.
Spiegare la soluzione passo passo subito (a parte che il problema per quanto mi riguarda non è molto ben posto quindi sono stato molto restio a fare i calcoli) non è utile a te per primo.
E' meglio che scrivi delle domande specifiche su dove ti blocchi. Ora penso di averti risposto (e anche Falco e Mirco tra l'altro dicendo cosa hanno fatto loro) quindi adesso avendo il vettore $vec(omega)=[omega; 0; Omega]$ puoi procedere da solo completando il calcolo.
E' meglio che scrivi delle domande specifiche su dove ti blocchi. Ora penso di averti risposto (e anche Falco e Mirco tra l'altro dicendo cosa hanno fatto loro) quindi adesso avendo il vettore $vec(omega)=[omega; 0; Omega]$ puoi procedere da solo completando il calcolo.
Ragazzi, mi avete dato un sacco di dritte! Ora le studio a fondo, con calma. Se avrò altri dubbi, chiederò ancora.
Alla fine, quando avrò capito ben bene, riassumerò il tutto in un unico post: problema, svolgimento passo per passo, soluzione.
A presto, per ora, e grazie infinite!
Alla fine, quando avrò capito ben bene, riassumerò il tutto in un unico post: problema, svolgimento passo per passo, soluzione.
A presto, per ora, e grazie infinite!
Carissimi, innanzitutto vi chiedo scusa per l'enorme ritardo con cui riprendo in mano il problema.
Riassumo le puntate precedenti.
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Il disco è vincolato a rotolare stando "dritto" (come questo venga realizzato praticamente non ci interessa: diciamo che il vincolo è fatto in modo da permettere una situazione "ideale" schematizzabile nel modo descritto). Si chiede l'energia cinetica del disco.
Questo è un abbozzo del problema:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Questo è il sistema visto dall'alto:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/alto.pdf
Grazie a Faussone, Falco e Mirco (a proposito: i miei complimenti per la vostra competenza e disponibilità!), sono a un passo dalla piena comprensione del problema.
I passi del ragionamento sono stati schematizzati così da Mirco:
Una sola cosa non mi torna. Per scrivere l'energia cinetica di un corpo rigido, di regola uso il teorema di Koenig. L'energia cinetica complessiva è la somma di due contributi: l'energia cinetica del CM (centro di massa, naturalmente) più l'energia cinetica nel sistema di riferimento del CM.
Quest'ultima è, correggetemi se sbaglio, l'energia cinetica calcolata in un riferimento che ha l'origine nel CM, e gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento inerziale in cui è dato il problema (gli assi cartesiani ortogonali, nel nostro caso).
Mirco (ma lo stesso vale per il ragionamento di Falco e Faussone), però, non considera il sistema di riferimento del CM, ma (a me pare!) considera invece un riferimento solidale al corpo, ovvero un riferimento con l'origine coincidente con il CM e gli assi solidali al disco.
Infatti Mirco parla di una rotazione "orizzontale", che avviene cioè attorno alla perpendicolare al disco per il CM, e considera la rotazione del disco attorno a questa perpendicolare (nel riferimento solidale, evidentemente): nel riferimento del CM, infatti, la perpendicolare al disco ruota a sua volta nel piano $xy$.
Anche Faussone è sulla stessa linea:
Evidentemente, la $\omega$ qui è calcolata nel riferimento solidale, e non nel riferimento del CM, perché in quest'ultimo la seconda componente non sarebbe nulla.
Qui c'è un disegno che illustra la situazione nel riferimento del CM:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/omega.pdf
Non sto dicendo che la vostra soluzione sia incompleta o sbagliata. Vi chiedo solo perché non avete considerato il riferimento del CM e avete "preso un'altra strada" (ammesso che la mia analisi sia corretta).
Grazie anticipate,
Lorenzo
Riassumo le puntate precedenti.
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Il disco è vincolato a rotolare stando "dritto" (come questo venga realizzato praticamente non ci interessa: diciamo che il vincolo è fatto in modo da permettere una situazione "ideale" schematizzabile nel modo descritto). Si chiede l'energia cinetica del disco.
Questo è un abbozzo del problema:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Questo è il sistema visto dall'alto:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/alto.pdf
Grazie a Faussone, Falco e Mirco (a proposito: i miei complimenti per la vostra competenza e disponibilità!), sono a un passo dalla piena comprensione del problema.
