Problema sulla distribuzione del peso
Ho un problema che mi piacerebbe risolvere ma non ne vengo a capo:
Ho un disco fisso con la faccia parallela al terreno.
Un secondo disco è poggiato sopra il primo in modo coassiale, quindi la pressione che esercita su quello che sta sotto è uguale in ogni punto della superficie.
Se io sposto il disco che sta sopra di R/2 verso destra, come cambia la distribuzione del peso del disco soprastante sulla superficie?
Come posso descrivere questa situazione in un grafico z=f(x,y)?
Ho un disco fisso con la faccia parallela al terreno.
Un secondo disco è poggiato sopra il primo in modo coassiale, quindi la pressione che esercita su quello che sta sotto è uguale in ogni punto della superficie.
Se io sposto il disco che sta sopra di R/2 verso destra, come cambia la distribuzione del peso del disco soprastante sulla superficie?
Come posso descrivere questa situazione in un grafico z=f(x,y)?
Risposte
ripeto, non ho ben capito come l'amico Trave (toh noto adesso la coincidenza: 'scite te ipsum!') mette l'asse. Se la 'trave' è qualcosa che sporge dallo spigolo (ovvero l'asse è perpendicolare allo spigolo), temo proprio di si.
Poi adesso è comparsa la neve e un urto ... mmmm.. forze d'inerzia e comportamento non elastico e impulsivo .... mi sembra un problema completamente diverso.
PulcePelosa forse potrebbe definire il problema che deve risolvere in modo più chiaro
ciao
Poi adesso è comparsa la neve e un urto ... mmmm.. forze d'inerzia e comportamento non elastico e impulsivo .... mi sembra un problema completamente diverso.
PulcePelosa forse potrebbe definire il problema che deve risolvere in modo più chiaro
ciao
A dire il vero non è mio il problema...ma è proposto da pulcepelosa
Io cerco di rispondere
A me sembra che si stanno complicando i ragionamenti
RIprendiamo l'esempio del cubo sopra un altro cubo
Supponiamo hanno le stesse dimensioni
Il cubo sopra trasla a mano a mano all'infuori della superficie di contatto
Penso che pulcepelosa vorrebbe una soluzione anche approssimata
Io cerco di rispondere
A me sembra che si stanno complicando i ragionamenti
RIprendiamo l'esempio del cubo sopra un altro cubo
Supponiamo hanno le stesse dimensioni
Il cubo sopra trasla a mano a mano all'infuori della superficie di contatto
Penso che pulcepelosa vorrebbe una soluzione anche approssimata
Anche io credo che l'asse sia ortogonale allo spigolo. In mente all'inizio mi era subito venuta in mente questa soluzione, solo che non avendola mai analizzata, non saprei che risultati può dare...
Se diciamo pigli questa trave e cambi l'appoggio lungo con due appoggi stretti puoi trovare la deformata, per esempio con la linea elastica, dovuta all'azione del solo peso proprio; dopodichè ipotizzo un andamento generale $f(s)$, funzione dell'ascissa curvilinea, della forza per unità di lunghezza prodotta dall'appoggio della trave stessa. Infine imporre che lo spostamento nei due casi per il solo tratto di appoggio sia uguale. Di solito questo era il ragionamento che si faceva se si aveva delle incognite discrete, poi non so se può applicare anche in questo caso...
Se diciamo pigli questa trave e cambi l'appoggio lungo con due appoggi stretti puoi trovare la deformata, per esempio con la linea elastica, dovuta all'azione del solo peso proprio; dopodichè ipotizzo un andamento generale $f(s)$, funzione dell'ascissa curvilinea, della forza per unità di lunghezza prodotta dall'appoggio della trave stessa. Infine imporre che lo spostamento nei due casi per il solo tratto di appoggio sia uguale. Di solito questo era il ragionamento che si faceva se si aveva delle incognite discrete, poi non so se può applicare anche in questo caso...
OK adesso è più chiaro.
1) non si tratta della condizione in cui il baricentro è proprio sullo spigolo
2) non vi interessa la pressione ma come la forza per unità di larghezza (in forma approssimata) si distribuisce lungo la direzione di sovrapposizione.
