Un bel problema di meccanica: disco che rotola su cerchio
Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questo problema.
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
C'è un disco omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, che rotola senza strisciare su una rotaia posta in un piano orizzontale. La rotaia è una circonferenza di raggio $R$. Scrivere l'energia cinetica del disco.
Altri dati: la rotaia va disegnata nel piano $xy$ di un riferimento cartesiano ortogonale $xyz$. Il centro della rotaia è l'origine. L'energia cinetica del disco va espressa in funzione dell'angolo $\theta$ formato dall'asse x e dalla congiungente il punto di contatto disco-rotaia con l'origine.
Questo è un abbozzo di disegno:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille, anticipate.
Lorenzo
Risposte
Questo esercizio mi lascia perplesso. 
L'energia cinetica dipende dalla velocità del disco, non dalla sua posizione.
Per cui mi aspetterei che venisse espressa in funzione di [tex]{\dot \theta }[/tex], non di [tex]\theta[/tex]!
L'energia cinetica dipende dalla velocità del disco, non dalla sua posizione.
Per cui mi aspetterei che venisse espressa in funzione di [tex]{\dot \theta }[/tex], non di [tex]\theta[/tex]!
... mha... ....così all'impronta direi che il disco non può avere l'asse di rotazione orizzontale altrimenti cadrebbe, penso l'asse debba essere inclinato in modo che la forza peso fornisca una componente di forza centripeta al baricentro. Quindi si può determinare l'angolo di inclinazione e la velocità angolare del disco, sapendo che il disco rotola senza strisciare, e infine l'energia cinetica. Penso il problema intendesse questo.
"Falco5x":
L'energia cinetica dipende dalla velocità del disco, non dalla sua posizione.
Per cui mi aspetterei che venisse espressa in funzione di [tex]{\dot \theta }[/tex], non di [tex]\theta[/tex]!
Hai perfettamente ragione! L'energia cinetica è funzione di $\dot \theta$ (anzi, di $\dot \theta ^2$).
Ciao,
L.
"Faussone":
penso l'asse debba essere inclinato in modo che la forza peso fornisca una componente di forza centripeta al baricentro.
Il disco rotola (senza strisciare) lungo la guida. La sua velocità angolare ha due componenti, una lungo l'asse z, l'altra nel piano $xy$.
Ciao,
L.
"Faussone":
... mha... ....così all'impronta direi che il disco non può avere l'asse di rotazione orizzontale altrimenti cadrebbe, penso l'asse debba essere inclinato in modo che la forza peso fornisca una componente di forza centripeta al baricentro. Quindi si può determinare l'angolo di inclinazione e la velocità angolare del disco, sapendo che il disco rotola senza strisciare, e infine l'energia cinetica. Penso il problema intendesse questo.
Ma perché complicare la vita a un esercizio che serve solo ad applicare concetti elementari sul moto dei corpi rigidi?
Si può immaginare, per esempio, che il tutto sia appoggiato a un piano senza attrito, oppure che la rotaia offra al bordo del disco un incastro, e quindi un momento vincolare, utile a farlo rimanere in posizione...
Io non aggiungerei altre difficoltà (parere personale).
"Falco5x":
Ma perché complicare la vita a un esercizio che serve solo ad applicare concetti elementari sul moto dei corpi rigidi?
Si può immaginare, per esempio, che il tutto sia appoggiato a un piano senza attrito, oppure che la rotaia offra al bordo del disco un incastro, e quindi un momento vincolare, utile a farlo rimanere in posizione...
Io non aggiungerei altre difficoltà (parere personale).
In realtà, se il disco rotola senza strisciare, l'attrito deve esserci (mi pare di ricordare che la presenza di una forza d'attrito, che pure non compie lavoro, sia necessaria per avere il puro rotolamento).
Quanto all' "esercizio che serve solo ad applicare concetti elementari", son qui che attendo la soluzione...
Ciao,
L.
Come è posto il problema secondo me qualunque sia il tipo di vincolo con la rotaia il disco non può ruotare seguendo una circonferenza se rimane dritto.
Non mi pare sia così complesso tenere conto di questa cosa, l'angolo di cui si parla non potrebbe essere proprio quello che l'asse del disco forma con l'orizzontale? Così tutto avrebbe senso....
Non mi pare sia così complesso tenere conto di questa cosa, l'angolo di cui si parla non potrebbe essere proprio quello che l'asse del disco forma con l'orizzontale? Così tutto avrebbe senso....
"Faussone":
Come è posto il problema secondo me qualunque sia il tipo di vincolo con la rotaia il disco non può ruotare seguendo una circonferenza se rimane dritto.
Ripeto: il disco rotola senza strisciare, seguendo la guida. Quindi il disco ruota attorno al suo asse verticale, ma nel contempo anche attorno a un asse parallelo al piano $xy$.
