Termodinamica: Trasformazione reversibile
Intanto scrivo il testo del problema:
Due moli di gas perfetto monoatomico eseguono il ciclo reversibile indicato in figura. Le trasformazioni da A a B e da B a C sono rettilinee, la trasformazione da C ad A è una isobara. Sia Vc=4Va, Pb=2Pa, Vb=xVa. Calcolare il rendimento del ciclo per x=2 ed x=3.
Per trovare il rendimento vorrei applicare Energia interna fornita / Lavoro svolto.
L'energia fornita dovrebbe corrispondere all'area del triangolo quindi potrei trovarla semplicemente così: [(Vc-Va)*(Pb-Pa)]/2
Ma il lavoro non sono in grado di trovarla perchè non capisco che tipo di trasformazione è quella rettilinea. Chi mi aiuta?
Due moli di gas perfetto monoatomico eseguono il ciclo reversibile indicato in figura. Le trasformazioni da A a B e da B a C sono rettilinee, la trasformazione da C ad A è una isobara. Sia Vc=4Va, Pb=2Pa, Vb=xVa. Calcolare il rendimento del ciclo per x=2 ed x=3.
Per trovare il rendimento vorrei applicare Energia interna fornita / Lavoro svolto.
L'energia fornita dovrebbe corrispondere all'area del triangolo quindi potrei trovarla semplicemente così: [(Vc-Va)*(Pb-Pa)]/2
Ma il lavoro non sono in grado di trovarla perchè non capisco che tipo di trasformazione è quella rettilinea. Chi mi aiuta?
Risposte
L'area del ciclo corrisponde al lavoro ottenuto dal ciclo...
Innanzitutto il rendimento non è quello che scrivi, ma è il lavoro svolto dal gas nel ciclo diviso il calore assorbito durante il ciclo.
Il lavoro è dato dall'aria racchiusa nel triangolo, mentre il calore assorbito devi calcolarlo ricordando che il gas è perfetto e sapendone la quantità.
(Ricorda che per un gas perfetto sai che l'energia interna è solo funzione della temperatura anche).
Il lavoro è dato dall'aria racchiusa nel triangolo, mentre il calore assorbito devi calcolarlo ricordando che il gas è perfetto e sapendone la quantità.
(Ricorda che per un gas perfetto sai che l'energia interna è solo funzione della temperatura anche).
Cercando su internet ho trovato dei suggerimenti. Nella trasformazione lineare AB o BC si calcola come lavoro Pmed del tratto * variazione di volume:
Wab= [(Pa+Pb)/2]*(Vb-Va) //editato
Wbc= [(Pb+Pc)/2]*(Vc-Vb) //editato
Wca=Pa*(Va-Vc)
Il lavoro totale compiuto sarà Wab+Wbc+Wca
quindi il rendimento sarà Wtot/AreaTriangolo ovvero { Wab+Wbc+Wca } / { [(Vc-Va)*(Pb-Pa)]/2 } }
è corretto?
Dove Wtot è il lavoro totale compiuto sul sistema e l'area del triangolo è la variazione di energia interna del gas. W/Qin
EDIT: Ho scritto questo messaggio prima di leggere le vostre risposte.. aiuto
Wab= [(Pa+Pb)/2]*(Vb-Va) //editato
Wbc= [(Pb+Pc)/2]*(Vc-Vb) //editato
Wca=Pa*(Va-Vc)
Il lavoro totale compiuto sarà Wab+Wbc+Wca
quindi il rendimento sarà Wtot/AreaTriangolo ovvero { Wab+Wbc+Wca } / { [(Vc-Va)*(Pb-Pa)]/2 } }
è corretto?
Dove Wtot è il lavoro totale compiuto sul sistema e l'area del triangolo è la variazione di energia interna del gas. W/Qin
EDIT: Ho scritto questo messaggio prima di leggere le vostre risposte.. aiuto
"Faussone":
Innanzitutto il rendimento non è quello che scrivi, ma è il lavoro svolto dal gas nel ciclo diviso il calore assorbito durante il ciclo.
Il lavoro è dato dall'aria racchiusa nel triangolo, mentre il calore assorbito devi calcolarlo ricordando che il gas è perfetto e sapendone la quantità.
(Ricorda che per un gas perfetto sai che l'energia interna è solo funzione della temperatura anche).
Fammi capire, la somma delle varie W che ho calcolato io nel precedente post corrisponde all'area del triangolo? Se non è così a cosa corrispondono i 3 lavori che ho sommato?
