Rotismo ipocicloidale
Non so se tutti voi sapete cosa sia un rotismo ipocicloidale, ma altro non è che un sistema di ruote dentate o di frizione (funzionano solo grazie all'attrito) composto da una ruota che gira tangenzialmente all'interno di un'altra piu grande. Per farvene un idea ecco una piccola rappresentazione:
Se un piccolo motore elettrico collegato alla ruota mobile è in grado di erogare una potenza variabile nel tempo pari a: $P(t)=\lambda\sqrt(t)$$.
La ruota fissa ha raggio $R$, mantre quella mobile: $r$, naturalmente $r
Se un piccolo motore elettrico collegato alla ruota mobile è in grado di erogare una potenza variabile nel tempo pari a: $P(t)=\lambda\sqrt(t)$$.
La ruota fissa ha raggio $R$, mantre quella mobile: $r$, naturalmente $r
Risposte
Potresti specificare un po' meglio:
1) la ruota esterna è fissa, oppure il suo centro è fisso, oppure è tutto libero nel piano?
2) la massa di ciascuna ruota è da considerarsi (uniformemente) distribuita sulla rispettiva circonferenza (cioè sono due anelli)?
ciao
1) la ruota esterna è fissa, oppure il suo centro è fisso, oppure è tutto libero nel piano?
2) la massa di ciascuna ruota è da considerarsi (uniformemente) distribuita sulla rispettiva circonferenza (cioè sono due anelli)?
ciao
Ciao mirco, solo tu... cmq la ruota esterna è fissa, non è quindi libera di ruotare. mentre quella interna gli ruota dentro rimanendo sempre tangente ad essa.
La massa è uniforma sulle ruote, quindi le puoi considerare come cilindri pieni. Il disegno è solo di repertorio...
La massa è uniforma sulle ruote, quindi le puoi considerare come cilindri pieni. Il disegno è solo di repertorio...
OK, tutto chiaro.... però sei sicuro che vuoi l'espressione analitica della legge di moto?
Non so se sia esprimibile in forma elementare.
Ma questi problemi te li inventi, li trovi da qualche parte o che?
ciao
Non so se sia esprimibile in forma elementare.
Ma questi problemi te li inventi, li trovi da qualche parte o che?
ciao
No completamente frutto della mia fantasia, non l'ho ancora fatto, ma credo che si possa trovare la legge oraria in forma parametrica:
${(x(t)=f(t)),(y(t)=g(t)):}$
${(x(t)=f(t)),(y(t)=g(t)):}$
Giusto per curiosità : 'sto rotismo ipocloidale dove l'hai trovato ? E' utile per qualche applicazione?
Beh nel campo dlel'ingegneria meccanica ce ne sono a bizzeffe di rotismi,sia così che anche diversi, tipo anche epicicloidale, ed ogni altro tipo che ti viene in mente.
Siccome non ho la più pallida idea di cosa sia un rotismo ( se non che c'entrino delle ruote) ti chiedevo, in modo "terra terra" cosa può modellizzare questa invenzione del rotismo..
Tutto qua.
Tutto qua.
Ti informo però che io ho da poco finito il primo anno e di queste cose ancora nopn se ne è parlato... Ora a me viene in mente per esempio questo. Tutte le volte che vuoi trasformare un movimento rotatorio in uno traslatorio puoi far ricorso anche a questa stravagante soluzione, infatti se colleghi per esempio una biella alla ruota libera e tieni ferma la grande, se la biella fosse vincolata a muoversi lungo una direzione ben precisa, allora il moto della ruota interna porterebbe a far muovere la testa di biella avanti ed indietro... Una specie di albero motore, in ogni caso non credo sia questa l'applicazione per cui sono nati questi meccanismi, ma questo potrebbe essere uno.
Valerio, ti faccio i miei più sentiti complimenti:
non c'è mestiere migliore per te dell'Ingegnere Meccanico,
hai proprio una grande passione per questo e da quello
che scrivi traspare davvero una forma
mentis che più ingegneristica non si può!
non c'è mestiere migliore per te dell'Ingegnere Meccanico,
hai proprio una grande passione per questo e da quello
che scrivi traspare davvero una forma
mentis che più ingegneristica non si può!
un rotismo può fungere da riduttore di velocità
Beh grazie Francesco dei complimenti, mi farebbe davvero piacere poter entrare un giorno in quel meraviglioso mondo...