In questo caso il modello di trave può essere applicato (molto tirato per i capelli in effetti), tuttavia:
1) è necessario considerare il supporto elastico e unilalatero
2) in qualche modo si deve considerare che la 'trave' è tozza
3) sullo spigolo troviamo sempre una singolarità (pressione infinita)
vi sconsiglio di precorrere questa strada, meglio imparare il modello di Cavallipurosangue
ciao
1) non si tratta della condizione in cui il baricentro è proprio sullo spigolo
2) non vi interessa la pressione ma come la forza per unità di larghezza (in forma approssimata) si distribuisce lungo la direzione di sovrapposizione.
In questo caso il modello di trave può essere applicato (molto tirato per i capelli in effetti), tuttavia:
1) è necessario considerare il supporto elastico e unilalatero
2) in qualche modo si deve considerare che la 'trave' è tozza
3) sullo spigolo troviamo sempre una singolarità (pressione infinita)
vi sconsiglio di precorrere questa strada, meglio imparare il modello di Cavallipurosangue
ciao
Però se consideri la trave appoggiata su due appoggi stretti,perchè ti vai a calcolare la forza per unità di lunghezza della trave?
"Pulcepelosa":
Ad ogni modo, se semplificassi ancora di piu' la situazione considerando il caso lineare, cioè:
Un'asta poggia completamente su di un tavolo, quindi la pressione in ogni punto è $dp=(dF)/(dS)$ cioè $p=(mg)/l$ dove $l=$lunghezza dell'asta,
Se l'asta sporge di $1/4l$ dal tavolo come si calcola la pressione?!?
Questo per completezza è la domanda di Pulcepelosa
NO Trave, all'inizio mi servo si un sistema abbastanza noto per trovare come si deforma sotto l'azione del solo carico la trave, poi dopo invece lo stesso lo faccio considerando come "carico" la funzione incognita di cui parlavo prima, poi impongo la condizione di congruenza, ossia che visto che il pezzo appoggiato non si muove, allora la somma algebrica degli spostamenti trovati nelle due condizioni deve esser nulla.
"Trave":
Però se consideri la trave appoggiata su due appoggi stretti,perchè ti vai a calcolare la forza per unità di lunghezza della trave?
si ma cosa rappresenterebbero quei due appoggi stretti?
Se la questione attualmente dibattuta è quella riportata da Cavallipurosangue, confermo in pieno la mia risposta. Ovviamente il modello di trave sarà tanto migliore quanto più la barra è lunga rispetto alla sezione (quindi non il cubo del modello analizzato).
ciao, scappo!
Ho proposto il cubo perchè era una situazione in cui avevamo prima ragionato
"mircoFN":concordo.
PulcePelosa forse potrebbe definire il problema che deve risolvere in modo più chiaro
Sperando di non confondere ancora di più le idee...
La situazione finale è questa: un'asta rigida si muove, da un punto in cui poggia completamente ad un punto in cui sporge di una certa quantità dallo spigolo del tavolo, in direzione perpendicolare.
Alla fine del tragitto vorrei capire quanta reazione veicolare totale è stata prodotta per ogni singolo punto(cioè una funzione di x).
Esempio: al tempo $t_1,t_2,t_3,t_4...$ il punto $x=2,5$ ha reazioni vincolari $1,2,3,2,$ quindi alla fine in totale $N_t(2,5)=1+2+3+2=8$ dove $N_t$ sta per reazione totale.
La cosa più logica che mi sono detto è quella di dividere il problema tra la parte "statica"(descrivere la reazione vincolare in un ben determinato istante (come funzione di x)), la parte temporale, e la parte somma (reazione totale)
Ora partendo dalla prima parte:
Il problema che devo risolvere è capire quale è la reazione veicolare e come è distribuita in un preciso istante, come funzione di x:
Un'asta $l=1m$ e massa $m=10kg$ poggia completamente su di un tavolo. La reazione vincolare (penso di dica per unità di spazio)è costante in ogni punto e vale $N=(mg)/l=98.1N/m$
Se l'asta sporge di $25cm$ dal tavolo in direzione perpendicolare al lato del tavolo come sarà la reazione vincolare in funzione della posizione? $N(x)$?
l'asse x ha direzione parallela alla trave e parte da un'estremo dell'asta, quello che non sporge.