"Faussone":
Non mi pare sia così complesso tenere conto di questa cosa [...].
In realtà, e vi prego di scusarmi per la franchezza, non è dicendomi che il problema è "elementare" o che "non è così complesso" che capirò come risolverlo!
Ciao,
L.
Dovresti leggere bene quello che ti si dice intanto. Non ho detto che il disco non può rotolare senza strisciare , ma che non può ruotare con asse di rotazione orizzontale: hai presente una moneta che rotola e che descrive una circonferenza? Non sta dritta. Così come una moto che fa una curva. Questo è inevitabile.
Non intendevo dire che fosse elementare (non lo è infatti), ma che non è impossibile da risolvere tenendo conto di questa inclinazione, anzi da come ho capito io il problema è l'unico modo per cui abbia senso...
Alla luce di questo se inizi a pensare e a fare qualche considerazione vediamo...
Non intendevo dire che fosse elementare (non lo è infatti), ma che non è impossibile da risolvere tenendo conto di questa inclinazione, anzi da come ho capito io il problema è l'unico modo per cui abbia senso...
Alla luce di questo se inizi a pensare e a fare qualche considerazione vediamo...
"Faussone":
Non ho detto che il disco non può rotolare senza strisciare, ma che non può ruotare con asse di rotazione orizzontale: hai presente una moneta che rotola e che descrive una circonferenza? Non sta dritta. Così come una moto che fa una curva. Questo è inevitabile.
No, la "moneta" sta dritta, non è inclinata: questo dice il testo dell'esercizio che devo risolvere. La moneta sta dritta sulla "rotaia". Come questo venga realizzato "praticamente", il problema non lo dice esplicitamente (immagino che il disco sia vincolato ai due "binari" della rotaia").
"Faussone":
Non intendevo dire che fosse elementare (non lo è infatti) [..]
Alla luce di questo se inizi a pensare e a fare qualche considerazione vediamo...
Fidati, a questo esercizio è un po' che ci penso...
Ciao,
L.
Scusate tanto, forse devo fare ammenda per non aver capito bene il testo, però io avevo inteso (e i miei post precedenti forse lo fanno intuire) che il disco fosse complanare col piano xy e quindi l'asse di rotazione fosse parallelo all'asse z!
E anche rileggendo il testo non leggo che il disco stia "in piedi" sulla rotaia; io (forse ingenuamente) lo pensavo adagiato!
Per questo mi parevano eccessive le preoccupazioni di Faussone. Però se invece il disco deve stare in piedi allora c'è davvero da farsi qualche domanda in più sulla dinamica di questo esercizio.
Scusa Lorenzo, se insistiamo a parlarci addosso invece di risolvere, ma questo esercizio diventa sempre meno chiaro.
A meno che il disco non sia invece orizzontale come avevo immaginato io all'inizio, e per quello dicevo "concetti elementari"!
p.s. comunque se immaginiamo una ben strana rotaia a incastro sul bordo ma liscia comunque (irrealizzabile ovviamente) si può immaginare che possa fornire anche a un disco verticale rotante tutti i necessari momenti utili a mantenerlo diritto.
E anche rileggendo il testo non leggo che il disco stia "in piedi" sulla rotaia; io (forse ingenuamente) lo pensavo adagiato!
Per questo mi parevano eccessive le preoccupazioni di Faussone. Però se invece il disco deve stare in piedi allora c'è davvero da farsi qualche domanda in più sulla dinamica di questo esercizio.
Scusa Lorenzo, se insistiamo a parlarci addosso invece di risolvere, ma questo esercizio diventa sempre meno chiaro.
A meno che il disco non sia invece orizzontale come avevo immaginato io all'inizio, e per quello dicevo "concetti elementari"!
p.s. comunque se immaginiamo una ben strana rotaia a incastro sul bordo ma liscia comunque (irrealizzabile ovviamente) si può immaginare che possa fornire anche a un disco verticale rotante tutti i necessari momenti utili a mantenerlo diritto.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Faussone"]Non ho detto che il disco non può rotolare senza strisciare, ma che non può ruotare con asse di rotazione orizzontale: hai presente una moneta che rotola e che descrive una circonferenza? Non sta dritta. Così come una moto che fa una curva. Questo è inevitabile.
No, la "moneta" sta dritta, non è inclinata: questo dice il testo dell'esercizio che devo risolvere. La moneta sta dritta sulla "rotaia". Come questo venga realizzato "praticamente", il problema non lo dice esplicitamente (immagino che il disco sia vincolato ai due "binari" della rotaia").
"Faussone":
Non intendevo dire che fosse elementare (non lo è infatti) [..]
Alla luce di questo se inizi a pensare e a fare qualche considerazione vediamo...
Fidati, a questo esercizio è un po' che ci penso...
