Problema Sant'Anna 2016
Salve, ho un dubbio riguardante il primo problema presentato all'esame di ammissione alla Sant'Anna nel 2016.
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Risposte
Vediamo se ho capito questo problema sibillino.
Il nastro si muove a velocità costante , quindi non ci sono forze apparenti di trascinamento agenti sul sacco. Per l'equilibrio del sacco rispetto al nastro, deve essere :
$mu_sN >=mgsenalpha \ rightarrow $
$\rightarrow mu_s mgcosalpha >= mgsenalpha \rightarrow$
$\rightarrow tgalpha <=mu_s$
perciò , il massimo angolo è dato dall'uguaglianza : $ tgalpha = mu_s = 0.8 \rightarrow alpha = 38º,66 $
Il "sibillino" (secondo me) viene dopo.
Il nastro si muove a velocità costante , quindi non ci sono forze apparenti di trascinamento agenti sul sacco. Per l'equilibrio del sacco rispetto al nastro, deve essere :
$mu_sN >=mgsenalpha \ rightarrow $
$\rightarrow mu_s mgcosalpha >= mgsenalpha \rightarrow$
$\rightarrow tgalpha <=mu_s$
perciò , il massimo angolo è dato dall'uguaglianza : $ tgalpha = mu_s = 0.8 \rightarrow alpha = 38º,66 $
Il "sibillino" (secondo me) viene dopo.
Molto interessante comunque il punto 3....
"Faussone":
Molto interessante comunque il punto 3....
Infatti .... qui tra zeri e infiniti , hai già bell'e capito tutto .... almeno, spero di non essermi rincitrullito !
Scusate l'OT
@Shackle
@Shackle
"Shackle":
Infatti .... qui tra zeri e infiniti , hai già bell'e capito tutto .... almeno, spero di non essermi rincitrullito !
Ho riletto un bel po' prima di capire dove volevano andare a parare
, secondo me però si poteva scrivere meglio il testo.Ma questi contadini ne hanno sempre una!!
"Shackle":
perciò , il massimo angolo è dato dall'uguaglianza : $ tgalpha = mu_s = 0.8 \rightarrow alpha = 38º,66 $
Il "sibillino" (secondo me) viene dopo.
Perfetto!
è esattamente il mio stesso procedimento!Per quanto riguarda il secondo punto io ho ragionato così:
Per calcolare il tempo (in funzione di v) che il sacco impiega a raggiungere l'altezza massima ho posto uguale a 0 la velocità perpendicolare:
$ v*senalpha - g*t = 0 $
Trovato t in funzione di v l'ho sostituito nella legge oraria del moto rettilineo uniforme del sacco (dopo averlo moltiplicato per 2 per calcolare il tempo di ricaduta):
$ v*cosalpha*t = L $
ottenendo:
$ v^2 = (Lg)/(2senalpha cosalpha ) $
Quindi:
$ v= sqrt((Lg)/(sen2alpha ) $
Per la potenza invece basta fare $ W=f*v $.
Purtroppo non sono presenti soluzioni, quindi mi tocca disturbarvi... E' tutto corretto? Mi sto approcciando per la prima volta ai problemi di fisica della Sant'Anna, mi rimane davvero poco tempo!
"Faussone":
[quote="Shackle"]
Infatti .... qui tra zeri e infiniti , hai già bell'e capito tutto .... almeno, spero di non essermi rincitrullito !
Ho riletto un bel po' prima di capire dove volevano andare a parare
, secondo me però si poteva scrivere meglio il testo.[/quote]Anch'io ho letto e riletto, e sono d'accordo con te, ma forse volevano essere sibillini di proposito...
se il nostro OP ha ben chiaro il concetto di potenza motrice, dovrebbe arrivarci da solo, sia alla "velocita" che alla potenza richiesta per fare il lavoro nel minimo tempo possibile , che alla terza domanda .
Non ho letto gli altri esercizi , scusami. Ora vado via , lo farò stasera .
Aspetto con ansia una tua risposta! Spero di non disturbare troppo con domande o errori banali
Eccomi di ritorno.
Questa non l'ho capita .
