Parola "vettore" in fisica
Buon giorno, scrivo perchè non riesco a sedare una lite, una lite di quelle sconvolgenti, violente ma calorose, una specie di odio-amore.
C'è il mio libro di fisica e il mio libro di algebra lineare (supportato da quello di analisi...in realtà è piu un pestaggio) che si stanno prendendo a ****tti sulla mia scrivania, e avendo paura che ci scappi il morto ho deciso di calmarli un pò, per ristabilire (nella mia testa) pace e armonia.
Per l'algebra lineare chiamasi spazio vettoriale un insieme contenente qualunque cosa. Unica discriminante è che sia definita una somma e un prodotto per scalari tali che valgono I). II). .....IX). Nota bene: da nessuna parte trovo scritto che quell'oggetto debba comportarsi in qualche modo sotto rotazioni: sotto questa definizione posso prendere patate, cipolle, ceci, definire una somma e un prodotto esterno tali che...e bene, la pentola la chiamo spazio vettoriale, e quello che c'è dentro "vettori".
La prima "discrepanza" con la fisica arriva durante i corsi di fisica 1, quando mi dicono che una terna di numeri (x,y,z) non costituisce necessariamente un vettore. La rivelazione mi si rivela del tutto sconvolgente. Ma alla fine non era poi così rilevante nel corso, e ho lasciato i dubbi da parte, riuscendo comunque a passare l'esame.
Al II anno però, va sempre peggio.
Mi viene detto (Meccanica classica), che "Un vettore è un oggetto che sotto rotazioni trasforma secondo matrici ortogonali", e questa viene data come definizione, per poi estenderla a quella di tensori che "sono oggetti con piu indici, ogni indice ha la matrice sua".
In fisica mi viene introdotto il gradiente, e mi viene detto "attenzione, il gradiente è un vettore" caspita, ci sono tre numeri dentro, valgono le proprietà I-IX non può non esserlo "E invece no, perchè se prendo una base NON ORTONORMALE, o per esempio le coordinate polari $r,\theta$ l'oggetto
$((\partial f)/(\partial r),(\partial f)/(\partial \theta))$
NON E' UN VETTORE.
Il mio libro di algebra lineare mi parla di $\mathbb R^2$, e visto che quella è una coppia di numeri alla fine, cosa mi impedisce di dire che sia un vettore?
Lo stesso corso per dimostrarmi che "il gradiente è un vettore" scrive $\Delta f$ in due coordinate diverse, dimostrando che il prodotto scalare $\grad f \cdot \vec \Delta r$ non dipende dal sistema di riferimento usato.
Viene anche detto esplicitamente "Per essere un vettore una terna deve conservare il prodotto scalare, qualunque riferimento usi".
Ma scusate: la nozione di PRODOTTO SCALARE non è definita a partire da quella di FORMA BILINEARE tra spazi vettoriali? Come si fa allora a usare il prodotto scalare per controllare se un oggetto è un vettore o no?
Credo che a questo punto i miei dubbi vi siano chiari.
Se mi rispondete vi sarò grato fino alla fine dei secoli.
C'è il mio libro di fisica e il mio libro di algebra lineare (supportato da quello di analisi...in realtà è piu un pestaggio) che si stanno prendendo a ****tti sulla mia scrivania, e avendo paura che ci scappi il morto ho deciso di calmarli un pò, per ristabilire (nella mia testa) pace e armonia.
Per l'algebra lineare chiamasi spazio vettoriale un insieme contenente qualunque cosa. Unica discriminante è che sia definita una somma e un prodotto per scalari tali che valgono I). II). .....IX). Nota bene: da nessuna parte trovo scritto che quell'oggetto debba comportarsi in qualche modo sotto rotazioni: sotto questa definizione posso prendere patate, cipolle, ceci, definire una somma e un prodotto esterno tali che...e bene, la pentola la chiamo spazio vettoriale, e quello che c'è dentro "vettori".
La prima "discrepanza" con la fisica arriva durante i corsi di fisica 1, quando mi dicono che una terna di numeri (x,y,z) non costituisce necessariamente un vettore. La rivelazione mi si rivela del tutto sconvolgente. Ma alla fine non era poi così rilevante nel corso, e ho lasciato i dubbi da parte, riuscendo comunque a passare l'esame.
Al II anno però, va sempre peggio.