I passi del ragionamento sono stati schematizzati così da Mirco:
"mircoFN":
Forse una descrizione 'fisica' ti aiuta:
1) il baricentro si muove di moto circolare uniforme e l'energia cinetica di traslazione è, credo, ovvia $1/2Mv^2$
2) rispetto a un sistema traslante con centro nel baricentro si hanno poi due moti di rotazione che avvengono attorno ad assi perpendicolari e principali d'inerzia
3) il moto di rotazione ($\omega=V/r$) attorno al suo asse (che ci sarebbe anche se il binario fosse diritto) con la sua energia cinetica rotazionale associata al momento d'inerzia: $1/2Mr^2$
4) il moto di rotazione del disco attorno all'asse verticale normale al piano del binario ($\Omega=V/R$) con il momento d'inerzia $1/4Mr^2$
la somma di questi tre contributi che sono disaccoppiati fornisce l'energia cinetica complessiva.
Una sola cosa non mi torna. Per scrivere l'energia cinetica di un corpo rigido, di regola uso il teorema di Koenig. L'energia cinetica complessiva è la somma di due contributi: l'energia cinetica del CM (centro di massa, naturalmente) più l'energia cinetica nel sistema di riferimento del CM.
Quest'ultima è, correggetemi se sbaglio, l'energia cinetica calcolata in un riferimento che ha l'origine nel CM, e gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento inerziale in cui è dato il problema (gli assi cartesiani ortogonali, nel nostro caso).
Mirco (ma lo stesso vale per il ragionamento di Falco e Faussone), però, non considera il sistema di riferimento del CM, ma (a me pare!) considera invece un riferimento solidale al corpo, ovvero un riferimento con l'origine coincidente con il CM e gli assi solidali al disco.
Infatti Mirco parla di una rotazione "orizzontale", che avviene cioè attorno alla perpendicolare al disco per il CM, e considera la rotazione del disco attorno a questa perpendicolare (nel riferimento solidale, evidentemente): nel riferimento del CM, infatti, la perpendicolare al disco ruota a sua volta nel piano $xy$.
Anche Faussone è sulla stessa linea:
"Faussone":
avendo il vettore $vec(omega)=[omega; 0; Omega]$...
Evidentemente, la $\omega$ qui è calcolata nel riferimento solidale, e non nel riferimento del CM, perché in quest'ultimo la seconda componente non sarebbe nulla.
Qui c'è un disegno che illustra la situazione nel riferimento del CM:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/omega.pdf
Non sto dicendo che la vostra soluzione sia incompleta o sbagliata. Vi chiedo solo perché non avete considerato il riferimento del CM e avete "preso un'altra strada" (ammesso che la mia analisi sia corretta).
Grazie anticipate,
Lorenzo
Ciao Lorenzo.
E' forse banale osservare che rispetto a un sistema solidale col disco quest'ultimo sarebbe fermo, non ruoterebbe affatto, e non sarebbe possibile né lecito calcolare l'energia cinetica rispetto a un sistema del genere.
Il riferimento utilizzato per calcolare la rotazione del disco attorno al suo centro di massa è invece un sistema passante per il centro di massa con gli assi paralleli al sistema fisso.
Rispetto a questo sistema il disco ruota con una velocità angolare composta che è somma di due componenti: la componente parallela al piano xy che vale [tex]{\omega _{xy}} = \frac{{R\dot \theta }}{r}[/tex], e la componente parallela all'asse z che vale [tex]{\omega _z} = \frac{{2\pi }}{T} = \dot \theta[/tex]. Ciascuna di queste comporta un proprio contributo all'energia cinetica rotazionale, che sommato al contributo traslazionale dà l'energia totale (vedi il mio calcolo in un post precedente).
E' forse banale osservare che rispetto a un sistema solidale col disco quest'ultimo sarebbe fermo, non ruoterebbe affatto, e non sarebbe possibile né lecito calcolare l'energia cinetica rispetto a un sistema del genere.
Il riferimento utilizzato per calcolare la rotazione del disco attorno al suo centro di massa è invece un sistema passante per il centro di massa con gli assi paralleli al sistema fisso.