Io ho fatto questo ragionamento. Abbiamo detto che la velocità è costante e la forza motrice è uguale in modulo alla forza resistente , cioè :
$F = mgsen\alpha$
LA forza motrice compie il lavoro $W = mgsenalphaL = mgH $ per sollevare il sacco, e d'altronde c'era da aspettarselo, no ? La potenza è il lavoro nell'unità di tempo :
$P= Fv = FL/t = mgsenalphaL/t = (mgH)/t$
il testo vuole sapere , trovato $alpha$ , la potenza e la velocità affinché il sacco sia sollevato nel minor tempo possibile. Intanto , queste quantità non dipendono da $alpha$ . Poi, teoricamente posso prendere un motore di potenza $P$ qualsiasi, e quindi avere una velocità $v = P/F $ qualsiasi, e un tempo $t$ molto piccolo qualsiasi.
Più grande è la potenza, maggiore è la velocità e minore è il tempo, visto che la forza $F$ è costante . Al limite, potrei avere in teoria una potenza $P =\infty$ , quindi $v=\infty$ e $t=0$ : il sacco salta immediatamente sul pianale ad altezza $H$. Perciò il minor tempo possibile è zero.
(NB : siamo e rimaniamo in meccanica classica , non ci facciamo venire il ghiribizzo di parlare di relatività e dire che la max velocità possibile è $c$ ! )
Per quanto riguarda la terza domanda, la lunghezza $L$ è infinita , e quindi anche $H$ è infinita, ma il tempo è $t=0$ con un motore di potenza infinita; quindi il black-out dopo $0.1 sec$ ci fa solo un baffo, e il sacco ha la certezza di arrivare sul pianale.
Ecco, questa è la mia versione. Aspetto critiche e correzioni, non sono certo di averla azzeccata.
@Faussone
[ot]finiamo prima questo argomento, poi passiamo agli altri se sei d'accordo. Tra parentesi, ancora non li ho letti[/ot]
"4,3 PERIODICO":
...
Per quanto riguarda il secondo punto io ho ragionato così:
Per calcolare il tempo (in funzione di v) che il sacco impiega a raggiungere l'altezza massima ho posto uguale a 0 la velocità perpendicolare:
$ v*senalpha - g*t = 0 $
...
Questa non l'ho capita
. Io ho fatto questo ragionamento. Abbiamo detto che la velocità è costante e la forza motrice è uguale in modulo alla forza resistente , cioè :
$F = mgsen\alpha$
LA forza motrice compie il lavoro $W = mgsenalphaL = mgH $ per sollevare il sacco, e d'altronde c'era da aspettarselo, no ? La potenza è il lavoro nell'unità di tempo :
$P= Fv = FL/t = mgsenalphaL/t = (mgH)/t$
il testo vuole sapere , trovato $alpha$ , la potenza e la velocità affinché il sacco sia sollevato nel minor tempo possibile. Intanto , queste quantità non dipendono da $alpha$ . Poi, teoricamente posso prendere un motore di potenza $P$ qualsiasi, e quindi avere una velocità $v = P/F $ qualsiasi, e un tempo $t$ molto piccolo qualsiasi.
Più grande è la potenza, maggiore è la velocità e minore è il tempo, visto che la forza $F$ è costante . Al limite, potrei avere in teoria una potenza $P =\infty$ , quindi $v=\infty$ e $t=0$ : il sacco salta immediatamente sul pianale ad altezza $H$. Perciò il minor tempo possibile è zero.
(NB : siamo e rimaniamo in meccanica classica , non ci facciamo venire il ghiribizzo di parlare di relatività e dire che la max velocità possibile è $c$ ! )
Per quanto riguarda la terza domanda, la lunghezza $L$ è infinita , e quindi anche $H$ è infinita, ma il tempo è $t=0$ con un motore di potenza infinita; quindi il black-out dopo $0.1 sec$ ci fa solo un baffo, e il sacco ha la certezza di arrivare sul pianale.
Ecco, questa è la mia versione. Aspetto critiche e correzioni, non sono certo di averla azzeccata.