Parlando invece di calore assorbito durante il ciclo potresti illuminarmi?
è 3/2 nRT? che T uso?
"CyberCrasher":
[
Fammi capire, la somma delle varie W che ho calcolato io nel precedente post corrisponde all'area del triangolo? Se non è così a cosa corrispondono i 3 lavori che ho sommato?
La somma delle teu $W$ corrisponde all'area del triangolo infatti (a parte che hai scritto $T$ al posto di $V$ nelle prime due formule).
L'ultima area infatti è negativa ed è il lavoro speso per l'isobara.
"CyberCrasher":
Parlando invece di calore assorbito durante il ciclo potresti illuminarmi?
La variazione di energia interna da un gas perfetto è in effetti $C_v Delta T$; le $T$ dei vari punti le puoi calcolare e da qui puoi ricavare il calore assorbito.
EDIT: Corretta inesattezza nella frase di sopra.
Ma con che cognizione uso CvT e non CpT?
"CyberCrasher":
Ma con che cognizione uso CvT e non CpT?
Per un gas perfetto l'energia interna è funzione solo dalla temperatura, e si dimostra che è $dU =c_V dT$.
Infatti visto che è $U=U(T)$
$dU = (d U) / (d T) dT$
ma a $V$ costante il lavoro scambiato è nullo per cui la prima legge della termodinamica si può scrivere
$dU = delta Q$
e quindi
$dU = delta Q = (dU)/(d T) dT = c_V dT$
dato che siamo a $V$ costante
Si ma non capisco.. da cosa deduci che V è costante? Lo è solo nella terza trasformazione.. o sbaglio?
La variazione di energia interna è sempre $dU=nc_VdT$, non solo per trasformazioni a V costante
Infatti. L'informazione $V$ costante in quello che ho scritto io viene usata solo per dimostrare perché in un gas perfetto $(dU)/(dT)=((dQ)/(dT))_V = c_V$, ma ha validità generale proprio perché l'energia interna dipende solo da $T$.
Ah perfetto. Però a questo punto approfitto per chiedervi un chiarimento generale.
Il libro è un po confusionario a riguardo e pur avendolo studiato tendo a confondermi.
Per quel che ho capito io:
3/2 nRT (3/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas MONOATOMICO
5/2 nRT (5/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas BIATOMICO
nCvT si applica a tutti i gas perfetti, siano essi MONOATOMICI o BIATOMICI
Se il gas non è perfetto si usano nCvT o nCpT
Sbagliato?
Il libro è un po confusionario a riguardo e pur avendolo studiato tendo a confondermi.
Per quel che ho capito io:
3/2 nRT (3/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas MONOATOMICO
5/2 nRT (5/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas BIATOMICO
nCvT si applica a tutti i gas perfetti, siano essi MONOATOMICI o BIATOMICI
Se il gas non è perfetto si usano nCvT o nCpT
Sbagliato?
"CyberCrasher":
Per quel che ho capito io:
3/2 nRT (3/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas MONOATOMICO
5/2 nRT (5/2 NkT) si applica SOLO per calcolare l'energia interna di un gas BIATOMICO
nCvT si applica a tutti i gas perfetti, siano essi MONOATOMICI o BIATOMICI
Corretto.
"CyberCrasher":
Se il gas non è perfetto si usano nCvT o nCpT
Sbagliato?
Se il gas non è perfetto l'energia interna non è funzione della sola $T$, inoltre i calori specifici non sono costanti...
In tal caso si deve ricorrere a tabelle.
ok perfetto grazie!!
"Faussone":
La variazione di energia interna da un gas perfetto è in effetti $C_v Delta T$; le $T$ dei vari punti le puoi calcolare e da qui puoi ricavare il calore assorbito.
Provando a rifare l'esercizio ho avuto difficoltà e non sono riuscito a completare.
Mi è chiaro che $e=W/Q$ e che $W=((V_C-V_A)(P_B-P_A))/2$ ma provando a procedere calcolando Q mi blocco. Stando a quello che mi hai scritto (vedi quota) ho capito che dovrei trovare le variazioni di energia interna di ogni trasformazione per poi porli uguale a $C_v Delta T$ e trovare dunque le temperature dei 3 punti. Ma come faccio a trovare le variazioni di energia interna di ogni processo se conosco solo il tipo di processo C-A e non gli altri? Come si fa?
Ps. In un ciclo reversibile come questo ($P_i=P_f$ e $V_i=V_f$) la variazione di energia totale non varia giusto?
