Quiz: Scongelamento
Se occorrono due giorni per scongelare un tacchino congelato di 5 kg, stimare quanto tempo occorre per scongelare un mammut siberiano di 8 tonnellate. 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
Il rapporto fra i due volumi è 1600, quindi il rapporto fra le dimensioni lineari è $1600^(1/3)$, chiamiamola $alpha$.
Il calore necessario è $alpha^3 = 1600$ volte maggiore.
La superficie da cui assorbire questo calore cresce invece come $alpha^2$.
Il rapporto fra i tempi necessari è allore $alpha^3/alpha^2$ ossia $alpha$, circa 11.7, quindi occorreanno 23.4 giorni.
Ovviamente la forma di un tacchino e quella di in mammut non sono uguali, poi il tacchino è spennato mentre il mammut è peloso, insomma è una rozza approssimazione, supponendoli entrambi sferici e con la stessa capacità di assorbimento superficiale, nonchè la stessa densità e capacità termica, ma insomma, ci siamo capiti...
Il calore necessario è $alpha^3 = 1600$ volte maggiore.
La superficie da cui assorbire questo calore cresce invece come $alpha^2$.
Il rapporto fra i tempi necessari è allore $alpha^3/alpha^2$ ossia $alpha$, circa 11.7, quindi occorreanno 23.4 giorni.
Ovviamente la forma di un tacchino e quella di in mammut non sono uguali, poi il tacchino è spennato mentre il mammut è peloso, insomma è una rozza approssimazione, supponendoli entrambi sferici e con la stessa capacità di assorbimento superficiale, nonchè la stessa densità e capacità termica, ma insomma, ci siamo capiti...
"mgrau":
Ovviamente la forma di un tacchino e quella di in mammut non sono uguali, poi il tacchino è spennato mentre il mammut è peloso, insomma è una rozza approssimazione, supponendoli entrambi sferici e con la stessa capacità di assorbimento superficiale, nonchè la stessa densità e capacità termica, ma insomma, ci siamo capiti...
Su questo ci siamo capiti benissimo
mentre sul tempo necessario gli autori mi dicono che è poco 
Cordialmente, Alex
"axpgn":
tempo necessario gli autori mi dicono che è poco
Probabilmente c'entra il fatto che un mammut fossile ha una percentuale di acqua risibile.
No, non è questo (i mammut sono del quaternario e ne hanno trovato alcuni "come nuovi" ).
Come evidenzia giustamente mgrau, si assume grossolanamente che le caratteristiche e le condizioni siano grosso modo le stesse.
Cordialmente, Alex
).Come evidenzia giustamente mgrau, si assume grossolanamente che le caratteristiche e le condizioni siano grosso modo le stesse.
Cordialmente, Alex
A me suona quello che ha detto mgrau, in altre parole è possibile applicare l'analisi dimensionale e si può vedere che alla fine per il tempo di scongelamento vale $t=f((hL)/k,(rho c) / k)$ con ($h$ coefficiente globale di scambio convettivo, $k$ conducibilità termica del corpo, $L$ lunghezza caratteristica, $c$ calore specifico del corpo). Quindi visto che tutte le altre quantità si suppongono uguali, allora i tempi dovrebbero essere proporzionali alle scale dimensionali lineari.
A questo punto sono curioso di leggere la giustificazione data dagli autori alla risposta del quesito, magari ci stiamo perdendo qualche fenomeno fisico...
A questo punto sono curioso di leggere la giustificazione data dagli autori alla risposta del quesito, magari ci stiamo perdendo qualche fenomeno fisico...
.
@sellacollasella
Assumendo la temperatura del corpo che si scongela più o meno uniforme, e una temperatura esterna costante ovviamente, viene fuori una legge di crescita della temperatura di tipo esponenziale (rallenta sempre più man mano che il corpo si avvicina alla temperatura ambiente).
In ogni caso conta la costante di tempo dell'esponenziale: e si ritorna alla relazione lineare tra tempo e dimensioni che ha trovato mgrau.
... oppure mi sto perdendo qualcosa.
Comunque anche ragionando solo col calcolo dimensionale sempre lì mi troverei...
Assumendo la temperatura del corpo che si scongela più o meno uniforme, e una temperatura esterna costante ovviamente, viene fuori una legge di crescita della temperatura di tipo esponenziale (rallenta sempre più man mano che il corpo si avvicina alla temperatura ambiente).
In ogni caso conta la costante di tempo dell'esponenziale: e si ritorna alla relazione lineare tra tempo e dimensioni che ha trovato mgrau.