Alla fine voglio studiare il lavoro prodotto dalle forze di attrito e come si consumano le due superfici di contatto, e confermare che la teoria in linea di massima non si discosta di molto dalla soluzione empirica ma questo è un'altro discorso ancora.
Mamma mia che confusione! Hai descritto un ginepraio!
Cominciamo un po' alla volta, per favore dividi il problema in parti e comincia con la prima questione (una sola però!), così posso cercare di seguirti....
Cominciamo un po' alla volta, per favore dividi il problema in parti e comincia con la prima questione (una sola però!), così posso cercare di seguirti....
Bene, bene. 
Il problema di partenza resta comunque questo:
[size=75]
Un'asta $l=1m$ e massa $m=10kg$ poggia completamente su di un tavolo. La reazione vincolare (penso di dica per unità di spazio)è costante in ogni punto e vale $N(x)=(mg)/l=98.1N/m$
Se l'asta sporge di $25cm$ dal tavolo in direzione perpendicolare al lato del tavolo come sarà la reazione vincolare in funzione della posizione? $N(x)$?
l'asse x ha direzione parallela alla trave e parte da un'estremo dell'asta, quello che non sporge.
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Il problema di partenza resta comunque questo:
[size=75]
Un'asta $l=1m$ e massa $m=10kg$ poggia completamente su di un tavolo. La reazione vincolare (penso di dica per unità di spazio)è costante in ogni punto e vale $N(x)=(mg)/l=98.1N/m$
Se l'asta sporge di $25cm$ dal tavolo in direzione perpendicolare al lato del tavolo come sarà la reazione vincolare in funzione della posizione? $N(x)$?
l'asse x ha direzione parallela alla trave e parte da un'estremo dell'asta, quello che non sporge.
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Allora: questo problema non può essere risolto se fai l'ipotesi di asta infinitamente rigida. Ovviamente escludo soluzioni grossolane del tipo: immagino che la distribuzione sia di un certo tipo (per esempio trapezia) e trovo i parametri...
Se la consideri deformabile (diciamo elastica, per semplicità), il problema può essere risolto usando il modello di trave.
Qualitativamente troveresti una forza concentrata in corrispondenza dello spigolo, poi una zona di distacco dal tavolo (in cui la trave è sospesa) seguita da una zona di contatto, ecc.. Non escludo che possano esserci più zone di sollevamento (una specie di ondeggiamento come un serpente).
A regime (lontano dal bordo) la soluzione del contatto tende a una forza distribuita uniforme pari al valore del peso per unità di lunghezza.
Per risolverlo in questo modo (con o senza analisi assistita da calcolatore) è necessario un modello non lineare (contatto unilatero) almeno di trave su supporto elastico.
Secondo me, le competenze richieste sono quelle di un laureando (quinquennale o specialistico) in ingegneria (meccanica, aerospaziale o civile) e anche piuttosto sveglio.
Se la consideri deformabile (diciamo elastica, per semplicità), il problema può essere risolto usando il modello di trave.
Qualitativamente troveresti una forza concentrata in corrispondenza dello spigolo, poi una zona di distacco dal tavolo (in cui la trave è sospesa) seguita da una zona di contatto, ecc.. Non escludo che possano esserci più zone di sollevamento (una specie di ondeggiamento come un serpente).
A regime (lontano dal bordo) la soluzione del contatto tende a una forza distribuita uniforme pari al valore del peso per unità di lunghezza.
Per risolverlo in questo modo (con o senza analisi assistita da calcolatore) è necessario un modello non lineare (contatto unilatero) almeno di trave su supporto elastico.
Secondo me, le competenze richieste sono quelle di un laureando (quinquennale o specialistico) in ingegneria (meccanica, aerospaziale o civile) e anche piuttosto sveglio.
Infatti facendo due rapidi conti con la soluzione che avevo proprosto di primo impatto, si trova che qualsiasi sia la sporgenza dal tavolo della sbarra (supponendo che tutto l'appoggio "lavori"), la reazione è effettivamente sempre costante e pari al peso per unità di lunghezza... e qui mi sono detto... ci deve essere un'errore... 
Poi pensa che ti ripensa, sono arrivato a concludere proprio quello che dice mirco, ossia che la disomogeneità deriva solo dall'effetto di bordo che lo spigolo provoca ed anche dal distaccamento (piccolo o grande che sia) dell'asta dalla superficie. Quindi quel tipo di soluzione riesce a cogliere solamente gli effetti lontani dalle zone di estinzione...
