Un bel problema di meccanica: disco che rotola su cerchio
Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questo problema.
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
Risposte
"Faussone":
[quote="Lorenzo Pantieri"]
Purtroppo non viene il risultato corretto. Dove sbaglio?
Ti ringrazio infinitamente per la tua pazienza!
L.
Il punto è che non scegli sistemi congruenti per la matrice di inerzia e il vettore velocità angolare.
Se scrivi quella matrice di inerzia rispetto quindi ad una terna solidale col corpo e per il centro di massa (e centrale di inerzia), allora anche $vec(omega)$ devi scriverlo rispetto alla medesima terna solidale, quindi le coordinate sono quelle che ti dicevo con la seconda componente nulla. Infatti il disco non ruota attorno all'asse y solidale... Prova a pensarci su, non so come spiegartelo in altro modo.
Osserva che scritto rispetto alla terna solidale quel vettore velocità angolare è costante nelle sue componenti quindi è comodo per fare i conti.
....altrimenti se scegli un altro sistema di riferimento non solidale anche la matrice di inerzia non è più costante.[/quote]
Forse ho capito l'equivoco, in realtà sono stato impreciso nello scrivere: la terna a cui mi riferisco non è propriamente la terna solidale col corpo, ma quella che gira con velocità angolare $Omega$ rispetto alla terna fissa.
Per cui la $x$ di questa terna ha sempre direzione radiale (mi riferisco al cerchio grande disegnato dal disco) mentre la $y$ è sempre parallela al piano su cui ruota il disco e la $z$ è sempre verticale.
Osserva che la matrice di inerzia in questo caso sarebbe variabile visto che non è solidale col corpo, ma data la simmetria pur ruotando il corpo attorno a x di questa terna essa ha sempre la stessa espressione.
Tanto per capirsi se $I_2$ e $I_3$ non fossero uguali la matrice di inerzia rispetto a questa terna non sarebbe stata costante.
Spero di essermi spiegato ora.
Mi scuso per l'imprecisione.
Come cosa importante ricorda che $$ e $vec(omega)$ devono essere espressi rispetto alla medesima terna.
EDIT2: Considerando la vera terna solidale col corpo in realtà $vec(omega)=(omega,Omega sin (omega t),Omega cos(omega t)) $ e la matrice di inerzia la stessa per quello che ho detto. Svolgendo i conti ottieni lo stesso risultato.
La terna a cui mi riferisco [...] è quella che gira rispetto alla terna fissa.
Il tensore d'inerzia è riferito a un sistema che ruota attorno all'asse z insieme al disco, con l'asse x ortogonale al disco stesso.
Ci sono quasi ragazzi! Mi restano alcuni dubbi residui, per inquadrare il tutto alla perfezione.
1. Che nome ha questo sistema di riferimento di cui parlate? "Sistema di riferimento solidale", forse?
2. O forse il "riferimento solidale" è, semplicemente, un riferimento solidale ad disco (ovviamente, l'energia cinetica calcolata in questo riferimento è nulla).
3. In ogni caso, il sistema di riferimento di cui parlate non è il riferimento del CM. Il teorema di Koenig, però, richiede il calcolo dell'energia nel riferimento del CM. Perché tutto fili, allora, visto che il teorema di Koenig l'ho usato eccome, bisognerebbe provare che l'energia cinetica calcolata nel riferimento di cui parlate coincide con l'energia cinetica nel riferimento del CM.
4. Infine, quando calcolo l'energia cinetica usando la matrice d'inerzia, che sistema di rifermento devo usare? Ne basta uno qualsiasi (purché consistente con la velocità angolare)?
Grazie mille!
L.
Non so se colgo bene i tuoi dubbi però temo che tu cada in un equivoco di principio. Vediamo se riesco a spiegarmi.
I vettori sono oggetti per così dire "assoluti", dunque in quanto tali possono essere rappresentati in sistemi di riferimento i più vari. Ad esempio il vettore posizione di un corpo è sempre lo stesso, sia in un sistema fisso che in un sistema rotante (a parità di origine), quello che varia invece sono le sue componenti nei due sistemi, cioè varia il modo di descriverlo. Così pure il vettore velocità, una volta stabilito quale esso debba essere, può essere rappresentato sia nel sistema fisso che nel sistema rotante, perché in quanto vettore è sempre lo stesso oggetto.
