Problema lavoro di sistema termodinamico
Buonasera, sono un nuovo membro di questo bel forum che già in passato mi è stato d'aiuto (sebbene non iscritto) per la risoluzione di alcuni esercizi di fisica. Vorrei sottoporvi questo problema di termodinamica che mi sta dando dei grattacapi:
La figura 2 rappresenta una sezione verticale di un dispositivo immerso nell’atmosfera, costituito da un recipiente A solidale ad un sostegno fisso e da un recipiente B sostenuto
nel modo indicato: in A e B sono contenute nA e nB moli di un gas perfetto monoatomico. Tutte
le pareti dei recipienti sono isolate (termicamente). I due pistoni, entrambi di sezione S e massa m, possono scorrere verticalmente senza attrito. Il sistema è in equilibrio e in A e B la temperatura vale T0, e i volumi VA,0 = VB,0.
a) Si determini la differenza pB,0 − pA,0 tra le pressioni in A e B.
b) La massa del recipiente B (escluso il pistone) è mB: quanto valgono pA,0 e pB,0?
c) Sopra il pistone che chiude B si aggiungono dei pesi, uno alla volta e sufficientemente piccoli per poter considerare la trasformazione reversibile, fino a raddoppiare la massa del pistone in questione; si calcolino i volumi finali VA e VB di A e B, le due temperature TA e TB e il lavoro compiuto complessivamente dalle forze peso che agiscono sull’intero sistema.
I dati numerici sono: S = 1.8 dm2
; m = 16 kg ; mB = 9 kg ; T0 = 300 K ; VA,0 = 2.5 l.
Vi allego sotto la foto della situazione descritta.
Ho risolto tutti i punti del problema, ma non riesco a trovarmi il lavoro delle forze peso. Ho pensato di porlo uguale alla differenza di energia interna del gas in A e B ma non è questa la soluzione. Spero possiate darmi qualche utile suggerimento.
La figura 2 rappresenta una sezione verticale di un dispositivo immerso nell’atmosfera, costituito da un recipiente A solidale ad un sostegno fisso e da un recipiente B sostenuto
nel modo indicato: in A e B sono contenute nA e nB moli di un gas perfetto monoatomico. Tutte
le pareti dei recipienti sono isolate (termicamente). I due pistoni, entrambi di sezione S e massa m, possono scorrere verticalmente senza attrito. Il sistema è in equilibrio e in A e B la temperatura vale T0, e i volumi VA,0 = VB,0.
a) Si determini la differenza pB,0 − pA,0 tra le pressioni in A e B.
b) La massa del recipiente B (escluso il pistone) è mB: quanto valgono pA,0 e pB,0?
c) Sopra il pistone che chiude B si aggiungono dei pesi, uno alla volta e sufficientemente piccoli per poter considerare la trasformazione reversibile, fino a raddoppiare la massa del pistone in questione; si calcolino i volumi finali VA e VB di A e B, le due temperature TA e TB e il lavoro compiuto complessivamente dalle forze peso che agiscono sull’intero sistema.
I dati numerici sono: S = 1.8 dm2
; m = 16 kg ; mB = 9 kg ; T0 = 300 K ; VA,0 = 2.5 l.
Vi allego sotto la foto della situazione descritta.
Ho risolto tutti i punti del problema, ma non riesco a trovarmi il lavoro delle forze peso. Ho pensato di porlo uguale alla differenza di energia interna del gas in A e B ma non è questa la soluzione. Spero possiate darmi qualche utile suggerimento.
Risposte
"anonymous_0b37e9":
Ok. Per fare prima, anche se non sarebbe corretto, si potrebbe supporre una relazione lineare, si ottiene 4.80 J.
Un risultato del genere l'avevo trovato anch'io pensando ad una massa fittizia di 8 kg applicata costantemente (al posto della massa variabile).
Per la difficoltà dell'esercizio non saprei dirti, in generale le equazioni differenziali non le ho ancora fatte (ho il corso di Analisi 2 il prossimo semestre) se non per risolvere l'equazione della forza elastica, pendolo e simili.