@Faussone
[ot]finiamo prima questo argomento, poi passiamo agli altri se sei d'accordo. Tra parentesi, ancora non li ho letti[/ot]
"Shackle":
Eccomi di ritorno.
[quote="4,3 PERIODICO"]...
Per quanto riguarda il secondo punto io ho ragionato così:
Per calcolare il tempo (in funzione di v) che il sacco impiega a raggiungere l'altezza massima ho posto uguale a 0 la velocità perpendicolare:
$ v*senalpha - g*t = 0 $
...
Questa non l'ho capita
. Io ho fatto questo ragionamento. Abbiamo detto che la velocità è costante e la forza motrice è uguale in modulo alla forza resistente , cioè...
[/quote]
Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).
[ot]Certo, va benissimo
[/ot]
"4,3 PERIODICO":
Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).
[ot]Certo, va benissimo
Ecco, infatti ho sbagliato tutto : avevo interpretato $L$ come la lunghezza del nastro ; non ho guardato bene la figura, e ho letto di corsa oggi, perchè dovevo andare via; e non ho riletto il testo stasera prima di rispondere : ti chiedo scusa. L è la lunghezza del pianale , quindi è in funzione di questa che va determinata la velocità, che deve essere tale da minimizzare il tempo.
Che paletto ho preso !
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ti prego di ignorare la mia risposta , frutto di una errata interpretazione.
"Shackle":
[quote="4,3 PERIODICO"]
Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).
[ot]Certo, va benissimo
Ecco, infatti ho sbagliato tutto : avevo interpretato $L$ come la lunghezza del nastro ; non ho guardato bene la figura, e ho letto di corsa oggi, perchè dovevo andare via; e non ho riletto il testo stasera prima di rispondere : ti chiedo scusa. L è la lunghezza del pianale , quindi è in funzione di questa che va determinata la velocità, che deve essere tale da minimizzare il tempo.
Che paletto ho preso !
Ti prego di ignorare la mia risposta , frutto di una errata interpretazione.[/quote]Tranquilloo non è un esame
Tornando a noi, è corretta la mia interpretazone?
LE formule finali per il moto parabolico di un proiettile , che danno il tempo di volo e la gittata sono :
$t = (2vsenalpha)/g$
$G = v^2/gsen2alpha$
per cui il tuo procedimento consiste nel porre la gittata uguale a $L$ , ottenendo :
$L = v^2/gsen2alpha \rightarrow v = sqrt ((gL)/(sen2alpha)) $
ma questa velocità , con $alpha = "cost" $ perchè determinato dalla condizione di cui al punto 1 , rappresenta la velocità massima , che fa arrivare il sacco alla fine del pianale $L$ . Non vedo come si possa minimizzare il tempo $t$ dato da :
$t = (2vsenalpha)/g$
per renderlo minimo, bisogna rendere minima la velocità ...a meno che il problema non intenda che si possa agire anche sull'angolo , visto che quello trovato al punto 1 è un valore massimo per $alpha$ ...
Vedendo come funzionano realmente questi trasportatori, direi che il sacco, fatta la curva in cima , fa pluff e si posa sul piano: bisogna essere realistici a volte! Il sacco ha una massa di 20 kg e non è un corpo rigido.E vero che m non c'entra qui, ma entra nella potenza...Perciò direi che la gittata è qualche decina di cm, insomma più o meno il "raggio" del sacco, altro che L ! Ma bisogna andarci a naso ...
Sono un po' perplesso, sentiamo Faussone...
$t = (2vsenalpha)/g$
$G = v^2/gsen2alpha$
per cui il tuo procedimento consiste nel porre la gittata uguale a $L$ , ottenendo :
$L = v^2/gsen2alpha \rightarrow v = sqrt ((gL)/(sen2alpha)) $
ma questa velocità , con $alpha = "cost" $ perchè determinato dalla condizione di cui al punto 1 , rappresenta la velocità massima , che fa arrivare il sacco alla fine del pianale $L$ . Non vedo come si possa minimizzare il tempo $t$ dato da :
$t = (2vsenalpha)/g$
per renderlo minimo, bisogna rendere minima la velocità ...a meno che il problema non intenda che si possa agire anche sull'angolo , visto che quello trovato al punto 1 è un valore massimo per $alpha$ ...