Quello invece che non si può dire è che la derivata del vettore posizione sia sempre il vettore velocità in qualunque sistema: perché se lo si calcola nel sistema fisso come derivata del vettore posizione si chiamerà velocità assoluta, se lo si calcola nel sistema relativo come derivata del vettore posizione si chiamerà velocità relativa. I due vettori così calcolati non sono lo stesso vettore, però ciascuno dei due può essere rappresentato con le sue componenti sia nel sistema fisso che nel sistema rotante.
Analogamente ragioniamo adesso sul vettore velocità angolare e sul tensore di inerzia.
Un conto è il sistema nel quale calcolo la velocità angolare e quindi l'energia cinetica, che naturalmente non può essere diverso da un sistema inerziale, ovvero quello fisso e solidale con la rotaia, oppure quello baricentrico se ho però l'accortezza di aggiungere la componente cinetica traslazionale; nulla però vieta di considerare un sistema qualsiasi, purché comodo, per calcolare il tensore d'inerzia, che essendo una proprietà geometrica è più agevole venga riferito a un sistema il più possibile solidale con il corpo. Alla fine per fare il calcolo dell'energia posso benissimo utilizzare un sistema qualsiasi tra questi trasformando opportunamente le componenti della velocità angolare o del tensore d'inerzia, purchè il sistema nel quale le due entità vengono moltiplicate per calcolare l'energia sia il medesimo per entrambe.
Ma non so se ho colto.
Se invece ho fatto confusione fa' conto che non abbia detto niente.
I vettori sono oggetti per così dire "assoluti", dunque in quanto tali possono essere rappresentati in sistemi di riferimento i più vari. Ad esempio il vettore posizione di un corpo è sempre lo stesso, sia in un sistema fisso che in un sistema rotante (a parità di origine), quello che varia invece sono le sue componenti nei due sistemi, cioè varia il modo di descriverlo. Così pure il vettore velocità, una volta stabilito quale esso debba essere, può essere rappresentato sia nel sistema fisso che nel sistema rotante, perché in quanto vettore è sempre lo stesso oggetto.
Quello invece che non si può dire è che la derivata del vettore posizione sia sempre il vettore velocità in qualunque sistema: perché se lo si calcola nel sistema fisso come derivata del vettore posizione si chiamerà velocità assoluta, se lo si calcola nel sistema relativo come derivata del vettore posizione si chiamerà velocità relativa. I due vettori così calcolati non sono lo stesso vettore, però ciascuno dei due può essere rappresentato con le sue componenti sia nel sistema fisso che nel sistema rotante.
Analogamente ragioniamo adesso sul vettore velocità angolare e sul tensore di inerzia.
Un conto è il sistema nel quale calcolo la velocità angolare e quindi l'energia cinetica, che naturalmente non può essere diverso da un sistema inerziale, ovvero quello fisso e solidale con la rotaia, oppure quello baricentrico se ho però l'accortezza di aggiungere la componente cinetica traslazionale; nulla però vieta di considerare un sistema qualsiasi, purché comodo, per calcolare il tensore d'inerzia, che essendo una proprietà geometrica è più agevole venga riferito a un sistema il più possibile solidale con il corpo. Alla fine per fare il calcolo dell'energia posso benissimo utilizzare un sistema qualsiasi tra questi trasformando opportunamente le componenti della velocità angolare o del tensore d'inerzia, purchè il sistema nel quale le due entità vengono moltiplicate per calcolare l'energia sia il medesimo per entrambe.
Ma non so se ho colto.
Se invece ho fatto confusione fa' conto che non abbia detto niente.
1. Per solidale si intende solidale al disco in questo caso, quindo no, quel sistema non è solidale.
2. L'energia cinetica rispetto a un sistema solidale è ovviamente nulla, ma non confondere lo scrivere un vettore come la velocità rispetto ai versori di un sistema di riferimento solidale, col calcolare la velocità rispetto a quel sistema di riferimento (che è sempre nulla), come ti ha fatto notare nel precedente post Falco.
3. E qui attenzione che si rischia di fare confusione.
Il teorema di Konig necessita l'energia cinetica vista dal centro di massa (quindi in un sistema di riferimento che si muove col centro di massa), pertanto la velocità angolare deve essere calcolata rispetto al centro di massa ma deve essere scritta in termini di componenti rispetto allo stesso sistema di riferimento per cui è espressa la matrice di inerzia.
Sia il sistema di riferimento che ti ho detto sia quello solidale al disco (rispetto a cui ti ho scritto l'$vec(omega)$ nel precedente messaggio) vanno bene in questo caso perché in entrambi quei sistemi si scrive il vettore velocità angolare rispetto al centro di massa.
