Problema corpi rigidi e urti
Un’asta omogenea di lunghezza L=1m e massa M=1Kg si muove su un piano orizzontale di moto rettilineo uniforme con velocità pari a v0=2m/s diretta ortogonalmente alla direzione della lunghezza dell’asta. Ad un certo istante l’asta urta un ostacolo fisso (inchiodato al piano) in un punto P posto ad una distanza L/3 dall’estremo libero (v. figura). Supponendo l’urto elastico ed istantaneo determinare il moto(velocità centro di massa e velocità angolare) dell’asta appena dopo l’urto.
Risposte
Io ho iniziato a studiare da poco questi argomenti, quindi non prendere per certo quello che ti sto per dire. Io l'ho risolto così, vediamo se qualcuno conferma.
$ { ( 1/2m*vi^2=1/2m*vf^2+1/2*(ml^2)/12*omega f^2 ),( J=Delta P=m*vf-m*vi ),( J*l/6 =(ml^2)/12*omega f):} $
$ { ( 1/2m*vi^2=1/2m*vf^2+1/2*(ml^2)/12*omega f^2 ),( J=Delta P=m*vf-m*vi ),( J*l/6 =(ml^2)/12*omega f):} $
I risultati sarebbero: $ vCM=1.96 ux m/s ; ω= -1.33 uz m/s $
Non ho capito la terza equazione. La prima conservazione energia cinetica essendo urto elastico, la seconda l'equazione dell'impulso mentre la terza? Grazie mille intanto
Non ho capito la terza equazione. La prima conservazione energia cinetica essendo urto elastico, la seconda l'equazione dell'impulso mentre la terza? Grazie mille intanto
La terza è il momento dell'impulso, che determina una variazione del momento angolare. Hai provato a risolvere numericamente il sistema e vedere se i risultati coincidono? 
"Silvere":
La terza è il momento dell'impulso, che determina una variazione del momento angolare. Hai provato a risolvere numericamente il sistema e vedere se i risultati coincidono
ti mostro i calcoli per vedere se sbaglio qualcosa: $ { ( 2=(vf)^2/2 + ω^2/24 ),( J = vf -2 ),((vf-2)/6= ω/12 ):} $.
Proseguo e sostituisco $ ω $ , che trovo nella terza equazione del sistema, nella prima e trovo $ vf = 2 m/s $ che è sbagliato
non so se ho fatto errori di calcolo però! Dimmi se ti tornano i conti 
grazie mille
Il momento dell'impulso non è altro che $J*r=Lf-Li$
cioè il prodotto dell'impulso per il raggio è uguale alla variazione del momento angolare. Io ho scritto il raggio come $l/6$ perchè non essendo vincolata l'asta credo che ruoterà attorno al suo centro di massa. Ci avevo pensato anche io a farlo con la conservazione del momento angolare, solo che non saprei come scriverla, come polo si dovrebbe considerare il punto A?
Purtroppo ho iniziato a studiare fisica da poco quindi neanche io ho le idee tanto chiare xD
cioè il prodotto dell'impulso per il raggio è uguale alla variazione del momento angolare. Io ho scritto il raggio come $l/6$ perchè non essendo vincolata l'asta credo che ruoterà attorno al suo centro di massa. Ci avevo pensato anche io a farlo con la conservazione del momento angolare, solo che non saprei come scriverla, come polo si dovrebbe considerare il punto A?
Purtroppo ho iniziato a studiare fisica da poco quindi neanche io ho le idee tanto chiare xD
"Silvere":
Il momento dell'impulso non è altro che $J*r=Lf-Li$
cioè il prodotto dell'impulso per il raggio è uguale alla variazione del momento angolare. Io ho scritto il raggio come $l/6$ perchè non essendo vincolata l'asta credo che ruoterà attorno al suo centro di massa. Ci avevo pensato anche io a farlo con la conservazione del momento angolare, solo che non saprei come scriverla, come polo si dovrebbe considerare il punto A?
Purtroppo ho iniziato a studiare fisica da poco quindi neanche io ho le idee tanto chiare xD
Anche io sono più o meno nelle stesse tue condizioni però non mi torna una cosa. La conservazione del momento angolare cioè $ Li=Lf $ se paragonata alla tua formula $ J*r = Lf - Li $ si nota che se si conserva il momento angolare la $ J*r $ dovrebbe essere $ =0 $ perchè $ Li=Lf $ corrisponde a $ Lf-Li=0 $ quindi il momento di un impulso c'è solo se non si conserva il momento angolare. In questo esercizio penso si conservi perchè il momento delle forze esterne(solo quella peso in questo) è $ =0 $ quindi per me l'esercizio deve essere fatto così: $ { ( Li=Lf ),( Eci=Ecf ):} $. O mi sbaglio? Però non so come calcolare il momento angolare iniziale.
Neanch'io so calcolarlo, aspettiamo l'intervento di qualcuno più esperto di noi che possa illuminarci xD
Non ho letto attentamente il testo e tutta la discussione, quindi non ho neanche esaminato il procedimento e le equazioni.
