Problemi fisica 2
Salve, volevo proporre qualche problema di elettromagnetismo, sperando che questa volta qualcuno mi risponda 
.
Problema 1:
Cilindro molto lungo, raggio 10 cm, densità di carica $ 10^-6 C/m^3$. Chiede di calcolare il campo elettrico per distanze 2 e 20 cm dall'asse. Per 2 cm dall'asse, il campo non dovrebbe essere nullo, dato che un conduttore in equilibrio elettrostatico ha carica interna nulla e la carica va tutta sulla superficie esterna?
Problema 2:
Abbiamo un circuito rettangolare con due condensatori $ C1=10 pF $ e $ C2=20 pF $ messi in parallelo ciascuno sui lati corti (verticali), mentre abbiamo un interruttore sul lato lungo di base, in basso. A circuito aperto C2 è scarico, mentre su C1 si misura una $ d.d.p.=2V $. Chiede di calcolare la d.d.p. molto tempo dopo che il circuito è chiuso e di ripetere il calcolo una volta che è stata inserito un resistore $ R=2 ohm $.
Ma, dico io, dato che C1 e C2 sono in parallelo, una volta che il circuito è chiuso, non dovremmo avere 2 V su entrambi?
.Problema 1:
Cilindro molto lungo, raggio 10 cm, densità di carica $ 10^-6 C/m^3$. Chiede di calcolare il campo elettrico per distanze 2 e 20 cm dall'asse. Per 2 cm dall'asse, il campo non dovrebbe essere nullo, dato che un conduttore in equilibrio elettrostatico ha carica interna nulla e la carica va tutta sulla superficie esterna?
Problema 2:
Abbiamo un circuito rettangolare con due condensatori $ C1=10 pF $ e $ C2=20 pF $ messi in parallelo ciascuno sui lati corti (verticali), mentre abbiamo un interruttore sul lato lungo di base, in basso. A circuito aperto C2 è scarico, mentre su C1 si misura una $ d.d.p.=2V $. Chiede di calcolare la d.d.p. molto tempo dopo che il circuito è chiuso e di ripetere il calcolo una volta che è stata inserito un resistore $ R=2 ohm $.
Ma, dico io, dato che C1 e C2 sono in parallelo, una volta che il circuito è chiuso, non dovremmo avere 2 V su entrambi?
Risposte
ti rispondo per il primo perchè sul secondo non sono per niente certo e non vorrei dire fesserie e confonderti.
tu hai la carica volumetrica mica superficiale. nel calcolo del teorema di Gauss quando vai a calcolare la $Q_(\text{int})$ tenere conto in che regione ti trovi. in particolare:
** 2cm: siamo all'interno del cilindro e quindi l'integrale da impostare è $Q_(\text{int})=int_(0)^(r=2)rho dV$
** 20cm: siamo all'esterno del cilindro e quindi la carica contenuta e tutta quella presente nel cilindro e quindi $Q_(\text{int}) = int_(0)^(R=10)rho dV$
PS per il futuro, come da regolamento, posta un solo esercizio per volta
"umbe":
dato che un conduttore in equilibrio elettrostatico ha carica interna nulla e la carica va tutta sulla superficie esterna
tu hai la carica volumetrica mica superficiale. nel calcolo del teorema di Gauss quando vai a calcolare la $Q_(\text{int})$ tenere conto in che regione ti trovi. in particolare:
** 2cm: siamo all'interno del cilindro e quindi l'integrale da impostare è $Q_(\text{int})=int_(0)^(r=2)rho dV$
** 20cm: siamo all'esterno del cilindro e quindi la carica contenuta e tutta quella presente nel cilindro e quindi $Q_(\text{int}) = int_(0)^(R=10)rho dV$
PS per il futuro, come da regolamento, posta un solo esercizio per volta
Grazie della risposta. Non sapevo fosse da regolamento, farò attenzione in futuro. Ah ok quindi la storia di campo nullo all'interno del conduttore è vera solo se ho come dato una densità superficiale (il che vorrebbe subcomunicare che ho tutta la carica sulla sup esterna)?
Cioè, se avessi avuto una densità superficiale, per d=2cm avrei avuto campo nullo come ho ipotizzato inizialmente?
