Problema lavoro di sistema termodinamico
Buonasera, sono un nuovo membro di questo bel forum che già in passato mi è stato d'aiuto (sebbene non iscritto) per la risoluzione di alcuni esercizi di fisica. Vorrei sottoporvi questo problema di termodinamica che mi sta dando dei grattacapi:
La figura 2 rappresenta una sezione verticale di un dispositivo immerso nell’atmosfera, costituito da un recipiente A solidale ad un sostegno fisso e da un recipiente B sostenuto
nel modo indicato: in A e B sono contenute nA e nB moli di un gas perfetto monoatomico. Tutte
le pareti dei recipienti sono isolate (termicamente). I due pistoni, entrambi di sezione S e massa m, possono scorrere verticalmente senza attrito. Il sistema è in equilibrio e in A e B la temperatura vale T0, e i volumi VA,0 = VB,0.
a) Si determini la differenza pB,0 − pA,0 tra le pressioni in A e B.
b) La massa del recipiente B (escluso il pistone) è mB: quanto valgono pA,0 e pB,0?
c) Sopra il pistone che chiude B si aggiungono dei pesi, uno alla volta e sufficientemente piccoli per poter considerare la trasformazione reversibile, fino a raddoppiare la massa del pistone in questione; si calcolino i volumi finali VA e VB di A e B, le due temperature TA e TB e il lavoro compiuto complessivamente dalle forze peso che agiscono sull’intero sistema.
I dati numerici sono: S = 1.8 dm2
; m = 16 kg ; mB = 9 kg ; T0 = 300 K ; VA,0 = 2.5 l.
Vi allego sotto la foto della situazione descritta.
Ho risolto tutti i punti del problema, ma non riesco a trovarmi il lavoro delle forze peso. Ho pensato di porlo uguale alla differenza di energia interna del gas in A e B ma non è questa la soluzione. Spero possiate darmi qualche utile suggerimento.
La figura 2 rappresenta una sezione verticale di un dispositivo immerso nell’atmosfera, costituito da un recipiente A solidale ad un sostegno fisso e da un recipiente B sostenuto
nel modo indicato: in A e B sono contenute nA e nB moli di un gas perfetto monoatomico. Tutte
le pareti dei recipienti sono isolate (termicamente). I due pistoni, entrambi di sezione S e massa m, possono scorrere verticalmente senza attrito. Il sistema è in equilibrio e in A e B la temperatura vale T0, e i volumi VA,0 = VB,0.
a) Si determini la differenza pB,0 − pA,0 tra le pressioni in A e B.
b) La massa del recipiente B (escluso il pistone) è mB: quanto valgono pA,0 e pB,0?
c) Sopra il pistone che chiude B si aggiungono dei pesi, uno alla volta e sufficientemente piccoli per poter considerare la trasformazione reversibile, fino a raddoppiare la massa del pistone in questione; si calcolino i volumi finali VA e VB di A e B, le due temperature TA e TB e il lavoro compiuto complessivamente dalle forze peso che agiscono sull’intero sistema.
I dati numerici sono: S = 1.8 dm2
; m = 16 kg ; mB = 9 kg ; T0 = 300 K ; VA,0 = 2.5 l.
Vi allego sotto la foto della situazione descritta.
Ho risolto tutti i punti del problema, ma non riesco a trovarmi il lavoro delle forze peso. Ho pensato di porlo uguale alla differenza di energia interna del gas in A e B ma non è questa la soluzione. Spero possiate darmi qualche utile suggerimento.
Risposte
"Gogos07":
Ho risolto tutti i punti del problema ...
