Problema Fisica I
ciao, mi servirebbe un aiuto con questo problema:
Un corpo puntiforme di massa m nota è appoggiato sulla sommità di un piano inclinato liscio di massa M1= 2m, base L (nota) ed angolo di inclinazione α = 45◦, che è vincolato a scorrere senza attrito su un piano orizzontale liscio. Inoltre il raccordo tra il piano inclinato e il piano orizzontale è smussato.
Nell’ipotesi che inizialmente tutto sia in quiete, determinare:
1) la velocità del corpo quando ha raggiunto il piano orizzontale.
Supponendo inoltre che lungo la sua traiettoria il corpo puntiforme incontri un piano inclinato di
massa M2= 3m, a sua volta liscio, libero di scorrere sul piano orizzontale e tale che il raccordo
con il piano orizzontale sia anch’esso smussato, calcolare:
2) la massima altezza H raggiunta dal corpo su questo secondo piano inclinato
Ho alcuni dubbi:
Nel problema si dice che il piano inclinato scorre senza attrito sul piano orizzontale liscio, quindi quando la massa è messa in movimento ci dovrebbe essere una forza(presumibilmente la forza peso perpendicolare al piano inclinato che provoca lo spostamento del corpo di massa M). Vorrei capire se questo spostamento influenza il moto del corpo puntiforme e in che modo? O mi basta utilizzare il teorema di conservazione dell'energia?
Inoltre per svolgere il secondo punto, devo considerare un urto? elastico o anelastico? poichè è vero che i corpi rimangono attaccati ma quello puntiforme è comunque in moto rispetto all'altro.
grazie mille
Un corpo puntiforme di massa m nota è appoggiato sulla sommità di un piano inclinato liscio di massa M1= 2m, base L (nota) ed angolo di inclinazione α = 45◦, che è vincolato a scorrere senza attrito su un piano orizzontale liscio. Inoltre il raccordo tra il piano inclinato e il piano orizzontale è smussato.
Nell’ipotesi che inizialmente tutto sia in quiete, determinare:
1) la velocità del corpo quando ha raggiunto il piano orizzontale.
Supponendo inoltre che lungo la sua traiettoria il corpo puntiforme incontri un piano inclinato di
massa M2= 3m, a sua volta liscio, libero di scorrere sul piano orizzontale e tale che il raccordo
con il piano orizzontale sia anch’esso smussato, calcolare:
2) la massima altezza H raggiunta dal corpo su questo secondo piano inclinato
Ho alcuni dubbi:
Nel problema si dice che il piano inclinato scorre senza attrito sul piano orizzontale liscio, quindi quando la massa è messa in movimento ci dovrebbe essere una forza(presumibilmente la forza peso perpendicolare al piano inclinato che provoca lo spostamento del corpo di massa M). Vorrei capire se questo spostamento influenza il moto del corpo puntiforme e in che modo? O mi basta utilizzare il teorema di conservazione dell'energia?
Inoltre per svolgere il secondo punto, devo considerare un urto? elastico o anelastico? poichè è vero che i corpi rimangono attaccati ma quello puntiforme è comunque in moto rispetto all'altro.
grazie mille
Risposte
"allessandro":
Vorrei capire se questo spostamento influenza il moto del corpo puntiforme e in che modo? O mi basta utilizzare il teorema di conservazione dell'energia?
Sopratutto la conservazione della QM (orizzontale) (sempre zero)
"allessandro":Nessun urto. Ancora conservazione QM orizzontale (questa invece non è zero)
Inoltre per svolgere il secondo punto, devo considerare un urto? elastico o anelastico? poichè è vero che i corpi rimangono attaccati ma quello puntiforme è comunque in moto rispetto all'altro.
grazie mille
ciao,
Ho provato ad impostare così il problema:
-CONSERVAZIONE QM: $0=2mv_1+mvcos45$ dove con $v_1$ indico la velocità della massa M=2m
-CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA $U_i=K_f$ : $mg(L/cos45)=(1/2)2m(v_1)^2+(1/2)mv^2cos45$
Non riesco però ad andare avanti, non riesco a creare un sistema che mi faccia trovare una delle due velocità,grazie dell'altra risposta.