... oppure mi sto perdendo qualcosa.
Comunque anche ragionando solo col calcolo dimensionale sempre lì mi troverei...
Concordo di più con il risultato di sellacollesella.
In refrigerazione vale un risultato che è chiamato eq. di Planck
https://elearning.unite.it/pluginfile.p ... amento.pdf
che esprime il tempo necessario per congelare una sostanza. Questo tempo è dato da una formula del tipo:
$T = alpha*L+ beta*L^2$
essendo L la dimensione lineare. Ammettendo che
1) lo scongelamento segua la stessa legge
2) le masse siano proporzionali a $L^3$
3) che il termine quadratico sia preponderante
ne risulta che il tempo T è proporzionale a $(m_2/m_1)^(2/3)$
In refrigerazione vale un risultato che è chiamato eq. di Planck
https://elearning.unite.it/pluginfile.p ... amento.pdf
che esprime il tempo necessario per congelare una sostanza. Questo tempo è dato da una formula del tipo:
$T = alpha*L+ beta*L^2$
essendo L la dimensione lineare. Ammettendo che
1) lo scongelamento segua la stessa legge
2) le masse siano proporzionali a $L^3$
3) che il termine quadratico sia preponderante
ne risulta che il tempo T è proporzionale a $(m_2/m_1)^(2/3)$
Ok credo che il punto sia proprio che la temperatura del corpo resta costante fino a scongelamento, quello che avevo in mente io era il tempo affinché la temperatura del tacchino o mammut diventassero pari alla temperatura ambiente e non avevo considerato in questo il passaggio di fase e quindi la temperatura costante. In un certo senso era più semplice, ma rivedrò il tutto con calma.
La risposta degli autori (sintetica) è che secondo la legge della conduzione del calore, il calore trasferito è direttamente proporzionale al gradiente termico (differenza di temperatura divisa per la distanza), l'area e il tempo ovvero $\text(Time ) prop (\text(Heat Capacity))/(\text(Area ) xx \text( Temperature Gradient)) prop (L^3)/(L^2L^(-1))=L^2$.
Dato che $M prop L^3$, in definitiva abbiamo che il tempo necessario per lo scongelamento è proporzionale a [size=150]$M^(2/3)$[/size] e quindi nel nostro caso abbiamo [size=150]$2(8000/5)^(2/3)$[/size] giorni cioè all'incirca nove mesi.
Gli autori concludono con "Di fatto, l'estate siberiana è troppo corta per scongelare i mammut"
Cordialmente, Alex
Dato che $M prop L^3$, in definitiva abbiamo che il tempo necessario per lo scongelamento è proporzionale a [size=150]$M^(2/3)$[/size] e quindi nel nostro caso abbiamo [size=150]$2(8000/5)^(2/3)$[/size] giorni cioè all'incirca nove mesi.
Gli autori concludono con "Di fatto, l'estate siberiana è troppo corta per scongelare i mammut"
Cordialmente, Alex
"axpgn":
La risposta degli autori (sintetica) è che secondo la legge della conduzione del calore, il calore trasferito è direttamente proporzionale al gradiente termico (differenza di temperatura divisa per la distanza), l'area e il tempo ovvero $\text(Time ) prop (\text(Heat Capacity))/(\text(Area ) xx \text( Temperature Gradient)) prop (L^3)/(L^2L^(-1))=L^2$.
Dato che $M prop L^3$, in definitiva abbiamo che il tempo necessario per lo scongelamento è proporzionale a [size=150]$M^(2/3)$[/size] e quindi nel nostro caso abbiamo [size=150]$2(8000/5)^(2/3)$[/size] giorni cioè all'incirca nove mesi.
Gli autori concludono con "Di fatto, l'estate siberiana è troppo corta per scongelare i mammut"
Mi torna se si assume che il mammut e il tacchino siano ghiacciati a 0°C. Come dicevo prima il punto è che io mi ero perso il discorso dello scongelamento in cui la differenza di temperatura tra il corpo che si scongela e l'ambiente è sempre costante. Dopo lo scongelamento (o prima se la temperatura fosse sotto gli 0°C) però il tempo per raggiungere una data temperatura è proporzionale linearmente alla dimensione (di qui la relazione lineare e quadratica con il tempo che diceva ingres).
... mmm ... sì e no ...
