Problema con motore elettrico
Buongiorno, ho difficoltà a risolvere queto problema: un prototipo molto elementare di motore elettrico può essere costituito da una ruota conduttrice posta in un campo magnetico. La ruota mostrata in figura è formata da un cerchione con 4 raggi uguali di lunghezza $l$, ciascuno di resistenza $R$, mentre la resistenza del resto del circuito è trascurabile. Due contatti striscianti collegano l’asse e il cerchione ai poli di una batteria di forza elettromotrice $V$. Il campo magnetico $B$ è uniforme e perpendicolare al piano verticale della ruota, uscente in figura. Si determini la polarità della batteria e il valore $V_0$ della forza elettromotrice della batteria affinché il motore tenga sollevato l’oggetto di massa $M$ come indicato in figura.
Per prima cosa non ho capito che cosa significhi trovare la polarità della batteria. Poi passo alla seconda richiesta: per trovare la differenza di potenziale sfrutto la prima legge di Ohm conoscendo la corrente che ricavo da una formula che la coinvolga insieme al campo magnetico. Siccome non ho ben capito che cosa dovrebbe succedere da un punto di vista fisico, non so quale formula del magnetismo utilizzare. Potreste aiutarmi per favore spiegandomi che cosa dovrebbe succedere fisicamente affinchè la massa rimanga ferma così da indirizzarmi verso la formula giusta da applicare?
Per prima cosa non ho capito che cosa significhi trovare la polarità della batteria. Poi passo alla seconda richiesta: per trovare la differenza di potenziale sfrutto la prima legge di Ohm conoscendo la corrente che ricavo da una formula che la coinvolga insieme al campo magnetico. Siccome non ho ben capito che cosa dovrebbe succedere da un punto di vista fisico, non so quale formula del magnetismo utilizzare. Potreste aiutarmi per favore spiegandomi che cosa dovrebbe succedere fisicamente affinchè la massa rimanga ferma così da indirizzarmi verso la formula giusta da applicare?
Risposte
No, ad ogni modo, per farla breve, il momento lo calcoli rispetto al centro, le forze le applichi nel punto medio di ogni raggio, normali allo stesso.
Ma la formula del momento è $M=Fxxb$
Santo cielo, sono 4 forze applicate a meta raggio, che tendono a far ruotare il disco in senso antiorario con momento 4FR/2.
Il valore di ogni forza e' proporzionale al prodotto tra B e corrente, e affinche ruotino in senso a.o. la corrente deve fluire verso il mozzo.
Il momento 4FR/2 deve eguagliaere il momento mgR della massa sul disco.
Un minimo di sforzo, te lo hanno scritto in 12 messaggi!!!!
Il valore di ogni forza e' proporzionale al prodotto tra B e corrente, e affinche ruotino in senso a.o. la corrente deve fluire verso il mozzo.
Il momento 4FR/2 deve eguagliaere il momento mgR della massa sul disco.
Un minimo di sforzo, te lo hanno scritto in 12 messaggi!!!!
Riprendo questo problema che avevo lasciato in sospeso. Ho capito che la corrente scorre dalla periferia al centro della ruota, e che la forza va considerata applicata nel centro di massa di ogni raggio per tutti e 4 i raggi. Quello che non capisco è il giro che fa la corrente, in che ordine entra nei raggi.
Non c’è nessun “ordine”, entra continuamente su tutti e quattro; il “giro” che fa per percorrere il cerchione a partire dal contatto strisciante non ci interessa, lasciamo che ci pensi lei a trovare la strada migliore. 
Certo, non è rilevante ai fini del problema, era una semplice curiosità.
Non ho capito però perchè la corrente deve andare dalla periferia verso l'asse affinchè la rutota giri in senso antiorario. Non capisco in particolare l'orientamento della forza $F=BiR$. E non ho capito perchè il momento della forza peso si consideri solo su una raggio e non sulle metà di tutti e 4.
"ZfreS":
Certo, non è rilevante ai fini del problema, era una semplice curiosità.
