Problema circuiti fisica 2
salve a tutti, vi scrivo perchè ho problemi con un esercizio di fisica 2. Vi allego testo, grafico del circuito e soluzione del professore che tuttavia non mi torna. In particolare non mi è chiara una cosa:
quando chiudiamo l’interruttore il condensatore C1 comincia a scaricare e la corrente che esso produce attraversa prima R1 e poi si divide tra R2 e C2 che così si carica, giusto?
Quando C2 si sarà caricato a quel punto le due resistenze saranno attraversate dalla medesima corrente. Infine quando C1 si sarà completamente scaricato a quel punto il condensatore C2 scarica sulle due resistenze l’energia assorbita e quindi è come se non intervenisse
Fin qui mi torna tutto, non riesco però a capire perché diciamo che l’energia dissipata nelle due resistenze è la stessa visto che per il tempo necessario alla carica di C2 le due resistenze sono attraversate da correnti differenti. Possiamo trascurarlo considerando così l’energia dissipata in R1 uguale a quella dissipata in R2?
quando chiudiamo l’interruttore il condensatore C1 comincia a scaricare e la corrente che esso produce attraversa prima R1 e poi si divide tra R2 e C2 che così si carica, giusto?
Quando C2 si sarà caricato a quel punto le due resistenze saranno attraversate dalla medesima corrente. Infine quando C1 si sarà completamente scaricato a quel punto il condensatore C2 scarica sulle due resistenze l’energia assorbita e quindi è come se non intervenisse
Fin qui mi torna tutto, non riesco però a capire perché diciamo che l’energia dissipata nelle due resistenze è la stessa visto che per il tempo necessario alla carica di C2 le due resistenze sono attraversate da correnti differenti. Possiamo trascurarlo considerando così l’energia dissipata in R1 uguale a quella dissipata in R2?
Risposte
Hai ragione, non vedo perché l'energia dissipata dai due resistori dovrebbe essere uguale; ricavando le due correnti nelle stesse durante il transitorio sarebbe semplice determinare le due energie; l'unica cosa certa è che la somma delle stesse sarà pari all'energia iniziale immagazzinata in C1.
Usando la convenzione degli utilizzatori e indicando con v1 e i1 la tensione e la corrente su C1 e con v2 e i2 le corrispondenti su C2, potremo scrivere un sistema di due equazioni differenziali del primo ordina, che risolto porterebbe ad ottenere entrambe le correnti nei due resistori e valutare, via integrazione delle potenze istantanee, le due energie.
Usando la convenzione degli utilizzatori e indicando con v1 e i1 la tensione e la corrente su C1 e con v2 e i2 le corrispondenti su C2, potremo scrivere un sistema di due equazioni differenziali del primo ordina, che risolto porterebbe ad ottenere entrambe le correnti nei due resistori e valutare, via integrazione delle potenze istantanee, le due energie.
Grazie mille per la risposta, mi hai chiarito un grande dubbio! Nel frattempo ho scritto al professore per dei chiarimenti. Per la risoluzione avevo pensato di calcolare la d.d.p di C2 quando entra a regime, infatti a quel punto sarebbe la corrente I(t) del condensatore C1 calcolata con t= 3Costante Tempo C2 moltiplicata per la resistenza R, però non sono sicuro che si possa fare... tu che dici?
No, a regime entrambi i condensatori sono scarichi, le tensioni e le correnti nulle; l'unica soluzione è studiare il transitorio.