Probabilmente l'obiettivo primario degli autori è proprio lo scongelamento ma mi pare che non ritengano molto importante la temperatura di partenza (quella di arrivo chiaramente si intende uno o due gradi sopra lo zero altrimenti staremmo parlando anche di riscaldamento del mammut), dato che anche se fosse di 10/15 gradi sottozero, la sproporzione tra le due quantità di calore da fornire è grande (e dato che stiamo parlando di stime grezze ... )
Cordialmente, Alex
Probabilmente l'obiettivo primario degli autori è proprio lo scongelamento ma mi pare che non ritengano molto importante la temperatura di partenza (quella di arrivo chiaramente si intende uno o due gradi sopra lo zero altrimenti staremmo parlando anche di riscaldamento del mammut), dato che anche se fosse di 10/15 gradi sottozero, la sproporzione tra le due quantità di calore da fornire è grande (e dato che stiamo parlando di stime grezze ... )
Cordialmente, Alex
Mi sa che non è si o no, è solo no (quello che ho scritto io intendo).
Credo che semplicemente io avevo in mente il caso di temperatura uniforme nel corpo (quindi un corpo che si scongela e poi cambia temperatura ma che ha sempre temperatura uniforme al suo interno pur potendo la temperatura variare nel tempo[nota]Vale per corpi poco estesi in cui è basso il cosiddetto numero di Biot.[/nota]), che è semplicemente sbagliato in generale.
Se riesco (ma non garantisco ultimamente ho meno tempo e sono più pigro a scrivere qui cose impegnandomi un minimo) ci tornerò.
Credo che semplicemente io avevo in mente il caso di temperatura uniforme nel corpo (quindi un corpo che si scongela e poi cambia temperatura ma che ha sempre temperatura uniforme al suo interno pur potendo la temperatura variare nel tempo[nota]Vale per corpi poco estesi in cui è basso il cosiddetto numero di Biot.[/nota]), che è semplicemente sbagliato in generale.
Se riesco (ma non garantisco ultimamente ho meno tempo e sono più pigro a scrivere qui cose impegnandomi un minimo) ci tornerò.
"axpgn":
La risposta degli autori (sintetica) è che secondo la legge della conduzione del calore, il calore trasferito è direttamente proporzionale al gradiente termico (differenza di temperatura divisa per la distanza), l'area e il tempo ovvero $ \text(Time ) prop (\text(Heat Capacity))/(\text(Area ) xx \text( Temperature Gradient)) prop (L^3)/(L^2L^(-1))=L^2 $.
Dato che $ M prop L^3 $, in definitiva abbiamo che il tempo necessario per lo scongelamento è proporzionale a [size=150]$ M^(2/3) $[/size] e quindi nel nostro caso abbiamo [size=150]$ 2(8000/5)^(2/3) $[/size] giorni cioè all'incirca nove mesi.
Gli autori concludono con "Di fatto, l'estate siberiana è troppo corta per scongelare i mammut"
Comunque dopo una ulteriore riflessione, ho concluso che questo discorso non mi torna del tutto.
Approcciando rigorosamente il problema con un'analisi dimensionale (nel link che avevo messo qualche messaggio fa in questa discussione ci sono degli esempi) si trova che il fenomeno scala con la dimensione in maniera lineare, quadratica e anche con potenze superiori della dimensione, e non mi pare motivato trascurare il contributo dovuto a quelle altre variabili adimensionali. Persino immaginando come fenomeno la sola conduzione oltre alla scala quadratica con la lunghezza (che comporta la relazione data come soluzione dagli autori) trovo altre potenze della lunghezza che incidono.
Ho provato a impostare la risoluzione "esatta" del problema supponendo un mammut un pò cicciotto e quindi assimilabile ad una sfera.
Consideriamo quindi una sfera congelata inizialmente di raggio R e sia $xi$ l'attuale raggio della componente ancora congelata.
Durante il tempo $t, t+Delta t$ la frontiera si sposta dal raggio $xi$ al raggio $xi-Delta xi$. Perché si mantenga il bilancio termico dovrà risultare che il calore di fusione è pari al calore di passaggio tra la frontiera $xi$ e la frontiera $xi-Delta xi$ ovvero
$[k_a*4*pi*xi^2*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*4*pi (xi-Delta xi)^2*((del T_g)/(del r))_(r=xi-Delta xi)]Delta t=lambda*rho*4/3*pi*(xi^3-(xi-Delta xi)^3)$
ove $k_a$ e $k_g$ sono i coefficienti di conduzione di fase acquosa e fase ghiaccio rispettivamente, $lambda$ il calore di fusione e $rho$ la densità. Passando al limite per $Delta t to 0$ otteniamo la seguente condizione di frontiera tra fase acqua e fase ghiaccio:
$[k_a*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*((del T_g)/(del r))_(r=xi)]=lambda*rho*(d xi)/(dt)$
Supporremo inoltre $T_a = T_(amb)> 0$ per r=R , e $T_g = T_0<0$ per t=0 in modo da considerare il fenomeno solo diffusivo.
