Problema (equazione diff. di Eulero?)
Salve, avrei questo problema che non riesco a concludere:
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Risposte
Permettetemi delle citazioni globali
e dal link indicato da RenzoDF che ringrazio
Tutto questo, velocità costante e $(dp)/(dt)=0$ salta nel nostro caso. Stiamo parlando di due situazioni diverse. Il carroponte va a velocità costante (qui la velocità che si ricava dipende dal tempo, abbiamo una forza che agisce sulla massa variabile), mentre nel carro con la sabbia dice che "è vincolato a muoversi…"etc quindi anche questo suppone non sia sottoposto a nessuna forza lungo il moto. In questi esempi da voi portati la quantità di moto diciamo lungo $x$ si conserva infatti per il carro di sabbia impone $F=d/(dt)(m(t)v(t))=0$ da cui il paradosso. Tuttavia questo è un caso di quiete o moto rettilineo uniforme e trova spiegazione nel primo principio . Nel nostro esempio la forza lungo la direzione del moto fa sì che, lungo tale direzione, la quantità di moto non sì conservi. Non posso scrivere $p="costante"$. E' questo il nocciolo del discorso che non mi torna. Le "dimostrazioni" dell'assurdo contemplano il caso di conservazione della quantità di moto, qui lungo l'asse del moto non possiamo applicarla. Purtroppo non mi sento di dirvi "sono convinto" se non lo sono, sarebbe una presa in giro. Però il discorso è interessante quindi magari a distanza di qualche giorno proverò a riapprocciarlo e magari mi tornerà, al momento non riesco a sfuggire al fatto che si stanno contemplando situazioni differenti. Ovviamente ringrazio tutti per la discussione a prescindere di dove sia la verità
"professorkappa":
Un carroponte che si muove di velocita' costante, con un carico appeso sotto, NON accelera se il cavo si spezza e il carroponte perde il carico. E' un assurdo che viene fuori con il "tuo" metodo, perche di fatto tu scrivi le equazioni su 2 masse diverse.
e dal link indicato da RenzoDF che ringrazio
Tutto questo, velocità costante e $(dp)/(dt)=0$ salta nel nostro caso. Stiamo parlando di due situazioni diverse. Il carroponte va a velocità costante (qui la velocità che si ricava dipende dal tempo, abbiamo una forza che agisce sulla massa variabile), mentre nel carro con la sabbia dice che "è vincolato a muoversi…"etc quindi anche questo suppone non sia sottoposto a nessuna forza lungo il moto. In questi esempi da voi portati la quantità di moto diciamo lungo $x$ si conserva infatti per il carro di sabbia impone $F=d/(dt)(m(t)v(t))=0$ da cui il paradosso. Tuttavia questo è un caso di quiete o moto rettilineo uniforme e trova spiegazione nel primo principio . Nel nostro esempio la forza lungo la direzione del moto fa sì che, lungo tale direzione, la quantità di moto non sì conservi. Non posso scrivere $p="costante"$. E' questo il nocciolo del discorso che non mi torna. Le "dimostrazioni" dell'assurdo contemplano il caso di conservazione della quantità di moto, qui lungo l'asse del moto non possiamo applicarla. Purtroppo non mi sento di dirvi "sono convinto" se non lo sono, sarebbe una presa in giro. Però il discorso è interessante quindi magari a distanza di qualche giorno proverò a riapprocciarlo e magari mi tornerà, al momento non riesco a sfuggire al fatto che si stanno contemplando situazioni differenti. Ovviamente ringrazio tutti per la discussione a prescindere di dove sia la verità
"Nikikinki":
quindi magari a distanza di qualche giorno proverò a riapprocciarlo e magari mi tornerà, al momento non riesco a sfuggire al fatto che si stanno contemplando situazioni differenti.
Ok. Comunque il problema qui in oggetto é lo stesso di un carrello pieno di sabbia fermo, o che si muove a velocità costante, con un forellino sul fondo: basta far tendere la forza a zero infatti e i risultati devono coincidere, mi pare abbastanza ovvio.
Si, prova a ripensarci tra qualche giorno, perche' il link di RenzoDF conferma quello che diciamo noi.
Forse non stai leggendo bene i post, ma il fatto che ci sia una forza F o meno non cambia nulla: Lequazione rimane $dp=Fdt$. Il secondo membro e' zero se non c'e' forza esterna.
Dove ti intorti tu e' nel calcolo del dp: la p(t) e la p(t+dt) devono essere calcolate sulla stessa massa globale. Tu la differena la calcoli su una certa massa per p(0) e su una massa differente per p(t+dt), che e' errato.
Non so piu' come scriverlo, te lo abbiamo scritto in diversi: dalle note di Vidocq, dai link di Faussone e RenzoDF fino a quei link che ho postato nell'ultimo post.
Ho corretto anche la x(t), nel mio post originale (era sbagliato la costante di integrazione)
Forse non stai leggendo bene i post, ma il fatto che ci sia una forza F o meno non cambia nulla: Lequazione rimane $dp=Fdt$. Il secondo membro e' zero se non c'e' forza esterna.
Dove ti intorti tu e' nel calcolo del dp: la p(t) e la p(t+dt) devono essere calcolate sulla stessa massa globale. Tu la differena la calcoli su una certa massa per p(0) e su una massa differente per p(t+dt), che e' errato.
Non so piu' come scriverlo, te lo abbiamo scritto in diversi: dalle note di Vidocq, dai link di Faussone e RenzoDF fino a quei link che ho postato nell'ultimo post.
Ho corretto anche la x(t), nel mio post originale (era sbagliato la costante di integrazione)
Grazie @professorkappa per le spiegazioni
Avete ovviamente ragione. Non so bene come ho potuto costruirmi questa falla in una nozione di base di tal genere, probabilmente in parte perché non ho mai prestato molta attenzione a problemi di massa variabile che non fossero oggetti che si spaccavano ed il resto della massa variabile l'ho sempre trattato ampiamente nella relatività e nel qual caso però la relazione $(dp)/(dt)$ si tratta proprio nella maniera che volevo applicare anche al caso classico nel quale però la relatività galileiana non concorda. Per qualche motivo ho creato questa distinzione tra i "sistemi razzo" e tutti gli altri a massa variabile ma classici.
Vi ringrazio per la pazienza che avete avuto nel farmi notare questa importante contraddizione che mi ero creato a causa della poca attenzione che avevo dato a questa trattazione.
Vi ringrazio per la pazienza che avete avuto nel farmi notare questa importante contraddizione che mi ero creato a causa della poca attenzione che avevo dato a questa trattazione.
Sapevamo che eri stato abbagliato! Era solo questione di tempo!
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