Problema (equazione diff. di Eulero?)
Salve, avrei questo problema che non riesco a concludere:
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Un vagone pieno di sabbia ha una fessura sul pavimento, dalla quale la sabbia cade ad una velocità costante $\lambda=-(dm)/dt$. Una forza $F$ agisce sul carro nella direzione del suo moto. Indicando con $V$ la velocità istantanea scrivere l'equazione del moto del vagone.
Arrivo all'equazione differenziale:
$(m_0-\lambda*t)*(dV)/dt-\lambda*V=F$
applicando la nota equazione:
$m*(dV)/dt+V*(dm)/dt-u*(dm)/(dt)=F_("est")$
con $u=0$ in questo caso.
Che, riordinata, mi dà:
$\lambda*t*x''+\lambda*x'=m_0-F$
Mi potete dare un qualche suggerimento? A me sembra un'equazione di Eulero ma non è del tutto corretto dato che i gradi del $t$ non sono quelli giusti.
Risposte
L'evaporazione nn comporta scambio di forze tra i corpi.
Quindi, considerata la globalita del sistema, le 2 quantita' di moto sono (prima e dopo l'intervallo dt)
Prima $mv$
Dopo $(m-dm)(v+dv)+dmv$
Risulta che la variazione di quantita di moto e' nulla, non essendoci forze esterne.
Quindi l'equazione e'
$(m-dm)(v+dv)+dmv=mv$
Che sviluppata
$mv-v*dm+m*dv+dm*v=mv$ da cui
$m*dv=0$
Quindi il blocco di ghiaccio non cambia la velocita' perche nell'universo non cambia la quantita' di moto totale del fluido evaporato + quella del blocco
D'altronde, quando si cerca l'equazione di un razzo che espelle una quantita $dm$ costante a velocita' relativa $u$, si fa esattamente la stessa cosa
all istante t: $mv$
All istante t+dt $(m-dm)(v+dv)+dm(v+u)$ (dove l;ultimo termine e' la quantita di moto dei gas espulsi, equivalente alla sabbia che lascia il carro o all'acqua che evapora)
Risulta
$(m-dm)(v+dv)+dm(v+u)-mv=0$ che risolta da'
$mv+m*dv-v*dm+dm*v+dm*u-mv=0$ cioe'
$m*dv+dm*u=0$
Diviendo per $dt$ e associando a $m(dv)/(dt)$ il valore $F_t$ (forza di spinta, o thrust)
La forza di spinta del razzo e' $F_t=-udotm$
Nota che la spinta non e' dovuta solo alla variazione di massa $dotm$ma al fatto che la massa che viene espulsa viene espulsa "con forza". Se dal retro del razzo che viaggia a razzi spenti lasciassi cadere un sacchetto di sabbia (con u=0), il razzo non varierebbe la veocita' pur variando di massa. E' l'analogo del blocco che si scioglie.
Ma se il sacchetto lo lanci all'indietro, allora si che nascerebbe $F_t$
Quindi, considerata la globalita del sistema, le 2 quantita' di moto sono (prima e dopo l'intervallo dt)
Prima $mv$
Dopo $(m-dm)(v+dv)+dmv$
Risulta che la variazione di quantita di moto e' nulla, non essendoci forze esterne.
Quindi l'equazione e'
$(m-dm)(v+dv)+dmv=mv$
Che sviluppata
$mv-v*dm+m*dv+dm*v=mv$ da cui
$m*dv=0$
Quindi il blocco di ghiaccio non cambia la velocita' perche nell'universo non cambia la quantita' di moto totale del fluido evaporato + quella del blocco
D'altronde, quando si cerca l'equazione di un razzo che espelle una quantita $dm$ costante a velocita' relativa $u$, si fa esattamente la stessa cosa
all istante t: $mv$
All istante t+dt $(m-dm)(v+dv)+dm(v+u)$ (dove l;ultimo termine e' la quantita di moto dei gas espulsi, equivalente alla sabbia che lascia il carro o all'acqua che evapora)
Risulta
$(m-dm)(v+dv)+dm(v+u)-mv=0$ che risolta da'
$mv+m*dv-v*dm+dm*v+dm*u-mv=0$ cioe'
$m*dv+dm*u=0$
Diviendo per $dt$ e associando a $m(dv)/(dt)$ il valore $F_t$ (forza di spinta, o thrust)
La forza di spinta del razzo e' $F_t=-udotm$
Nota che la spinta non e' dovuta solo alla variazione di massa $dotm$ma al fatto che la massa che viene espulsa viene espulsa "con forza". Se dal retro del razzo che viaggia a razzi spenti lasciassi cadere un sacchetto di sabbia (con u=0), il razzo non varierebbe la veocita' pur variando di massa. E' l'analogo del blocco che si scioglie.
