Problema (equazione diff. di Eulero?)
Salve, avrei questo problema che non riesco a concludere:
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Risposte
A occhio ti direi che hai sbagliato il segno nella prima parte dell'equazione. Visto che $\lambda$ è definito negativo allora $m = m_0 + \lambda t$.
Inoltre non capisco come hai fatto a portare $m_0$ dall'altra parte dell'uguaglianza?! Lo sai che $F - m_0$ non ha senso ? È come sottrarre mele a pere: non tornano le unità di misura.
Inoltre non capisco come hai fatto a portare $m_0$ dall'altra parte dell'uguaglianza?! Lo sai che $F - m_0$ non ha senso ? È come sottrarre mele a pere: non tornano le unità di misura.
No non è in forma di Eulero perchè appunto non c'è corrispondenza con le potenze. Comunque hai commesso un errore alla fine salta proprio all'occhio perchè sommare una massa e una forza è un po' bruttino 
. Quella massa aveva sempre l'accelerazione a moltiplicare. Al di là di questo ti consiglio di risolverla rispetto alla velocità, cioè ponendo $dx/dt=v$ e $(d^2x)/(dt^2)=(dv)/dt$. Diventa a variabili separabili. Un logaritmo credo, così a sentimento più altra roba.
. Quella massa aveva sempre l'accelerazione a moltiplicare. Al di là di questo ti consiglio di risolverla rispetto alla velocità, cioè ponendo $dx/dt=v$ e $(d^2x)/(dt^2)=(dv)/dt$. Diventa a variabili separabili. Un logaritmo credo, così a sentimento più altra roba.
Avete ragione avete...
Avevo sbagliato un po' di cose.
L'equazione corretta allora è questa:
$x''=\lambda/(m_0-\lambda*t)*x'+F/(m_0-\lambda*t)$
Da cui dovrei avere:
$x'=e^(int\lambda/(m_0-\lambda*t)dt)*[intF/(m_0-\lambda*t)*e^(-int\lambda/(m_0-\lambda*t)dt)dt+C]$
$=e^(-ln(m_0-\lambda*t))*[int F/(m_0-\lambda*t)*(m_0-\lambda*t)dt+C]=1/(m_0-\lambda*t)*[F*t+C]$
$x'(0)=V(0)=0$
$x'=(Ft)/(m_0-\lambda*t)$
Le unità di misura adesso sono corrette
@dRic non ho capito perché è sbagliato il segno, la massa diminuisce perché perde sabbia, quindi dovrebbe essere così, positivo?
Avevo sbagliato un po' di cose.
L'equazione corretta allora è questa:
$x''=\lambda/(m_0-\lambda*t)*x'+F/(m_0-\lambda*t)$
Da cui dovrei avere:
$x'=e^(int\lambda/(m_0-\lambda*t)dt)*[intF/(m_0-\lambda*t)*e^(-int\lambda/(m_0-\lambda*t)dt)dt+C]$
$=e^(-ln(m_0-\lambda*t))*[int F/(m_0-\lambda*t)*(m_0-\lambda*t)dt+C]=1/(m_0-\lambda*t)*[F*t+C]$
$x'(0)=V(0)=0$
$x'=(Ft)/(m_0-\lambda*t)$
Le unità di misura adesso sono corrette
@dRic non ho capito perché è sbagliato il segno, la massa diminuisce perché perde sabbia, quindi dovrebbe essere così, positivo?
Sì direi che ora ci siamo. Integrando ancora trovi il logaritmo che dicevo con un polinomio anche credo.
$ x'=(Ft)/(m_0-\lambda*t) $
Se integro ottengo
$int(Ft)/(m_0-\lambda*t)dt=-F/(\lambda)*[m_0/(\lambda)*ln(m_0-\lambda*t)+t]+C$
$x(0)=0$
in definitiva:
$x(t)=(F*m_0)/(\lambda^2)*ln(m_0)-F/(\lambda)*[m_0/(\lambda)*ln(m_0-\lambda*t)+t]$
Grazie mille a tutti
Se integro ottengo
$int(Ft)/(m_0-\lambda*t)dt=-F/(\lambda)*[m_0/(\lambda)*ln(m_0-\lambda*t)+t]+C$
$x(0)=0$
in definitiva:
$x(t)=(F*m_0)/(\lambda^2)*ln(m_0)-F/(\lambda)*[m_0/(\lambda)*ln(m_0-\lambda*t)+t]$
Grazie mille a tutti
MI pare sbagliata l'impostazione.
La forza agisce solo sul carrello e quindi semplicemente
$F=m(t)[(dv)/(dt)]$
Quindi, separando e integrando
$intdv=int(Fdt)/(m_0-lambdat)$
da cui ottieni
$v=-F/lambdaln[(m_0-lambdat)]+C$
ovvero
$v(t)=v_0-F/lambdaln((m_0-lambdat)/m_0)$
la legge del moto e'
$x(t)=v_0t+F/lambda^2[(m_0-lambdat)(ln((m_0-lambdat)/m_0)-1)+m_0]$
avendo posto $x(0)=0$ e pregato ardentemente di non avere sbagliato l'integrazione.
Supponendo che l'integrazione sia corretta, mi sembra proprio sbagliato l'approccio al problema
La forza agisce solo sul carrello e quindi semplicemente
$F=m(t)[(dv)/(dt)]$
Quindi, separando e integrando
$intdv=int(Fdt)/(m_0-lambdat)$
da cui ottieni
$v=-F/lambdaln[(m_0-lambdat)]+C$
ovvero
$v(t)=v_0-F/lambdaln((m_0-lambdat)/m_0)$
la legge del moto e'
$x(t)=v_0t+F/lambda^2[(m_0-lambdat)(ln((m_0-lambdat)/m_0)-1)+m_0]$
avendo posto $x(0)=0$ e pregato ardentemente di non avere sbagliato l'integrazione.
Supponendo che l'integrazione sia corretta, mi sembra proprio sbagliato l'approccio al problema
Cosa intendi con "la forza agisce solo sul carrello"? La massa del carrello è variabile quindi
$F=(dp)/(dt)=d/(dt)(m v)= (dm)/(dt) v + m (dv)/(dt)$
$F=(dp)/(dt)=d/(dt)(m v)= (dm)/(dt) v + m (dv)/(dt)$
Quella equazione e' valida se la sabbia entra nel carrello, poiche il dm infinitesimo che entra e' soggetto a F.
Ma quando il dm esce, la sua quantita di moto non varia, perche la forza non agisce piu' su quella massa infinitesima.
Ma quando il dm esce, la sua quantita di moto non varia, perche la forza non agisce piu' su quella massa infinitesima.
Se varia la massa varia la quantità di moto. Per forza. Quella è la seconda legge della dinamica non può valere solo se le masse aumentano e non valere se diminuiscono.
Ma infatti varia la quantita' di moto. Quello che non varia e' la quantita' di moto dell'elemento dm che continua bellamente a viaggiare a velocita v dopo che abbandona il carrello, cioe' alla stessa velocita' che aveva all'istante t.
Non e' questione se aumenta o diminuisce.
C'e' una differenza fondamentale tra il caso in cui entri e il caso in cui esce: nel caso la sabbia stia entrando nel carrello, quell'elemento deve variare la sua qdm tra l istante t in cui entra e l'istante t+dt.
Mentre se esce dal carrello, la sua qdm non varia.
Ovviamente la sabbia deve cadere dentro il carrello verticalmente rispetto a un osservatore fisso (un carrello aperto che viaggia sotto la pioggia).
Se la sabbia cade da una tramoggia solidale al carrello, la situazione e' identica a quella dell'esercizio e quindi di nuovo $F=m(t)(dv)/(dt)$, ma ovviamente il carrello rallenta.
Non e' questione se aumenta o diminuisce.
C'e' una differenza fondamentale tra il caso in cui entri e il caso in cui esce: nel caso la sabbia stia entrando nel carrello, quell'elemento deve variare la sua qdm tra l istante t in cui entra e l'istante t+dt.
Mentre se esce dal carrello, la sua qdm non varia.
Ovviamente la sabbia deve cadere dentro il carrello verticalmente rispetto a un osservatore fisso (un carrello aperto che viaggia sotto la pioggia).
Se la sabbia cade da una tramoggia solidale al carrello, la situazione e' identica a quella dell'esercizio e quindi di nuovo $F=m(t)(dv)/(dt)$, ma ovviamente il carrello rallenta.