Supongo tu sappia risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine, e di conseguenza non avresti problemi a dimostrare che le due energie sono diverse; come ti dicevo una volta determinata i1 e i2, avrai che in R1 la corrente è pari a i1, mentre in R2 è pari alla somma di i1 e i2.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 60 35 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 75 45 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 50 45 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 95 45 0 0 ey_libraries.pascap0
LI 50 40 50 35 0
LI 50 35 55 35 0
LI 70 35 95 35 0
LI 95 35 95 40 0
LI 95 55 95 60 0
LI 95 60 50 60 0
LI 50 60 50 55 0
LI 75 40 75 35 0
LI 75 55 75 60 0
TY 58 48 4 3 0 0 0 * C1
TY 84 49 4 3 0 0 0 * C2
TY 61 26 4 3 0 0 0 * R
TY 68 41 4 3 0 0 0 * R
TY 35 45 4 3 0 0 0 * v1
TY 104 46 4 3 0 0 0 * v2
MC 46 35 1 0 074
MC 99 35 1 0 074
TY 43 28 4 3 0 0 0 * i1
TY 96 28 4 3 0 0 0 * i2
TY 41 40 4 3 0 0 0 * +
TY 102 40 4 3 0 0 0 * +[/fcd]
con riferimento alle convenzioni di figura il sistema sarà
$C_1\frac{\text{d}v_1 }{\text{d} t}=\frac{-v_1}{R}+\frac{v_2}{R}$
$C_2\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t}=\frac{v_1}{R}-\frac{2v_2}{R}$
Per convenienza di calcolo potresti assumere R=1Ω, C1=5F e C2=3F.
Supongo tu sappia risolvere un'equazione differenziale di secondo ordine, e di conseguenza non avresti problemi a dimostrare che le due energie sono diverse; come ti dicevo una volta determinata i1 e i2, avrai che in R1 la corrente è pari a i1, mentre in R2 è pari alla somma di i1 e i2.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
MC 60 35 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 75 45 1 0 ey_libraries.pasres0
MC 50 45 0 0 ey_libraries.pascap0
MC 95 45 0 0 ey_libraries.pascap0
LI 50 40 50 35 0
LI 50 35 55 35 0
LI 70 35 95 35 0
LI 95 35 95 40 0
LI 95 55 95 60 0
LI 95 60 50 60 0
LI 50 60 50 55 0
LI 75 40 75 35 0
LI 75 55 75 60 0
TY 58 48 4 3 0 0 0 * C1
TY 84 49 4 3 0 0 0 * C2
TY 61 26 4 3 0 0 0 * R
TY 68 41 4 3 0 0 0 * R
TY 35 45 4 3 0 0 0 * v1
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MC 46 35 1 0 074
MC 99 35 1 0 074
TY 43 28 4 3 0 0 0 * i1
TY 96 28 4 3 0 0 0 * i2
TY 41 40 4 3 0 0 0 * +
TY 102 40 4 3 0 0 0 * +[/fcd]
con riferimento alle convenzioni di figura il sistema sarà
$C_1\frac{\text{d}v_1 }{\text{d} t}=\frac{-v_1}{R}+\frac{v_2}{R}$
$C_2\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t}=\frac{v_1}{R}-\frac{2v_2}{R}$
Per convenienza di calcolo potresti assumere R=1Ω, C1=5F e C2=3F.
Non mi è chiara una cosa però, quando noi scriviamo $I=C (dv)/dt$ con $I$ intendiamo la corrente che va dall'armatura positiva a quella negativa attraversando il condensatore?
Comunque tornando al problema sinceramente non ricordo come si risolvono le equazioni di secondo ordine visto che fin'ora tutti gli esercizi incontrati si risolvevano con meri calcoletti. Ora le riguardo e provo a risolverla
Comunque tornando al problema sinceramente non ricordo come si risolvono le equazioni di secondo ordine visto che fin'ora tutti gli esercizi incontrati si risolvevano con meri calcoletti. Ora le riguardo e provo a risolverla
"marco_1004":
Non mi è chiara una cosa però, quando noi scriviamo $I=C (dv)/dt$ con $I$ intendiamo la corrente che va dall'armatura positiva a quella negativa attraversando il condensatore?
Certo che si, quella equazione costitutiva del condensatore vale solo se per il bipolo è stata assunta la "convenzione degli utilizzatori".
"marco_1004":
...Ora le riguardo e provo a risolverla
Così si fa!
mi potresti dare un incipit per la risoluzione perchè non riesco a capire come partire...
Puoi per esempio ricavare v1 dalla seconda in funzione della v2 e della sua derivata e usarla nella prima; dovresti ottenere
$R^2C_1C_2\frac{\text{d}^2v_2 }{\text{d} t^2}+R(2C_1+C_2)\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t} + v_2=0$
che come dicevo, per "vincere facile" possiamo trasformare in forma numerica andando per "convenienza" ad impostare
R=1Ω, C1=5F e C2=3F, ottenendo
$15v_2''+13v_2'+v_2=0$
con condizioni iniziali $v_2(0)=0 \text{V}$ e di conseguenza $i_2(0)=15 \ \text{A}$ ovvero $v_2'(0)= 5 \text{V/s}$.