Dovranno essere risolte le seguenti equazioni di diffusione termica in coordinate sferiche:
$(del T_a)/(del t) = alpha_a^2 nabla^2 T_a=alpha_a^2 *1/r^2* del/(del r)(r^2(delT_a)/(del r))$ per $xi
con le condizioni al contorno $T_a = T_(amb)> 0$ per r=R , e $T_g = T_0<0$ per t=0
e sulla frontiera di scongelamento ovvero per $r=xi$
$T_a = T_g =0$
$[k_a*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*((del T_g)/(del r))_(r=xi)]=lambda*rho*(d xi)/(dt)$
Il problema a questo punto è risolubile, ma piuttosto che risolverlo (per es. per separazione delle variabili) notiamo che l'equazione della diffusione risulta invariante se la dimensione r viene aumentata di $k$ volte e quella del tempo di $k^2$ volte. Questo significa che la relazione deve essere del tipo: $T(r,t) = f(r/sqrt(t))$ e quindi possiamo cercare la soluzione come:
$T_a=A_1 + B_1 f(r/(alpha_a*sqrt(t)))$ e $T_g=A_2 + B_2 f(r/(alpha_g*sqrt(t)))$
Le condizioni di isoterma nulla alla frontiera $r=xi$ devono valere per ogni t e questo è possibile solo se
$xi=beta*sqrt(t)$ che descrive la legge del movimento della frontiera di scongelamento.
L'equazione di frontiera serve a questo punto per determinare $beta$.
Si avrà quindi nel nostro caso (t=tacchino, m=mammut) che il tempo T necessario al totale scongelamento sarà dato da:
$R_t = beta_t*sqrt(T_t)$
$R_m = beta_m*sqrt(T_m)$
e poichè in generale $R prop m^(1/3)$ si riottiene la dipendenza di T da $m^(2/3)$ anche se in linea di principio di mezzo ci sono i valori dei $beta$ (e anche delle densità), che non è detto siano gli stessi.
Infine nel caso che si fosse considerato il problema non puramente diffusivo considerando il coefficiente di scambio convettivo per r=R, l'equazione di Planck suggerisce che il termine convettivo introduce una dipendenza da un termine lineare e non solo quadratico nelle lunghezze.
Consideriamo quindi una sfera congelata inizialmente di raggio R e sia $xi$ l'attuale raggio della componente ancora congelata.
Durante il tempo $t, t+Delta t$ la frontiera si sposta dal raggio $xi$ al raggio $xi-Delta xi$. Perché si mantenga il bilancio termico dovrà risultare che il calore di fusione è pari al calore di passaggio tra la frontiera $xi$ e la frontiera $xi-Delta xi$ ovvero
$[k_a*4*pi*xi^2*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*4*pi (xi-Delta xi)^2*((del T_g)/(del r))_(r=xi-Delta xi)]Delta t=lambda*rho*4/3*pi*(xi^3-(xi-Delta xi)^3)$
ove $k_a$ e $k_g$ sono i coefficienti di conduzione di fase acquosa e fase ghiaccio rispettivamente, $lambda$ il calore di fusione e $rho$ la densità. Passando al limite per $Delta t to 0$ otteniamo la seguente condizione di frontiera tra fase acqua e fase ghiaccio:
$[k_a*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*((del T_g)/(del r))_(r=xi)]=lambda*rho*(d xi)/(dt)$
Supporremo inoltre $T_a = T_(amb)> 0$ per r=R , e $T_g = T_0<0$ per t=0 in modo da considerare il fenomeno solo diffusivo.