Ma dico questo : se prendi il chiodo come polo, il momento angolare iniziale è quello dell'asta, la cui massa devi immaginare concentrata nel suo CM, che ha la velocità di traslazione dell'asta e si trova a distanza (quella minima) nota dal chiodo.
Ma dico questo : se prendi il chiodo come polo, il momento angolare iniziale è quello dell'asta, la cui massa devi immaginare concentrata nel suo CM, che ha la velocità di traslazione dell'asta e si trova a distanza (quella minima) nota dal chiodo.
"navigatore":
Non ho letto attentamente il testo e tutta la discussione, quindi non ho neanche esaminato il procedimento e le equazioni.
Ma dico questo : se prendi il chiodo come polo, il momento angolare iniziale è quello dell'asta, la cui massa devi immaginare concentrata nel suo CM, che ha la velocità di traslazione dell'asta e si trova a distanza (quella minima) nota dal chiodo.
quindi essendo l'asta lunga $ 1 m $, il suo centro di massa è a $ 1/2 L $ la distanza sarebbe la distanza dal centro di massa al chiodo(che si trova a 1/3 di altezza) proprio appena prima dell'urto quindi sarebbe $ r= 1/2 - 1/3= 1/6 $ giusto? Quindi il momento iniziale sarebbe $ L= 1kg * 2 m/s * 1/6m= 1/3 kg*m^2/s$ ?
Si.
"navigatore":
Si.
Quindi per la conservazione del momento angolare $ Li=Lf $ e $ Lf=Iω $ il momento d'inerzia è $ I=Sigma m*r^2 $ quindi $ m $ è la massa dell'asta e $r$ invece? É la distanza dall'estremo dell'asta al centro di massa?
"milini":
... Quindi per la conservazione del momento angolare $ Li=Lf $ e $ Lf=Iω $
La prima si, ovviamente, ma la seconda no, visto il polo scelto (chiodo) per il momento angolare.
Occhio al momento d'inerzia, quella sommatoria (che senza indici è pericolosa e in questo caso dovrebbe a dire il vero essere sostituita da un integrale), a che valore porta? ... e rispetto a che punto calcoli il momento d'inerzia? ... (chiodo o CM?) ... quale risulta più semplice?
Se ricordi come si scrive il momento angolare rispetto ad un punto fisso (chiodo) conoscendo quello rispetto al CM, avrai la soluzione più facile.
"RenzoDF":
[quote="milini"]... Quindi per la conservazione del momento angolare $ Li=Lf $ e $ Lf=Iω $
La prima si, ovviamente, ma la seconda no, visto il polo scelto (chiodo) per il momento angolare.
Occhio al momento d'inerzia, quella sommatoria (che senza indici è pericolosa e che in questo caso dovrebbe essere sostituita da un integrale), a che valore porta? ... e rispetto a che punto calcoli il momento d'inerzia?
Se ricordi come si scrive il momento angolare rispetto ad un punto fisso (chiodo) conoscendo quello rispetto al CM, avrai la soluzione più facile.
[/quote]Apprezzo che mi fai ragionare
allora quindi il momento angolare finale non è dato da questa: $ Lf=Iω $ ? Il momento d'inerzia devo calcolarlo con il teorema di steiner?
Il polo è il chiodo. Il momento angolare finale è : $L_f = I_P\omega$ , dove il momento di inerzia è calcolato rispetto al punto di impatto.
"milini":
...
Apprezzo che mi fai ragionare
Scusa se ti faccio domande a raffica e aggiorno di continuo il messaggio, ma cerco di concentrare i consigli senza spargerli in 101 post successivi.
Tornando a bomba $L_f$ ti conviene calcolartelo a partire da $L_{CM}$ e $v_{CM}$, non puoi applicare Huygens-Steiner in quanto il CM della barra non ruota attorno al chiodo; lascio a te scoprire come ... è una relazione FONDAMENTALE!
"RenzoDF":
[quote="milini"]...
Apprezzo che mi fai ragionare
Scusa se ti faccio domande a raffica e aggiorno di continuo il messaggio, ma cerco di concentrare i consigli senza spargerli in 101 post successivi.
Tornando a bomba $L_f$ ti conviene calcolartelo a partire da $L_{CM}$ e $v_{CM}$, non puoi applicare Huygens-Steiner in quanto il CM della barra non ruota attorno al chiodo; lascio a te scoprire come ... è una relazione FONDAMENTALE!
[/quote]Non riesco a capire come fare
allora dici di calcolarla rispetto alla $vCM$ ma non la ho ancora trovata quella. Allora il momento angolare è $L=mr$ x$ v$ che nel corpo rigido equivale a $L=Iω$ solo che quella $I$ non capisco come calcolarla allora la $I$ solitamente è $ Sigma mi⋅ri2$ però non so che $r$ è.
Il momento d'inerzia quindi è il momento dell'asta rispetto al chiodo?