Ciao,
L.[/quote]
Se le cose stanno così per me il problema non ha senso. Quindi non so aiutarti, mi spiace.
posto che il vincolo realizzi il moto descritto all'inizio, indicata con $V$ la velocità di traslazione del centro del disco, l'energia cinetica (salvo errori di calcolo) dovrebbe essere:
$K=1/2 MV^2 *(1+\frac{2+(r/R)^2}{4})$
$K=1/2 MV^2 *(1+\frac{2+(r/R)^2}{4})$
"mircoFN":
posto che il vincolo realizzi il moto descritto all'inizio, indicata con $V$ la velocità di traslazione del centro del disco, l'energia cinetica (salvo errori di calcolo) dovrebbe essere:
$K=1/2 *M*V^2 *(1+\frac{2+(r/R)^2}{16 \pi^2})$
Non capisco come l'hai calcolato, mica mi torna...
Se faccio viaggiare il disco su una rotaia rettilinea l'energia cinetica è [tex]\frac{3}{4}M{V^2}[/tex].
Se prendo la tua formula e faccio tendere R a infinito mi aspetterei di trovare lo stesso valore, cosa che non è.
Hai ragione mi si era impigliato un $2\pi$ nei passaggi 
ho corretto l'espressione
ho corretto l'espressione
"mircoFN":
Hai ragione mi si era impigliato un $2\pi$ nei passaggi
ho corretto l'espressione
Mi consenta... direbbe uno
a me l'energia cinetica viene:
[tex]T = \frac{3}{4}M{V^2}\left[ {1 + \frac{1}{{6}}{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right][/tex]
Edit: modificato successivamente causa errore nel calcolo del momento di inerzia
mi consenta .... ma non è che hai preso il momento d'inerzia di una sfera?
"Falco5x":
Scusa Lorenzo, se insistiamo a parlarci addosso invece di risolvere, ma questo esercizio diventa sempre meno chiaro.
Provo a chiarire meglio. Questo è il sistema visto dall'alto.
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/alto.pdf
"Falco5x":
comunque se immaginiamo una ben strana rotaia a incastro sul bordo ma liscia comunque (irrealizzabile ovviamente) si può immaginare che possa fornire anche a un disco verticale rotante tutti i necessari momenti utili a mantenerlo diritto.
Le condizioni ideali della rotaia sono, appunto, "ideali". A mio giudizio, non sono (molto) più "misteriose" di quelle per cui parliamo di "fili inestensibili" o di "molle di massa nulla".
Per quanto riguarda le vostre soluzioni, senza i passaggi principali che avete seguito, non mi sono di grande aiuto.
Grazie mille,
L.
Credevo ti servisse un risultato di riferimento, forse è meglio se spieghi a cosa ti serve la soluzione.
Non so cosa è successo ma improvvisamente in questo topic non riesco più a vedere le formule correttamente, quelle con $a$ mi risultano non interpretate ... misteri dell'informatica o effetti della mia imbranataggine ...
la stranezza è che nell'anteprima sono rappresentate correttamente, poi nell pagina le vedo come caratteri ... boh!
Non so cosa è successo ma improvvisamente in questo topic non riesco più a vedere le formule correttamente, quelle con $a$ mi risultano non interpretate ... misteri dell'informatica o effetti della mia imbranataggine ...
la stranezza è che nell'anteprima sono rappresentate correttamente, poi nell pagina le vedo come caratteri ... boh!
"mircoFN":
Credevo ti servisse un risultato di riferimento, forse è meglio se spieghi a cosa ti serve la soluzione.
Allora, ecco un disegno migliore:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... canica.pdf
Dall'alto:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_files/alto.pdf
Siano:
$G$ il centro del disco.
$A$ il punto di contatto tra il disco e la rotaia.
$\theta$ l'angolo fra $OA$ e la direzione positiva delle x. All'inizio $\theta=0$.
$P$ un punto fissato del disco (che nella posizione iniziale coincide con $A$)
$\alpha$ l'angolo tra $GA$ e $GP$. All'inizio $\alpha=0$.
Ho bisogno di sapere, per filo e per segno, la lagrangiana del sistema.
Le cose di cui sono (abbastanza!) sicuro:
1. Questo è un problema a un grado di libertà, $\theta$ la coordinata lagrangiana$.
2. La lagrangiana coincide con l'energia cinetica.
3. Per Koenig, l'energia cinetica è l'energia del centro di massa (e questa la so calcolare) più l'energia nel sistema di rif. del centro di massa.
Poi:
4. Per la condizione di puro rotolamento, $\theta R=\alpha r$.
Mi sfugge completamente come determinare la velocità angolare $\omega$: $\omega$ avrà sicuramente una componente lungo l'asse z, ma anche una componente parallela al piano $xy$.
Grazie per il vostro impegno,
L.
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