Ho provato ad impostare così il problema:
-CONSERVAZIONE QM: $0=2mv_1+mvcos45$ dove con $v_1$ indico la velocità della massa M=2m
-CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA $U_i=K_f$ : $mg(L/cos45)=(1/2)2m(v_1)^2+(1/2)mv^2cos45$
Non riesco però ad andare avanti, non riesco a creare un sistema che mi faccia trovare una delle due velocità,grazie dell'altra risposta.
A parte il fatto che $cos45$ non c'entra nell'espressione dell'energia cinetica, cos'è che non va nel sistema che hai scritto? Dalla prima ricavi subito $v_1 = v*sqrt(2)/4$ e dalla seconda ricavi $v$
ho sbagliato, volevo scrivere (cos45)^2 per indicare la componente orizzontale al piano inclinato, ma quindi sarebbe stato comunque sbagliato?
Per il secondo punto, ho impostato la conservazione della QM:$mv=(m+3m)v_2$
e dell'energia meccanica $(1/2)mv=mgh+(1/2)(m+3m)v_2^2$ in modo da ricavare h, è il procedimento esatto?
Grazie mille ancora
Per il secondo punto, ho impostato la conservazione della QM:$mv=(m+3m)v_2$
e dell'energia meccanica $(1/2)mv=mgh+(1/2)(m+3m)v_2^2$ in modo da ricavare h, è il procedimento esatto?
Grazie mille ancora
Ripensandoci, direi che il primo punto non va. Quei 45° non sono la direzione della velocità nel riferimento fisso, ma in quello del cuneo. Dev'essere semplice, ma al momento non mi viene in mente... Ci penserò poi, ora non ho tempo.
Invece il secondo punto è facile.
Hai inizialmente un energia cinetica $K_i = 1/2mv^2$, e una $QM_i = mv$.
Quando la palla è arrivata nel punto più alto, la palla e il cuneo si muovono insieme a velocità (orizzontale) $v'$ la QM è la stessa, quindi $mv = (m + 2m)v' -> v' = 1/3v$. Il bilancio energetico ci dà $1/2mv^2 = 1/2(m + 2m)v'^2 + mgh$ da cui si ricava $h$
Invece il secondo punto è facile.
Hai inizialmente un energia cinetica $K_i = 1/2mv^2$, e una $QM_i = mv$.
Quando la palla è arrivata nel punto più alto, la palla e il cuneo si muovono insieme a velocità (orizzontale) $v'$ la QM è la stessa, quindi $mv = (m + 2m)v' -> v' = 1/3v$. Il bilancio energetico ci dà $1/2mv^2 = 1/2(m + 2m)v'^2 + mgh$ da cui si ricava $h$
Riguardo al primo punto, l'inclinazione del piano non ha effetto, perché il cuneo è "raccordato" col piano orizzontale di appoggio, pertanto la velocità finale della massa è perfettamente orizzontale (e il $cos(45°)$ o $sin(45°)$ non c'entrano direttamente).
Tempo fa, parlammo di un corpo, assimilabile a un punto materiale, che scende per gravità su un piano inclinato, che è la faccia superiore di un cuneo, il quale può muoversi senza attrito su un piano orizzontale. Non c'è attrito neanche tra corpo e piano inclinato. È lo stesso tuo caso:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8258642
ti raccomando di dare una attenta lettura all'esercizio in inglese ivi allegato. Come vedi, il moto relativo del corpo è uniformemente accelerato, ma il riferimento del cuneo è mobile ed è anche esso accelerato, quindi non è inerziale, e devi tenere conto della forza inerziale di trascinamento $-m\veca$ che agisce sul corpo. Nell’esercizio si determinano tante quantità di cui non hai bisogno; hai bisogno solo della velocità $vecu$ del cuneo, diretta verso sinistra, per poter applicare la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale, come spiegato. La velocità $vecv$ con cui il corpo abbandona il cuneo è velocità “relativa” del corpo rispetto al cuneo, e ha la direzione del piano inclinato; il modulo $v$ si può trovare sapendo l’accelerazione relativa $\alpha$ del corpo e la lunghezza del piano inclinato (formule del moto uniformemente accelerato). Dopo di che, la componente orizzontale della velocità relativa vale $vcostheta$.