Vedendo come funzionano realmente questi trasportatori, direi che il sacco, fatta la curva in cima , fa pluff e si posa sul piano: bisogna essere realistici a volte! Il sacco ha una massa di 20 kg e non è un corpo rigido.E vero che m non c'entra qui, ma entra nella potenza...Perciò direi che la gittata è qualche decina di cm, insomma più o meno il "raggio" del sacco, altro che L ! Ma bisogna andarci a naso ...
Sono un po' perplesso, sentiamo Faussone...
Il tempo totale di arrivo sul pianale si suddivide in tempo di percorrenza sul nastro e tempo di percorrenza in volo (moto del proiettile), per cui è sì vero che il tempo minimo di volo si ha con v=0, ma così si ha il tempo massimo di percorrenza sul nastro (infinito: il sacco non si muove), per cui, il tempo di percorrenza sul nastro si ottiene con un semplice moto rettilineo uniformemente accelerato, sommato al tempo che hai già individuato nel post precedente porterà ad una funzione in variabile v che restituisce t. A questo punto basterà trovare il tempo t minimo in funzione della velocità (con derivata o ad occhio). Scusami se non ho pubblicato un calcolo più rigoroso ma sono in treno
il tempo di percorrenza sul nastro si ottiene con un semplice moto rettilineo uniformemente accelerato,
Ma dice che il nastro si muove a velocita costante !
Allora, posto $D = H/(senalpha)$ la lunghezza del nastro, occorre che sia minimo il tempo totale :
$t = D/v + (2vsenalpha)/g$
Ahia, giusto! Ho avuto un lapsus enorme.. Allora tutto si semplifica di moltissimo, alla fine si avrà molto più semplicemente $ t1 = H/(sen alpha * v) $ e $ t2 = (2*v*senalpha)/g $. Il tempo totale è $ t=t1+t2 $. Si ha quindi lo stesso una funzione in v di cui bisogna calcolare il minimo. Corretto?
Si, ho risposto mentre scrivevi. Dovrebbe venire , derivando t rispetto a v e ponendo uguale a zero : (salvo errori) :
$v = sqrt((gH)/(2sen^2alpha)) $
$v = sqrt((gH)/(2sen^2alpha)) $
Ciao.
Scrivo solo a parole, perché non riesco a fare i conti adesso, e poi credo non sia necessario per chi ha posto la domanda qui.
Per il secondo quesito basta, come credo abbiate fatto, considerare quale è la massima velocità che può avere il nastro affinché il sacco del contadino non voli sulla piattaforma oltre la lunghezza L.
Per il terzo quesito invece bisogna considerare quale è il range sul nastro in cui può trovarsi il sacco in modo che, una volta fermato il nastro con quella data decelerazione, il sacco riesca per inerzia a raggiungere la piattaforma.
La probabilità richiesta sarà il rapporto tra quel range e la lunghezza totale del nastro.
Scrivo solo a parole, perché non riesco a fare i conti adesso, e poi credo non sia necessario per chi ha posto la domanda qui.
Per il secondo quesito basta, come credo abbiate fatto, considerare quale è la massima velocità che può avere il nastro affinché il sacco del contadino non voli sulla piattaforma oltre la lunghezza L.
Per il terzo quesito invece bisogna considerare quale è il range sul nastro in cui può trovarsi il sacco in modo che, una volta fermato il nastro con quella data decelerazione, il sacco riesca per inerzia a raggiungere la piattaforma.
La probabilità richiesta sarà il rapporto tra quel range e la lunghezza totale del nastro.
... e il coefficiente di attrito dinamico, non lo usiamo?
BTW. Per l'unità di misura. $\text {s}$ , non $\text{sec}$ come fa il testo.
BTW. Per l'unità di misura. $\text {s}$ , non $\text{sec}$ come fa il testo.
"RenzoDF":
... e il coefficiente di attrito dinamico, non lo usiamo?
Va usato per il terzo punto....
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