Problema Sant'Anna 2016
Salve, ho un dubbio riguardante il primo problema presentato all'esame di ammissione alla Sant'Anna nel 2016.
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Testo: https://www.santannapisa.it/sites/defau ... 162017.pdf
L'angolo di inclinazione richiesto corrisponde all'angolo tale che la forza di attrito statico è uguale alla forza peso parallela al piano?
Risposte
... direi anche sul primo, no?
"RenzoDF":
... direi anche sul primo, no?
Dipende... per quello anche secondo me il testo poteva essere più chiaro.
Tu come lo useresti l'attrito dinamico per il primo punto? (Io per come è scritto il testo non lo avrei usato se avessi dovuto svolgere l'esercizio.)
Nel primo punto il sacco è in quiete rispetto al nastro. È l’ipotesi più semplice. Certo, potrebbe anche scivolare, ma allora cambiate nastro!
Da quanto mi sembra di capire dal testo, il sacco viene "... caricato sul nastro che si muove a velocità costante ...".
Esatto: quello è uno dei punti che avrei specificato meglio nel testo.
In effetti se l'attrito dinamico fosse molto molto basso, e se il nastro è in moto, allora per caricare il sacco il contadino dovrebbe spingerlo sul nastro in modo che la velocità del nastro sia pari a quella del sacco, in modo poi da poterlo lasciare senza che scivoli sul nastro (grazie all'attrito statico molto maggiore).
Scomodo ma possibile, per questo senza precisazioni nel testo io l'attrito dinamico non lo avrei usato. Se si voleva che il candidato considerasse anche questo bisognava farne cenno più chiaramente, secondo me.
In effetti se l'attrito dinamico fosse molto molto basso, e se il nastro è in moto, allora per caricare il sacco il contadino dovrebbe spingerlo sul nastro in modo che la velocità del nastro sia pari a quella del sacco, in modo poi da poterlo lasciare senza che scivoli sul nastro (grazie all'attrito statico molto maggiore).
Scomodo ma possibile, per questo senza precisazioni nel testo io l'attrito dinamico non lo avrei usato. Se si voleva che il candidato considerasse anche questo bisognava farne cenno più chiaramente, secondo me.
Io mi accontento di sapere che il sacco sta fermo sul nastro, grazie all'attrito statico , e si muove a velocità costante. Non pensiamo sempre al "transitorio" , altrimenti non risolviamo nessun esercizio , neppure il moto rettilineo uniforme : chi ha messo in moto un oggetto , che si muove di moto rettilineo uniforme ?
“Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem” , diceva un tale.
“Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem” , diceva un tale.
Il coefficiente di attrito dinamico viene usato nel terzo quesito: una volta che il nastro si arresta il sacco striscerà con attrito dinamico sul piano inclinato. I conti li faccio domani che sono distrutto ahah
----edit----
Ops, per qualche strana ragione non mi sono comparsi tutti i messaggi scritti dopo
Comunque anche secondo me nel primo quesito andrebbe usato il coefficiente statico in quanto nel sistema inerziale (a=0) nastro-sacco, il sacco è considerato immobile. Inoltre come contro-prova si può notare che altrimenti sarebbe un dato inutilizzato nel problema!
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Ops, per qualche strana ragione non mi sono comparsi tutti i messaggi scritti dopo
Comunque anche secondo me nel primo quesito andrebbe usato il coefficiente statico in quanto nel sistema inerziale (a=0) nastro-sacco, il sacco è considerato immobile. Inoltre come contro-prova si può notare che altrimenti sarebbe un dato inutilizzato nel problema!
Ok rieccomi, allora: la velocità calcolata da Shackle è corretta, per cui la potenza del motore sarà:
$ W = mg*sqrt((hg)/2) $
Inoltre per il terzo quesito:
Il nastro innanzitutto subisce una decelerazione di:
$ a = v/T $
Contemporaneamente il sacco inizierà a strisciare per mezzo della forza di attrito dinamico fino a raggiungere, istante per istante, la nuova velocità del nastro.
Tale forza corrisponde a:
$ Fd = -mg*senalpha*mud $.
A questo punto, a mio parere, il sacco rallentando istante dopo istante al fine di raggiungere la nuova velocità del nastro subirà la decelerazione minore tra: $ a $ e $ (F_d)/m $. In quanto se $ a $ è maggiore, la forza di attrito non riesce a stare dietro al cambiamento di velocità del nastro, e riuscirà a raggiungere la velocità del nastro (0) solo dopo che quest'ultimo si è arrestato. Mentre se l'accelerazione derivante dall'attrito è maggiore, allora essa sarà condizionata esclusivamente da $ a $ in quanto ogni istante in cui raggiunge la nuova velocità, tale forza si arresta.
Avendo i dati alla mano, si ricava che l'accelerazione derivante dall'attrito è (decisamente) minore della decelerazione del nastro, per cui il tempo di slittamento del sacco sarà di: $ t_(slit tament o) = v/(g*senalpha*mu_d) $
La probabilità è quindi:
$ p = t_(slit tament o)/t$
dove $ t $ è $ t = H/(senalpha*v) $
Se ci sono altre ipotesi dite pure
$ W = mg*sqrt((hg)/2) $
Inoltre per il terzo quesito:
Il nastro innanzitutto subisce una decelerazione di:
$ a = v/T $
Contemporaneamente il sacco inizierà a strisciare per mezzo della forza di attrito dinamico fino a raggiungere, istante per istante, la nuova velocità del nastro.
Tale forza corrisponde a:
$ Fd = -mg*senalpha*mud $.
A questo punto, a mio parere, il sacco rallentando istante dopo istante al fine di raggiungere la nuova velocità del nastro subirà la decelerazione minore tra: $ a $ e $ (F_d)/m $. In quanto se $ a $ è maggiore, la forza di attrito non riesce a stare dietro al cambiamento di velocità del nastro, e riuscirà a raggiungere la velocità del nastro (0) solo dopo che quest'ultimo si è arrestato. Mentre se l'accelerazione derivante dall'attrito è maggiore, allora essa sarà condizionata esclusivamente da $ a $ in quanto ogni istante in cui raggiunge la nuova velocità, tale forza si arresta.
Avendo i dati alla mano, si ricava che l'accelerazione derivante dall'attrito è (decisamente) minore della decelerazione del nastro, per cui il tempo di slittamento del sacco sarà di: $ t_(slit tament o) = v/(g*senalpha*mu_d) $
La probabilità è quindi:
$ p = t_(slit tament o)/t$
dove $ t $ è $ t = H/(senalpha*v) $
Se ci sono altre ipotesi dite pure
Visto che e' il S. Anna, io la complicherei ancora un po'.
Assunto che l'angolo $alpha$ e' stato trovato, quando si butta il sacco sul nastro, questo scivola.
La legge che regola questo slittamento e' $a=g[cosalphamu_d-sinalpha]$.
Il pacco quindi slitta per un tempo
$t_s=v_N/[cosalphamu_d-sinalpha]$, con $v_N$ velocita' del nastro, percorrendo un tratto $1/2at_s^2$
Credo...
Assunto che l'angolo $alpha$ e' stato trovato, quando si butta il sacco sul nastro, questo scivola.
La legge che regola questo slittamento e' $a=g[cosalphamu_d-sinalpha]$.
Il pacco quindi slitta per un tempo
$t_s=v_N/[cosalphamu_d-sinalpha]$, con $v_N$ velocita' del nastro, percorrendo un tratto $1/2at_s^2$
Credo...
"professorkappa":
Visto che e' il S. Anna, io la complicherei ancora un po'. ...
A quale quesito dei tre ti riferisci?
Al nastro trasportatore, tenendo conto che il sacco ha velocita' relativa quando lo butti sopra.
E l'attrito statico lo useresti lo stesso?
Certo, dopo che finisce lo slittamento alla partenza (la velocita' assoluta del sacco e' uguale a quella del nastro), da quel momento in poi tutto va come hai risolto tu, l'attrito diventa statico
Non credo di aver capito il tuo procedimento 
La forza di attrito e la componente parallela della forza peso non dovrebbero essere concordi perché entrambe si oppongono al movimento del sacco? Inoltre quale è l'accelerazione che porta il sacco ad assumere la velocità del nastro?
La forza di attrito e la componente parallela della forza peso non dovrebbero essere concordi perché entrambe si oppongono al movimento del sacco? Inoltre quale è l'accelerazione che porta il sacco ad assumere la velocità del nastro?
La forza d'attrito si oppone allo slittamento relativo. Quando molli il sacco sul nastro e' rivolta verso l'alto ed e' quella cha causa accelerazione. La forza peso si oppone a questa accelerazione.