Per me, la precisazione che il cuneo è raccordato col piano orizzontale significa solo che non c’è perdita di energia del corpo nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, quindi non sono d’accordo con Faussone, l’angolo conta. Ma su questo il testo non è chiaro.
Ecco, io farei così per la prima parte.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8258642
ti raccomando di dare una attenta lettura all'esercizio in inglese ivi allegato. Come vedi, il moto relativo del corpo è uniformemente accelerato, ma il riferimento del cuneo è mobile ed è anche esso accelerato, quindi non è inerziale, e devi tenere conto della forza inerziale di trascinamento $-m\veca$ che agisce sul corpo. Nell’esercizio si determinano tante quantità di cui non hai bisogno; hai bisogno solo della velocità $vecu$ del cuneo, diretta verso sinistra, per poter applicare la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale, come spiegato. La velocità $vecv$ con cui il corpo abbandona il cuneo è velocità “relativa” del corpo rispetto al cuneo, e ha la direzione del piano inclinato; il modulo $v$ si può trovare sapendo l’accelerazione relativa $\alpha$ del corpo e la lunghezza del piano inclinato (formule del moto uniformemente accelerato). Dopo di che, la componente orizzontale della velocità relativa vale $vcostheta$.
Per me, la precisazione che il cuneo è raccordato col piano orizzontale significa solo che non c’è perdita di energia del corpo nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, quindi non sono d’accordo con Faussone, l’angolo conta. Ma su questo il testo non è chiaro.
Ecco, io farei così per la prima parte.
"Shackle":
Per me, la precisazione che il cuneo è raccordato col piano orizzontale significa solo che non c’è perdita di energia del corpo nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, quindi non sono d’accordo con Faussone, l’angolo conta.
Certamente l'angolo conta se si vuol sapere la velocità del corpo prima di arrivare in fondo. Basta pensare al caso limite in cui il cuneo diventa una parete verticale ($theta = 90°$) in cui non c'è nessun trasferimento di moto al cuneo. Nel caso nostro, visto il rapporto 1:2 delle masse, la direzione di caduta del corpo, nel riferimento fisso è facile da trovare: la velocità orizzontale del cuneo è metà di quella del corpo, e si sottrae a quella del corpo, che quindi si dimezza; la direzione "assoluta" di caduta è allora quella di un vettore con $v_y = 2 v_x$, da cui $theta = arctg 2 = 63,4°$
Invece, dopo il raccordo con l'orizzontale, direi che ha ragione Faussone. Per cui il raccordo entra in modo essenziale nella dinamica del sistema, non è solo un modo per dire che non c'è perdita di energia.
@allesandro
ti metto pure i calcoli con tutte le forze :
@mgrau
rimango del mio parere. Il testo non è chiaro al riguardo. Quanto è ampio questo raccordo ? Che raggio ha? Quindi il corpo sul piano orizzontale quale velocità ha ?
Metti $theta =0$ e quindi $costheta =1$ nella formula (9.9) della conservazione della q.d.m. data dall'esercizio inglese. Hai :
$Mu = m(v-u) \rarr (M+m)u = mv \rarr 3m*u = mv \rarr v = 3u $
Essendo $v$ la velocita relativa del corpo rispetto al cuneo, quella assoluta rispetto al piano sarebbe : $v-u = 3u-u = 2u$ , come dici .
Potrebbe anche essere , ma non si fanno esercizi di fisica a questa maniera, suvvia !
ti metto pure i calcoli con tutte le forze :
@mgrau
rimango del mio parere. Il testo non è chiaro al riguardo. Quanto è ampio questo raccordo ? Che raggio ha? Quindi il corpo sul piano orizzontale quale velocità ha ?
Metti $theta =0$ e quindi $costheta =1$ nella formula (9.9) della conservazione della q.d.m. data dall'esercizio inglese. Hai :
$Mu = m(v-u) \rarr (M+m)u = mv \rarr 3m*u = mv \rarr v = 3u $
Essendo $v$ la velocita relativa del corpo rispetto al cuneo, quella assoluta rispetto al piano sarebbe : $v-u = 3u-u = 2u$ , come dici .
Potrebbe anche essere , ma non si fanno esercizi di fisica a questa maniera, suvvia !
ciao @Shackle, ho letto l'esercizio in inglese che hai linkato, effettivamente ho capito come entrano in gioco le varie forze nel sistema, però non so se ho capito bene come trovare la velocità del corpo di massa m.