Ah, si è verissimo che può fungere da riduttore di velocità, ma è ancor meno di quello che avevo detto io una sua caratteristica peculiare, infatti qualsiasi coppia di ruote dentate ha la caratteristica di cambiare il rapporto di trasmissione...
Ah, si è verissimo che può fungere da riduttore di velocità, ma è ancor meno di quello che avevo detto io una sua caratteristica peculiare, infatti qualsiasi coppia di ruote dentate ha la caratteristica di cambiare il rapporto di trasmissione...
"GuillaumedeL'Hopital":
un rotismo può fungere da riduttore di velocità
Già, e per giunta mettere una ruota dentro l'altra fa risparmiare parecchio spazio.
Questi ruotismi (e altri simili) sono usati come riduttori o come moltiplicatori perchè permettono rapporti di trasmissione molto alti e sono compatti. Per questo motivo sono molto impiegati nelle trasmissioni aeronautiche.
Il ruotismo epicicloidale e i sui cloni permettono anche di separare i movimenti (1 entrata e 2 uscite o 2 entrate e 1 uscita) e il loro principio di funzionamento è simile al differenziale delle ruote motrici (come Cavalli sicuramente sa).
Ritornando al problema, la precisazione dell'autore conferma il mio sospetto: il problema è ben posto e la soluzione c'è ma c'è anche un integrale che non si risolve in forma chiusa. Almeno io non lo so risolvere.
ciao
Il ruotismo epicicloidale e i sui cloni permettono anche di separare i movimenti (1 entrata e 2 uscite o 2 entrate e 1 uscita) e il loro principio di funzionamento è simile al differenziale delle ruote motrici (come Cavalli sicuramente sa).
Ritornando al problema, la precisazione dell'autore conferma il mio sospetto: il problema è ben posto e la soluzione c'è ma c'è anche un integrale che non si risolve in forma chiusa. Almeno io non lo so risolvere.
ciao
Ahhh, te dici che la funzione che ho dato io per la potenza non permette una scrittura analitica della legge oraria... Beh è facile, anche perchè mentre pensavo per sommi capi come si doveva fare il problema non ho minimamente pensato a fornire una funzione "buona". Vedrò allora di modificare il testo eventualmente...
In ogni caso la devo smettere di pensare i problemi prima di risolverli...
In ogni caso la devo smettere di pensare i problemi prima di risolverli...
In effetti viene proprio un integrale non risolvibile analiticamente, a me però interessava una funzione a grandi linee con un andamento simile... Vabbè proviamo allora con una radice, che pur non essendo limitata ha pur sempre un andamento abbastanza realistico; guardate il testo che lo cambio subito...
Adesso l'ho fatto e esce qualcosa... Scrivete pure però come ci si arriva, sennò tanta fatica per nulla...
Dividerei il problema in due fasi:
1) la soluzione cinematica
2) la soluzione dinamica.
Per la prima è sufficiente considerare che la posizione dipende da un'unica quantità geometrica. Parto dalla posizione in cui la ruota piccola è in basso e assumo il naturale sistema cartesiano centrato nell'asse della ruota grande con $x$ verso dx e $y$ verso l'alto.
Chiamato $\theta$ l'angolo di rotazione della ruota rispetto alla verticale (positiva se oraria) e $\Theta$ la posizione angolare del suo centro rispetto alla ruota fissa (positiva se antioraria), per il rotolamento si ha:
$\Theta=\theta*r/(R-r)$.
Da ciò ho l'equazione parametrica della traiettoria in funzione di $\theta$:
$x(\theta)=-r*sin(\theta)+(R-r)*sin(\theta*r/(R-r))$
$y(\theta)=-r*cos(\theta)-(R-r)*cos(\theta*r/(R-r))$
Si tratta ora di esplicitare la legge $\theta(t)$.