Rispetto a questo sistema il disco ruota con una velocità angolare composta che è somma di due componenti: la componente parallela al piano xy che vale [tex]{\omega _{xy}} = \frac{{R\dot \theta }}{r}[/tex], e la componente parallela all'asse z che vale [tex]{\omega _z} = \frac{{2\pi }}{T} = \dot \theta[/tex]. Ciascuna di queste comporta un proprio contributo all'energia cinetica rotazionale, che sommato al contributo traslazionale dà l'energia totale (vedi il mio calcolo in un post precedente).
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta!
Hai ragionissima, qui ho toppato in pieno.
Il sistema di riferimento del CM, dunque.
Mi confermi che la componente di $\vec\omega$ parallela al piano $xy$, nel riferimento del CM, ruota nel piano $xy$ e ha modulo pari all'espressione che hai appena scritto? Dico bene?
Mi riferisco sempre a questo disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/omega.pdf
Continua comunque a sfuggirmi il perché della scrittura di Faussone:
Perché scrive che la seconda componente di $\vec\omega$ è nulla? Dal disegno che ho appena mostrato non dovrebbe essere così.
La cosa che più mi lascia perplesso è che se uso l'espressione di Faussone per $\vec\omega$ e mi servo della matrice d'inerzia baricentrale (diagonale) per calcolare l'energia cinetica,
$T=\frac{1}{2} (\omega, 0, \Omega) ((\frac{1}{2}mr^2,0,0),(0,\frac{1}{2}mr^2,0),(0,0,\frac{1}{4}mr^2)) ((\omega), (0), (\Omega))$
il risultato viene corretto! Com'è possibile?
Grazie mille,
L.
"Falco5x":
E' forse banale osservare che rispetto a un sistema solidale col disco quest'ultimo sarebbe fermo, non ruoterebbe affatto, e non sarebbe possibile né lecito calcolare l'energia cinetica rispetto a un sistema del genere.
Hai ragionissima, qui ho toppato in pieno.
"Falco5x":
Il riferimento utilizzato per calcolare la rotazione del disco attorno al suo centro di massa è invece un sistema passante per il centro di massa con gli assi paralleli al sistema fisso.
Il sistema di riferimento del CM, dunque.
"Falco5x":
Rispetto a questo sistema il disco ruota con una velocità angolare composta che è somma di due componenti: la componente parallela al piano xy che vale [tex]{\omega _{xy}} = \frac{{R\dot \theta }}{r}[/tex], e la componente parallela all'asse z che vale [tex]{\omega _z} = \frac{{2\pi }}{T} = \dot \theta[/tex]. Ciascuna di queste comporta un proprio contributo all'energia cinetica rotazionale, che sommato al contributo traslazionale dà l'energia totale (vedi il mio calcolo in un post precedente).
Mi confermi che la componente di $\vec\omega$ parallela al piano $xy$, nel riferimento del CM, ruota nel piano $xy$ e ha modulo pari all'espressione che hai appena scritto? Dico bene?
Mi riferisco sempre a questo disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/omega.pdf
Continua comunque a sfuggirmi il perché della scrittura di Faussone:
"Faussone":
avendo il vettore $vec(omega)=[omega; 0; Omega]$...
Perché scrive che la seconda componente di $\vec\omega$ è nulla? Dal disegno che ho appena mostrato non dovrebbe essere così.
La cosa che più mi lascia perplesso è che se uso l'espressione di Faussone per $\vec\omega$ e mi servo della matrice d'inerzia baricentrale (diagonale) per calcolare l'energia cinetica,
$T=\frac{1}{2} (\omega, 0, \Omega) ((\frac{1}{2}mr^2,0,0),(0,\frac{1}{2}mr^2,0),(0,0,\frac{1}{4}mr^2)) ((\omega), (0), (\Omega))$
il risultato viene corretto! Com'è possibile?
Grazie mille,
L.
"Lorenzo Pantieri":
Continua comunque a sfuggirmi il perché della scrittura di Faussone:
[quote="Faussone"]avendo il vettore $vec(omega)=[omega; 0; Omega]$...
Perché scrive che la seconda componente di $\vec\omega$ è nulla? Dal disegno che ho appena mostrato non dovrebbe essere così.
La cosa che più mi lascia perplesso è che se uso l'espressione di Faussone per $\vec\omega$ e mi servo della matrice d'inerzia baricentrale (diagonale) per calcolare l'energia cinetica, il risultato viene corretto! Com'è possibile?
L.[/quote]
Certo che viene il risultato corretto, per chi mi hai preso?