Dopo aver trovato la velocità con cui il cuneo si muove "verso sinistra" e la velocità orizzontale relativa della massa m(ossia la velocità del corpo nel sistema di riferimento solidale al cuneo), devo applicare la conservazione dell QM orizzontale per scoprire la velocità della particella nel sistema di riferimento inerziale?(non so se è giusto dire inerziale, intendo un sistema che abbia un asse parallelo al pavimento e uno perpendicolare a questo)
Grazie
Dopo aver trovato la velocità con cui il cuneo si muove "verso sinistra" e la velocità orizzontale relativa della massa m(ossia la velocità del corpo nel sistema di riferimento solidale al cuneo), devo applicare la conservazione dell QM orizzontale per scoprire la velocità della particella nel sistema di riferimento inerziale?(non so se è giusto dire inerziale, intendo un sistema che abbia un asse parallelo al pavimento e uno perpendicolare a questo)
Grazie
Si; la velocità assoluta del corpo sul piano orizzontale è $vcostheta -u$ , vedi equazione 9.9 . Secondo l’interpretazione di mgrau/Faussone, tenuto conto che M=2m, dovrebbe essere uguale a 2u .
"Shackle":
Si; la velocità assoluta del corpo sul piano orizzontale è $vcostheta -u$ , vedi equazione 9.9 . Secondo l’interpretazione di mgrau/Faussone, tenuto conto che M=2m, dovrebbe essere uguale a 2u .
Alla fine però non ho capito qual è la tua interpretazione. Tu sostieni che la velocità del cuneo, dopo che il corpo lo ha lasciato e si muove in orizzontale, dipende dall'angolo? E quanto dovrebbe valere? Questo nell'ipotesi che il cuneo termini con il fantomatico raccordo... o altrimenti, quale potrebbe essere la situazione?
scusa ancora @schackle, rileggendo il problema, non capisco perchè il corpo che si muove sul cuneo ha un'accelerazione di trascinamento opposta rispetto al cuneo stesso. Non dovrebbero subire entrambi la stessa accelerazione che è quella che causa lo spostamento del cuneo e quindi nello stesso verso?
@mgrau
La mia interpretazione è quella dell'esercizio inglese che ho linkato. La formula 9.9 esprime la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale. La velocità del cuneo è $vecu$ , verso sinistra, il cui modulo vale quanto riportato nella 9.11 oppure 9.21 (esprimono entrambe il quadrato di u) . LA velocità relativa è sempre parallela al piano inclinato, per cui forma l'angolo $theta$ col piano orizzontale, fino alla fine . Tieni presente che la formula 9.11 si può scrivere , dopo alcuni passaggi algebrici che non riporto , in questa maniera :
$u^2 = (2m^2ghcos^2theta)/((M+m)(M+msen^2theta)) $
quindi, la velocita assoluta del cuneo verso sinistra dipende dall'angolo, si . E perciò dipende dall'angolo anche la velocità assoluta del blocchetto, e la sua componente sul piano orizzontale, che vale $vcostheta - u $ , come ho già ripetuto.
Aggiungo che ho trovato le stesso esercizio in un testo italiano di fisica , naturalmente con altri simboli , ma quello che conta è la sostanza, non i simboli. Ecco qua ( chiedo scusa per la cattiva qualità delle copie, comunque si capisce) :
Ti faccio osservare che la formula finale che dà $V$ ( la velocità del cuneo verso sinistra, ovvero la velocità di trascinamento , che nell'esercizio inglese è indicata con $u$ ) è la stessa di quella che ho scritto qui sopra, per facilitare il confronto.
LA mia posizione è, in definitiva, che il testo dell'esercizio dato ad Alessandro confonde le idee a chi legge , e il suo redattore avrebbe fatto meglio a dire, semplicemente : " Si supponga che, nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, non ci sia perdita di energia del blocchetto" , senza inventarsi raccordi di comodo.
Questo è il mio punto di vista.