Francamente, il procedimento che ho seguito, procedimento "forza bruta" puramente meccanico per intenderci, non può fallire. Se ho capito bene, hai provato per via più termodinamica. Come mai non ricavi il risultato corretto?
"anonymous_0b37e9":
Come mai non ricavi il risultato corretto?
Bella domanda
Hai considerato anche il lavoro della pressione atmosferica sui pistoni e sul recipiente B?
No, non saprei come fare
Nello stato iniziale:
$\{(P_(AI)=P_0-g/S(m_B+2m)),(V_(AI)=V_0),(T_(AI)=T_0):} ^^ \{(P_(BI)=P_0-g/Sm_B),(V_(BI)=V_0),(T_(BI)=T_0):}$
Nello stato finale:
$\{(P_(AF)=P_0-g/S(m_B+3m)),(V_(AF)=[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)V_0),(T_(AF)=[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)T_0):} ^^ \{(P_(BF)=P_0-g/Sm_B),(V_(BF)=V_0),(T_(BF)=T_0):}$
Il lavoro della forza peso, calcolato termodinamicamente, è dato dalla formula sottostante:
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]+3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
Utilizzando 101300 Pa per la pressione atmosferica e 9.81 m/s^2 per l'accelerazione di gravità si ottiene proprio 4.88 J.
P.S.
Nel calcolo del lavoro della forza peso è necessario considerare il lavoro della pressione atmosferica sulla base del recipiente B. Calcolare il lavoro meccanicamente, mediante la variazione di energia potenziale e dopo aver determinato la relazione tra la massa variabile e la quota del pistone B, pur essendo interessante, risulta molto più complicato. La semplificazione ottenuta termodinamicamente consiste nel calcolo della variazione di energia interna relativa all'espansione adiabatica reversibile del recipiente A.
$\{(P_(AI)=P_0-g/S(m_B+2m)),(V_(AI)=V_0),(T_(AI)=T_0):} ^^ \{(P_(BI)=P_0-g/Sm_B),(V_(BI)=V_0),(T_(BI)=T_0):}$
Nello stato finale:
$\{(P_(AF)=P_0-g/S(m_B+3m)),(V_(AF)=[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)V_0),(T_(AF)=[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)T_0):} ^^ \{(P_(BF)=P_0-g/Sm_B),(V_(BF)=V_0),(T_(BF)=T_0):}$
Il lavoro della forza peso, calcolato termodinamicamente, è dato dalla formula sottostante:
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]+3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
Utilizzando 101300 Pa per la pressione atmosferica e 9.81 m/s^2 per l'accelerazione di gravità si ottiene proprio 4.88 J.
P.S.
Nel calcolo del lavoro della forza peso è necessario considerare il lavoro della pressione atmosferica sulla base del recipiente B. Calcolare il lavoro meccanicamente, mediante la variazione di energia potenziale e dopo aver determinato la relazione tra la massa variabile e la quota del pistone B, pur essendo interessante, risulta molto più complicato. La semplificazione ottenuta termodinamicamente consiste nel calcolo della variazione di energia interna relativa all'espansione adiabatica reversibile del recipiente A.
Wow grazie mille! Che bella soluzione
Solo una cosa... Il primo termine del lavoro mi è chiaro... Il secondo relativo al lavoro della pressione atmosferica un po' meno. Ti sarei immensamente grato se potessi darmi qualche suggerimento sull'impostazione dei calcoli.
Solo una cosa... Il primo termine del lavoro mi è chiaro... Il secondo relativo al lavoro della pressione atmosferica un po' meno. Ti sarei immensamente grato se potessi darmi qualche suggerimento sull'impostazione dei calcoli.
Era l'unico modo per ottenere quel maledetto 4,88 J. Ad ogni modo, scanso equivoci:
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]$
è il lavoro (in modulo) della pressione atmosferica sulla base del recipiente B, $[P_0(V_(AF)-V_(AI))]$;
$3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
è la variazione di energia interna relativa all'adiabatica reversibile del recipiente A, $[n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))]$.