Per curiosità ho usato WAlpha per risolvere
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(15y%27%27%2B13y%27%2By%3D0)+for+y%27(0)%3D5+and+y(0)%3D0
dove y(x) è chiaramente la v2(t) ... e ancora usando WAlpha, determino l'energia su R2 andanso ad integrare la potenza istantanea $v_2^2/R_2$, da 0 a 100 secondi, ottenendo
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(75+e%5E(-1%2F30+(13+%2B+sqrt(109))+x)+(-1+%2B+e%5E((sqrt(109)+x)%2F15)))%2Fsqrt(109)%5D%5E2+from+x%3D0+to+100
$U_2\approx 216.3 \ \text{J}$
mentre l'energia iniziale immagazzinata in C1 è pari a
$U_{C_1}=\frac{1}{2}C_1v_1(0)^2=562.5 \ \text{J}$
di conseguenza, l'energia dissipata in R1 da 0 a 100 secondi
$U_1\approx 562.5- 216.3=346.2 \ \text{J}$
il che dimostra che l'energia inizialmente immagazzinata in C1, non si ripartisce di certo in parti uguali fra R1 e R2
$R^2C_1C_2\frac{\text{d}^2v_2 }{\text{d} t^2}+R(2C_1+C_2)\frac{\text{d}v_2 }{\text{d} t} + v_2=0$
che come dicevo, per "vincere facile" possiamo trasformare in forma numerica andando per "convenienza" ad impostare
R=1Ω, C1=5F e C2=3F, ottenendo
$15v_2''+13v_2'+v_2=0$
con condizioni iniziali $v_2(0)=0 \text{V}$ e di conseguenza $i_2(0)=15 \ \text{A}$ ovvero $v_2'(0)= 5 \text{V/s}$.
Per curiosità ho usato WAlpha per risolvere
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(15y%27%27%2B13y%27%2By%3D0)+for+y%27(0)%3D5+and+y(0)%3D0
dove y(x) è chiaramente la v2(t) ... e ancora usando WAlpha, determino l'energia su R2 andanso ad integrare la potenza istantanea $v_2^2/R_2$, da 0 a 100 secondi, ottenendo
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B(75+e%5E(-1%2F30+(13+%2B+sqrt(109))+x)+(-1+%2B+e%5E((sqrt(109)+x)%2F15)))%2Fsqrt(109)%5D%5E2+from+x%3D0+to+100
$U_2\approx 216.3 \ \text{J}$
mentre l'energia iniziale immagazzinata in C1 è pari a
$U_{C_1}=\frac{1}{2}C_1v_1(0)^2=562.5 \ \text{J}$
di conseguenza, l'energia dissipata in R1 da 0 a 100 secondi
$U_1\approx 562.5- 216.3=346.2 \ \text{J}$
il che dimostra che l'energia inizialmente immagazzinata in C1, non si ripartisce di certo in parti uguali fra R1 e R2
"RenzoDF":
con condizioni iniziali $v_2(0)=15 \text{V}$ e di conseguenza $i_2(0)=15 \ \text{A}$ ovvero $v_2'(0)= 5 \text{V/s}$.
tutto chiarissimo tranne come hai ricavato la condizione iniziale $v2(0)=15V$ e $i2(0)=15$
Scusa, errore mio, ovviamente $v_2(0)=0$ (ora correggo), mentre, al tempo t=0, la corrente la ho determinata da $(v_1(0)-v_2(0))/R=(15-0)/1=15 \ \text{A}$.
BTW Non serve quotare l'intero messaggio precedente, puo cancellare per favore il quoting totale? Grazie.
BTW Non serve quotare l'intero messaggio precedente, puo cancellare per favore il quoting totale? Grazie.
ma facendo $(v_1(0)-v_2(0))/R$ trovi la $i_1$, ovvero la corrente circolante su R1, no?
Certo, ma se v2=0 anche la corrente in R2 è zero e di conseguenza per t=0 la corrente in R1 è uguale a quella che carica C2.
