Problema Sant'Anna 2016
Salve, ho un dubbio riguardante il primo problema presentato all'esame di ammissione alla Sant'Anna nel 2016.
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Risposte
[ot]Sono totalmente d' accordo ! Era un genio ! 
[/ot]
[/ot]
Salve, rieccomi, è possibile discutere del secondo problema qui o bisogna ricreare un secondo post?
Non so quale sia la regola. Ma in ogni caso butta giu' 2 considerazioni.
Va bene, grazie mille per la cortesia 
Allora, il primo passo che seguirei sarebbe trovare l'apertura del setto in funzione dell'angolo. Essendo quattro braccia, due per ogni lato, ogni spostamento sarà dimezzato per il singolo braccio, per cui $ Deltah=2*(Lcostheta_1-Lcostheta_2) $ dove $ Deltah $ corrisponde allo spostamento del setto da una situazione 1 con l'angolo $ theta_1 $ a una situazione 2 con un angolo diverso. Cioè che non riesco a capire è:
1. Come mettere in relazione l'occlusione con la velocità del fluido
2. Come mettere in relazione la velocità angolare del braccio con l'occlusione del setto
3. Nel secondo quesito penso che semplicemente la velocità del fluido aumenti in relazione alla pressione esercitata dal fluido del lago presente al di sopra del tubo, quindi dovrei solo andarmi a riguardare un po' le formule che ora ho completamente rimosso
(non me ne vogliate ma sto studiando troppo tutto assieme)
Allora, il primo passo che seguirei sarebbe trovare l'apertura del setto in funzione dell'angolo. Essendo quattro braccia, due per ogni lato, ogni spostamento sarà dimezzato per il singolo braccio, per cui $ Deltah=2*(Lcostheta_1-Lcostheta_2) $ dove $ Deltah $ corrisponde allo spostamento del setto da una situazione 1 con l'angolo $ theta_1 $ a una situazione 2 con un angolo diverso. Cioè che non riesco a capire è:
1. Come mettere in relazione l'occlusione con la velocità del fluido
2. Come mettere in relazione la velocità angolare del braccio con l'occlusione del setto
3. Nel secondo quesito penso che semplicemente la velocità del fluido aumenti in relazione alla pressione esercitata dal fluido del lago presente al di sopra del tubo, quindi dovrei solo andarmi a riguardare un po' le formule che ora ho completamente rimosso
(non me ne vogliate ma sto studiando troppo tutto assieme)
1. Conservazione della portata
2. È la forza centrifuga delle masse che, vincendo il peso della massa sottostante alza il setto.
Da cell non vedo quello che hai scritto e non so se è corretto
2. È la forza centrifuga delle masse che, vincendo il peso della massa sottostante alza il setto.
Da cell non vedo quello che hai scritto e non so se è corretto
Ok il primo punto rileggendomi un po' le formule l'ho risolto, il secondo invece buio totale, la forza centrifuga non era una forza "apparente"?
"4,3 PERIODICO":
Ok il primo punto rileggendomi un po' le formule l'ho risolto, il secondo invece buio totale, la forza centrifuga non era una forza "apparente"?
Non era. E'. Ma il fatto che sia apparente non significa che non agisca. E' forza apparente anche quella che ti spinge verso il parabrezza della macchina in una frenata brusca. Mica la ignori pero': ti allacci le cinture quando ti siedi.
Prova a vedere impostando 2 equazioni, non e' complicato
Eccomi, scusami per la risposta non proprio tempestiva.
Io il secondo esercizio l'ho risolto così:
1) Le masse M sono soggette ad una forza verticale $ F_v $ costante (il peso del setto e la tensione dei cavi) e ad una forza orizzontale uguale alla forza centripeta dell'albero ( $ Momega^2r $ ).
Quindi è possibile trovare l'angolo in funzione della velocità angolare: $ theta=arctg[(Momega^2L)/F_v] $.
Con la conservazione della portata: $ A_1v_1 = A_2v_2 $ .
Essendo il tubo occluso per metà: $ A_1 = t^2/2 $, ed essendo $ v_2 $ uguale a $ v_1 $ ridotto del 15%, la conservazione della portata diventa:
$ A_2 = (t^2v_1)/(2*0.85v_1) $, ovvero $ A_2 = (t^2)/(1.7) $.
Come ho scritto qualche post fa, l'altezza del setto ha una correlazione diretta con $ theta $, ovvero
$ Δh=2(Lcosθ_2 - Lcostheta_1) $, per cui ponendo $ theta_1 = pi/6 $, è possibile ottenere l'altezza del setto per qualunque angolo. (L'altezza del setto per $ theta_1 $ è uguale a $ t/2 $). Come detto prima, $ A_2 = (t^2)/(1.7) $, per cui l'altezza del setto sarà $ t/1.7 $. A questo punto è possibile ricavare l'angolo per ottenere un decremento della velocità del fluido del 15% utilizzando:
$ t/2-t/1.7=2(Lcostheta_2 - Lcos(pi/6)) $. Trovato $ theta_2 $ si può inserire nella prima equazione:
$ theta_2 =arctg[(Momega_2^2L)/F_v] $. Il problema è $ F_v $, la quale è ignota, è possibile rimuoverla però con:
$ (tg theta_2) / (tg theta_1) = omega_2^2/omega_1^2 $, la quale conduce alla richiesta del problema.
2) Con l'equazione di Bernoulli si ha:
$ p_1 + rho/2v_1^2 = p_2 + rho/2v_2^2 $
Ponendo $ p_1 $ uguale alla pressione atmosferica e $ p_2 $ uguale alla pressione sul fondo del lago, si ha:
$ v_1^2/2 = gh + v_2^2/2 $ (con $ v_1 $ uguale alla velocità del fluido senza considerare il lago, e quindi corrispondente alla velocità del fluido nel primo quesito). Questo ragionamento si può applicare con entrambe le velocità angolari.