4. Sì va bene qualsiasi sistema di riferimento a patto che sia congruente con il vettore $vec(omega)$ ovviamente solo nel sistema solidale tale matrice è costante per cui è conveniente spesso scegliere un sistema solidale.
2. L'energia cinetica rispetto a un sistema solidale è ovviamente nulla, ma non confondere lo scrivere un vettore come la velocità rispetto ai versori di un sistema di riferimento solidale, col calcolare la velocità rispetto a quel sistema di riferimento (che è sempre nulla), come ti ha fatto notare nel precedente post Falco.
3. E qui attenzione che si rischia di fare confusione.
Il teorema di Konig necessita l'energia cinetica vista dal centro di massa (quindi in un sistema di riferimento che si muove col centro di massa), pertanto la velocità angolare deve essere calcolata rispetto al centro di massa ma deve essere scritta in termini di componenti rispetto allo stesso sistema di riferimento per cui è espressa la matrice di inerzia.
Sia il sistema di riferimento che ti ho detto sia quello solidale al disco (rispetto a cui ti ho scritto l'$vec(omega)$ nel precedente messaggio) vanno bene in questo caso perché in entrambi quei sistemi si scrive il vettore velocità angolare rispetto al centro di massa.
4. Sì va bene qualsiasi sistema di riferimento a patto che sia congruente con il vettore $vec(omega)$ ovviamente solo nel sistema solidale tale matrice è costante per cui è conveniente spesso scegliere un sistema solidale.
"Falco5x":
Secondo me l'errore sta nel considerare il tensore d'inerzia riferito al sistema di riferimento inerziale, mentre invece questo tensore è riferito a un sistema che ruota attorno all'asse z insieme al disco, con l'asse x ortogonale al disco stesso (altrimenti non potrebbe essere un tensore diagonale indipendente dal tempo). In questo sistema le $\omega$ (quelle però calcolate nel sistema inerziale) hanno componente $\omega_x=\omega=R/r\dot\theta$ e $\omega_z=\dot\theta$. Forse l'equivoco sta in questo: le $\omega$ vanno valutate nel sistema inerziale, ma vanno però rappresentante riferite al sistema che ruota col disco se si vuole utilizzare il tensore principale d'inerzia del medesimo. Insomma tensore d'inerzia e velocità angolari devono essere rappresentate ripetto al medesimo sistema di riferimento.
Ragazzi, chiedo come al solito scusa per il ritardo. Diciamo che ho "più o meno" capito.
L'energia cinetica del maledetto disco, per il teorema di Koenig, si scrive come energia cinetica del CM più l'energia cinetica nel riferimento del CM. E fin qui ci siamo.
Ora, accade (per qualche motivo che non afferro completamente) che l'energia cinetica del disco calcolata nel riferimento del CM sia uguale all'energia cinetica calcolata in un riferimento "che ruota con il disco" (quello ben descritto da Falco): in quest'ultimo riferimento la matrice d'inerzia è diagonale, e i calcoli vengono semplicissimi.
Se dovessi spiegare perché le due espressioni sono uguali, andrei in crisi: sicuramente lo sono, ma (anche se so che vi sembrerò un caso disperato di ottusità) qualcosa che mi sfugge c'è ancora.
Grazie mille comunque, siete stati prezioissimi!
A presto,
L..
Ciao!
Purtroppo bisognerebbe fare qualche disegno e non ho tempo...
Comunque se ti metti nel sistema di riferimento solidale col corpo, quello che ha matrice di inerzia costante, il vettore velocità angolare non è fisso ma ruota ed è
$omega_x=omega$
$omega_y=dot(theta)sin(omega t)$
$omega_z=dot(theta)cos(omega t)$
come avevo detto precedentemente.
Con l'espressione che riporta Falco stai assumendo un sistema non solidale e la matrice di inerzia non sarebbe costante, pur rimanendo diagonale, ma visto che le componenti $I_2$ e $I_3$ sono uguali di fatto la matrice, anche se il sistema ruota attorno all'asse x, resta costante.
Per quanto riguarda il discorso di Konig, ricorda che un osservatore solidale con il centro di massa vede comunque il disco ruotare con velocità angolare $omega$ che è la stessa che misura un osservatore assoluto, quindi l'espressione $1/2 omega^T omega$ ti dà l'energia cinetica vista dal centro di massa....
Più di questo non so dirti io....
Purtroppo bisognerebbe fare qualche disegno e non ho tempo...