Per quanto riguarda i segni:
$[n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))=L_(peso)-P_0(V_(AF)-V_(AI))] rarr [L_(peso)=P_0(V_(AF)-V_(AI))+n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))]$
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]$
è il lavoro (in modulo) della pressione atmosferica sulla base del recipiente B, $[P_0(V_(AF)-V_(AI))]$;
$3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
è la variazione di energia interna relativa all'adiabatica reversibile del recipiente A, $[n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))]$.
Per quanto riguarda i segni:
$[n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))=L_(peso)-P_0(V_(AF)-V_(AI))] rarr [L_(peso)=P_0(V_(AF)-V_(AI))+n_A3/2R(T_(AF)-T_(AI))]$
Mettendo i dati (e le soluzioni) del problema:
$p_(A,0)=0,799 atm$
$V_(A,0)=2,5 l$
$V_A=2,682 l$
$T_0=300 K$
$T_A=286,3 K$
E le costanti: 101325 e 9,81 mi trovo 4,9 J con le tue formule però non capisco perché poni direttamente $\DeltaU=L_(peso)-P_0(\DeltaV)$
$p_(A,0)=0,799 atm$
$V_(A,0)=2,5 l$
$V_A=2,682 l$
$T_0=300 K$
$T_A=286,3 K$
E le costanti: 101325 e 9,81 mi trovo 4,9 J con le tue formule però non capisco perché poni direttamente $\DeltaU=L_(peso)-P_0(\DeltaV)$
Intanto, se vuoi ottenere esattamente 4.88 J, devi mettere solo i dati, non le soluzioni intermedie, che sono già approssimate. Del resto:
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]+3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
contiene solo i dati, non le soluzioni intermedie. Inoltre, quella relazione è il primo principio della termodinamica.
P.S.
Per la precisione, ho considerato 101300 Pa per la pressione atmosferica e 9.81 m/s^2 per l'accelerazione di gravità. Non ho fatto i calcoli sostituendo 101325 Pa per la pressione atmosferica. Tuttavia, il risultato potrebbe anche restare sostanzialmente immodificato. Ad ogni modo, non mi pare una questione di estrema rilevanza.
$P_0V_0[[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(3/5)-1]+3/2V_0[P_0-g/S(m_B+2m)][[(P_0S-g(m_B+2m))/(P_0S-g(m_B+3m))]^(-2/5)-1]$
contiene solo i dati, non le soluzioni intermedie. Inoltre, quella relazione è il primo principio della termodinamica.
P.S.
Per la precisione, ho considerato 101300 Pa per la pressione atmosferica e 9.81 m/s^2 per l'accelerazione di gravità. Non ho fatto i calcoli sostituendo 101325 Pa per la pressione atmosferica. Tuttavia, il risultato potrebbe anche restare sostanzialmente immodificato. Ad ogni modo, non mi pare una questione di estrema rilevanza.
Vabbè si, infatti è solo circa 0,02 in più, non è quello il problema
Lo so che è il primo principio, però all'inizio non capivo perché al posto di $\DeltaU=-L$ avessi messo direttamente quella forma, in pratica $L_(gas)=-L_(ext)=-(L_(peso)-P_0\DeltaV)$, no?
Comunque grazie mille per l'aiuto
Lo so che è il primo principio, però all'inizio non capivo perché al posto di $\DeltaU=-L$ avessi messo direttamente quella forma, in pratica $L_(gas)=-L_(ext)=-(L_(peso)-P_0\DeltaV)$, no?
Comunque grazie mille per l'aiuto
"sn1054m1":
... però all'inizio non capivo perché ...
Esattamente.
"anonymous_0b37e9":
Esattamente.
Davvero grazie mille. Anch'io avevo considerato L=-∆U dimenticandomi totalmente del lavoro dovuto alla pressione atmosferica.
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