@allesandro
L'accelerazione "di trascinamento" , che il testo inglese chiama $veca$ e io nei miei calcoli ho chiamato $vecA$, è diretta verso sinistra. SE conosci un po' i moti relativi , sai che la "forza apparente di trascinamento" agente su un corpo che si trova nel riferimento non inerziale, è data da : $vecF_t = -mveca $, quindi é diretta verso destra. Non confondere la "accelerazione di trascinamento" con la "forza apparente di trascinamento" . In altri termini, ragiona cosi : l'accelerazione di trascinamento del cuneo verso Sn "alleggerisce" la forza con cui il blocchetto preme sulla faccia inclinata; è come se "gli togliessi il terreno di sotto" ...
Spero sia chiaro .
La mia interpretazione è quella dell'esercizio inglese che ho linkato. La formula 9.9 esprime la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale. La velocità del cuneo è $vecu$ , verso sinistra, il cui modulo vale quanto riportato nella 9.11 oppure 9.21 (esprimono entrambe il quadrato di u) . LA velocità relativa è sempre parallela al piano inclinato, per cui forma l'angolo $theta$ col piano orizzontale, fino alla fine . Tieni presente che la formula 9.11 si può scrivere , dopo alcuni passaggi algebrici che non riporto , in questa maniera :
$u^2 = (2m^2ghcos^2theta)/((M+m)(M+msen^2theta)) $
quindi, la velocita assoluta del cuneo verso sinistra dipende dall'angolo, si . E perciò dipende dall'angolo anche la velocità assoluta del blocchetto, e la sua componente sul piano orizzontale, che vale $vcostheta - u $ , come ho già ripetuto.
Aggiungo che ho trovato le stesso esercizio in un testo italiano di fisica , naturalmente con altri simboli , ma quello che conta è la sostanza, non i simboli. Ecco qua ( chiedo scusa per la cattiva qualità delle copie, comunque si capisce) :
Ti faccio osservare che la formula finale che dà $V$ ( la velocità del cuneo verso sinistra, ovvero la velocità di trascinamento , che nell'esercizio inglese è indicata con $u$ ) è la stessa di quella che ho scritto qui sopra, per facilitare il confronto.
LA mia posizione è, in definitiva, che il testo dell'esercizio dato ad Alessandro confonde le idee a chi legge , e il suo redattore avrebbe fatto meglio a dire, semplicemente : " Si supponga che, nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, non ci sia perdita di energia del blocchetto" , senza inventarsi raccordi di comodo.
Questo è il mio punto di vista.
@allesandro
L'accelerazione "di trascinamento" , che il testo inglese chiama $veca$ e io nei miei calcoli ho chiamato $vecA$, è diretta verso sinistra. SE conosci un po' i moti relativi , sai che la "forza apparente di trascinamento" agente su un corpo che si trova nel riferimento non inerziale, è data da : $vecF_t = -mveca $, quindi é diretta verso destra. Non confondere la "accelerazione di trascinamento" con la "forza apparente di trascinamento" . In altri termini, ragiona cosi : l'accelerazione di trascinamento del cuneo verso Sn "alleggerisce" la forza con cui il blocchetto preme sulla faccia inclinata; è come se "gli togliessi il terreno di sotto" ...
Spero sia chiaro .
Leggete anche qui, notare che in quel problema non c'è raccordo tra cuneo e piano, a differenza di questo.
Ho letto, ma alcuni messaggi sono indecifrabili. Mi sembra che Falco5x sia arrivato , per la velocità di traslazione del cuneo $v_2$ , alla stessa formula finale che ho riportato :
"Falco5x":
Vabbè, mi sono stufato, questo problema ha resistito fin troppo.
Allora partendo da equazioni già menzionate in questo topic e cioè:
$v_2^2=(2gh-v_1^2)m/M
e
$Mv_2=-mv_1cos\beta$
dove $tan\beta=tan\alpha(m/M+1)
e facendo passaggi di sola sostituzione pervengo alla seguente soluzione:
$v_2=\sqrt((2ghm^2cos^2\alpha)/((m+M)(M+msin^2\alpha)))$
da cui mi viene il sospetto che nella soluzione del libro sia stato dimenticato un quadrato sul seno a denominatore
"Shackle":
LA mia posizione è, in definitiva, che il testo dell'esercizio dato ad Alessandro confonde le idee a chi legge , e il suo redattore avrebbe fatto meglio a dire, semplicemente : " Si supponga che, nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale, non ci sia perdita di energia del blocchetto" , senza inventarsi raccordi di comodo.
