Quiz: Scongelamento
Se occorrono due giorni per scongelare un tacchino congelato di 5 kg, stimare quanto tempo occorre per scongelare un mammut siberiano di 8 tonnellate. 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
@ingres
E' sbagliata la mia analisi dimensionale, ma non capisco perché
D'altra parte appunto in un problema più semplice di raffreddamento in ambiente per convezione di una sfera a basso numero di Biot (da considerare il corpo che si raffredda per convezione a temperatura costante) vale:
$ln\frac{T-T_e}{T_i-T_e}=-3*(h t)/(rho * c * R)$
da cui si trova il tempo $t$ per raggiungere la temperatura $T$. Quindi il fenomeno è retto dalla sola quantità adimensionale $(h t )/(rho c R)$ ma facendo un'analisi dimensionale mi appare anche il termine che coinvolge la temperatura come $(rho R^2)/(t^2 * Delta T *c)$ il che non ha senso...
D'altronde però ho 6 parametri ($h$ $rho$ $c$ $Delta T$ $t$ e $R$ e 4 grandezze fondamentali quindi il fenomeno dovrebbe essere retto da due variabili adimensionali.
E' sbagliato ma non capisco dove. Deve essere sbagliato il numero di grandezze fondamentali che considero...?
E' sbagliata la mia analisi dimensionale, ma non capisco perché
D'altra parte appunto in un problema più semplice di raffreddamento in ambiente per convezione di una sfera a basso numero di Biot (da considerare il corpo che si raffredda per convezione a temperatura costante) vale:
$ln\frac{T-T_e}{T_i-T_e}=-3*(h t)/(rho * c * R)$
da cui si trova il tempo $t$ per raggiungere la temperatura $T$. Quindi il fenomeno è retto dalla sola quantità adimensionale $(h t )/(rho c R)$ ma facendo un'analisi dimensionale mi appare anche il termine che coinvolge la temperatura come $(rho R^2)/(t^2 * Delta T *c)$ il che non ha senso...
D'altronde però ho 6 parametri ($h$ $rho$ $c$ $Delta T$ $t$ e $R$ e 4 grandezze fondamentali quindi il fenomeno dovrebbe essere retto da due variabili adimensionali.
E' sbagliato ma non capisco dove. Deve essere sbagliato il numero di grandezze fondamentali che considero...?
@Faussone
Credo, ma correggimi se sbaglio, che il problema sia che le variabili del problema, dal punto di vista dimensionale, non vadano a distinguere tra le diverse temperature.
Quindi nel caso in oggetto le variabili sono effettivamente 6 ovvero $T, rho, c, R, h, t$, e in generale possiamo supporre che il fenomeno fisico (temperatura) sia descritto dalle n=5 variabili restanti:
$T = f(rho, c, R, h, t)$
Poichè le grandezze indipendenti sono effettivamente k=4 (temperatura, massa, lunghezza, tempo) ne consegue l'esistenza di n-k= 1 gruppo adimensionale.
Può tornare come spiegazione?
Credo, ma correggimi se sbaglio, che il problema sia che le variabili del problema, dal punto di vista dimensionale, non vadano a distinguere tra le diverse temperature.
Quindi nel caso in oggetto le variabili sono effettivamente 6 ovvero $T, rho, c, R, h, t$, e in generale possiamo supporre che il fenomeno fisico (temperatura) sia descritto dalle n=5 variabili restanti:
$T = f(rho, c, R, h, t)$
Poichè le grandezze indipendenti sono effettivamente k=4 (temperatura, massa, lunghezza, tempo) ne consegue l'esistenza di n-k= 1 gruppo adimensionale.
Può tornare come spiegazione?
"ingres":
Può tornare come spiegazione?
Quindi occorre considerare le grandezze indipendenti del fenomeno... Verifico e ci ripenso, grazie.
..anche se ci avevo pensato e facendo così allora gli esempi che avevo fatto in questa discussione sull'analisi dimensionale anni fa sono da rivedere, ma non capisco come...
@Faussone
Ho riguardato quel post che mi hai indicato e credo che l'analisi dimensionale del periodo del pendolo sia meno banale di come appare. Le grandezze sono n = T, L, m, g e quelle indipendenti sono k=3 ovvero tempo, massa, lunghezza e quindi si concluderebbe giustamente per 1 gruppo adimensionale.
In realtà l'unica grandezza contenente la massa è m, per cui dobbiamo concludere che è irrilevante.
Pertanto n=3 e k=2 (tempo, lunghezza) e abbiamo ancora n-k=1 prendendo però anche la variabile T periodo, per cui la spiegazione del mio post precedente non va bene.
Però questa riflessione mi ha indotto a chiedermi se in effetti non ci fosse anche in questo caso qualcosa di particolare, non come rimozione di una grandezza ma come Aggiunta di Huntley, ovvero la necessità di tenere la massa come misura della quantità di materia dimensionalmente distinta dalla massa come misura di inerzia. Quindi distinguere tra la massa della densità e quella insita nel coefficiente di scambio termico. Se così facciamo allora abbiamo 6 variabili e 5 grandezze fondamentali e il conto tornerebbe.
Ho riguardato quel post che mi hai indicato e credo che l'analisi dimensionale del periodo del pendolo sia meno banale di come appare. Le grandezze sono n = T, L, m, g e quelle indipendenti sono k=3 ovvero tempo, massa, lunghezza e quindi si concluderebbe giustamente per 1 gruppo adimensionale.