Non capisco, perdonami. Dopo che ha lasciato il carro non ci interessa più cosa faccia. Ma se l'impulso varia, poiché varia la massa, non vedo come puoi porre $(dm)/(dt)=0$. La massa varia nel tempo? Sì. Quindi la sua derivata nel tempo è non nulla. Non c'è altro da considerare.
Come non ci interessa!!!
"In un sistema isolato la qdm si conserva"
Se non consideri la qdm della massa infinitesima dopo che lascia il carrello, stai arbitrariamente variando il volume di controllo e il sistema non e' piu' isolato, entra ed esce massa.
La legge di conservazione non e' piu' valida!
Esempio classico
Hai due corpi identici di massa m ognuno che viaggiano incollati a velocita' $v_0$ a costituire un unico corpo. A un certo punto la colla che li lega si scioglie.
Secondo te, i 2 corpi variano la velocita'? La risposta e' no, ovviamente.
Se prendi come volume di controllo la superficie che delimita i 2 blocchi, nel loro insieme prima della separazione, la qdm e' $2mv$.
Dopo la separazione, la superficie deve contenere la stessa massa. Se vari il volume di controllo riducendolo solo ad uno dei blocchi, ignorando l'altro, allora siccome la massa si e' dimezzata, quel blocco dovrebbe raddoppiare la velocita'.
Se mantieni la stessa superficie di controllo, allora la quantita di moto si conserva: entrambi i corpi continuano a viaggiare a v anche se separati e la qdm rimane mv+mv=2mv
"In un sistema isolato la qdm si conserva"
Se non consideri la qdm della massa infinitesima dopo che lascia il carrello, stai arbitrariamente variando il volume di controllo e il sistema non e' piu' isolato, entra ed esce massa.
La legge di conservazione non e' piu' valida!
Esempio classico
Hai due corpi identici di massa m ognuno che viaggiano incollati a velocita' $v_0$ a costituire un unico corpo. A un certo punto la colla che li lega si scioglie.
Secondo te, i 2 corpi variano la velocita'? La risposta e' no, ovviamente.
Se prendi come volume di controllo la superficie che delimita i 2 blocchi, nel loro insieme prima della separazione, la qdm e' $2mv$.
Dopo la separazione, la superficie deve contenere la stessa massa. Se vari il volume di controllo riducendolo solo ad uno dei blocchi, ignorando l'altro, allora siccome la massa si e' dimezzata, quel blocco dovrebbe raddoppiare la velocita'.
Se mantieni la stessa superficie di controllo, allora la quantita di moto si conserva: entrambi i corpi continuano a viaggiare a v anche se separati e la qdm rimane mv+mv=2mv
Infatti io mantengo la stessa superficie di controllo, quella "attorno" al carro. Sei tu che la espandi continuando a seguire i granelli di sabbia che sono usciti (forse, cioè proprio non capisco come puoi porre a zero quella derivata).
Edit: forse ho capito quello che vuoi dire ma non mi torna comunque.
Edit2: poi quando dici che l'impulso si conserva non capisco ancora. Se si conservasse avremmo $(dp)/dt=0$
Edit: forse ho capito quello che vuoi dire ma non mi torna comunque.
Edit2: poi quando dici che l'impulso si conserva non capisco ancora. Se si conservasse avremmo $(dp)/dt=0$
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_laws_of_motion#cite_note-Halliday-19]Nota 18[/url].
"Vidocq":
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_laws_of_motion#cite_note-Halliday-19]Nota 18[/url].
92 minuti di applausi
All'inizio della propria carriera uno vede il problema nelle equazioni differenziali, ma in realtà il vero problema e' nel significato intrinseco della formula di Newton.
Le relazioni più semplici sono quelle più profonde.
Le relazioni più semplici sono quelle più profonde.
"Faussone":
Ne abbiamo parlato anche qui.
Come farai a ricordarti di post del 2013 rimarra' sempre un mistero per me
"professorkappa":
Come farai a ricordarti di post del 2013 rimarra' sempre un mistero per me
Anche per me...
Tendo a ricordarmi le discussioni a cui ho partecipato ...se mi hanno interessato.
Mah se quel carro fosse un pezzo di ghiaccio che pian piano evapora con quella legge temporale serebbe la stessa cosa. Comunque visto che lo dite in tanti ci penso su più tardi a mente fredda, perché così proprio non capisco come si possa considerare la conservazione dell'impulso con una forza esterna che fa variare l'impulso.
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