Sono d'accordo con te che se facciamo questa supposizione, hai ragione tu.
Il problema è che mi pare una supposizione piuttosto irrealistica, senza raccordo (che quindi non è poi tanto "di comodo"). Posso immaginare una qualche possibilità : in sostanza il raccordo deve stare sulla guida orizzontale, e non nel cuneo, in modo che la variazione di QM del corpo sia fornita dal terreno e non dal cuneo; per cui deve scendere sotto, poi risalire, deve essere bidirezionale, se no il corpo si alza in volo, e naturalmente dev'essere nel posto giusto perchè il corpo che scivola ci si infili; una cosa parecchio macchinosa... o c'è qualche soluzione più semplice?:?
Suddividiamo il problema in due fasi: discesa del punto materiale dal cuneo M[size=85]1[/size] e salita dello stesso sul cuneo M[size=85]2[/size].
Fase 1a:
Nessuna forza esterna agisce sul sistema.
Si ha conservazione della quantità di moto che inizialmente è nulla (punto fermo).
Al termine della discesa si avrà:
[tex]M_1v_c+mv_p=0[/tex]
[tex]2mv_c+mv_p=0[/tex]
Con [tex]m\neq0[/tex] possiamo scrivere
[tex]v_p=-2v_c[/tex]
Al termine della discesa, il punto si muove con velocità doppia rispetto al cuneo e in direzione opposta, indipendentemente dall'inclinazione del cuneo.
Fase 1b:
Nessun lavoro dissipativo nel sistema.
Si ha conservazione dell'energia che inizialmente è data da
[tex]E_1=mgL[/tex]
(essendo l'altezza del punto sul piano pari alla lunghezza del cuneo, in ragione dell'angolo dello stesso)
Al termine della discesa si avrà:
[tex]\frac{1}{2}M_1v_c^2+\frac{1}{2}mv_p^2=mgL[/tex]
[tex]\frac{1}{2}2mv_c^2+\frac{1}{2}m4v_c^2=mgL[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]3v_c^2=gL[/tex]
[tex]v_c=\sqrt{\frac{gL}{3}}[/tex]
[tex]v_p=2\sqrt{\frac{gL}{3}}[/tex]
La velocità degli oggetti dipende unicamente dall'altezza iniziale del punto materiale e non dipende dalle caratteristiche del cuneo.
Fase 2a:
Nessuna forza esterna agisce sul sistema.
Si ha conservazione della quantità di moto che inizialmente è pari a [tex]mv_p[/tex].
Al termine della salita, punto materiale e secondo cuneo si muovono solidalmente alla velocità comune [tex]v_f[/tex]. Possiamo allora scrivere:
[tex]mv_p=(m+M_2)v_f=4mv_f[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]v_f=\frac{v_p}{4}[/tex]
Fase 2b:
Nessun lavoro dissipativo nel sistema.
Si ha conservazione dell'energia che inizialmente è data da:
[tex]E_2=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
Al termine della salita si avrà:
[tex]\frac{1}{2}4mv_f^2+mgh=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
[tex]\frac{1}{2}4m\frac{v_p^2}{16}+mgh=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
[tex]mgh=\frac{3}{8}mv_p^2[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]gh=\frac{3}{8}v_p^2=\frac{3}{8}4\frac{gL}{3}[/tex]
da cui
[tex]h=\frac{L}{2}[/tex]
Il punto materiale arriverà ad un'altezza massima pari alla metà di quella di partenza, indipendentemente dagli angoli dei cunei.
Nota 1: l'angolo del primo cuneo è indicato per poter ottenere l'altezza iniziale del punto materiale.
Nota 2: l'indicazione della presenza dei raccordi è stata fornita perché, in assenza degli stessi, si avrebbe sempre e comunque il rimbalzo del punto materiale sul piano, a causa della velocità verticale non nulla con la quale lo stesso giungerebbe al contatto.
Nota 3: aggiunto passaggio intermedio per rendere più comprensibile lo svolgimento.
Fase 1a:
Nessuna forza esterna agisce sul sistema.
Si ha conservazione della quantità di moto che inizialmente è nulla (punto fermo).
Al termine della discesa si avrà:
[tex]M_1v_c+mv_p=0[/tex]
[tex]2mv_c+mv_p=0[/tex]
Con [tex]m\neq0[/tex] possiamo scrivere
[tex]v_p=-2v_c[/tex]
Al termine della discesa, il punto si muove con velocità doppia rispetto al cuneo e in direzione opposta, indipendentemente dall'inclinazione del cuneo.
Fase 1b:
Nessun lavoro dissipativo nel sistema.
Si ha conservazione dell'energia che inizialmente è data da
[tex]E_1=mgL[/tex]
(essendo l'altezza del punto sul piano pari alla lunghezza del cuneo, in ragione dell'angolo dello stesso)
Al termine della discesa si avrà:
[tex]\frac{1}{2}M_1v_c^2+\frac{1}{2}mv_p^2=mgL[/tex]
[tex]\frac{1}{2}2mv_c^2+\frac{1}{2}m4v_c^2=mgL[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]3v_c^2=gL[/tex]
[tex]v_c=\sqrt{\frac{gL}{3}}[/tex]
[tex]v_p=2\sqrt{\frac{gL}{3}}[/tex]
La velocità degli oggetti dipende unicamente dall'altezza iniziale del punto materiale e non dipende dalle caratteristiche del cuneo.
Fase 2a:
Nessuna forza esterna agisce sul sistema.
Si ha conservazione della quantità di moto che inizialmente è pari a [tex]mv_p[/tex].
Al termine della salita, punto materiale e secondo cuneo si muovono solidalmente alla velocità comune [tex]v_f[/tex]. Possiamo allora scrivere:
[tex]mv_p=(m+M_2)v_f=4mv_f[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]v_f=\frac{v_p}{4}[/tex]
Fase 2b:
Nessun lavoro dissipativo nel sistema.
Si ha conservazione dell'energia che inizialmente è data da:
[tex]E_2=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
Al termine della salita si avrà:
[tex]\frac{1}{2}4mv_f^2+mgh=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
[tex]\frac{1}{2}4m\frac{v_p^2}{16}+mgh=\frac{1}{2}mv_p^2[/tex]
[tex]mgh=\frac{3}{8}mv_p^2[/tex]
Con m≠0 possiamo scrivere:
[tex]gh=\frac{3}{8}v_p^2=\frac{3}{8}4\frac{gL}{3}[/tex]
da cui
[tex]h=\frac{L}{2}[/tex]
Il punto materiale arriverà ad un'altezza massima pari alla metà di quella di partenza, indipendentemente dagli angoli dei cunei.
Nota 1: l'angolo del primo cuneo è indicato per poter ottenere l'altezza iniziale del punto materiale.
Nota 2: l'indicazione della presenza dei raccordi è stata fornita perché, in assenza degli stessi, si avrebbe sempre e comunque il rimbalzo del punto materiale sul piano, a causa della velocità verticale non nulla con la quale lo stesso giungerebbe al contatto.
Nota 3: aggiunto passaggio intermedio per rendere più comprensibile lo svolgimento.
Il problema è che mi pare una supposizione piuttosto irrealistica, senza raccordo (che quindi non è poi tanto "di comodo")
Mah...irrealistica, come tante supposizioni che spesso si fanno, per semplificare certi problemi...Anche alla luce della discussione linkata da Faussone , mi sembra che la soluzione a suo tempo data da Falco5x (da me riportata nel precedente post), che coincide con quella da me scritta, sia accettabile. Ben inteso, questa è la velocita del cuneo, quella del blocchetto si trova dalla conservazione della q.d.m.
Le due fonti che ho citato sono assolutamente attendibili. Ora c'è anche quest'altra. Dove è la discrepanza qui ? Nel dire che la velocità del blocchetto sul piano orizzontale è data da $Vcostheta-u$ , che è la componente orizzontale della velocità assoluta del blocchetto ? Mi sembra che non si possa fare diversamente.
PS : mentre scrivevo, è arrivata la risposta di LucianoD : rimando a stasera lettura e eventuale commento.
"LucianoD":
Suddividiamo il problema in due fasi: discesa del punto materiale dal cuneo M[size=85]1[/size] e salita dello stesso sul cuneo M[size=85]2[/size].