In realtà l'unica grandezza contenente la massa è m, per cui dobbiamo concludere che è irrilevante.
Pertanto n=3 e k=2 (tempo, lunghezza) e abbiamo ancora n-k=1 prendendo però anche la variabile T periodo, per cui la spiegazione del mio post precedente non va bene.
Però questa riflessione mi ha indotto a chiedermi se in effetti non ci fosse anche in questo caso qualcosa di particolare, non come rimozione di una grandezza ma come Aggiunta di Huntley, ovvero la necessità di tenere la massa come misura della quantità di materia dimensionalmente distinta dalla massa come misura di inerzia. Quindi distinguere tra la massa della densità e quella insita nel coefficiente di scambio termico. Se così facciamo allora abbiamo 6 variabili e 5 grandezze fondamentali e il conto tornerebbe.
@ingres
Grazie!
Molto interessante il discorso dell'Aggiunta di Huntley, era qualcosa che non conoscevo.
A essere sincero non sono sicuro sia questa la chiave per il caso del problema del raffreddamento che citavo prima (e anche del quiz originario di questa discussione).
Continuerò a pensarci... Ovviamente se tu o qualcun altro aveste altre considerazioni in merito sono più che benvenute.
Il fatto di aver scoperto di aver sbagliato e di non essere sicuro come applicare l'analisi dimensionale in un problemino apparentemente facile di trasmissione del calore mi inquieta parecchio
Grazie!
Molto interessante il discorso dell'Aggiunta di Huntley, era qualcosa che non conoscevo.
A essere sincero non sono sicuro sia questa la chiave per il caso del problema del raffreddamento che citavo prima (e anche del quiz originario di questa discussione).
Continuerò a pensarci... Ovviamente se tu o qualcun altro aveste altre considerazioni in merito sono più che benvenute.
Il fatto di aver scoperto di aver sbagliato e di non essere sicuro come applicare l'analisi dimensionale in un problemino apparentemente facile di trasmissione del calore mi inquieta parecchio
Faussone:
[...]
E' sbagliato ma non capisco dove. Deve essere sbagliato il numero di grandezze fondamentali che considero...?
ingres:
Però questa riflessione mi ha indotto a chiedermi se in effetti non ci fosse anche in questo caso qualcosa di particolare, non come rimozione di una grandezza ma come Aggiunta di Huntley, ovvero la necessità di tenere la massa come misura della quantità di materia dimensionalmente distinta dalla massa come misura di inerzia. Quindi distinguere tra la massa della densità e quella insita nel coefficiente di scambio termico. Se così facciamo allora abbiamo 6 variabili e 5 grandezze fondamentali e il conto tornerebbe.
Allora finalmente ho avuto il tempo di rifletterci un altro poco e di rifare i conti, e queste due affermazioni qui sopra erano in effetti corrette: il problema è che occorre fare attenzione al diverso significato della grandezza massa come quantità di materia e come inerzia, e quindi il numero effettivo di grandezze fondamentali è diverso da quello che avevo assunto appunto.
Nel fenomeno del corpo a basso Biot che si raffredda, immaginate una piccola sfera di metallo di densità $rho$, di raggio $R$ e di calore specifico $c$ che si reffredda in aria con coefficiente convettivo $h$, e raggiunge una data temperatura $T$ dopo un tempo dato $t$, come detto le grandezze coinvolte sono:
$rho$, $h$, $R$, $T$ (o $Delta T$) $c$ e $t$
mentre le grandezze fondamentali che regolano il fenomeno sono:
$M_i$ (massa inerziale) $M_s$ (massa come quantità di materia), $R$, $t$ e $T$.
Quindi 6 grandezze e 5 grandezze fondamentali che comportano che il fenomeno è regolato da una sola grandezza adimensionale.
Per trovarla esprimiamo le grandezze non fondamentali in funzione delle fondamentali.
(1) $rho=M_s R^{-3}$
(2) $h=M_iRt^{-2}R t^{-1} R^{-2} = M_i t^{-3] T^{-1}$
(3) $c=M_i R t^{-2}R M_s^{-1}T^{-1}= M_i M_s R^2 t^{-2} T^{-1}$
è da notare il diverso impiego di $M$ a seconda se è effettivamente $M_s$ o $M_i$.
A questo punto ricavando $M_s$ dalla (1), e $T$ dalla (2) e sostituendole nella (3) si trova.
$c= rho^{-1} h t R^{-1}$
e quindi la grandezza adimensionale cercata che regola il fenomeno è:
$\frac{h } {rho c R}$ come appunto era evidente.
Spero sia corretto (non si smette mai di imparare meglio cose che si credeva di conoscere
).Un discorso simile vale per il mammut e il tacchino per cui considerando la sola conduzione il fenomeno è regolato da $k/(rho c) t /R^2(=(alpha t)/R^2)$ e quando si considera conduzione e convezione è regolato anche da $(h R) /k$ e $(h R) /k_a$ ($k$ conducibilità termica del tacchino o mammut e $k_a$ quella dell'aria esterna, con $R$ dimensione caratteristica di tacchino o mammut).
...quindi in altre parole quello che aveva detto qui ingres che ringrazio (insieme a axpgn che ha posto il quiz iniziale)!
Ringrazio anch'io.
E' stata una discussione molto stimolante.
E' stata una discussione molto stimolante
.
Ringrazio per i ringraziamenti
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