Io il secondo esercizio l'ho risolto così:
1) Le masse M sono soggette ad una forza verticale $ F_v $ costante (il peso del setto e la tensione dei cavi) e ad una forza orizzontale uguale alla forza centripeta dell'albero ( $ Momega^2r $ ).
Quindi è possibile trovare l'angolo in funzione della velocità angolare: $ theta=arctg[(Momega^2L)/F_v] $.
Con la conservazione della portata: $ A_1v_1 = A_2v_2 $ .
Essendo il tubo occluso per metà: $ A_1 = t^2/2 $, ed essendo $ v_2 $ uguale a $ v_1 $ ridotto del 15%, la conservazione della portata diventa:
$ A_2 = (t^2v_1)/(2*0.85v_1) $, ovvero $ A_2 = (t^2)/(1.7) $.
Come ho scritto qualche post fa, l'altezza del setto ha una correlazione diretta con $ theta $, ovvero
$ Δh=2(Lcosθ_2 - Lcostheta_1) $, per cui ponendo $ theta_1 = pi/6 $, è possibile ottenere l'altezza del setto per qualunque angolo. (L'altezza del setto per $ theta_1 $ è uguale a $ t/2 $). Come detto prima, $ A_2 = (t^2)/(1.7) $, per cui l'altezza del setto sarà $ t/1.7 $. A questo punto è possibile ricavare l'angolo per ottenere un decremento della velocità del fluido del 15% utilizzando:
$ t/2-t/1.7=2(Lcostheta_2 - Lcos(pi/6)) $. Trovato $ theta_2 $ si può inserire nella prima equazione:
$ theta_2 =arctg[(Momega_2^2L)/F_v] $. Il problema è $ F_v $, la quale è ignota, è possibile rimuoverla però con:
$ (tg theta_2) / (tg theta_1) = omega_2^2/omega_1^2 $, la quale conduce alla richiesta del problema.
2) Con l'equazione di Bernoulli si ha:
$ p_1 + rho/2v_1^2 = p_2 + rho/2v_2^2 $
Ponendo $ p_1 $ uguale alla pressione atmosferica e $ p_2 $ uguale alla pressione sul fondo del lago, si ha:
$ v_1^2/2 = gh + v_2^2/2 $ (con $ v_1 $ uguale alla velocità del fluido senza considerare il lago, e quindi corrispondente alla velocità del fluido nel primo quesito). Questo ragionamento si può applicare con entrambe le velocità angolari.
Non riesco a seguire tutto questo ragionamento.
Sai calcolare il potenziale delle forze? Il problema si risolve molto facilmente usando il potenziale.
Sai calcolare il potenziale delle forze? Il problema si risolve molto facilmente usando il potenziale.
Sì, lo so calcolare, ma su quali forze? E come lo useresti?
Su tutte le forze in gioco. Sono tutte conservative.
La posizione delle masse e' $y=Lcostheta$ e $x=Lsintheta$.
Il setto si trova a $y_1=2Lcostheta$ e deve spostarsi a $y_1=2Lcostheta_1$ in modo tale da soddisfare l'equazione di continuita' (i calcoli li lascio a te). Da qui trovi il nuovo $theta_1$
La variazione di potenziale totale e' $dV=2Momega^2xdx+2Mgdy=2ML(omega^2Lsinthetacostheta-gsintheta)d theta$
Imponendo $[dV]/[d theta]=0$ nel punte $theta_1$, trovi $omega$ corrispondente.
La posizione delle masse e' $y=Lcostheta$ e $x=Lsintheta$.
Il setto si trova a $y_1=2Lcostheta$ e deve spostarsi a $y_1=2Lcostheta_1$ in modo tale da soddisfare l'equazione di continuita' (i calcoli li lascio a te). Da qui trovi il nuovo $theta_1$
La variazione di potenziale totale e' $dV=2Momega^2xdx+2Mgdy=2ML(omega^2Lsinthetacostheta-gsintheta)d theta$
Imponendo $[dV]/[d theta]=0$ nel punte $theta_1$, trovi $omega$ corrispondente.
Allora, leggendo la tua soluzione non mi sono chiare alcune cose, se non disturbo, potresti chiarirmi meglio:
1. Perché $ dx $ corrisponde a $ Lcostheta d theta $?
2. Perché per trovare $ omega $ imponiamo la derivata del potenziale in $ d theta $ uguale a zero?
Grazie mille in anticipo per la risposta e scusami ancora se alcune domande possono sembrare banali..
1. Perché $ dx $ corrisponde a $ Lcostheta d theta $?
2. Perché per trovare $ omega $ imponiamo la derivata del potenziale in $ d theta $ uguale a zero?
Grazie mille in anticipo per la risposta e scusami ancora se alcune domande possono sembrare banali..
Perche se $x=Lcostheta$, allora $[dx]/[d theta]=Lsintheta$
La derivata del potenziale fatta rispetto a $d theta$ e imposta pari a 0, ti da' il $theta$ di equilibrio. Ferme restando tutte le grandezze, l'equilibrio e' funzione di $omega$ che quindi e' l'incognita rispetto cui risolvere l'equazione
La derivata del potenziale fatta rispetto a $d theta$ e imposta pari a 0, ti da' il $theta$ di equilibrio. Ferme restando tutte le grandezze, l'equilibrio e' funzione di $omega$ che quindi e' l'incognita rispetto cui risolvere l'equazione
Ah, perfetto tutto chiaro! Per il secondo quesito è tutto ok invece?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo