Problema moto circolare [dinamica]
Ho fatto oggi un altro problema -tipo esame- e non ho al solito il risultato, però credo di averci capito qualcosa, ve lo scrivo:
TESTO:
Un corpo di massa m compie un moto circolare di raggio $R_0$ centro di rotazione 0 e velocità angolare $omega_0$ su di un piano orizzontale perfettamente liscio. Il corpo è collegato al punto $O$ tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile, che può supportare al massimo una tensione max
Tramite un meccanismo posto in $0$ il filo viene accorciato lentamente. Ciò comporta un aumento progessivo della tensione del filo fino a raggiungere il valore $tau_max$ per cui il filo si rompe.
1) calcolare la lunghezza $R$ del filo al momento della sua rottura.
io ho pensato che c'è conservazione del momento angolare:
$L_o = R*m*v$
in sostanza si ridurrebbe a:
$R_o* v_o = R* v$
$v= (R_o* v_o)/R$
$a_c = (V^2)/R = (((R_o* v_o)/R)^2)/R =(( R_o)^2*( v_o)^2)/R^3$
a posto di $v_o = omega_0 * R_0$
$a_c = (((R_0)^4)*(omega_0)^2)/(R^3)$
bilanciamento delle forze:
$P+F_c=T$
cioè P è la forza peso, $F_c$ la forza centripeta e T la tensione massima che è nota
faccio i vari calcoli e viene:
$m*g+m*a_c=T$
$a_c=(T-mg)/m$
sostituendo ciò che si era trovato prima:
$ (((R_0)^4)*(omega_0)^2)/(R^3) = (T-mg)/m$
alla fine sono calcoli e mi trovo che R è la radice cubica di: $(m*(R_0)^4)*(omega_0)^2)/(T-mg)$
fin qui il ragionamento fila secondo voi?
TESTO:
Un corpo di massa m compie un moto circolare di raggio $R_0$ centro di rotazione 0 e velocità angolare $omega_0$ su di un piano orizzontale perfettamente liscio. Il corpo è collegato al punto $O$ tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile, che può supportare al massimo una tensione max
Tramite un meccanismo posto in $0$ il filo viene accorciato lentamente. Ciò comporta un aumento progessivo della tensione del filo fino a raggiungere il valore $tau_max$ per cui il filo si rompe.
1) calcolare la lunghezza $R$ del filo al momento della sua rottura.
io ho pensato che c'è conservazione del momento angolare:
$L_o = R*m*v$
in sostanza si ridurrebbe a:
$R_o* v_o = R* v$
$v= (R_o* v_o)/R$
$a_c = (V^2)/R = (((R_o* v_o)/R)^2)/R =(( R_o)^2*( v_o)^2)/R^3$
a posto di $v_o = omega_0 * R_0$
$a_c = (((R_0)^4)*(omega_0)^2)/(R^3)$
bilanciamento delle forze:
$P+F_c=T$
cioè P è la forza peso, $F_c$ la forza centripeta e T la tensione massima che è nota
faccio i vari calcoli e viene:
$m*g+m*a_c=T$
$a_c=(T-mg)/m$
sostituendo ciò che si era trovato prima:
$ (((R_0)^4)*(omega_0)^2)/(R^3) = (T-mg)/m$
alla fine sono calcoli e mi trovo che R è la radice cubica di: $(m*(R_0)^4)*(omega_0)^2)/(T-mg)$
fin qui il ragionamento fila secondo voi?
Risposte
Il peso in questo esercizio non ha nessuna influenza.
[mod="Raptorista"]Triple posting? Non va mica bene!!
[/mod]

Che significa triple posting? Così evito di incorrere anch'io nello stesso errore
aprire tre post uguali.
Vorrei spezzare una lancia a favore di clever...è risaputo infatti che capita spesso che si clicchi il tasto invia domanda e il messaggio appare come non inviato (o cmq si blocca il sito). Quindi viene da cliccarci un altra volta. E capita spesso che la volta precedente il messaggio era stato inviato, ed ecco che arriva il doppione...