Per questo è sufficiente osservare che l'energia cinetica del sistema è indipendente da $\theta$ e scrivere il bilancio energetico (per inciso l'energia cinetica risulta anche indipendente da $R$ per cui la legge $\theta(t)$ è la stessa per il rotolamento su una linea retta).
Se non ho sbagliato i calcoli a me torna:
$\theta(t)=32/45 *\sqrt(\lambda/(mr^2))*t^(4/9)$
ciao
1) la soluzione cinematica
2) la soluzione dinamica.
Per la prima è sufficiente considerare che la posizione dipende da un'unica quantità geometrica. Parto dalla posizione in cui la ruota piccola è in basso e assumo il naturale sistema cartesiano centrato nell'asse della ruota grande con $x$ verso dx e $y$ verso l'alto.
Chiamato $\theta$ l'angolo di rotazione della ruota rispetto alla verticale (positiva se oraria) e $\Theta$ la posizione angolare del suo centro rispetto alla ruota fissa (positiva se antioraria), per il rotolamento si ha:
$\Theta=\theta*r/(R-r)$.
Da ciò ho l'equazione parametrica della traiettoria in funzione di $\theta$:
$x(\theta)=-r*sin(\theta)+(R-r)*sin(\theta*r/(R-r))$
$y(\theta)=-r*cos(\theta)-(R-r)*cos(\theta*r/(R-r))$
Si tratta ora di esplicitare la legge $\theta(t)$.
Per questo è sufficiente osservare che l'energia cinetica del sistema è indipendente da $\theta$ e scrivere il bilancio energetico (per inciso l'energia cinetica risulta anche indipendente da $R$ per cui la legge $\theta(t)$ è la stessa per il rotolamento su una linea retta).
Se non ho sbagliato i calcoli a me torna:
$\theta(t)=32/45 *\sqrt(\lambda/(mr^2))*t^(4/9)$
ciao
A me viene così:
$L=\int_0^tPdt=\lambda\int_0^t\sqrttdt=\lambda2/3t^{3/2}$
Dato che $L=\DeltaK=1/2(I\omega^2+mv_{cm}^2)=1/2(1/2mr^2\omega^2+m\omega^2r^2)$ per la condizione di rotolamento.
Quindi:
$3/4mr^2\dot\theta^2=\lambda2/3t^{3/2}=>d\theta=\sqrt{8/9\lambda/{mr^2}}t^{3/4}dt=>\theta(t)=4/7\sqrt{8/9\lambda/{mr^2}}t^{7/4}=8/21\sqrt{{2\lambda}/{mr^2}}t^{7/4}$
$L=\int_0^tPdt=\lambda\int_0^t\sqrttdt=\lambda2/3t^{3/2}$
Dato che $L=\DeltaK=1/2(I\omega^2+mv_{cm}^2)=1/2(1/2mr^2\omega^2+m\omega^2r^2)$ per la condizione di rotolamento.
Quindi:
$3/4mr^2\dot\theta^2=\lambda2/3t^{3/2}=>d\theta=\sqrt{8/9\lambda/{mr^2}}t^{3/4}dt=>\theta(t)=4/7\sqrt{8/9\lambda/{mr^2}}t^{7/4}=8/21\sqrt{{2\lambda}/{mr^2}}t^{7/4}$
Ops.... 
devo aver messo qualche radice di troppo ....
il tuo calcolo è giusto
ciao
devo aver messo qualche radice di troppo ....
il tuo calcolo è giusto
ciao
Tranquillo capita atutti di sbagliare i calcoli, l'importante è aver ben chiaro il procedimento... E poi ti puoi consolare ricordando che io addirutura ho sbagliato la funzione da assegnare... 
P.S.: LA prima parte è ovviamente corretta, quindi basta sostiuire $\theta(t)$ nella prima espressione trovata ed il problema è concluso.
E poi ti puoi consolare ricordando che io addirutura ho sbagliato la funzione da assegnare... P.S.: LA prima parte è ovviamente corretta, quindi basta sostiuire $\theta(t)$ nella prima espressione trovata ed il problema è concluso.
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