Dai scherzo! In realtà quello che ti ha scritto Mirco (e Falco) è il modo più semplice per approcciare e capire il problema, il punto è che quel ragionamento vale solo se, come ha sottolineato anche Mirco, i vari contributi all'energia cinetica sono disaccoppiati. Io ho usato la forma più generale per scrivere l'energia cinetica;ovviamente però scegliendo la terna in modo tale che la matrice di inerzia fosse diagonale ho fatto in sostanza la stessa cosa. Ma se avessi scelto una terna diversa calcolando il vettore $vec(omega)$ e la matrice di inerzia in modo congruente avrei ottenuto comunque il risultato corretto, anche se i diversi contributi non fossero stati tra loro disaccoppiati.
Il punto sta nel capire bene rispetto a cosa si deve scrivere $vec(omega)$ e la matrice $$
Hai messo il punto su uno degli aspetti che quando studiavo meccanica razionale ci ho messo di più a capire: rispetto a cosa conviene esprimere il famigerato vettore $vec(omega)$?
La proprietà fondamentale di cui gode questo vettore è che moltiplicato vettorialmente per un vettore solidale al sistema mobile dà la derivata di quel vettore rispetto al tempo, espressa però eventualmente nelle componenti del sistema solidale. Attenzione questo non significa che la derivata è nulla perché è fatta nel sistema solidale ma solo che le componenti di questo vettore derivato sono riferite ai versori della terna solidale.
Similmente vale per $vec omega$: si calcola in termini di derivata rispetto al tempo dei versori della terna mobile:
$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $
e così espresso le sue componenti sono scritte rispetto alla terna mobile solidale col corpo che ruota.
Rispetto alla medesima terna mobile e solidale col corpo va determinata la matrice di inerzia affinché valga la formula dell'energia cinetica $1/2 vec (omega)^T vec(omega)$.
Purtroppo non c'è spazio qui per entrare in dettaglio, ma se vedi come sono calcolate in meccanica razionale le varie grandezze (energia cinetica, momento angolare) in termini di tensore $$ e vettore $vec(omega)$ capirai.
Quindi la velocità angolare vettoriale che ho scritto ha le componenti rispetto alla terna mobile solidale col disco per cui la seconda coordinata è zero.
PS: Occhio che, sebbene non influisca sui risultati, il tensore corretto è:
$ ((\frac{1}{2}mr^2,0,0),(0,\frac{1}{4}mr^2,0),(0,0,\frac{1}{4}mr^2))$
Innanzitutto grazie per la tua risposta, Faussone! Allora, la soluzione che hanno dato Mirco e Falco l'ho capita. Ora vorrei capire per bene anche la soluzione con la matrice d'inerzia.
Vorrei arrivare alla soluzione nel modo più generale possibile, senza assumere dunque che la seconda componente della velocità angolare sia nulla, perché non lo è, almeno non nel riferimento del CM. Le ragioni per cui annulli la seconda componente della velocità angolare continuano a restarmi oscure...
Mettiamoci quindi nel sistema di riferimento del CM: la $\vec\omega$ ha le sue brave componenti, $(\omega_x, \omega_y, \Omega)$, tutte (in generale) non nulle.
La mia idea è che, posto che $\omega_x$ e $\omega_y$ variano durante il moto, il modulo del vettore $(\omega_x, \omega_y)$ (proiezione della velocità angolare nel piano $xy$) è noto, e coincide con l'espressione che hanno dato Mirco e Falco: $\omega=\frac{R}{r}\dot\theta$. ($\Omega$ continua naturalmente a valere $\dot\theta$.)
Pensavo di calcolare l'energia cinetica nel riferimento del CM così:
$T=\frac{1}{2} (\omega_x, \omega_y, \Omega) ((\frac{1}{2}mr^2,0,0),(0,\frac{1}{4}mr^2,0),(0,0,\frac{1}{4}mr^2)) ((\omega_x), (\omega_y), (\Omega))$
tenendo conto che $\omega_x^2+\omega_y^2=\omega^2=(\frac{R}{r}\dot\theta)^2$.
Purtroppo non viene il risultato corretto. Dove sbaglio?
Ti ringrazio infinitamente per la tua pazienza!
L.