Dovranno essere risolte le seguenti equazioni di diffusione termica in coordinate sferiche:
$(del T_a)/(del t) = alpha_a^2 nabla^2 T_a=alpha_a^2 *1/r^2* del/(del r)(r^2(delT_a)/(del r))$ per $xi
con le condizioni al contorno $T_a = T_(amb)> 0$ per r=R , e $T_g = T_0<0$ per t=0
e sulla frontiera di scongelamento ovvero per $r=xi$
$T_a = T_g =0$
$[k_a*((del T_a)/(del r))_(r=xi) - k_g*((del T_g)/(del r))_(r=xi)]=lambda*rho*(d xi)/(dt)$
Il problema a questo punto è risolubile, ma piuttosto che risolverlo (per es. per separazione delle variabili) notiamo che l'equazione della diffusione risulta invariante se la dimensione r viene aumentata di $k$ volte e quella del tempo di $k^2$ volte. Questo significa che la relazione deve essere del tipo: $T(r,t) = f(r/sqrt(t))$ e quindi possiamo cercare la soluzione come:
$T_a=A_1 + B_1 f(r/(alpha_a*sqrt(t)))$ e $T_g=A_2 + B_2 f(r/(alpha_g*sqrt(t)))$
Le condizioni di isoterma nulla alla frontiera $r=xi$ devono valere per ogni t e questo è possibile solo se
$xi=beta*sqrt(t)$ che descrive la legge del movimento della frontiera di scongelamento.
L'equazione di frontiera serve a questo punto per determinare $beta$.
Si avrà quindi nel nostro caso (t=tacchino, m=mammut) che il tempo T necessario al totale scongelamento sarà dato da:
$R_t = beta_t*sqrt(T_t)$
$R_m = beta_m*sqrt(T_m)$
e poichè in generale $R prop m^(1/3)$ si riottiene la dipendenza di T da $m^(2/3)$ anche se in linea di principio di mezzo ci sono i valori dei $beta$ (e anche delle densità), che non è detto siano gli stessi.
Infine nel caso che si fosse considerato il problema non puramente diffusivo considerando il coefficiente di scambio convettivo per r=R, l'equazione di Planck suggerisce che il termine convettivo introduce una dipendenza da un termine lineare e non solo quadratico nelle lunghezze.
@ingres
Complimenti per la trattazione!
Però c'è qualcosa che non mi torna (a parte il quadrato sulla diffusività termica che credo sia solo un typo ininfluente nelle deduzioni che hai fatto): l'andamento della temperatura in un corpo sferico col tempo è self similare secondo $alpha t /r^2$ solo se anche le condizioni al contorno sono esprimibili secondo quella variabile self similare e questo in generale non è vero nel caso in questione, dove sono in gioco estensioni finite.
Comunque facendo un'analisi dimensionale per il solo fenomeno conduttivo/diffusivo considerando come grandezze in gioco:
$t, R, k, c, rho, T$ rispettivamente tempo di scongelamento, dimensione, conducibilità termica, calore specifico, densità e temperatura (esterna meno iniziale interna per esempio) e prendendo come grandezze fondamentali tempo, conducibilità termica, densità e lunghezza, trovo che il fenomeno è regolato da due parametri adimensionali:
$k/(rho c) t /R^2(=(alpha t)/R^2)$ e $(T k t^3)/(rho R^4)$
il primo dà quella dipendenza tra tempo e lunghezza che permette di pervenire a quella soluzione citata, ma il secondo non può essere trascurato in generale.
Complimenti per la trattazione!
Però c'è qualcosa che non mi torna (a parte il quadrato sulla diffusività termica che credo sia solo un typo ininfluente nelle deduzioni che hai fatto): l'andamento della temperatura in un corpo sferico col tempo è self similare secondo $alpha t /r^2$ solo se anche le condizioni al contorno sono esprimibili secondo quella variabile self similare e questo in generale non è vero nel caso in questione, dove sono in gioco estensioni finite.
Comunque facendo un'analisi dimensionale per il solo fenomeno conduttivo/diffusivo considerando come grandezze in gioco:
$t, R, k, c, rho, T$ rispettivamente tempo di scongelamento, dimensione, conducibilità termica, calore specifico, densità e temperatura (esterna meno iniziale interna per esempio) e prendendo come grandezze fondamentali tempo, conducibilità termica, densità e lunghezza, trovo che il fenomeno è regolato da due parametri adimensionali:
$k/(rho c) t /R^2(=(alpha t)/R^2)$ e $(T k t^3)/(rho R^4)$
il primo dà quella dipendenza tra tempo e lunghezza che permette di pervenire a quella soluzione citata, ma il secondo non può essere trascurato in generale.
@Faussone
Grazie per il feedback.
In effetti è possibile che vi siano in azione due transitori con costanti di tempo differenti.
Vedo se è possibile andare avanti nell'analisi completa risolvendo le equazioni.
Grazie per il feedback.
In effetti è possibile che vi siano in azione due transitori con costanti di tempo differenti.
Vedo se è possibile andare avanti nell'analisi completa risolvendo le equazioni.