Ma se il sacchetto lo lanci all'indietro, allora si che nascerebbe $F_t$
Ma nemmeno lo sgocciolio comporta uno scambio di forze per come è posto questo problema, visto che non viene fornita informazione a riguardo la si considera trascurata. Come gli attriti con il terreno, la viscosità dell'aria etc. Anche l'evaporazione a livello microscopico comporta una interazione tra le molecole che spezzano il loro legame per sfuggire, quindi dipende da che modello si usa. Non so che dire a me non torna il voler assimilare questo esempio al razzo che perde pezzi, comunque mi arrendo alla maggioranza. Se ripensandoci mi tornasse magari aggiorno la risposta, così per completezza.
Il punto e' semplice.
La quantita' di moto globale di tutto il sistema si deve conservare. Non si puo conservare solo la qdm di una parte a piacere ( e chi decide di quale parte, poi?).
La quantita' di moto globale di tutto il sistema si deve conservare. Non si puo conservare solo la qdm di una parte a piacere ( e chi decide di quale parte, poi?).
Ma qui c'è una forza esterna, non è un sistema isolato. La quantità di moto non è costante altrimenti potresti scrivere $(dp)/dt=0$. Questo soprattutto non capisco nel tuo ragionamento.
Ma non importa che ci sia una forza interna o no.
Se c'e $dp=Fdt$ (che e' quello che ho fatto io nel risolvere l'esercizio).
Se non c'e' $dp=0$
Il nodo sta a calcolare il dp, che deve essere quello TOTALE del sistema.
In entrambi i casi, che ci sia la forza o meno, nel caso di un carrello che perde sabbia, il dp TOTALE del sistema, tra t e t=dt vale
$dp=m(t)dv$
Se c'e' F, allora $dp=mdv=Fdt$, da cui $(dv)/(dt)=F/[m(t)]$
Se non c'e' F allora $dp=mdv=o$ da cui v=cost
Se c'e $dp=Fdt$ (che e' quello che ho fatto io nel risolvere l'esercizio).
Se non c'e' $dp=0$
Il nodo sta a calcolare il dp, che deve essere quello TOTALE del sistema.
In entrambi i casi, che ci sia la forza o meno, nel caso di un carrello che perde sabbia, il dp TOTALE del sistema, tra t e t=dt vale
$dp=m(t)dv$
Se c'e' F, allora $dp=mdv=Fdt$, da cui $(dv)/(dt)=F/[m(t)]$
Se non c'e' F allora $dp=mdv=o$ da cui v=cost
Grazie degli interessanti interventi. Riporto copiata esattamente la soluzione data dal libro per completezza:
"Per i sistemi a massa variabile vale la relazione $\bar(F)_("est")=m*(d\bar(v))/dt+\bar(v)*(dm)/dt-\bar(u)*(dm)/dt$.
La risultante delle forze esterne (costituita dalla forza gravitazionale, dalla forza normale e dalla forza $\bar(F)$) è data dalla forza $\bar(F)$ costante. Riferiamoci ad un asse $x$ diretto nella direzione del moto. La componente secondo questo asse di $\bar(F)$ è $F$. La componente secondo questo asse di $\bar(v)$ è $v$. La componente secondo questo asse di $\bar(u)$ è nulla perché la sabbia cade dal vagone con direzione normale all'asse $x$.
Si ha dunque come equazione del moto, se $m$ è la massa in un generico istante
$F=m*(dv)/(dt)+v*(dm)/dt$
ed essendo $(dm)/dt=-\lambda$ si ha l'equazione del moto del vagone:
$m*(dv)/(dt)-\lambda*v=F$
ed essendo $m$ una funzione $m=m_0-\lambda*t$ con $m_0$ massa del vagone a pieno carico si ha:
$(m_0-\lambda*t)*(dv)/dt-\lambda*v=F$"
Il libro non va oltre
, da cui la mia domanda su come si potesse concludere.
"Per i sistemi a massa variabile vale la relazione $\bar(F)_("est")=m*(d\bar(v))/dt+\bar(v)*(dm)/dt-\bar(u)*(dm)/dt$.
La risultante delle forze esterne (costituita dalla forza gravitazionale, dalla forza normale e dalla forza $\bar(F)$) è data dalla forza $\bar(F)$ costante. Riferiamoci ad un asse $x$ diretto nella direzione del moto. La componente secondo questo asse di $\bar(F)$ è $F$. La componente secondo questo asse di $\bar(v)$ è $v$. La componente secondo questo asse di $\bar(u)$ è nulla perché la sabbia cade dal vagone con direzione normale all'asse $x$.
Si ha dunque come equazione del moto, se $m$ è la massa in un generico istante
$F=m*(dv)/(dt)+v*(dm)/dt$
ed essendo $(dm)/dt=-\lambda$ si ha l'equazione del moto del vagone:
$m*(dv)/(dt)-\lambda*v=F$
ed essendo $m$ una funzione $m=m_0-\lambda*t$ con $m_0$ massa del vagone a pieno carico si ha:
$(m_0-\lambda*t)*(dv)/dt-\lambda*v=F$"
Il libro non va oltre
, da cui la mia domanda su come si potesse concludere.
Già, come dicevo io. Ripeto tutto quel discorso fatto sul sistema isolato lo trovo privo di senso in questo caso: questo non è un sistema isolato. Anche la nota postata dalla Wikipedia inglese considera il contesto del razzo in cui la quantità di moto si conserva ed il rinculo è fondamente. Qui il rinculo dovuto allo sgocciolio è trascurato dal modello. C'è una relazione differenziale che non posso spezzare a piacimento e che in questo caso, come direi nella quasi totalità, non solo non porta a nessun paradosso ma è l'unica via che non ne snatura il senso differenziale tra l'altro sviluppato dallo stesso Newton. L'effetto singolo del flusso di massa che sgocciola come dicevo non ci interessa poiché nel modello viene palesemente trascurato (dice che non ha velocità nella direzione del moto, ma andava bene anche che il suo contributo fosse molto piccolo rispetto alla forza esterna). Per me l'equazione del moto resta questa senza se e senza ma. Poi ognuno è libero di pensarla come vuole.
"SirDanielFortesque":
Grazie degli interessanti interventi. Riporto copiata esattamente la soluzione data dal libro per completezza: [...]
Soluzione sbagliata, non importa se riportata dal libro, anche i premi Nobel possono dire castronerie a volte, figurarsi i libri.
Quindi se la forza $F$ fosse nulla il carrello dovrebbe accelerare, ti pare possibile?
Allora basterebbe fare automobili senza motore, basta un grande serbatoio con un forellino sul fondo.
Quale testo è? Sempre che oltre il peccato possiamo sapere anche il peccatore.
"Nikikinki":
Poi ognuno è libero di pensarla come vuole.
Ehm.. no. Posto di essere in fisica classica la risposta giusta è una sola.Rifletti sui link che sono stati riportati sopra e sui commenti di professorkappa.
"Faussone":
Soluzione sbagliata, non importa se riportata dal libro, anche i premi Nobel possono dire castronerie a volte figurarsi i libri.
Quindi se la forza $F$ fosse nulla il carrello dovrebbe accelerare, ti pare possibile?
Bene questo è un caso in cui rileviamo un paradosso. Come anche nel caso il corpo sia fermo. Ma in questi casi c'è un al'tro principio della dinamica che interviene, cioè quello che dice che un corpo in quiete o moto rettilineo uniforme persevera nel suo stato fintanto che non compaia una forza esterna. Quindi nel "sistema fisica classica" non c'è nessun paradosso. Non puoi estendere un singolo caso $F=0$ a tutto un mondo in cui le cose stanno diversamente. Devi consideralri tuti i principi di newton sennò avrai un sistema incompleto e incoerente.
@Nikikinki
Cioè come dire: siccome il secondo principio porta a un risultato sbagliato allora rispondiamo al quesito applicando solo il terzo principio. Nessuna contraddizione, occorre applicare il secondo principio in modo giusto, per ridire nuovamente quanto detto da professorkappa.
Cioè come dire: siccome il secondo principio porta a un risultato sbagliato allora rispondiamo al quesito applicando solo il terzo principio. Nessuna contraddizione, occorre applicare il secondo principio in modo giusto, per ridire nuovamente quanto detto da professorkappa.
"Faussone":
@Nikikinki
Cioè come dire, siccome il secondo principio porta a un risultato sbagliato allora rispondiamo al quesito applicando solo il terzo principio.
Se fosse bastato il secondo principio, non servirebbe il primo. Sarebbe da esso inglobato.
"Faussone":
Nessuna contraddizione, occorre applicare il secondo principio in modo giusto, per ridire nuovamente quanto detto da professorkappa.
Sì avevo visto quel link ed ho letto ciò che è stato detto anche in questa discussione, ma gli esempi addotti non corrispondo al caso corrente. In quel link tu scrivi $m \dotv = - \dotm v$ ma questo vale del caso di conservazione dell'impulso cioè $(dp)/(dt)=0$. Non è certo questo il caso. Inoltre qui io ritenevo trascurabile l'effetto accelerante o decelerante del singolo flusso di massa, quindi per usare la notazione del libro del testo $(dm)/dt u $. Invece più che trascurabile dice espressamente che non ha contributo di velocità nella direzione del moto quindi proprio non è contemplato.
Mi spiace essere in disaccordo su questa cosa. A me non interessa dire "ho ragione", ma capire "se" ho ragione. Al momento mi sembra vogliate prendere una situazione particolare ed estenderla a generale, considerando anche solo uno dei principi della dinamica. Quindi non mi sento di dire che sono convinto da ciò che dite.
"Faussone":
Quale testo è?
Si tratta di
"Clara Schönberg, Esercizi e problemi di fisica". In effetti ha qualche errore qua e là ma si tratta in di errori su qualche cifra dei numeri (non sui concetti).
"SirDanielFortesque":
$x(0)=0$
$x(t)=(F*m_0)/(\lambda^2)*ln(m_0)-F/(\lambda)*[m_0/(\lambda)*ln(m_0-\lambda*t)+t]$
Calma potrei aver sbagliato a integrare dopo ricontrollo. In quanto questa equazione praticamente mi rappresenta una funzione decrescente, quando invece il carrello dovrebbe procedere nel verso positivo delle $x$ e quindi aumentare la sua ascissa?
Così com'è non va bene.
Quella di professork invece va d'accordo con questo tipo di fatto.
Nikikinki,
1) il problema è lo stesso, l'escludere il contributo del termine $dot m u$ per me è ovvio, non è quello il punto.
Fai tendere $F$ a zero nella tua soluzione e viene fuori un assurdo, nella maggioranza dei casi, facendo il giochetto di portare al limite certe quantità si comprende se si stanno prendendo granchi infatti.
2) Gli altri principi non sono stati esclusi nella "nostra" soluzione, tali principi si applicano sempre risolvendo un esercizio, a volte senza neanche rendersene conto. Sei tu che ti appelli a quelli per aggirare la contraddizione in cui cadi applicando male il secondo principio.
Se vedi bene quella vecchia discussione dovresti capire che applicare il secondo principio nella forma $(dmv)/ dt$ a un punto materiale, senza vedere il sistema nella sua totalità, può portare a errori.( Peccato che i link ad altri articoli lì non siano più validi.)
Più di così non so che dirti, sta a te ora. Io la chiudo qui.
@SirDanielFortesque
La soluzione riportata dal libro è sbagliata proprio nel modo di procedere dall'inizio, indipendentemente dai calcoli.
1) il problema è lo stesso, l'escludere il contributo del termine $dot m u$ per me è ovvio, non è quello il punto.
Fai tendere $F$ a zero nella tua soluzione e viene fuori un assurdo, nella maggioranza dei casi, facendo il giochetto di portare al limite certe quantità si comprende se si stanno prendendo granchi infatti.
2) Gli altri principi non sono stati esclusi nella "nostra" soluzione, tali principi si applicano sempre risolvendo un esercizio, a volte senza neanche rendersene conto. Sei tu che ti appelli a quelli per aggirare la contraddizione in cui cadi applicando male il secondo principio.
Se vedi bene quella vecchia discussione dovresti capire che applicare il secondo principio nella forma $(dmv)/ dt$ a un punto materiale, senza vedere il sistema nella sua totalità, può portare a errori.( Peccato che i link ad altri articoli lì non siano più validi.)
Più di così non so che dirti, sta a te ora. Io la chiudo qui.
@SirDanielFortesque
La soluzione riportata dal libro è sbagliata proprio nel modo di procedere dall'inizio, indipendentemente dai calcoli.
"Faussone":
La soluzione riportata dal libro è sbagliata
Mi hai convinto direi.
Grazie ancora a tutti.
Il conto si può sempre ricontrollare. Ad esempio avevo notato che la soluzione di professorkappa, pur avendo imposto $x(0)=0$ non si ritrova questo punto nella funzione infatti otterremmo $x(0)=-Fm_0/(\lambda^2)$ a meno di non aver sbagliato io a sostituire. Invece la tua mi tornava, almeno come punto iniziale. Ma non mi interessava farlo notare, tutti sbagliamo i calcoli a volte, mi interessava di più la discussione sull'impostazione. Poi il risultato pian piano viene fuori, quando esiste. Sull'impostazione continuo a restare in linea con quanto proposto dal libro. Inoltre ti faccio notare che questo problema ha un "problema" intrinseco nella definizione della massa come $m_0-\lambdat$. Certo non varrà per ogni $t$ poiché prima o poi l'acqua finisce. Pur volendo dire che il carrello è incredibilmente sottile e leggere per il quale tutta la massa è concentrata nell'acqua varrà comunque fino al tempo in cui $m_0-\lambdat\geq0$ quindi per $t\leqm_0/\lambda$.
Edit: anzi strettamente minore altrimenti diverge il logaritmo. Insomma devi considerare una massa non nulla del carrello.
Edit: anzi strettamente minore altrimenti diverge il logaritmo. Insomma devi considerare una massa non nulla del carrello.
Si, evidentemente ho sbagliato l'integrazione oppure le condizioni al contorno.
Il libro sbaglia, Niki.
La u non e' trascurabile nel nostro problema. E' proprio nulla.
La conservazione della quantita' di moto va applicata alla stessa massa, prima e dopo l'istante critico. Altrimenti non si confrontano le stesse quantita' e si cade in paradossi che ci obbligano a invocare il primo e il terzo principio.
Un carroponte che si muove di velocita' costante, con un carico appeso sotto, NON accelera se il cavo si spezza e il carroponte perde il carico. E' un assurdo che viene fuori con il "tuo" metodo, perche di fatto tu scrivi le equazioni su 2 masse diverse. Cioe' tu scrivi
Prima del distacco; $P_1=(M+m)v$
Dopo il distacco $P_2=M(v+dv)$
Non ci sono forze esterne, quindi $M(v+dv)-(M+m)v=0$.
Sviluppi e risolvi e arrivi all'assurdo che $Mdv-mv$ cioe' la velocita aumenta.
Nota che $dv=(m/M)dv$. Quindi se il carico e' molto maggiore della massa del carroponte, la variazione di velocita' tende ad infinito. Ti pare coerente tutto questo.
Invece, applica la conservazione della qdm al sistema, NELLA SUA GLOBALITA', prima e dopo il distacco.
Prima del distacco; $P_1=(M+m)v$
Dopo il distacco $P_2=M(v+dv)+mv$
Di nuovo, sviluppi, e ti torna coerentemente, che $dv=0$
Non capisco come uno ben ferrato come te non rilevi la necessita' di dover applicare il II principio a tutta la massa in gioco.
Il libro invece calcola la qdm prima della perdita su TUTTA la massa. Dopo il rilascio di sabbia, la applica a una parte (carrello e sabbia rimanente).
La "mia" soluzione (una volta corretta, perche' c'e' in effetti un errore che cerchero' di eliminare in giornata) soddisfa i 3 principi senza problemi.
Includo un piccola lezione che ho trovato stamani online che spiega molto bene la situazione in diversi casi.
Il caso dell uomo sul ghiaccio col sacchetto di sabbia bucato spiega molto bene quello che cerco confusamente di scrivere dall'inizio del post. Il caso del freight car e' esattamente il nostro, e come vedi, la "mia" soluzione coincide con quella della lezione.
http://www.iitg.ac.in/physics/fac/saura ... cture6.pdf
Il libro sbaglia, Niki.
La u non e' trascurabile nel nostro problema. E' proprio nulla.
La conservazione della quantita' di moto va applicata alla stessa massa, prima e dopo l'istante critico. Altrimenti non si confrontano le stesse quantita' e si cade in paradossi che ci obbligano a invocare il primo e il terzo principio.
Un carroponte che si muove di velocita' costante, con un carico appeso sotto, NON accelera se il cavo si spezza e il carroponte perde il carico. E' un assurdo che viene fuori con il "tuo" metodo, perche di fatto tu scrivi le equazioni su 2 masse diverse. Cioe' tu scrivi
Prima del distacco; $P_1=(M+m)v$
Dopo il distacco $P_2=M(v+dv)$
Non ci sono forze esterne, quindi $M(v+dv)-(M+m)v=0$.
Sviluppi e risolvi e arrivi all'assurdo che $Mdv-mv$ cioe' la velocita aumenta.
Nota che $dv=(m/M)dv$. Quindi se il carico e' molto maggiore della massa del carroponte, la variazione di velocita' tende ad infinito. Ti pare coerente tutto questo.
Invece, applica la conservazione della qdm al sistema, NELLA SUA GLOBALITA', prima e dopo il distacco.
Prima del distacco; $P_1=(M+m)v$
Dopo il distacco $P_2=M(v+dv)+mv$
Di nuovo, sviluppi, e ti torna coerentemente, che $dv=0$
Non capisco come uno ben ferrato come te non rilevi la necessita' di dover applicare il II principio a tutta la massa in gioco.
Il libro invece calcola la qdm prima della perdita su TUTTA la massa. Dopo il rilascio di sabbia, la applica a una parte (carrello e sabbia rimanente).
La "mia" soluzione (una volta corretta, perche' c'e' in effetti un errore che cerchero' di eliminare in giornata) soddisfa i 3 principi senza problemi.
Includo un piccola lezione che ho trovato stamani online che spiega molto bene la situazione in diversi casi.
Il caso dell uomo sul ghiaccio col sacchetto di sabbia bucato spiega molto bene quello che cerco confusamente di scrivere dall'inizio del post. Il caso del freight car e' esattamente il nostro, e come vedi, la "mia" soluzione coincide con quella della lezione.
http://www.iitg.ac.in/physics/fac/saura ... cture6.pdf
Se può essere utile, linko un vecchio thread di ElectroYou sull'argomento in oggetto
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622#p197720
e, in particolare, i post [27]
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622&start=20#p199699
e [38]
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622&start=30#p200270
nel quale sono presenti anche un paio di link interessanti, dalle Lecture Notes [nota]https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/[/nota] del corso Dynamics [nota]https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/index.htm[/nota] del MIT.
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622#p197720
e, in particolare, i post [27]
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622&start=20#p199699
e [38]
https://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=41&t=25622&start=30#p200270
nel quale sono presenti anche un paio di link interessanti, dalle Lecture Notes [nota]https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/[/nota] del corso Dynamics [nota]https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/index.htm[/nota] del MIT.
Facendo i conti (partendo dalla equazione differenziale scritta da professorkappa) a me risulta
$v(t)=F/lambda ln(m_0/(m_0-lambda t))+v_0$
Intendendo con $v_0$ la velocità al tempo zero.
Si vede che se la forza è nulla la velocità non varia e che quando tutta la sabbia finisce la velocità è
$F/lambda ln (m_0/m_f)+v_0$
(con $m_f$ si intende la massa del carrello vuoto).
$v(t)=F/lambda ln(m_0/(m_0-lambda t))+v_0$
Intendendo con $v_0$ la velocità al tempo zero.
Si vede che se la forza è nulla la velocità non varia e che quando tutta la sabbia finisce la velocità è
$F/lambda ln (m_0/m_f)+v_0$
(con $m_f$ si intende la massa del carrello vuoto).
"Faussone":
Facendo i conti (partendo dalla equazione differenziale scritta da professorkappa) a me risulta
$v(t)=F/lambda ln(m_0/(m_0-lambda t))+v_0$
Intendendo con $v_0$ la velocità al tempo zero.
Si vede che se la forza è nulla la velocità non varia e che quando tutta la sabbia finisce la velocità è
$F/lambda ln (m_0/m_f)+v_0$
(con $m_f$ si intende la massa del carrello vuoto).
Si, questa sembra corretta.
C'e' pero' in effetti un errore nella formulazione di x(t) tramite integrazione (probabilmente ho integrato male quel logaritmo, oppure ho sbagliato con le condizioni iniziali).
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