Fase 1a:
Nessuna forza esterna agisce sul sistema.
Si ha conservazione della quantità di moto che inizialmente è nulla (punto fermo).
........................
La velocità degli oggetti dipende unicamente dall'altezza iniziale del punto materiale e non dipende dalle caratteristiche del cuneo.
Non ritengo esatto quanto esposto; innanzitutto il cuneo trasla orizzontalmente verso Sn, con moto accelerato, e funziona da riferimento di trascinamento per P, bisogna tenerne conto per determinare correttamente la velocità "assoluta" di P quando arriva sul piano orizzontale.
Inoltre, è più che evidente, dalle formule già riportate, che sia $V$ che $u$ dipendono non solo dall'entità delle masse del cuneo e di P , e dall'altezza di partenza di P , uguale in questo caso a $L$ , ma anche dall'angolo $theta$. L'angolo $theta =45º$ è solo un valore particolare, lasciandolo solo indicato non scompare. Ma vediamo le formule.
LA quantità di moto in direzione orizzontale si conserva, quindi il CM del sistema non muta la coordinata orizzontale $x$ ( immaginiamo un riferimento fisso con asse x orizzontale e asse y verticale). Anche l'energia totale non muta, agisce solo la gravità ( e la reazione del piano orizzontale , diretta verso l'alto) , non ci sono attriti.
Partendo dalle formule esposte nell'esercizio in inglese che ho linkato all'inizio (ma guardate anche l'esercizio in italiano) si deve avere, per la conservazione della q.d.m. (formula 9.9) , che :
$Mu = m (Vcostheta-u)$
dove $V$ è il modulo della velocità relativa di P sul piano inclinato, variabile evidentemente da zero ad un massimo, e $u$ è la velocità con cui il cuneo trasla verso sinistra rispetto al riferimento assoluto detto. A noi interessa il valore massimo di $V$ , che si ha quando P abbandona il piano inclinato; anzi interessa la componente $Vcostheta$ in direzione orizzontale. A questa componente "relativa" , diretta a destra in figura, va sommata la velocità di trascinamento $-u$ , per avere la velocita assoluta. Il segno $-$ deriva dal verso di $vecu$ , diretto a sinistra.
Quindi, dalla conservazione della q.d.m. : $ (M+m)u = mVcostheta \rarr Vcostheta = (M+m)/m*u $
siccome abbiamo : $M = 2m$ , risulta : $ Vcostheta = 3u$
ora si, che il fattore 3 è giustificato, poiché è $Vcostheta $ , cioè la componente della velocità "relativa" di P nella direzione orizzontale , ad essere uguale a $3u$ , non ho messo $costheta =1$ , chiaro ? Il fattore 3 viene fuori dalle masse. Come detto, per avere la componente della velocità "assoluta" di P sul piano orizzontale dobbiamo sommare alla vel. relativa la vel. di trascinamento $-u$ , e si ha :
$Vcostheta -u =3u-u = 2u $
Spero di essere stato chiaro finora .
Ora, quanto vale $u$ ? È stato dimostrato che , applicando la conservazione dell'energia unitamente alla conservazione della q.d.m. , si ha :
$u^2 = (2m^2gh *cos^2theta)/( (M+m)(M+msen^2theta)) $
tenendo conto che $theta = 45º $, $M=2m $ , e mettendo $L$ al posto di $h$ , io trovo (se ho fatto bene i conti) che:
$u^2 = (2gL)/(15) \rarr u = sqrt ( (2gL)/(15))$
e quindi :
$Vcostheta -u = 2u =2sqrt ( (2gL)/(15))$
Questa è, per me, la velocità con cui il punto P "affronta" il secondo cuneo.
Aggiungo anche la soluzione secondo l'autore italiano, che si basa sempre su conservazione della q.d.m. e dell'energia; ho verificato i passaggi, sono giusti (mi sembra ovvio). Ho disegnato anche i triangoli delle velocità. Ho supposto nulla la perdita di energia del punto P , nel passaggio dal piano inclinato al piano orizzontale , non sappiamo niente di come questo passaggio avviene. Il tutto è sul foglio allegato :
Non faccio valutazioni sulla seconda parte dell'esercizio. Saluti .
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