Allora, la soluzione che hanno dato Mirco e Falco l'ho capita. Ora vorrei capire per bene anche la soluzione con la matrice d'inerzia.Vorrei arrivare alla soluzione nel modo più generale possibile, senza assumere dunque che la seconda componente della velocità angolare sia nulla, perché non lo è, almeno non nel riferimento del CM. Le ragioni per cui annulli la seconda componente della velocità angolare continuano a restarmi oscure...
Mettiamoci quindi nel sistema di riferimento del CM: la $\vec\omega$ ha le sue brave componenti, $(\omega_x, \omega_y, \Omega)$, tutte (in generale) non nulle.
La mia idea è che, posto che $\omega_x$ e $\omega_y$ variano durante il moto, il modulo del vettore $(\omega_x, \omega_y)$ (proiezione della velocità angolare nel piano $xy$) è noto, e coincide con l'espressione che hanno dato Mirco e Falco: $\omega=\frac{R}{r}\dot\theta$. ($\Omega$ continua naturalmente a valere $\dot\theta$.)
Pensavo di calcolare l'energia cinetica nel riferimento del CM così:
$T=\frac{1}{2} (\omega_x, \omega_y, \Omega) ((\frac{1}{2}mr^2,0,0),(0,\frac{1}{4}mr^2,0),(0,0,\frac{1}{4}mr^2)) ((\omega_x), (\omega_y), (\Omega))$
tenendo conto che $\omega_x^2+\omega_y^2=\omega^2=(\frac{R}{r}\dot\theta)^2$.
Purtroppo non viene il risultato corretto. Dove sbaglio?
Ti ringrazio infinitamente per la tua pazienza!
L.
Edit: ma perché mi compaiono solo 2 righe di questo post? l'ho modificato 8 volte ma niente da fare!
Secondo me l'errore sta nel considerare il tensore d'inerzia riferito al sistema di riferimento inerziale, mentre invece questo tensore è riferito a un sistema che ruota attorno all'asse z insieme al disco, con l'asse x ortogonale al disco stesso (altrimenti non potrebbe essere un tensore diagonale indipendente dal tempo). In questo sistema le $\omega$ (quelle però calcolate nel sistema inerziale) hanno componente $\omega_x=\omega=R/r\dot\theta$ e $\omega_z=\dot\theta$. Forse l'equivoco sta in questo: le $\omega$ vanno valutate nel sistema inerziale, ma vanno però rappresentante riferite al sistema che ruota col disco se si vuole utilizzare il tensore principale d'inerzia del medesimo. Insomma tensore d'inerzia e velocità angolari devono essere rappresentate ripetto al medesimo sistema di riferimento.
Secondo me l'errore sta nel considerare il tensore d'inerzia riferito al sistema di riferimento inerziale, mentre invece questo tensore è riferito a un sistema che ruota attorno all'asse z insieme al disco, con l'asse x ortogonale al disco stesso (altrimenti non potrebbe essere un tensore diagonale indipendente dal tempo). In questo sistema le $\omega$ (quelle però calcolate nel sistema inerziale) hanno componente $\omega_x=\omega=R/r\dot\theta$ e $\omega_z=\dot\theta$. Forse l'equivoco sta in questo: le $\omega$ vanno valutate nel sistema inerziale, ma vanno però rappresentante riferite al sistema che ruota col disco se si vuole utilizzare il tensore principale d'inerzia del medesimo. Insomma tensore d'inerzia e velocità angolari devono essere rappresentate ripetto al medesimo sistema di riferimento.
"Lorenzo Pantieri":
Purtroppo non viene il risultato corretto. Dove sbaglio?
Ti ringrazio infinitamente per la tua pazienza!
L.
Il punto è che non scegli sistemi congruenti per la matrice di inerzia e il vettore velocità angolare.
Se scrivi quella matrice di inerzia rispetto quindi ad una terna solidale col corpo e per il centro di massa (e centrale di inerzia), allora anche $vec(omega)$ devi scriverlo rispetto alla medesima terna solidale, quindi le coordinate sono quelle che ti dicevo con la seconda componente nulla. Infatti il disco non ruota attorno all'asse y solidale... Prova a pensarci su, non so come spiegartelo in altro modo.
Osserva che scritto rispetto alla terna solidale quel vettore velocità angolare è costante nelle sue componenti quindi è comodo per fare i conti.
....altrimenti se scegli un altro sistema di riferimento non solidale anche la matrice di inerzia non è più costante.
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