Meglio confrontare i risultati. Anche se è possibile procedere senza (è sufficiente sommare membro a membro le prime due equazioni), indicando con $R$ lo sforzo interno della sbarra che unisce i due pistoni:
1. Condizione di equilibrio per il pistone A:
$R+P_0S-P_AS-mg=0$
2. Condizione di equilibrio per il pistone B:
$-R-P_0S+P_BS-mg=0$
3. Condizione di equilibrio per il recipiente B:
$P_0S-P_BS-m_Bg=0$
Risolvendo il sistema:
$\{(R+P_0S-P_AS-mg=0),(-R-P_0S+P_BS-mg=0),(P_0S-P_BS-m_Bg=0):} rarr \{(P_A=P_0-g/S(m_B+2m)),(P_B=P_0-g/Sm_B),(R=-(m_B+m)g):}$
Quindi, la sbarra è un tirante e la trasformazione del gas contenuto nel recipiente B una isobara reversibile (seconda parte del problema).
Sì anch'io ho svolto il primo punto descrivendo le forze agenti sul sistema. Per il secondo punto ho pensato che il gas in A compisse una trasformazione adiabatica reversibile. La pressione in A nel caso della massa addizionale la ricavo da equazioni identiche a quelle ricercate nel primo punto del problema. Ora ho tutto per poter utilizzare le equazioni di Poisson e ricavarmi volume e temperatura finali. Per il gas in B ho considerato la trasformazione sempre adiabatica reversibile. Qui applicando le formule di Poisson trovo che la pressione, il volume e di conseguenza la temperatura rimangono invariati anche con l'aggiunta di massa al pistone.
"Gogos07":
Per il gas in B ho considerato la trasformazione sempre adiabatica reversibile ...
Per quale motivo?
Ho pensato alle pareti adiabatiche del recipiente.
Ok, ma dei pistoni non dice nulla. Ad ogni modo, le pressioni finali sono:
$\{(P_A=P_0-g/S(m_B+3m)),(P_B=P_0-g/Sm_B):}$
Per determinare volumi e temperature (al netto delle due equazioni di stato), è sufficiente scrivere altre due equazioni. Poiché il recipiente B non si sposta, la somma algebrica delle due variazioni di volume deve essere nulla. Poiché la trasformazione è reversibile, anche la variazione di entropia complessiva deve essere nulla. Per essere sicuri che la strada sia quella giusta, sarebbe meglio se postassi le soluzioni.
P.S.
Supporre i pistoni non adiabatici presenta un problema in relazione alla temperatura dell'ambiente (non assegnata). Tuttavia, se non ti tornano i risultati, si può sempre provare interpretando il problema diversamente. Ad ogni modo, che la pressione finale nel recipiente B sia uguale a quella iniziale non ci piove: come può essere una trasformazione adiabatica reversibile?
$\{(P_A=P_0-g/S(m_B+3m)),(P_B=P_0-g/Sm_B):}$
Per determinare volumi e temperature (al netto delle due equazioni di stato), è sufficiente scrivere altre due equazioni. Poiché il recipiente B non si sposta, la somma algebrica delle due variazioni di volume deve essere nulla. Poiché la trasformazione è reversibile, anche la variazione di entropia complessiva deve essere nulla. Per essere sicuri che la strada sia quella giusta, sarebbe meglio se postassi le soluzioni.
P.S.
Supporre i pistoni non adiabatici presenta un problema in relazione alla temperatura dell'ambiente (non assegnata). Tuttavia, se non ti tornano i risultati, si può sempre provare interpretando il problema diversamente. Ad ogni modo, che la pressione finale nel recipiente B sia uguale a quella iniziale non ci piove: come può essere una trasformazione adiabatica reversibile?
Queste sono le soluzioni fornite dal testo
a) pB,0 − pA,0 = 0.172atm
b) pB,0 = 0.952atm * pA,0 = 0.780atm
c) VA,f = 2.68l * TA,f = 286K * VB,f = VB,0 * TB,f = T0 * Lf.peso = 4.74J
PS. I risultati numerici si trovano, non so se l'interpretazione sul recipiente B sia corretta; ad ogni modo sono abbastanza sicuro che in A la trasformazione sia adiabatica in quanto i numeri mi dicono che è giusto applicare le relazioni di Poisson. Per il recipiente B, avendo notato con il tuo stesso ragionamento che la pressione non variava, ho applicato allo stesso modo le relazioni di una trasformazione adiabatica (a questo punto direi superficialmente).