[quote=Raptorista][/quote]
Scusa! E' che avevo il pc in palla e forse cliccando avrò postato tre volte, poi si è disconnesso e solo ora ho visto il problema, non è da me comunque postare triplici post. Me ne scuso ulteriormente...
Scusa! E' che avevo il pc in palla e forse cliccando avrò postato tre volte, poi si è disconnesso e solo ora ho visto il problema, non è da me comunque postare triplici post. Me ne scuso ulteriormente...
"speculor":
Il peso in questo esercizio non ha nessuna influenza.
come mai?
clever:
[quote=speculor]Il peso in questo esercizio non ha nessuna influenza.
come mai?[/quote]
La massa è appoggiata su un piano orizzontale. La forza peso viene equilibrata istante per istante dalla reazione verticale del piano di appoggio.
@Xato: questa cosa mi era totalmente sfuggita...
quindi le uniche forze che agiscono li sono la forza centripeta diretta verso il centro e la tensione massima:
ho fatto un disegnino per farvi vedere come ho disegnato le forze:
http://imageshack.us/photo/my-images/18/fisica1o.jpg/
quindi nella situazione di rottura sarebbe percaso:
$F_(centripeta) = T$ ?
con l'accelerazione centripeta trovata prima, andrebbe bene ora?
grazie per i consigli.
quindi le uniche forze che agiscono li sono la forza centripeta diretta verso il centro e la tensione massima:
ho fatto un disegnino per farvi vedere come ho disegnato le forze:
http://imageshack.us/photo/my-images/18/fisica1o.jpg/
quindi nella situazione di rottura sarebbe percaso:
$F_(centripeta) = T$ ?
con l'accelerazione centripeta trovata prima, andrebbe bene ora?
grazie per i consigli.
Non è corretto esprimersi in questi termini. L'unica forza che agisce è la tensione della fune, questa forza determina un'accelerazione centripeta. Convenzionalmente, il prodotto della massa per questa accelerazione viene chiamata forza centripeta. Ma la forza centripeta è una conseguenza della tensione della fune. In altri termini, la tensione della fune è la causa, la forza centripeta è l'effetto. Non sono affatto sullo stesso piano. Per il resto ok.
Quindi il diagramma delle forze da me disegnato, non è fatto bene?
Non sono affatto sullo stesso piano. (cit)
le due forze non sono sullo stesso piano? O il concetto di forza centripeta e tensione non sono sullo stesso piano? (scusa per le mie domande nabbe).
Altra domanda che mi sto ponendo: se il piano avesse avuto attrito, nel diagramma delle forze sarebbe stato concorde o discorde alla tensione del filo? Io credo concorde a quella del filo e discorde a quella centripeta....e quando il filo si spezza, la massa non slitterebbe perchè sarebbe bilanciata istante per istante dalla forza d'attrito, non credi?
Non sono affatto sullo stesso piano. (cit)
le due forze non sono sullo stesso piano? O il concetto di forza centripeta e tensione non sono sullo stesso piano? (scusa per le mie domande nabbe).
Altra domanda che mi sto ponendo: se il piano avesse avuto attrito, nel diagramma delle forze sarebbe stato concorde o discorde alla tensione del filo? Io credo concorde a quella del filo e discorde a quella centripeta....e quando il filo si spezza, la massa non slitterebbe perchè sarebbe bilanciata istante per istante dalla forza d'attrito, non credi?
Intendevo dire che il concetto di forza centripeta e tensione non sono sullo stesso piano. Tra l'altro, avendo visto solo adesso la tua figura, il mio ragionamento si applica al corpo in rotazione. Sul corpo in rotazione agisce una sola forza, la tensione della fune. Ho visto tracciare due forze nella tua figura, purtroppo queste due forze non sono nemmeno le forze che agiscono sulla fune. Sulla fune agisce la forza applicata nel centro dall'esterno con la quale viene avvicinato il corpo, e la reazione del corpo sulla fune diretta verso l'esterno. Queste due forze tendono la fune. Con l'attrito il problema cambia. Parte della forza centripeta necessaria alla rotazione viene data dall'attrito medesimo, pensa a che cosa succede quando provi a curvare in macchina e trovi una lastra di ghiaccio. Infatti, il corpo agisce sul piano con una forza diretta verso l'esteno, quella che viene chiamata forza centrifuga, e il piano, se c'è attrito, reagisce con una forza diretta verso il centro.
Purtroppo c'è stato un fraintendimento dovuto ai termini. Con "non sono sullo stesso piano" si intendeva dire che "non sono lo stesso concetto". Chiarito questo, trovi la soluzione applicando quanto hai applicato ma non considerando nella equazione di equilibrio dinamico radiale la forza peso.
Nel caso in cui il piano fosse scabro e dotato di attrito devi aggiungere una ulteriore forza, la forza di attrito appunto. Questa e' sempre diretta secondo la direzione del moto istante per istante ed in verso opposto al vettore istantaneo dello spostamento. Ovviamente le cose si complicano dovendo scrivere sempre l'equazione di equilibrio dinamico secondo la direzione radiale e quindi ti servirebbe conoscere la componente della forza di attrito proprio secondo questa direzione. Il modulo della forza di attrito (in questo caso dinamico) potresti ricavarlo nota la reazione del piano orizzontale (pari alla forza peso) ma per ricavare il raggio di rottura occorrerebbe conoscere anche la legge di variazione della lunghezza della corda per poter determinare la direzione del moto istante per istante e quindi la componente della forza di attrito. In presenza di attrito la corda si romperebbe per un raggio R'>R (dove con R ho indicato il raggio di rottura in assenza di attrito). Sapresti dire perchè?
Nel caso in cui il piano fosse scabro e dotato di attrito devi aggiungere una ulteriore forza, la forza di attrito appunto. Questa e' sempre diretta secondo la direzione del moto istante per istante ed in verso opposto al vettore istantaneo dello spostamento. Ovviamente le cose si complicano dovendo scrivere sempre l'equazione di equilibrio dinamico secondo la direzione radiale e quindi ti servirebbe conoscere la componente della forza di attrito proprio secondo questa direzione. Il modulo della forza di attrito (in questo caso dinamico) potresti ricavarlo nota la reazione del piano orizzontale (pari alla forza peso) ma per ricavare il raggio di rottura occorrerebbe conoscere anche la legge di variazione della lunghezza della corda per poter determinare la direzione del moto istante per istante e quindi la componente della forza di attrito. In presenza di attrito la corda si romperebbe per un raggio R'>R (dove con R ho indicato il raggio di rottura in assenza di attrito). Sapresti dire perchè?
Io di tutto quello che è stato scritto fin ora ho capito che:
1.la forza peso non è importante ai fini dell'equazione dinamica del moto, dato che essa è di volta in volta bilanciata dalla normale al piano.
2. Agisce una sola forza ed è la tensione. C'è una forza esterna che mi permette di far ruotare il corpo e di 'spingerlo' verso il centro, ed è la forza centripeta. Queste due forze si bilanciano a vicenda:
$ T = F = m*a_{centripeta}$
quindi mi calcolo l'accelerazione e dovrei avere il risultato di R di rottura, e per la risoluzione seguo il filo logico dell'inizio: cioè tener presente della conservazione del momento angolare.
ora vengo alla tua domanda Xato, preparati a leggere delle corbellerie:
se come dici tu:
la forza di attrito appunto. Questa e' sempre diretta secondo la direzione del moto istante per istante ed in verso opposto al vettore istantaneo dello spostamento.
io i vettori li disegnerei cosi:
http://imageshack.us/photo/my-images/70 ... inewi.jpg/
dove $F_{attrito}= k_{dinamico}*M*g$ e l'equazione diveneterebbe: $F_{attrito}+T(R)=F_{centripeta}$ dove secondo me la tensione dipende fortemente da R...
secondo me l'attrito ha una influenza sulla velocità angolare del moto, forse non c'entrerà nulla, però se mi immagino una guida circolare con una massa attaccata a questa guida e do io una spinta cospicua alla massa per farla girare pensando sempre idealmente che non ci sia la resistenza dell'aria,girerà fino ad un certo punto poi, evidentemente la corda si spezza prima (cioè R) perchè c'è un impatto maggiore rispetto alla situazione della corda con piano di attrito...quella con l'attrito tu mi dici che si spezza di più di un $R'>R$, credo che essendo la tensione , la forza che trattiene il moviemento della pallina, deve mantenere in quel caso anche la funzione attrito...quindi avrà una Tmax uguale a quello di prima, però R più grande, e velocità angolare minore....
1.la forza peso non è importante ai fini dell'equazione dinamica del moto, dato che essa è di volta in volta bilanciata dalla normale al piano.
2. Agisce una sola forza ed è la tensione. C'è una forza esterna che mi permette di far ruotare il corpo e di 'spingerlo' verso il centro, ed è la forza centripeta. Queste due forze si bilanciano a vicenda:
$ T = F = m*a_{centripeta}$
quindi mi calcolo l'accelerazione e dovrei avere il risultato di R di rottura, e per la risoluzione seguo il filo logico dell'inizio: cioè tener presente della conservazione del momento angolare.
ora vengo alla tua domanda Xato, preparati a leggere delle corbellerie:
se come dici tu:
la forza di attrito appunto. Questa e' sempre diretta secondo la direzione del moto istante per istante ed in verso opposto al vettore istantaneo dello spostamento.
io i vettori li disegnerei cosi:
http://imageshack.us/photo/my-images/70 ... inewi.jpg/
dove $F_{attrito}= k_{dinamico}*M*g$ e l'equazione diveneterebbe: $F_{attrito}+T(R)=F_{centripeta}$ dove secondo me la tensione dipende fortemente da R...
secondo me l'attrito ha una influenza sulla velocità angolare del moto, forse non c'entrerà nulla, però se mi immagino una guida circolare con una massa attaccata a questa guida e do io una spinta cospicua alla massa per farla girare pensando sempre idealmente che non ci sia la resistenza dell'aria,girerà fino ad un certo punto poi, evidentemente la corda si spezza prima (cioè R) perchè c'è un impatto maggiore rispetto alla situazione della corda con piano di attrito...quella con l'attrito tu mi dici che si spezza di più di un $R'>R$, credo che essendo la tensione , la forza che trattiene il moviemento della pallina, deve mantenere in quel caso anche la funzione attrito...quindi avrà una Tmax uguale a quello di prima, però R più grande, e velocità angolare minore....
up
perchè fai l'up?
lo avevi risolto col tuo primo intervento salvo a dover togliere la forza peso.
lo avevi risolto col tuo primo intervento salvo a dover togliere la forza peso.
"Xato":
perchè fai l'up?
lo avevi risolto col tuo primo intervento salvo a dover togliere la forza peso.
Mi riferivo a quella domanda che mi hai fatto sull'attrito e che io diedi una risposta, vorrei sapere se ho risposto bene o meno.
Poi sempre su quel problema avrei altre due domande da risolvere, che credo che dopo aver risolto la prima domanda è 'tutto risolto' e cioè:
una domanda è:
1) determinare la velocità angolare del corpo nell'istante di rottura del filo.
una volta determinato $R$ di rottura, applico nuovamente la conservazione del momento angolare:
$R_0 * v_0 = R*v$
$R_0 *R_0 *omega_0 = R *R *omega$
$omega = (((R_0)^2)*omega_0)/R^2
2) calcolare il lavoro compiuto dal meccanismo di recupero del filo fino al momento della rottura dello stesso.
uso la nota formula: $dL= dK = 1/2 m * (V^2 - (V_0)^2) = 1/2 m (omega^2 * R^2 - (omega_0)^2 *(R_0)^2) = .... Joule$
che ne pensate?
Il primo procedimento, senza considerare la forza peso, è quello corretto.
Si tratta, infatti, di risolvere il seguente sistema nelle incognite $R$ e $\omega$:
$\{(mR_0^2\omega_0 = mR^2\omega),(m\omega^2R = T_(max)):}$
Per il calcolo del lavoro, come tu stesso hai indicato, utilizzi il teorema delle forze vive:
$\L = 1/2mR^2\omega^2 - 1/2mR_0^2\omega_0^2$
Fossi in te, volendo introdurre l'attrito, comincerei a risolvere il caso in cui fosse presente solo quello statico.
Anche perchè, in presenza di entrambi i coefficienti, il problema si complicherebbe e difficilmente verrebbe assegnato.
In presenza del solo coefficiente di attrito statico, si può facilmente dimostrare che la fune si romperebbe per un valore di R ancora più piccolo.
Si tratta, infatti, di risolvere il seguente sistema nelle incognite $R$ e $\omega$:
$\{(mR_0^2\omega_0 = mR^2\omega),(m\omega^2R = T_(max)):}$
Per il calcolo del lavoro, come tu stesso hai indicato, utilizzi il teorema delle forze vive:
$\L = 1/2mR^2\omega^2 - 1/2mR_0^2\omega_0^2$
Fossi in te, volendo introdurre l'attrito, comincerei a risolvere il caso in cui fosse presente solo quello statico.
Anche perchè, in presenza di entrambi i coefficienti, il problema si complicherebbe e difficilmente verrebbe assegnato.
In presenza del solo coefficiente di attrito statico, si può facilmente dimostrare che la fune si romperebbe per un valore di R ancora più piccolo.
Stavo riflettendo su quanto segue. Ammettiamo che si abbia attrito, sia statico che dinamico, solo quando si cerca di avvicinare il corpo verso il centro. In altri termini, quando non si tira la fune, il moto è circolare uniforme perchè l'energia si conserva. A traiettoria circolare fissata, quindi quando non si tira la fune, la tensione è minore in quanto, come dicevo precedentemente, l'attrito statico sviluppa una componente centripeta che aiuta il corpo nella rotazione. Quindi, chi tende la fune, deve effettivamente esercitare una forza minore. Proviamo ad avvicinare il corpo verso il centro. Questa azione deve essere pensata infinitamente lenta per non dissipare più energia di quella strettamente necessaria. In altri termini, in ogni istante si deve applicare una forza solo leggermente più grande di quelle che si oppongono al movimento verso il centro. E qui casca l'asino, cioè il sottoscritto. Avevo pensato che, essendo il movimento infinitamente lento, si potesse utilizzare ancora l'attrito statico, ma non c'è ombra di dubbio che, se movimento c'è, e sfido chiunque a dire che non c'è, allora è necessario utilizzare quello dinamico. Ma questa conclusione comporta una conseguenza fondamentale: l'attrito dinamico, a differenza di quello statico che aiutava la rotazione con il corpo fermo lungo la direzione radiale, si oppone al movimento e chi tira la corda deve esercitare una forza maggiore che nel caso in cui non fosse stato presente l'attrito. Se si pensa ad una successione di azioni infinitesime intervallate da momenti in cui si lascia che il moto risulti circolare uniforme, si giunge ad una situazione in cui, quando il corpo non viene avvicinato, la tensione della fune è minore che nel caso senza attrito perchè bisogna considerare l'attrito statico, ma quando il corpo viene avvicinato, la tensione della fune è maggiore perchè bisogna considerare l'attrito dinamico. Morale della favola? Se non si può superare una tensione massima, è evidente che la rottura della fune si ha proprio quando si cerca di avvicinare il corpo verso il centro, e quindi in presenza di attrito dinamico. E in questo caso la forza da esercitare è maggiore che nel caso senza attrito. Aveva ragione Xato.
speculor:
Stavo riflettendo ......
Io ho ragionato in maniera piu' "femminea". Essendo la forza di attrito una forza resistente al moto, cioè si oppone al moto, la sua presenza contribuisce ad aumentare la tensione della fune necessaria per far avvicinare la massa al centro. Ne discende che, fissata una resistenza della fune, questa si deve rompere prima che non nel caso di assenza di attrito, quindi raggio di rottura maggiore.
Saluti