Cioè, se avessi avuto una densità superficiale, per d=2cm avrei avuto campo nullo come ho ipotizzato inizialmente?
quando avvicini una carica ad un conduttore le cariche all'interno di dispongono in modo da formare cariche superficiali tali da rendere il campo all'interno del conduttore nullo.
direi di si. all'esterno invece, in prossimità della superficie si applica il teorema di Coulomb e quindi $vecE = vec(sigma)/(epsilon_0)$
"umbe":
Cioè, se avessi avuto una densità superficiale, per d=2cm avrei avuto campo nullo come ho ipotizzato inizialmente?
direi di si. all'esterno invece, in prossimità della superficie si applica il teorema di Coulomb e quindi $vecE = vec(sigma)/(epsilon_0)$
Ma allora scusa, se ho densità volumetrica di carica, il conduttore non è in equilibrio elettrostatico, corretto? E quindi il campo non dovrebbe essere di natura elettrostatica, o sbaglio?
non capisco perchè vuoi un conduttore. il testo non mi sembra specifichi che si tratta di un conduttore. hai solo una distribuzione volumetrica di carica nello spazio e questa ha un campo elettrico.
se avessi un conduttore in equilibrio elettrostatico non hai la carica interna e quindi questa si distribuisce sulla superficie
se avessi un conduttore in equilibrio elettrostatico non hai la carica interna e quindi questa si distribuisce sulla superficie
Beh, di solito quando si tratta di questi problemi d'induzione si ha a che fare con conduttori.
Per quanto riguarda gli integrali, in $ dV $ $ V $ è il volume giusto? Pertanto, per il primo caso dovrei avere $ Q_2=\sigma*\pi*\epsilon_0*r^2 $ con $ h $ incognito e $ r=0,02 m $ e nel secondo $ Q_1=\sigma*\pi*\epsilon_0*r_1^2 $ con $ h $ incognito e $ r_1=0,2 $. Quindi i campi dovranno essere rispettivamente $ E_1=Q_1/(4*\pi*\epsilon_0*r^2) $ e $ E_2=Q_2/(4*\pi*\epsilon_0*r_1^2) $
Per quanto riguarda gli integrali, in $ dV $ $ V $ è il volume giusto? Pertanto, per il primo caso dovrei avere $ Q_2=\sigma*\pi*\epsilon_0*r^2 $ con $ h $ incognito e $ r=0,02 m $ e nel secondo $ Q_1=\sigma*\pi*\epsilon_0*r_1^2 $ con $ h $ incognito e $ r_1=0,2 $. Quindi i campi dovranno essere rispettivamente $ E_1=Q_1/(4*\pi*\epsilon_0*r^2) $ e $ E_2=Q_2/(4*\pi*\epsilon_0*r_1^2) $
non mi sembrano corretti. e perchè è saltata fuori la densità superficiale?
a me i campi vengono (ricorda che sono quantità vettoriali)
$vecE_(\text{int}) =rho/(2epsilon_0)r hate_r ^^ vecE_(\text{ext})=rho/(2epsilon_0)R^2 /r hate_r$
che si saldano con continuità in $r=R$. Per completare l'esercizio ora sostituisci i valori forniti dal testo nel modulo di E dove opportuno
a me i campi vengono (ricorda che sono quantità vettoriali)
$vecE_(\text{int}) =rho/(2epsilon_0)r hate_r ^^ vecE_(\text{ext})=rho/(2epsilon_0)R^2 /r hate_r$
che si saldano con continuità in $r=R$. Per completare l'esercizio ora sostituisci i valori forniti dal testo nel modulo di E dove opportuno
$ \sigma $ non voleva essere la densità superficiale, intendevo quella volumetrica, così da esprimere $ Q $ in funzione di dell'incognita $ h $. Quello che hai scritto tu col teorema di Coulomb non vale per la densità superficiale?
D'accordo. Ritornando a noi, quello che hai scritto tu, in funzione del teorema di Coulomb, non è valido solo con la densità superficiale?
scusa ma non ci sto più capendo niente: il teorema di Coulomb l'ho enunciato solo per la questione dei conduttori e su come si distribuisce la carica in loro presenza.
i campi invece li ho calcolati con Gauss usando la densità volumetrica (che se il testo chiama $rho$ è bene continuare a chiamarla così oppure chiaramente dire che si cambia nome alla stessa)
oltretutto nelle tue cariche compare $epsilon_0$ che non dovrebbe starci.
se non ti dispiace riordina i concetti e riscrivi tutto per come lo stai intendendo spiegando i vari passi (usando notazioni appropriate
) perchè non so se stiamo dicendo la stessa cosa o meno
i campi invece li ho calcolati con Gauss usando la densità volumetrica (che se il testo chiama $rho$ è bene continuare a chiamarla così oppure chiaramente dire che si cambia nome alla stessa)
oltretutto nelle tue cariche compare $epsilon_0$ che non dovrebbe starci.
se non ti dispiace riordina i concetti e riscrivi tutto per come lo stai intendendo spiegando i vari passi (usando notazioni appropriate
) perchè non so se stiamo dicendo la stessa cosa o meno
Eccomi qua. Me lo ero scordato questo argomento. Allora, per la legge di Gauss, se ho la densità superficiale e voglio il campo, avrò $E=\sigma/(\epsilon_0)$ mentre $E=\sigma/(2\epsilon_0)$ se uso la superficie cilindrica gaussiana (anche qui, poi: quando uso la gaussiana). Ora, se ho la densità volumetrica $\rho$, a rigore di logica in termini dimensionali, dovrei avere che $E=\rho/\epsilon_0 dr$; quindi dovrei avere, nel caso del problema che ho posto:
- per distanza 2 cm dall'asse: $E=10^-6/epsilon_0*0,02$;
- per distanza 20 cm dall'assa: $E=10^-6/epsilon_0*0,2$.