Il lavoro delle forze peso è l'incognita che non saprei proprio risolvere, ma a questo punto credo che bisogni prima interpretare correttamente le trasformazioni che avvengono sui gas.
a) pB,0 − pA,0 = 0.172atm
b) pB,0 = 0.952atm * pA,0 = 0.780atm
c) VA,f = 2.68l * TA,f = 286K * VB,f = VB,0 * TB,f = T0 * Lf.peso = 4.74J
PS. I risultati numerici si trovano, non so se l'interpretazione sul recipiente B sia corretta; ad ogni modo sono abbastanza sicuro che in A la trasformazione sia adiabatica in quanto i numeri mi dicono che è giusto applicare le relazioni di Poisson. Per il recipiente B, avendo notato con il tuo stesso ragionamento che la pressione non variava, ho applicato allo stesso modo le relazioni di una trasformazione adiabatica (a questo punto direi superficialmente).
Il lavoro delle forze peso è l'incognita che non saprei proprio risolvere, ma a questo punto credo che bisogni prima interpretare correttamente le trasformazioni che avvengono sui gas.
Ok. Se leggo bene, il volume e la temperatura di B non cambiano. Quindi, non cambia nemmeno la pressione. Tuttavia, cambiando il volume di A, il recipiente B si dovrebbe spostare. Insomma, sono stato un po' troppo precipitoso. Ci devo pensare.
P.S.
Ad ogni modo, hai provato a calcolare il lavoro della forza peso conoscendo tutte le coordinate termodinamiche finali? Non dovrebbe presentare particolari difficoltà. Basta calcolare la variazione di energia potenziale gravitazionale.
P.S.
A questo punto, possiamo tranquillamente supporre due adiabatiche reversibili (pistoni adiabatici), degenere quella relativa al recipiente B. In questo modo, non è necessario imporre la variazione complessiva di entropia uguale a zero, essendolo a priori.
P.S.
Ad ogni modo, hai provato a calcolare il lavoro della forza peso conoscendo tutte le coordinate termodinamiche finali? Non dovrebbe presentare particolari difficoltà. Basta calcolare la variazione di energia potenziale gravitazionale.
P.S.
A questo punto, possiamo tranquillamente supporre due adiabatiche reversibili (pistoni adiabatici), degenere quella relativa al recipiente B. In questo modo, non è necessario imporre la variazione complessiva di entropia uguale a zero, essendolo a priori.
Ho pensato di calcolare il lavoro delle forze peso come il lavoro compiuto dal gas in A e B (potrei anche ricavarlo come variazione di energia potenziale gravitazionale conoscendo la variazione di quota del sistema, ma sul pistone B la massa è variabile nel tempo e non so gestire questa condizione). Ritornando al lavoro sui gas, il gas in B non compie lavoro di volume. Il gas in A invece si espande; non scambiando calore con l'esterno (nella mia ipotesi) L=-∆U=-nR∆T. Ora il numero di moli posso trovarlo dall'equazione di stato del gas, T iniziale e finale già lì ho... Ma niente, non mi trovo con il risultato fornito!
"Gogos07":
... ma sul pistone B la massa è variabile nel tempo ...
Hai ragione, non ci avevo pensato. Coraggio, prima di morire, se non mi viene l'Alzheimer, dovrei riuscire a calcolarlo.
Riassumendo:
1. I pistoni sono adiabatici.
2. Le trasformazioni sono adiabatiche reversibili (quella relativa al recipiente B si riduce a un punto).
3. Conoscendo le pressioni finali:
$\{(P_A=P_0-g/S(m_B+3m)),(P_B=P_0-g/Sm_B):}$
è possibile determinare volumi e temperature finali.