@ingres ok, se hai voglia!
Comunque dall'analisi dimensionale si vede che in generale non si può dedurre solo dal tempo di scongelamento del tacchino il tempo per il mammut, note solo le rispettive dimensioni (assumendo pure stesse caratteristiche fisiche del corpo del tacchino e del mammut). A meno che abbia sbagliato a applicare l'analisi dimensionale.
Comunque dall'analisi dimensionale si vede che in generale non si può dedurre solo dal tempo di scongelamento del tacchino il tempo per il mammut, note solo le rispettive dimensioni (assumendo pure stesse caratteristiche fisiche del corpo del tacchino e del mammut). A meno che abbia sbagliato a applicare l'analisi dimensionale.
Ps: il secondo parametro adimensionale si può trascurare forse assumendo che la temperatura ambiente esterna e iniziale (uniforme) del corpo congelato siano quasi le stesse (vicino ovviamente a 0°C), cioè che il corpo si scongeli con un piccolissimo gradiente di temperatura.
Ps2: nel caso ci fosse anche scambio convettivo con l'ambiente (per esempio aria) comparirebbe anche il termine adimensionale $(hR)/k$ con $h$ coefficiente di scambio convettivo, quindi anche una dipendenza lineare con la dimensione.
Ps2: nel caso ci fosse anche scambio convettivo con l'ambiente (per esempio aria) comparirebbe anche il termine adimensionale $(hR)/k$ con $h$ coefficiente di scambio convettivo, quindi anche una dipendenza lineare con la dimensione.
@Faussone
Concordo pienamente in quanto risulta anche dall'equazione di Planck.
Ho invece ancora qualche dubbio sul termine in $R^4$.
Nel provare a scrivere le soluzioni in termini adimensionalizzati ovvero (T-Ti)/(Tf-Ti) = f(r,t) sembra che la temperatura non possa entrare nel computo delle costanti di tempo caratteristiche del sistema . Peraltro, anche se un poco particolare, è comunque un doppio problema di diffusione, e quindi le soluzioni seguiranno i soliti andamenti.
D'altronde che il tempo per raggiungere una certa temperatura dipenda dalla Ta ambiente e dalla Ti iniziale è corretto e questo si riflette in un diverso fattore moltiplicativo del tempo caratteristico. Banalmente per corpo con Bi<0.1 risulta $(T-Ti)/(Ta-Ti)=1-e^(-t/tau)$ e quindi il tempo, fissata la T, è in generale una funzione del tempo caratteristico e delle temperature ambiente e iniziale.
Potrebbe il secondo parametro adimensionale essere legato a questa interpretazione?
Peraltro dimensionalmente la componente $R^4$ e un $t^2$ danno già il termine adimensionale usuale.
"Faussone":
Ps2: nel caso ci fosse anche scambio convettivo con l'ambiente (per esempio aria) comparirebbe anche il termine adimensionale $ (hR)/k $ con $ h $ coefficiente di scambio convettivo, quindi anche una dipendenza lineare con la dimensione.
Concordo pienamente in quanto risulta anche dall'equazione di Planck.
"ingres":
Infine nel caso che si fosse considerato il problema non puramente diffusivo considerando il coefficiente di scambio convettivo per r=R, l'equazione di Planck suggerisce che il termine convettivo introduce una dipendenza da un termine lineare e non solo quadratico nelle lunghezze.
Ho invece ancora qualche dubbio sul termine in $R^4$.
Nel provare a scrivere le soluzioni in termini adimensionalizzati ovvero (T-Ti)/(Tf-Ti) = f(r,t) sembra che la temperatura non possa entrare nel computo delle costanti di tempo caratteristiche del sistema . Peraltro, anche se un poco particolare, è comunque un doppio problema di diffusione, e quindi le soluzioni seguiranno i soliti andamenti.
D'altronde che il tempo per raggiungere una certa temperatura dipenda dalla Ta ambiente e dalla Ti iniziale è corretto e questo si riflette in un diverso fattore moltiplicativo del tempo caratteristico. Banalmente per corpo con Bi<0.1 risulta $(T-Ti)/(Ta-Ti)=1-e^(-t/tau)$ e quindi il tempo, fissata la T, è in generale una funzione del tempo caratteristico e delle temperature ambiente e iniziale.
Potrebbe il secondo parametro adimensionale essere legato a questa interpretazione?
Peraltro dimensionalmente la componente $R^4$ e un $t^2$ danno già il termine adimensionale usuale.
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