Tu molli il sacco. Su questo agisce il sistema $F_a-mgsinalpha=ma$.
Affinche il sacco cominci a salire (all'inizio slitta, la velocita' del nastro e' piu' alta di quella del sacco), deve essere $F_a>mgsinalpha$
Poi sai che $F_a=mu_dmgcosalpha$ e quindi
$mu_dmgcosalpha>mgsinalpha$ cioe' $mu_d>tgalpha$ che risolto da' $alpha<27$ gradi
Da li' procedi come hai fatto.
Tu molli il sacco. Su questo agisce il sistema $F_a-mgsinalpha=ma$.
Affinche il sacco cominci a salire (all'inizio slitta, la velocita' del nastro e' piu' alta di quella del sacco), deve essere $F_a>mgsinalpha$
Poi sai che $F_a=mu_dmgcosalpha$ e quindi
$mu_dmgcosalpha>mgsinalpha$ cioe' $mu_d>tgalpha$ che risolto da' $alpha<27$ gradi
Da li' procedi come hai fatto.
Quindi l'angolo che abbiamo trovato prima, di 38 gradi circa, è troppo alto perché non prende in considerazione del fatto che il sacco slitta? Inoltre se il nastro fosse fermo, e noi posizionassimo il sacco sul nastro, e poi attivissimo il motore, in quel caso non entra in gioco l"attrito dinamico e l'angolo massimo può essere di 38 vero?
Direi che il 38 e' stato trovato a regime permanente.
Se il nastro parte da fermo, con accelerazione a, fino a raggiungere la velocita' a regime, mi pare evidente che l'angolo dipende dall'accelerazione a del nastro: piu alta l'accelerazione di spunto, minore l'angolo max ammissibile.
Ma non mi pare il tuo caso: il nastro si sta gia' muovendo a v costante
Se il nastro parte da fermo, con accelerazione a, fino a raggiungere la velocita' a regime, mi pare evidente che l'angolo dipende dall'accelerazione a del nastro: piu alta l'accelerazione di spunto, minore l'angolo max ammissibile.
Ma non mi pare il tuo caso: il nastro si sta gia' muovendo a v costante
È quello che avevo scritto riguardo a se considerare o meno l'attrito dinamico all'inizio.
Se non lo consideriamo e usiamo solo lo statico allora l'angolo massimo trovato funziona solo se il contadino spinge il sacco sul nastro, finché la velocità nastro è pari a quella del sacco, altrimenti il sacco scivolerebbe verso il basso, perché l'attrito dinamico non è sufficiente a vincere la componente del peso in direzione del nastro.
Se non lo consideriamo e usiamo solo lo statico allora l'angolo massimo trovato funziona solo se il contadino spinge il sacco sul nastro, finché la velocità nastro è pari a quella del sacco, altrimenti il sacco scivolerebbe verso il basso, perché l'attrito dinamico non è sufficiente a vincere la componente del peso in direzione del nastro.
"Faussone":
È quello che avevo scritto riguardo a se considerare o meno l'attrito dinamico all'inizio.
Se non lo consideriamo e usiamo solo lo statico allora l'angolo massimo trovato funziona solo se il contadino spinge il sacco sul nastro, finché la velocità nastro è pari a quella del sacco, altrimenti il sacco scivolerebbe verso il basso, perché l'attrito dinamico non è sufficiente a vincere la componente del peso in direzione del nastro.
Io l'ho preso per buono, all'inizio, per non complicare le cose. Ma il testo non è chiaro al riguardo.
Grazie per il link su Troisi e il problema del contadino !
[ot]
Sono contento che lo hai apprezzato. Era un genio assoluto, Massimo.
Quello poi che dice sui miracoli in "Ricomincio da tre" (non so se hai presente) vale più di un trattato sui misteri della fede e credenze popolari, col pregio di fare anche sorridere, anzi ridere.[/ot]
"Shackle":
Grazie per il link su Troisi e il problema del contadino !
Sono contento che lo hai apprezzato. Era un genio assoluto, Massimo.
Quello poi che dice sui miracoli in "Ricomincio da tre" (non so se hai presente) vale più di un trattato sui misteri della fede e credenze popolari, col pregio di fare anche sorridere, anzi ridere.[/ot]
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