Non avendo visto questo post, ho pubblicato anche io lo stesso problema poco fa
Volevo aggiungere, nel caso servisse, che visto che ha dato problemi anche ad altre persone, il mio professore l'ha svolto e ci ha detto che il lavoro dovrebbe essere 4,88 J non 4,74 J anche se non so quanto possa cambiare effettivamente
Purtroppo non ho ancora avuto modo di discutere per bene il problema con lui e quindi sono bloccato anche io...
Volevo aggiungere, nel caso servisse, che visto che ha dato problemi anche ad altre persone, il mio professore l'ha svolto e ci ha detto che il lavoro dovrebbe essere 4,88 J non 4,74 J anche se non so quanto possa cambiare effettivamente
Purtroppo non ho ancora avuto modo di discutere per bene il problema con lui e quindi sono bloccato anche io...
"sn1054m1":
... ci ha detto che il lavoro dovrebbe essere ...
Buono a sapersi.
Edit: ad ogni modo se valuto la variazione di energia interna del gas in A mi trovo ~13,6... Valore lontano da 4
"sn1054m1":
Volevo aggiungere, nel caso servisse, che visto che ha dato problemi anche ad altre persone, il mio professore l'ha svolto e ci ha detto che il lavoro dovrebbe essere 4,88 J non 4,74 J anche se non so quanto possa cambiare effettivamente.
Ricontrollando la fonte del documento in cui è presente l'esercizio in questione ho visto che effettivamente è stato aggiornato il file e ora risulta L=4,88J. Gli altri dati sono invariati.
Per curiosità frequenti anche tu fisica a Napoli? Perché dalla foto che hai postato vedo che stiamo usando la stessa raccolta di esercizi, quella del prof.Clarizia
frequenti anche tu fisica a Napoli?
Si haha
Festa o Piedipalumbo?
Festa 
Esprimendo la relazione tra la massa variabile del pistone e la sua quota, è necessario risolvere un'equazione differenziale derivata dall'equazione di Poisson, e calcolando il lavoro della forza peso mediante la variazione di energia potenziale, si ottiene 4.82 J. Appena possibile, se vi interessa, posto il procedimento e provo a rifare i calcoli mantenendo qualche cifra significativa in più. Ad ogni modo, vi risulta che possano essere assegnati esercizi con questo grado di complessità?
"anonymous_0b37e9":
Esprimendo la relazione tra la massa variabile del pistone e la sua altezza
Cioè? (?)
Comunque si grazie, sarebbe molto utile haha
Ok. Per fare prima, anche se non sarebbe corretto, si potrebbe supporre una relazione lineare, si ottiene 4.80 J. Ripeto la domanda: vi risulta che possano essere assegnati esercizi in cui è necessario risolvere delle equazioni differenziali?
P.S.
Ho corretto: 4.80 J
P.S.
Ho corretto: 4.80 J
Beh però è molto lontano dal risultato..
Scusa, non avevo visto la modifica
In teoria non credo, ci dovrebbe essere un modo semplice per risolverlo ottenendo il risultato dato dal testo perchè alla fine questo è uno dei problemi "semplici" del blocco di esercizi (d'altronde tutti i quesiti a parte questo del lavoro sono semplici)
Se non è un problema mi spiegheresti come lo hai risolto? Anche a grandi linee, giusto per capire(?)
Scusa, non avevo visto la modifica
In teoria non credo, ci dovrebbe essere un modo semplice per risolverlo ottenendo il risultato dato dal testo perchè alla fine questo è uno dei problemi "semplici" del blocco di esercizi (d'altronde tutti i quesiti a parte questo del lavoro sono semplici)
Se non è un problema mi spiegheresti come lo hai risolto? Anche a grandi linee, giusto per capire(?)
Stasera posto il mio procedimento. Intanto che ci sono, vedo se esistono delle scorciatoie che possano portare al risultato corretto.
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