Curiosità mia... Questi effetti di bordo vengono trattati come nel caso dei gusci?
Poi pensa che ti ripensa, sono arrivato a concludere proprio quello che dice mirco, ossia che la disomogeneità deriva solo dall'effetto di bordo che lo spigolo provoca ed anche dal distaccamento (piccolo o grande che sia) dell'asta dalla superficie. Quindi quel tipo di soluzione riesce a cogliere solamente gli effetti lontani dalle zone di estinzione... Curiosità mia... Questi effetti di bordo vengono trattati come nel caso dei gusci?
Ho capito pienamente il caso elastico e l'influenza che possono avere le deformazioni della superficie, seppure piccole, sulla distribuzione del peso.
Tuttavia non capisco perchè non si possano risolvere partendo dall'ipotesi che il corpo sia rigido e le superfici perfettamente omogenee (che è il caso che a me interessa)
Tuttavia non capisco perchè non si possano risolvere partendo dall'ipotesi che il corpo sia rigido e le superfici perfettamente omogenee (che è il caso che a me interessa
)
Cioè pulcepelosa,tu intendi ad esempio che la sbarretta sia di un peso molto piccolo in modo che le deformazioni in essa non si risentano?
Cioè una sbarretta rigida che anche spostandola fuori di una parte,la sua forma non varia?
Cioè una sbarretta rigida che anche spostandola fuori di una parte,la sua forma non varia?
Esatto
Mi diaspiace... Insisto, la soluzione non può prescindere dalle, anche seppur piccole, distorsioni della struttura... Bisogna per forza ricorrere ad esse; con il modello di corpo rigido e basta come ho già detto non è possibile ottenere l'andamento della distribuzione che ti interessa, ma tutto al più considerazioni generali sulla risultante e l'asse centrale; visto che se il corpo lo consideri rigido hai a disposizione al max le sei equazioni della statica (tra l'altro se il problema è piano...)
e di incognite purtroppo infinite... Quindi come vedi, il cosiddetto conto della serva già non torna... ; occhio è un segnale non troppo incoraggiante. 
e di incognite purtroppo infinite... Quindi come vedi, il cosiddetto conto della serva già non torna...
; occhio è un segnale non troppo incoraggiante.
Visto che a pulcepelosa interessa il logoramento di superfici,perchè non torniamo a studiare il cubo su cubo?Sono sicuro che una soluzione alla buona si trova in risposta a pulcepelosa
"Pulcepelosa":
Ho capito pienamente il caso elastico e l'influenza che possono avere le deformazioni della superficie, seppure piccole, sulla distribuzione del peso.
Tuttavia non capisco perchè non si possano risolvere partendo dall'ipotesi che il corpo sia rigido e le superfici perfettamente omogenee (che è il caso che a me interessa
Su questo non sono intervenuto perché mi sembrava un cavillo formale, ma forse non lo è.
La 'distribuzione del peso' è una cosa e questa rimane costante e uniforme indipendentemente da tutto (che la barretta sia appoggiata, sospesa, in moto in equilibrio.....)., un'altra cosa è la forza di contatto. Il primo è un valore noto l'altro è una reazione vincolare da trovare.
Inoltre, anch'io ho ipotizzato un piano di appoggio ideale (liscio e infinitamente rigido) e l'elemento deformabile è solo la trave. Ovviamente si dovrebbe considerare anche la deformabilità del piano di appoggio, ma la deformabilità del piano, se non eccessiva, a parte che complicare un po' il problema dal punto di vista matematico, non modifica la fisica del fenomeno che rimane circa quella descritta. Come variante possibile si potrebbe considerare infinitamente rigida la sbarra e il piano deformabile, ma è poco verosimile fisicamente, a meno che l'appoggio non sia uno strato di gomma morbida....
Come ben chiarito da Cavallipurosangue, la deformabilità di qualche elemento in questo caso (come in molti altri ma non in tutti) è una necessità non una opzione.
Per Cavalli: si, le equazioni sono simili a quelle degli effetti locali nei gusci, ma qui c'è anche la variante rognosa del contatto unilatero....
ciao
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