La mia era solo una battuta, ma hai ragione, cercare di capire come quella corrente "giri" per entrare dal cerchione all'asse della ruota, è davvero più che interessante
Visto che il testo afferma che la resistenza è concentrata nei raggi, mentre è "trascurabile" nel resto del conduttore, possiamo affrontare il problema riducendo drasticamente il grado di complessità, andando ad considerarla (come di certo l'estensore del problema intendeva) nulla; in questo caso avremo che:
a) se il contatto si trova esattamente in corrispondenza di uno dei raggi, la corrente I andrà a partirsi in una I/4 direttamente entrante nel raggio stesso mentre due correnti pari a 3I/8 andranno ad scorrere nel cerchione sia verso destra che verso sinistra.
b) se il contatto si trova in una posizione intermedia fra i punti di collegamento dei raggi al cerchione, la corrente si andrà a dividere in due parti uguali a I/2 nelle due direzioni.
Se però non ci accontentiamo di questa approssimazione estrema, e supponiamo invece che quel problema intenda che la resistenza del cerchione è piccola rispetto a R ma non nulla, il discorso per il precedente caso b) si complica, in quanto dovremo considerare che non esiste più una simmetria fra i due versi.
Indicando con $r$ la resistenza di un quarto di cerchione e con $0\ltk\lt1$ la frazione della stessa inserita a sinistra del contatto strisciante [nota]Angolarmente avremo che \(k=\theta/(\pi/2)\).[/nota], potremo in questo caso considerare il seguente circuito equivalente
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
MC 39 43 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 39 16 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 49 32 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 23 32 0 0 ey_libraries.pasres0
SA 39 32 0
EV 30 35 36 41 0
LI 33 32 44 32 0
LI 39 26 39 38 0
MC 59 16 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 59 43 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 18 16 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 18 43 1 0 ey_libraries.pasres0
LI 18 11 59 11 0
LI 39 53 59 53 0
LI 18 53 39 32 0
LI 18 26 18 38 0
LI 59 26 59 38 0
MC 23 53 0 0 ey_libraries.pasres0
LI 33 53 39 53 0
TY 43 16 4 3 0 0 0 * R
TY 50 24 4 3 0 0 0 * R
TY 24 24 4 3 0 0 0 * R
TY 43 42 4 3 0 0 0 * R
TY 29 40 4 3 0 0 0 * +
TY 33 41 4 3 0 0 0 * V
TY 21 15 4 3 0 0 0 * r
TY 63 15 4 3 0 0 0 * r
TY 63 42 4 3 0 0 0 * r
TY 13 56 4 3 0 0 0 * r(1-k)
TY 7 42 4 3 0 0 0 * rk
MC 18 40 3 0 074
MC 32 53 0 0 074
TY 9 34 4 3 0 0 0 * I1
TY 34 55 4 3 0 0 0 * I2
LI 23 46 22 49 0
LI 22 49 25 48 0
TY 23 40 4 3 0 0 0 * I
LI 23 46 25 48 0
TY 26 67 4 3 0 0 0 * k=θ/(π/2)
RV 55 74 24 66 13[/fcd]
circuito che, grazie a semplificazione conseguenti alla relazione d'ordine \(r \ll R\), porterà essere considerato equivalente al seguente
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
MC 39 16 1 0 ey_libraries.pasres0
EV 36 32 42 38 0
MC 59 16 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 19 16 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 34 53 2 0 ey_libraries.pasres0
LI 19 11 59 11 0
LI 39 53 39 26 0
LI 19 26 19 53 0
LI 59 26 59 53 0
MC 44 53 0 0 ey_libraries.pasres0
TY 43 16 4 3 0 0 0 * R/4
TY 40 37 4 3 0 0 0 * +
TY 44 32 4 3 0 0 0 * V
TY 63 15 4 3 0 0 0 * 3r/2
TY 40 57 4 3 0 0 0 * r(1-k)
TY 27 57 4 3 0 0 0 * rk
MC 24 53 2 0 074
MC 54 53 0 0 074
TY 22 46 4 3 0 0 0 * I1
TY 49 46 4 3 0 0 0 * I2
TY 34 42 4 3 0 0 0 * I
TY 22 16 4 3 0 0 0 * 3r/2
MC 39 44 1 0 074[/fcd]
che permetterà di ottenere il rapporto fra le correnti nei due versi grazie ad un semplice partitore di corrente
$\frac{I_1}{I_2}=\frac{5-2k}{3+2k}$
relazione che unita alla KCL
$I=I_1+I_2$
ci permetterà di ricavare $I_1(\theta)$ e $I_2(\theta)$.
$I_1=I/2(5/4-\theta/\pi)$
$I_2=I/2(3/4-\theta/\pi)$
Grazie Renzo per questa analisi dettagliata, davvero interessante come un problema del genere nasconda questo.
Potresti gentilmente chiarirmi anche i dubbi della domanda nel post precedente? Grazie tante!
Potresti gentilmente chiarirmi anche i dubbi della domanda nel post precedente? Grazie tante!
Potresti gentilmente chiarirmi anche i dubbi della domanda nel post precedente?
Scusa se non lo faccio, ma la risposta, come ti è già stato fatto notare, te la abbiamo già data più volte nel corso del thread, e non servirebbe a nulla ridartela ancora, in quanto dovresti prima rivederti una delle regole [nota]Pensa che io, mio fratello e mio nipote ne usiamo tre diverse. 
[/nota], di sicuro presente sul tuo testo, che porta a determinare il verso della forza $\vecF$ su un conduttore percorso da corrente $\vecI$ e immerso in un campo magnetico $\vecB$. Dovresti anche rivedere come si va a calcolare il momento meccanico di una forza $\vecF$ rispetto ad un determinato punto $O$; una volta fatto questo ripasso di base, vedrai che tutto ti risulterà chiaro rileggendo il 3D.
[/nota], di sicuro presente sul tuo testo, che porta a determinare il verso della forza $\vecF$ su un conduttore percorso da corrente $\vecI$ e immerso in un campo magnetico $\vecB$. Dovresti anche rivedere come si va a calcolare il momento meccanico di una forza $\vecF$ rispetto ad un determinato punto $O$; una volta fatto questo ripasso di base, vedrai che tutto ti risulterà chiaro rileggendo il 3D.
Potresti confermarmi se dico bene? La forza peso la possiamo vedere applicata sul punto di stacco della corda dalla ruota, e uindi il suo momento risulta essere $M=F*R$, giusto?
Giusto!
BTW Dove altro potresti pensarla applicata?
BTW Dove altro potresti pensarla applicata?
Ma la mia difficoltà nel capire come è diretta la forza magnetica e quindi il suo momento rispetto ai raggi, è per il semplice fatto che la corrente "gira" nella ruota, mentre le linee del campo magnetico vanno perpendicolarmente sulla ruota. Non so se questo vada bene per dire che corrente e campo sono perpendicolari e quindi la forza è $F=BIL$
Vedo che purtroppo non hai voluto seguire il mio consiglio. 
Eccone la dimostrazione.
Mi sembrava di averti già spiegato come "gira" la corrente su quella ruota.
Non capisco come tu possa pretendere di risolvere il problema senza saper riconoscere la perpendicolarità di due vettori.
"ZfreS":
... la mia difficoltà nel capire come è diretta la forza magnetica e quindi il suo momento rispetto ai raggi, ...
Eccone la dimostrazione.
"ZfreS":
... è per il semplice fatto che la corrente "gira" nella ruota, ...
Mi sembrava di averti già spiegato come "gira" la corrente su quella ruota.
"ZfreS":
... mentre le linee del campo magnetico vanno perpendicolarmente sulla ruota. Non so se questo vada bene per dire che corrente e campo sono perpendicolari ...
Non capisco come tu possa pretendere di risolvere il problema senza saper riconoscere la perpendicolarità di due vettori.
Ma la corrente come fa ad andare perpendicolarmente se la ruota è tonda? Se fosse un filo rettilineo sarebbe stato diverso. Oppure sono io che me la immagino così?
"ZfreS":
Ma la corrente come fa ad andare perpendicolarmente se la ruota è tonda? ...
Scusa ma stai prendendomi in giro? ... cosa vuol dire "andare perpendicolarmente"
Mi chiedo: ma te lo sei fatto un disegno della geometria?
Il vettore della corrente giace sul piano della ruota (diciamo xy), il vettore del campo magnetico è invece parallelo all'asse della ruota (asse z), e quindi perpendicolare al piano xy, ne segue che la corrente in un qualsiasi tratto della ruota (cerchione o raggi che sia) viene a trovarsi sempre perpendicolare al campo magnetico.
Fin qui ci siamo oppure no?
Ora, supponendo che tu sia andato a rivederti questa benedetta regola (della mano, del piede ... o delle gambe
) che lega campo, corrente e forza, mi sapresti dire quale deve essere il verso della corrente nei quattro raggi per fornire una forza che tenda a far girare in verso antiorario la ruota opponendosi alla rotazione oraria forzata da quella forza peso
Avevo questo dubbio proprio perchè non riuscivo a fare un disegno completo della geometria. Visto che il campo magnetico è parallelo all'sse della ruota, la corrente è perpendicolare al campo e la forza è verso l'alto, allora la corrente è verso destra e una volta arrivata alla ruota deve in un certo senso "girare" per entrare nei cerchioni, ma la corrente comunque giri rimane sempre nel piano xy, quindi perpendicolare al campo, questo è quel che ho capito.
"ZfreS":
... e la forza è verso l'alto, allora la corrente è verso destra e una volta arrivata alla ruota deve in un certo senso "girare" per entrare nei cerchioni, ...
Mah, non capisco cosa possa significare "verso l'alto" ... "verso destra" ... "deve girare"; visto che ho un po' di tempo da perdere, non mi resta che disegnarti ruota, correnti e forze, ipotizzando la (particolare) posizione del contatto strisciante Cs in corrispondenza dell'inizio di un raggio [nota]Per altre posizioni il discorso sarà simile.[/nota]
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
LI 65 43 63 45 0
SA 70 20 0
SA 50 10 0
SA 50 20 0
SA 70 10 0
SA 70 30 0
SA 70 40 0
SA 70 50 0
SA 70 60 0
SA 60 60 0
SA 50 60 0
SA 50 40 0
SA 50 30 0
SA 60 30 0
SA 60 20 0
SA 60 10 0
SA 60 40 0
SA 60 50 0
SA 50 50 0
SA 41 21 0
SA 40 10 0
SA 40 30 0
SA 40 40 0
SA 40 50 0
SA 40 60 0
SA 30 60 0
SA 30 30 0
SA 34 13 0
SA 30 10 0
SA 30 40 0
SA 30 50 0
LI 37 23 39 22 0
LI 39 22 38 24 0
LI 36 46 35 43 0
LI 35 43 37 45 0
LI 50 18 50 35 0
LI 50 35 67 35 0
MC 50 18 1 0 074
MC 67 35 2 0 074
LI 50 52 50 35 0
LI 50 35 33 35 0
MC 50 52 3 0 074
MC 33 35 0 0 074
LI 63 23 61 22 0
LI 61 22 62 24 0
LI 64 46 65 43 0
TY 34 30 3 2 0 0 0 * I/4
SA 50 35 0
EP 49 34 51 36 0
TY 36 16 3 2 0 0 0 * I/8
MC 48 59 3 0 074
TY 64 11 4 3 0 0 0 * B
TY 66 43 3 2 0 0 0 * 3I/8
TY 43 54 4 3 0 0 0 * I
TY 26 46 3 2 0 0 0 * 3I/8
TY 52 46 3 2 0 0 0 * I/4
TY 59 36 3 2 0 0 0 * I/4
TY 59 17 3 2 0 0 0 * I/8
TY 52 21 3 2 0 0 0 * I/4
LI 58 30 59 32 2
TY 64 52 3 2 0 0 2 * F
LI 37 24 39 26 2
LI 39 26 37 25 2
LI 39 26 38 24 2
LI 62 47 70 55 2
LI 64 25 66 23 2
LI 66 23 64 24 2
LI 66 23 65 25 2
TY 67 21 3 2 0 0 2 * F
TY 43 29 3 2 0 0 2 * F
LI 70 55 68 54 2
LI 70 55 69 53 2
TY 55 27 3 2 0 0 2 * F
LI 38 47 46 39 2
LI 46 39 45 41 2
LI 46 39 44 40 2
LI 50 28 44 28 2
LI 44 28 46 29 2
LI 44 28 46 27 2
TY 40 23 3 2 0 0 2 * F
LI 43 35 43 40 2
LI 58 30 57 32 2
LI 43 40 42 38 2
LI 50 43 56 43 2
TY 42 43 3 2 0 0 2 * F
TY 57 41 3 2 0 0 2 * F
LI 43 40 44 38 2
LI 56 43 54 44 2
LI 56 43 54 42 2
LI 58 35 58 30 2
TY 39 36 3 2 0 0 2 * F
EV 67 52 33 18 3
LI 50 52 50 61 11
TY 51 53 4 3 0 0 11 * Cs[/fcd]
Dimmi se concordi con quei versi.
BTW Io, per la famosa "regola", uso la seguente
Si, immaginandolo nello spazio risulta quello che pensavo. Grazie comuqnue pera la tanta pazienza e il tempo che hai dedicato nell aiutarmi!
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