Condensatore scarico equivale a un cortocircuito.
Condensatore scarico equivale a un cortocircuito.
certo, che scemo non ci avevo pensato 
Quindi ricapitolando al tempo t=0 ho che la carica su C2 è nulla e quindi tale sarà la ddp ai suoi capi, perciò abbiamo che su R2 ∆V = 0 e quindi I=0, ne consegue allora che la correnti circolante su R1 presa da sinistra a destra che è pari proprio a $ (v_1(0)-v_2(0))/R $ è uguale alla corrente $i_2$ che carica il condensatore C2.
Mentre invece la corrente i_1 che circola sul condensatore (quella indicata da te in figura) è $i_1=-i_2$, perciò se al tempo t=0 abbiamo che $i_2(0)=15A$ allora risulta che la corrente $i_1=-15A$ giusto e da qui poi mi ricavo che $v'_1(0)=-3/2$ con cui vado poi a determinare le costanti c1 e c2
Tutto giusto?
Quindi ricapitolando al tempo t=0 ho che la carica su C2 è nulla e quindi tale sarà la ddp ai suoi capi, perciò abbiamo che su R2 ∆V = 0 e quindi I=0, ne consegue allora che la correnti circolante su R1 presa da sinistra a destra che è pari proprio a $ (v_1(0)-v_2(0))/R $ è uguale alla corrente $i_2$ che carica il condensatore C2.
Mentre invece la corrente i_1 che circola sul condensatore (quella indicata da te in figura) è $i_1=-i_2$, perciò se al tempo t=0 abbiamo che $i_2(0)=15A$ allora risulta che la corrente $i_1=-15A$ giusto e da qui poi mi ricavo che $v'_1(0)=-3/2$ con cui vado poi a determinare le costanti c1 e c2
Tutto giusto?
"marco_1004":
... perciò se al tempo t=0 abbiamo che $i_2(0)=15A$ allora risulta che la corrente $i_1=-15A$ giusto-
Giusto.
"marco_1004":
... e da qui poi mi ricavo che $v'_1(0)=-3/2$ con cui vado poi a determinare le costanti c1 e c2
No,
$v'_1(0)= (i_1(0))/C_1=-15/5=-3 \ \text{V/s}$
ad ogni modo, una volta determinata v2(t) non è necessario risolvere una seconda equazione differenziale per ricavare v1(t).
Ok giusto mi ero confuso. Comunque alla fine non torna come diceva il professore perchè sulle dure resistenze per un tempo pari al tempo necessario alla carica di C2 non circola la stessa corrente. Aspettiamo che mi risponda, cosi sentiamo anche il suo parere.
In ogni caso grazie mille dell'aiuto sei sempre gentilissimo e precisissimo
In ogni caso grazie mille dell'aiuto sei sempre gentilissimo e precisissimo
"marco_1004":
Comunque alla fine non torna come diceva il professore
Su questo direi non ci siano dubbi.
"marco_1004":
... perchè sulle dure resistenze per un tempo pari al tempo necessario alla carica di C2 non circola la stessa corrente.
Mentre C1 si scarica, C2 inizialmente si carica e successivamente si scarica (come anche C1) completamente; non è sufficiente dire che la risposta stia nella differenza fra le due correnti, in quanto l'energia dissipata nei due resistori coinvolge gli integrali dei loro quadrati e quindi due diverse funzioni del tempo potrebbero presentare uguali integrali fra zero e infinito. La carica iniziale Q1 di C1 attraversa entrambi i resistori, ma ovviamente questo non significa pari dissipazione energetica negli stessi.
"marco_1004":
Aspettiamo che mi risponda, cosi sentiamo anche il suo parere.
Ok.
C2 si carica prima che C1 abbia finito di scaricare ma inizierà a scaricare solo quando la ddp ai capi di C1 è nulla giusto?
Non mi è chiara la motivazione con cui si giustifica dal punto di vista teorico che le sue energie dissipate sono differenti. Nel senso se alla fine come hai detto tu dire che le correnti sono differenti non basta visto che si possono trovare due grandezze differenti che elevare al quadrato e svolto l'integrale danno lo stesso risultato, come faccio a stabilirlo prima di fare i conti?
Non mi è chiara la motivazione con cui si giustifica dal punto di vista teorico che le sue energie dissipate sono differenti. Nel senso se alla fine come hai detto tu dire che le correnti sono differenti non basta visto che si possono trovare due grandezze differenti che elevare al quadrato e svolto l'integrale danno lo stesso risultato, come faccio a stabilirlo prima di fare i conti?
Giusto per controllare i valori numerici determinati, ho simulato numericamente la rete in LTspice
andando a plottare corrente e potenza istantanea in R2
Simulazione che conferma il valore dell'energia dissipata in R2
$U_2\approx 216.3 \ \text{J}$.
andando a plottare corrente e potenza istantanea in R2
Simulazione che conferma il valore dell'energia dissipata in R2
$U_2\approx 216.3 \ \text{J}$.
intanto mi ha risposto il professore:
Ciao Marco,
Il fatto e' che tutta la carica posseduta inizialmente da C1 passa inevitabilmente attraverso le resistenza perche anche C2 se si dovesse caricare alla fine e' comunque scarico.
Se una stessa quantita di carica attraversa due resistenze uguali allora l'energia dissipata sara' la stessa.
L.
Ora come hai detto anche tu lui sostiene che la carica Q1 di C1 attraversa le due resistenze. Tuttavia attraversa si le due resistenze ma non in ugual misura no? alla fine su R1 sarà passata più carica di quanta ne sia passata su R2, sbaglio?
Ciao Marco,
Il fatto e' che tutta la carica posseduta inizialmente da C1 passa inevitabilmente attraverso le resistenza perche anche C2 se si dovesse caricare alla fine e' comunque scarico.
Se una stessa quantita di carica attraversa due resistenze uguali allora l'energia dissipata sara' la stessa.
L.
Ora come hai detto anche tu lui sostiene che la carica Q1 di C1 attraversa le due resistenze. Tuttavia attraversa si le due resistenze ma non in ugual misura no? alla fine su R1 sarà passata più carica di quanta ne sia passata su R2, sbaglio?
"marco_1004":
C2 si carica prima che C1 abbia finito di scaricare ma inizierà a scaricare solo quando la ddp ai capi di C1 è nulla giusto?
No, il discorso è più complesso, mentre C1 si scarica facendo scendere v1, C2 si andrà a caricare fino a quando, per un tempo t* la sua tensione v2(t*) non raggiungerà un valore tale che v2(t*)/R2=(v1(t*)-v2(t*))/R1; da quell'istante in poi la corrente in C2 cambierà verso e anche C2 comincerà a scaricarsi insieme a C1.
Vedi gli andamenti forniti dal simulatore
"marco_1004":
Non mi è chiara la motivazione con cui si giustifica dal punto di vista teorico che le sue energie dissipate sono differenti. Nel senso se alla fine come hai detto tu dire che le correnti sono differenti non basta visto che si possono trovare due grandezze differenti che elevare al quadrato e svolto l'integrale danno lo stesso risultato, come faccio a stabilirlo prima di fare i conti?
Non è facile dimostrare che le energie sono diverse, dico solo che non è certo possibile affermare che c'è pari dissipazione di energia sui due resistori basandosi sul fatto che i resistori sono uguali e sono attraversati dalla stessa carica.
"marco_1004":
... Il fatto e' che tutta la carica posseduta inizialmente da C1 passa inevitabilmente attraverso le resistenza perche anche C2 se si dovesse caricare alla fine e' comunque scarico.
Su questo non ci piove.
"marco_1004":
... Se una stessa quantita di carica attraversa due resistenze uguali allora l'energia dissipata sara' la stessa.
Affermazione completamente [size=150]ERRATA ![/size]
"marco_1004":
...Ora come hai detto anche tu lui sostiene che la carica Q1 di C1 attraversa le due resistenze. Tuttavia attraversa si le due resistenze ma non in ugual misura no? alla fine su R1 sarà passata più carica di quanta ne sia passata su R2, sbaglio?
Scusa ma leggi quello che ti scrivo?
Ripeto: la carica che attraversa R1 è la stessa che attravera R2 ed è pari alla carica Q1 iniziale in C1, ma questo non vuole assolutamente dire che l'energia dissipata in R1 sia uguale a quella dissipata in R2
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