Alora il momento d'inerzia dell'asta potrei calcolarlo cosi: $ int_(-1/3)^(2/3) lambda x^2 dx $ dove l' $1/3$ si riferisce al chiodo e il $2/3$ è la lunghezza dell'asta meno l'altezza a cui sta il chiodo. Però facendo così mi esce il momento d'inerzia $I=1/9$ e la velocità angolare $ 1/3=1/9ω$ quindi $ω=3$ ma la soluzione è $ ω=1.33 $ . Qualcuno che mi aiuta? grazie
Allora, che il momento d'inerzia rispetto al polo $P$ (chiodo) sia quello non ci son dubbi, ma non serviva un integrale per farlo, bastava Huygens-Steiner , quello che ti cercavo di dire nei post passati è che io vedo più "sicuro" (diciamo così) andare a bilanciare "al largo" dai perni 
, ... che trovo sempre pericolosi e misteriosi da analizzare nell'interazione generica.
Ne segue che il mio consiglio era di andare a scrivere il momento angolare, calcolato sempre rispetto a $P$, ma dopo l'impatto, a distanza di sicurezza, e in funzione delle due incognite $v_{cm}$ e $\omega$ usando la seguente relazione
$\vec{L}_P=\vec{r}_{P, cm}\times m \vec{v}_{cm}+I_{cm}\vec{\omega} $
che, messa a sistema con quella della conservazione dell'energia avrebbe portato a ricavarsi le due incognite $v_{cm}$ e $\omega$.
Magari sbaglio, oppure c'è un modo più semplice per risolvere il problema, ma io la vedo in quel modo.
, quello che ti cercavo di dire nei post passati è che io vedo più "sicuro" (diciamo così) andare a bilanciare "al largo" dai perni , ... che trovo sempre pericolosi e misteriosi da analizzare nell'interazione generica.Ne segue che il mio consiglio era di andare a scrivere il momento angolare, calcolato sempre rispetto a $P$, ma dopo l'impatto, a distanza di sicurezza, e in funzione delle due incognite $v_{cm}$ e $\omega$ usando la seguente relazione
$\vec{L}_P=\vec{r}_{P, cm}\times m \vec{v}_{cm}+I_{cm}\vec{\omega} $
che, messa a sistema con quella della conservazione dell'energia avrebbe portato a ricavarsi le due incognite $v_{cm}$ e $\omega$.
Magari sbaglio, oppure c'è un modo più semplice per risolvere il problema, ma io la vedo in quel modo.
Il momento di inerzia dell'asta rispetto al punto di impatto si calcola semplicemente così :
$I_P = 1/(12)Ml^2 + M(l/6)^2 = (Ml^2)/9 $
Però vediamo altre considerazioni.
Se assumi come polo per il calcolo dei momenti il CM dell'asta, il momento angolare $L$ prima dell'urto rispetto a tale polo è nullo.
All'urto, nasce evidentemente una forza esterna, la forza $F$ impulsiva esercitata dal chiodo, che mi porta a scrivere due equazioni :
$-F = M (dv)/(dt)$
la quale tiene conto che la forza esterna produce una variazione della qdm dell'asta e cioè una decelerazione del cdm.
La seconda che scriverei è : $F*L/6 = I_(CM) *(d\omega)/(dt)$
e cioè, il momento della forza esterna causa variazione del momento angolare dell'asta. Ma non conosciamo $F$.
Tra variazione del momento angolare $\DeltaL$ rispetto al CM e variazione della quantità di moto $\Deltap$ si ha comunque la relazione :
$\Delta L = l/6*\Deltap$ , e cioè : $ 1/(12)ml^2 *\Delta\omega = l/6m(v - v_0) $
(controllate i segni per favore! )
Inoltre si deve scrivere la conservazione dell'energia cinetica, in funzione di $v$ , $v_0$ e $\omega$ .
Così dovrebbe andare. Verifica.
$I_P = 1/(12)Ml^2 + M(l/6)^2 = (Ml^2)/9 $
Però vediamo altre considerazioni.
Se assumi come polo per il calcolo dei momenti il CM dell'asta, il momento angolare $L$ prima dell'urto rispetto a tale polo è nullo.
All'urto, nasce evidentemente una forza esterna, la forza $F$ impulsiva esercitata dal chiodo, che mi porta a scrivere due equazioni :
$-F = M (dv)/(dt)$
la quale tiene conto che la forza esterna produce una variazione della qdm dell'asta e cioè una decelerazione del cdm.
La seconda che scriverei è : $F*L/6 = I_(CM) *(d\omega)/(dt)$
e cioè, il momento della forza esterna causa variazione del momento angolare dell'asta. Ma non conosciamo $F$.
Tra variazione del momento angolare $\DeltaL$ rispetto al CM e variazione della quantità di moto $\Deltap$ si ha comunque la relazione :
$\Delta L = l/6*\Deltap$ , e cioè : $ 1/(12)ml^2 *\Delta\omega = l/6m(v - v_0) $
(controllate i segni per favore! )
Inoltre si deve scrivere la conservazione dell'energia cinetica, in funzione di $v$ , $v_0$ e $\omega$ .
Così dovrebbe andare. Verifica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo