Problema di Elettrostatica da Esame
Sto risolvendo questo problema da esame e non avendo la soluzione, chiedo un parere a chi ne sà più di me.
1) Calcolo del Campo E in modulo, direzione e verso e disegno del grafico
Ho utilizzato il teorema di Gauss, considerando 3 casi.
a. $ r
c. $ r>R2 $
a. Applicando il teorema di Gauss per il primo caso:
È una sfera, ma ho comunque utilizzato la superficie per il calcolo dell'integrale, perchè mi interessa la superficie gaussiana. Invece per il calcolo della carica interna, ho considerato il volume, perchè mi interessa la carica interna alla superficie gaussiana, quindi è un volume. Fin qui il ragionamento è corretto? Magari è banale ma faccio un pò di confusione su questa cosa.
$ Eint_(0)^(r) 8pir dr =1/epsiQ $
$ E=1/(4pir^2epsi)Q $
$ Q=rhoV=rho4/3piR1^3 $
$ E=rho/(3epsi)(R1^3)/r^2 $
b. Per il caso 2 ho un dubbio. Consideriamo la superficie $ R1<=r<=R2 $. Abbiamo carica in questa zona? Per tra le due superfici non c'è carica e quindi il campo è nullo, ma direttamente sulle superfici delle due sfere abbiamo invece carica, no?
c. Per il caso 3 invece consideriamo il campo generato da una carica puntiforme, quindi:
$ E=1/(4piepsi)Q/r^2 $
Dove Q è la carica presenta sulla superficie esterna della sfera esterna. Per avere il valore del campo sostituisco R2 a r^2, giusto?
Un'altro dubbio che ho riguarda il testo del problema. Mi dice di indicare anche direzione e verso, ma come?
Risposte
Cominciamo con a.
E' giusto applicare Gauss, ma la soluzione che dai è errata. La superfice gaussiana è un guscio sferico concentrico a raggio r fissato mentre la carica q è tutta la carica contenuta in quel volume. Quindi ...
E' giusto applicare Gauss, ma la soluzione che dai è errata. La superfice gaussiana è un guscio sferico concentrico a raggio r fissato mentre la carica q è tutta la carica contenuta in quel volume. Quindi ...
"ingres":
Cominciamo con a.
E' giusto applicare Gauss, ma la soluzione che dai è errata. La superfice gaussiana è un guscio sferico concentrico a raggio r fissato mentre la carica q è tutta la carica contenuta in quel volume. Quindi ...
Quindi devo considerare la sola carica interna alla superficie gaussiana, ottenendo una campo:
$ E=(rho r)/(3epsi) $
Corretto?
SI.
Sostituendo $rho=Q/(4/3 pi *R^3)$ si ottiene
$E=1/(4*pi*epsilon)*(Qr)/R^3$ che per r=R fornisce il risultato che ci deve attendere per il campo in prossimità della sfera carica.
Continuiamo con b.
Il fatto che non vi sia carica non implica assolutamente che non vi sia campo. Applica ancora una volta Gauss e determina il campo in questa zona.
Sostituendo $rho=Q/(4/3 pi *R^3)$ si ottiene
$E=1/(4*pi*epsilon)*(Qr)/R^3$ che per r=R fornisce il risultato che ci deve attendere per il campo in prossimità della sfera carica.
Continuiamo con b.
"Carmelo99":
b. Per il caso 2 ho un dubbio. Consideriamo la superficie R1≤r≤R2. Abbiamo carica in questa zona? Per tra le due superfici non c'è carica e quindi il campo è nullo, ma direttamente sulle superfici delle due sfere abbiamo invece carica, no?
Il fatto che non vi sia carica non implica assolutamente che non vi sia campo. Applica ancora una volta Gauss e determina il campo in questa zona.
Per il caso b, applicando il teorema di gauss, ho fatto questo ragionamento. Considero una superficie gaussiana di raggio r compresa tra R1 e R2. Per calcolare la carica interna a questa superficie, ho fatto l'integrale tra 0 e R1. Non tra 0 e r, perchè tra R1 e r non abbiamo carica, e inoltre avrei ottenuto come risultato lo stesso del caso a per il campo.
Quindi: $ E=rho /(3epsi)R_1^3/(r^2) $
Quindi: $ E=rho /(3epsi)R_1^3/(r^2) $
Si è corretto
sostituendo il valore di $rho$, puoi semplificare l'espressione in una più usuale:
$E = 1/(4 pi epsilon)*Q/r^2$
Passiamo a c.
Quasi. Quant' è la carica totale contenuta nella superficie Gaussiana?
sostituendo il valore di $rho$, puoi semplificare l'espressione in una più usuale:
$E = 1/(4 pi epsilon)*Q/r^2$
Passiamo a c.
"Carmelo99":
c. Per il caso 3 invece consideriamo il campo generato da una carica puntiforme, quindi:
$E=1/(4πε)Q/r^2$
Quasi. Quant' è la carica totale contenuta nella superficie Gaussiana?
"ingres":
Si è corretto
sostituendo il valore di $rho$, puoi semplificare l'espressione in una più usuale:
$E = 1/(4 pi epsilon)*Q/r^2$
Passiamo a c.
[quote="Carmelo99"]c. Per il caso 3 invece consideriamo il campo generato da una carica puntiforme, quindi:
$E=1/(4πε)Q/r^2$
Quasi. Quant' è la carica totale contenuta nella superficie Gaussiana?[/quote]
Quindi oer il caso b ottengo il campo creato da una carica puntiforme?
Per il caso c, invece, il campo. sarebbe: $ E=rho/(3epsi)R_2^3/r^2 $
Giusto?
Direi di no, per il caso c avrai ancora un campo uguale a quello di una carica puntiforme, ma di valore $2Q$, e di conseguenza ... 
"RenzoDF":
Direi di no, per il caso c avrai ancora un campo uguale a quello di una carica puntiforme, ma di valore $2Q$, e di conseguenza ...
Perchè 2Q?
Semplicemente perché all'interno di una superficie gaussiana con r>R2, abbiamo la carica Q della sfera interna più la carica Q della superficie sferica esterna.
"RenzoDF":
Semplicemente perché all'interno di una superficie gaussiana con r>R2, abbiamo la carica Q della sfera interna più la carica Q della superficie sferica esterna.
Ok, quindi se ad esempio la sfera interna era caricata con -Q, dall'esterno vedevamo carica nulla?
Il campo sarà quindi: $ E=(2rho)/(3epsi)R_2^3/r^2 $
Per quanto riguarda il secondo quesito, ho ragionato scomponendo in diversi contributi.
Volendo trovare la differenza di potenziale, ho i seguenti contributi:
1. $ V_(R1)-V_0 $
2. $ V_M-V_(R1) $
3. $ V_N-V_M $
4. $ V_oo -V_N $
$ V_M-V_N=-int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) E dr= -int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) rho/(3epsi)R_1^3/r^2 dr= $
$ =-rho/(3epsi)R_1^3(2/(R_1+R_2)-1/R_2)=-49,5V $
Non so se ho sbagliato qualcosa con il calcolo integrale.
Volendo trovare la differenza di potenziale, ho i seguenti contributi:
1. $ V_(R1)-V_0 $
2. $ V_M-V_(R1) $
3. $ V_N-V_M $
4. $ V_oo -V_N $
$ V_M-V_N=-int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) E dr= -int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) rho/(3epsi)R_1^3/r^2 dr= $
$ =-rho/(3epsi)R_1^3(2/(R_1+R_2)-1/R_2)=-49,5V $
Non so se ho sbagliato qualcosa con il calcolo integrale.
"Carmelo99":
Il campo sarà quindi: $E=(2ρ)/(3ε)*R_2^3/r^2$
No, se usi il valore di densità precedente da quella formula non ottieni 2Q, ma soprattutto non ha senso a continuare a usare la densità che ti induce solo in errore.
"ingres":
[quote="Carmelo99"]Il campo sarà quindi: $E=(2ρ)/(3ε)*R_2^3/r^2$
No, se usi il valore di densità precedente da quella formula non ottieni 2Q, ma soprattutto non ha senso a continuare a usare la densità che ti induce solo in errore.[/quote]
Capito. Allora lo calcolo direttamente considerando il campo creato da una carica puntiforme:
$ E=1/(4piepsi)(2Q)/r^2 $
"Carmelo99":
Per quanto riguarda il secondo quesito, ho ragionato scomponendo in diversi contributi.
Volendo trovare la differenza di potenziale, ho i seguenti contributi:
1. $ V_(R1)-V_0 $
2. $ V_M-V_(R1) $
3. $ V_N-V_M $
4. $ V_oo -V_N $
$ V_M-V_N=-int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) E dr= -int_(R_2)^((R_1+R_2)/2) rho/(3epsi)R_1^3/r^2 dr= $
$ =-rho/(3epsi)R_1^3(2/(R_1+R_2)-1/R_2)=-49,5V $
Non so se ho sbagliato qualcosa con il calcolo integrale.
La risposta al secondo quesito è corretta?
"Carmelo99":
Capito. Allora lo calcolo direttamente considerando il campo creato da una carica puntiforme:
OK
Per quanto riguarda il grafico del campo, invece:
Scusate la qualità oscena
Scusate la qualità oscena
"Carmelo99":
La risposta al secondo quesito è corretta?
Il segno sicuramente è errato. Verifica il risultato usando la classica formula del potenziale
$V_M-V_N = Q/(4 pi epsilon)(1/r_M - 1/r_N)$
"Carmelo99":
Per quanto riguarda il grafico del campo, invece:
OK
Poi per direzione e verso chiaramente la direzione è radiale ed essendo le cariche positive il verso è uscente.
Per quanto riguarda l'ultimo quesito, invece, ho risposto così:
Applicando la conservazione dell'energia: $ 1/2mv_o^2+qV_o=1/2v_f^2+qV_f $
Dato che la carica arriva alla sfera interna, la velocità finale sarà nulla, quindi:
$ v_o=sqrt((2q(V_f-V_o))/(m)) $
$ V_f-V_o=-int_(R_2)^(R1) 1/(4piepsi)Q/r^2 dr=Q/(4pi epsi)(1/R_2-1/R_1)=131,9V $
Dove la carica Q è la carica della sfera intera, ovvero 1.1 nC
$ v_o=sqrt((2q(V_f-V_o))/(m))=0,44m/s $
Applicando la conservazione dell'energia: $ 1/2mv_o^2+qV_o=1/2v_f^2+qV_f $
Dato che la carica arriva alla sfera interna, la velocità finale sarà nulla, quindi:
$ v_o=sqrt((2q(V_f-V_o))/(m)) $
$ V_f-V_o=-int_(R_2)^(R1) 1/(4piepsi)Q/r^2 dr=Q/(4pi epsi)(1/R_2-1/R_1)=131,9V $
Dove la carica Q è la carica della sfera intera, ovvero 1.1 nC
$ v_o=sqrt((2q(V_f-V_o))/(m))=0,44m/s $
OK 
C'è solo un piccolo refuso nella formula (è $1/R_1-1/R_2$ e non il contrario), ma il risultato è giusto.
C'è solo un piccolo refuso nella formula (è $1/R_1-1/R_2$ e non il contrario), ma il risultato è giusto.
"ingres":
OK
C'è solo un piccolo refuso nella formula (è $1/R_1-1/R_2$ e non il contrario), ma il risultato è giusto.
Perfetto, grazie
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