Per calcolare le variazioni di energia interna ti servono le temperature che puoi trovare sapendo le relazioni tra volumi e pressioni e ricordando che il gas segue la legge dei gas perfetti.
Dalle variazioni di energia interna di ogni ramo conoscendo il lavoro scambiato puoi calcolare il calore scambiato.
In un ciclo (anche irreversibile) le energie interne iniziali e finali sono uguali, dato che la $U$ è una funzione di stato, mentre lo stesso ovviamente non è vero per il calore e per il lavoro scambiato.
Dalle variazioni di energia interna di ogni ramo conoscendo il lavoro scambiato puoi calcolare il calore scambiato.
In un ciclo (anche irreversibile) le energie interne iniziali e finali sono uguali, dato che la $U$ è una funzione di stato, mentre lo stesso ovviamente non è vero per il calore e per il lavoro scambiato.
"Faussone":
Per calcolare le variazioni di energia interna ti servono le temperature che puoi trovare sapendo le relazioni tra volumi e pressioni e ricordando che il gas segue la legge dei gas perfetti.
Dalle variazioni di energia interna di ogni ramo conoscendo il lavoro scambiato puoi calcolare il calore scambiato.
Per ogni punto calcolo PV=nRT e ricavo la temperatura?
Ho calcolato le temperature:
$P_AV_A=nRT_A => T_A=(P_AV_A)/(nR) $
$P_BV_B=nRT_B => T_B=(4P_AV_A)/(nR) $
$P_CV_C=nRT_C => T_C=(4P_AV_A)/(nR) $
Da questo deduco anche che la trasformazione B->C è isoterma
Poi ho calcolato le variazioni di energia interna (che dipendono solo dalla temperatura):
$DeltaE_(AB)=nC_VDeltaT_(AB)=9/2P_AV_A$
$DeltaE_(BC)=0$
$DeltaE_(CA)=nC_VDeltaT_(CA)=-9/2P_AV_A$
e in accordo con quanto detto prima $sum DeltaE = 0$
Fin qui se è giusto, è tutto chiaro per me. A questo punto se provo a calcolare i calori ottengo:
$Q_(AB)= DeltaE_(AB) + W_(AB)$
$Q_(BC)= W_(BC)$
$Q_(CA)= DeltaE_(CA) + W_(AB)$
Il problema che a questo punto facendo la somma dei calori ottengo $sum Q= sum DeltaE + sum W = 0 + W_( t o t)$
Dove sbaglio?
"CyberCrasher":
[....]
Il problema che a questo punto facendo la somma dei calori ottengo $sum Q= sum DeltaE + sum W = 0 + W_( t o t)$
Dove sbaglio?
Non ho controllato tutti i calcoli, ma qui fai un errore.
E' ovvio che in un ciclo chiuso il lavoro compiuto è pari al calore scambiato, questo è un modo per esprimere il primo principio della termodinamica.
Il rendimento però è pari al lavoro compiuto diviso il CALORE ASSORBITO non quello netto scambiato che come detto è sempre pari al lavoro.
Quindi devi vedere tener conto delle trasformazioni che assorbono calore.
EDIT: In effetti intendevo calore non lavoro ovviamente, come detto in precedenza. Ho corretto.
"Faussone":
Non ho controllato tutti i calcoli, ma qui fai un errore.
E' ovvio che in un ciclo chiuso il lavoro compiuto è pari al calore scambiato, questo è un modo per esprimere il primo principio della termodinamica.
Il rendimento però è pari al lavoro compiuto diviso il lavoro ASSORBITO non quello netto scambiato che come detto è sempre pari al lavoro.
Quindi devi vedere tener conto delle trasformazioni che assorbono calore.
E chi me lo dice qual'è il lavoro assorbito? puoi essere più preciso e pratico?
Intendeva calore assorbito, non lavoro assorbito
"Maurizio Zani":
Intendeva calore assorbito, non lavoro assorbito
Edit: Ma come faccio a distinguere Qin e Qout nelle varie trasformazioni?
Edit2: Potrei sfruttare forse, per ogni trasformazione, il sistema:
$Q_(o u t )/Q_ (i n)=T_(o u t)/T_(i n)$
$Q_( o u t)+Q_(i n)=Q_(p r o c e s s o)$
dove processo sarebbe A-B, B-C e C-D
In questo modo dovrei ottenere Qin e Qout e poi sommo le 3 Qin.. è corretto?
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