Comunque se ti metti nel sistema di riferimento solidale col corpo, quello che ha matrice di inerzia costante, il vettore velocità angolare non è fisso ma ruota ed è
$omega_x=omega$
$omega_y=dot(theta)sin(omega t)$
$omega_z=dot(theta)cos(omega t)$
come avevo detto precedentemente.
Con l'espressione che riporta Falco stai assumendo un sistema non solidale e la matrice di inerzia non sarebbe costante, pur rimanendo diagonale, ma visto che le componenti $I_2$ e $I_3$ sono uguali di fatto la matrice, anche se il sistema ruota attorno all'asse x, resta costante.
Per quanto riguarda il discorso di Konig, ricorda che un osservatore solidale con il centro di massa vede comunque il disco ruotare con velocità angolare $omega$ che è la stessa che misura un osservatore assoluto, quindi l'espressione $1/2 omega^T omega$ ti dà l'energia cinetica vista dal centro di massa....
Più di questo non so dirti io....
"Faussone":
Purtroppo bisognerebbe fare qualche disegno e non ho tempo...
Comunque se ti metti nel sistema di riferimento solidale col corpo, quello che ha matrice di inerzia costante, il vettore velocità angolare non è fisso ma ruota ed è
$omega_x=omega$
$omega_y=dot(theta)sin(omega t)$
$omega_z=dot(theta)cos(omega t)$
come avevo detto precedentemente.
Con l'espressione che riporta Falco stai assumendo un sistema non solidale e la matrice di inerzia non sarebbe costante, pur rimanendo diagonale, ma visto che le componenti $I_2$ e $I_3$ sono uguali di fatto la matrice, anche se il sistema ruota attorno all'asse x, resta costante.
Chiarissimo, questo.
"Faussone":
Per quanto riguarda il discorso di Konig, ricorda che un osservatore solidale con il centro di massa vede comunque il disco ruotare con velocità angolare $omega$ che è la stessa che misura un osservatore assoluto, quindi l'espressione $1/2 omega^T omega$ ti dà l'energia cinetica vista dal centro di massa....
Ecco, è proprio questo il mio problema. Ci sono due riferimenti: il sistema di riferimento del CM e il sistema "che ruota col disco". Entrambi questi riferimenti hanno l'origine nel CM, non ci piove. Il fatto, però, è che gli assi dei due riferimenti sono (molto) diversi: quelli del primo sono sempre paralleli agli assi del sistema inerziale "fisso", quelli del secondo no (ruotano col disco, appunto).
Che cosa ci assicuri che l'energia calcolata in questi due riferimenti sia uguale, continua, ahimè, a sfuggirmi.
Grazie
L.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Faussone"]Purtroppo bisognerebbe fare qualche disegno e non ho tempo...
Comunque se ti metti nel sistema di riferimento solidale col corpo, quello che ha matrice di inerzia costante, il vettore velocità angolare non è fisso ma ruota ed è
$omega_x=omega$
$omega_y=dot(theta)sin(omega t)$
$omega_z=dot(theta)cos(omega t)$
come avevo detto precedentemente.
Con l'espressione che riporta Falco stai assumendo un sistema non solidale e la matrice di inerzia non sarebbe costante, pur rimanendo diagonale, ma visto che le componenti $I_2$ e $I_3$ sono uguali di fatto la matrice, anche se il sistema ruota attorno all'asse x, resta costante.
Chiarissimo, questo.[/quote]
Perfetto. Solo una piccola correzione a quanto ho scritto: se $I_2$ e $I_3$ fossero diversi la matrice non sarebbe neanche sempre diagonale.
"Lorenzo Pantieri":
[Ecco, è proprio questo il mio problema. Ci sono due riferimenti: il sistema di riferimento del CM e il sistema "che ruota col disco". Entrambi questi riferimenti hanno l'origine nel CM, non ci piove. Il fatto, però, è che gli assi dei due riferimenti sono (molto) diversi: quelli del primo sono sempre paralleli agli assi del sistema inerziale "fisso", quelli del secondo no (ruotano col disco, appunto).
Che cosa ci assicuri che l'energia calcolata in questi due riferimenti sia uguale, continua, ahimè, a sfuggirmi.
Fai ancora confusione coi concetti di velocità angolare calcolata rispetto a un sistema di riferimento e velocità angolare scritta rispetto a un riferimento....
L'energia cinetica rispetto al centro di massa dipende solo da $vec(omega)$ (con la $$ presa in maniera congruente) e la $vec(omega)$ è calcolata sempre rispetto al riferimento del centro di massa che vede quindi il disco ruotare.
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