Quindi non ho capito come hai trovato le tue soluzioni.
- per distanza 2 cm dall'asse: $E=10^-6/epsilon_0*0,02$;
- per distanza 20 cm dall'assa: $E=10^-6/epsilon_0*0,2$.
Quindi non ho capito come hai trovato le tue soluzioni.
gli integrali li odi così tanto?? cosa dice il teorema di Gauss?
Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo attraverso una superficie (integrale del campo in $d\Sigma$, con $\Sigma$ superficie, esteso a tutta la superficie) è pari a $q/\epsilon_0$ (con q le cariche totali).
esatto: in formule cosa diventa? e che risultato porta?
"cooper":
esatto: in formule cosa diventa? e che risultato porta?
Eheh, amico mio, se ci fossero le soluzioni, non chiederei qua
Comunque in formule avrò:
$intEd\Sigma=q/\epsilon_0$. Però, tu hai messo prima $int_0^(0,02)\rhodV$ e $int_0^(0,2)\rhodV$. Ok in questo caso otterrò $10^-6*0,02$ e $10^-6*0,2$? Ma a me sembra sbagliato, o no?
$intEd\Sigma=q/\epsilon_0$. Però, tu hai messo prima $int_0^(0,02)\rhodV$ e $int_0^(0,2)\rhodV$. Ok in questo caso otterrò $10^-6*0,02$ e $10^-6*0,2$? Ma a me sembra sbagliato, o no?
Ho trovato un esercizio analogo sul libro di testo, solo che chiede di calcolare il campo solo all'esterno del cilindro di raggio $R$ e lunghezza infinita. Lo svolge così:
$q=int\rhodV=\rho\piR^2h=\lambdah$ (con $lambda$ densità lineare e $h$ lunghezza unitaria del cilindro infinito). Da qui $\lambda=\rho\piR^2=q/h$ e quindi $\Phi=2\pirhE=\lambdah/epsilon_0$ e pertanto $E=\lambda/(2r\pi\epsilon_0)$. Potrei ricorrere alla stessa strategia sostituendo, nell'ultima equazione, $0,02$ e $0,2$ a $r$? (Ovviamente sostituisco a $R$ e $\rho$ i valori datimi coi dati del problema).
$q=int\rhodV=\rho\piR^2h=\lambdah$ (con $lambda$ densità lineare e $h$ lunghezza unitaria del cilindro infinito). Da qui $\lambda=\rho\piR^2=q/h$ e quindi $\Phi=2\pirhE=\lambdah/epsilon_0$ e pertanto $E=\lambda/(2r\pi\epsilon_0)$. Potrei ricorrere alla stessa strategia sostituendo, nell'ultima equazione, $0,02$ e $0,2$ a $r$? (Ovviamente sostituisco a $R$ e $\rho$ i valori datimi coi dati del problema).
non devi sparare a caso, ma l'idea è quella del tuo post finale: devi risolvere gli integrali che hai scritto!
$int E dSigma=???$ si tratta di un integrale di due variabili su una supeficie cilindrica facilmente calcolabile in coordinate cilindriche. cosa risulta?
$q/(epsilon_0)=1/(epsilon_0)*int rho dV$ dove il volume è il volume del cilindro, anch'esso facilmente risolvibile in coordinate cilindriche. cosa risulta?
è nella seconda parte che devi distinguere tra dentro e fuori il cilindro: se sei dentro devi integrare la q fino ad un generico r, mentre se se fuori allora devi integrare su tutto il cilindro di raggio R.
$int E dSigma=???$ si tratta di un integrale di due variabili su una supeficie cilindrica facilmente calcolabile in coordinate cilindriche. cosa risulta?
$q/(epsilon_0)=1/(epsilon_0)*int rho dV$ dove il volume è il volume del cilindro, anch'esso facilmente risolvibile in coordinate cilindriche. cosa risulta?
è nella seconda parte che devi distinguere tra dentro e fuori il cilindro: se sei dentro devi integrare la q fino ad un generico r, mentre se se fuori allora devi integrare su tutto il cilindro di raggio R.
Scusa, non ho capito: è giusto quello che ho scritto nell'ultima o nella penultima risposta?
la formula è corretta nel penultimo messaggio, ma nell'ultimo messaggio c'è lo spirito della risoluzione. comunque rispondi alle domande che ti ho fatto!
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