Mi viene detto (Meccanica classica), che "Un vettore è un oggetto che sotto rotazioni trasforma secondo matrici ortogonali", e questa viene data come definizione, per poi estenderla a quella di tensori che "sono oggetti con piu indici, ogni indice ha la matrice sua".
In fisica mi viene introdotto il gradiente, e mi viene detto "attenzione, il gradiente è un vettore" caspita, ci sono tre numeri dentro, valgono le proprietà I-IX non può non esserlo "E invece no, perchè se prendo una base NON ORTONORMALE, o per esempio le coordinate polari $r,\theta$ l'oggetto
$((\partial f)/(\partial r),(\partial f)/(\partial \theta))$
NON E' UN VETTORE.
Il mio libro di algebra lineare mi parla di $\mathbb R^2$, e visto che quella è una coppia di numeri alla fine, cosa mi impedisce di dire che sia un vettore?
Lo stesso corso per dimostrarmi che "il gradiente è un vettore" scrive $\Delta f$ in due coordinate diverse, dimostrando che il prodotto scalare $\grad f \cdot \vec \Delta r$ non dipende dal sistema di riferimento usato.
Viene anche detto esplicitamente "Per essere un vettore una terna deve conservare il prodotto scalare, qualunque riferimento usi".
Ma scusate: la nozione di PRODOTTO SCALARE non è definita a partire da quella di FORMA BILINEARE tra spazi vettoriali? Come si fa allora a usare il prodotto scalare per controllare se un oggetto è un vettore o no?
Credo che a questo punto i miei dubbi vi siano chiari.
Se mi rispondete vi sarò grato fino alla fine dei secoli.
Risposte
1. Stai "mischiando" la definizione di spazio vettoriale con quella di prodotto scalare.
Normalmente mi aspetterei che seguisse il perché di un'affermazione così, eventualmente anche con un uso deciso di equazioni (ti capirei, non pensare il contrario
). Fa niente, prenderò atto di questo rigore a cui siete abituati.2. Utilizzi l'articolo determinativo "la" come se esistesse una sola base ortonormale, ammesso e non concesso che abbia senso parlarne.
3. Utilizzi il termine "dimensioni" per riferirti al numero di vettori che costituiscono una base. La definizione di dimensione è relativa ad uno spazio vettoriale. Una base è un insieme, se vuoi riferirti al numero degli elementi che la compongono, dovresti utilizzare il termine "cardinalità" oppure non utilizzarne affatto.
Hai ragione, intendevo dire che la sua base canonica (che è ortonormale ed è unica) ha 2 componenti. Spero di non sbagliare anche questo termine, e che tu riesca eventualmente a capire ugualmente che anche per me, come per te, non ha senso parlare di dimensioni in riferimento agli elementi di una base, che è un insieme, come tu hai giustamente puntualizzato. Come avevo già detto in apertura, andavo a ricordi, ciò portandomi a qualche uso improprio del lessico specifico.
Ad ogni modo, rinnovo sentitamente mortificazione e scuse: mi rendo conto che il fatto di trovarmi di fronte ad una domanda "semplice" non poteva darmi la libertà di rispondere con inesattezze o vistosi errori, anche se la risposta fosse risultata (come è in effetti) comprensibile e, nel complesso, corretta. Credo sia andata così.
Scusatemi ancora, farò in modo che non accada più.
@newton_1372: detta alla spicciola, per quanto ne so io, i vettori propriamente detti sono quelli di cui si parla in algebra lineare. In fisica, solo una parte dei vettori matematici possiedono significato fisico (o almeno così dovrebbe essere), ma non indugio in ulteriori dettagli per evitare di dire sciocchezze. Pertanto, poiché non avrebbe senso chiamare con nome e cognome gli unici vettori "esistenti" per i fisici, in quanto ciò costituirebbe un'inutile specificazione fine solo al rispetto di una tassonomia e senza alcun senso pratico, in fisica si preferisce riferirsi a tali vettori "speciali" abusando del termine tecnico (dicendo cioè semplicemente vettori) originariamente destinato ad indicare i vettori nella loro generalità.
Prendi il tutto come un parere personale e non come quello di un esperto
"fabio.arceri":
Tra tutti i possibili spazi vettoriali ne abbiamo alcuni (in realtà infiniti) molto speciali, generati da basi ortonormali.
La definizione di spazio vettoriale prescinde da quella di prodotto scalare. Dalla tua affermazione, sembra che i due concetti siano inestricabili. Inoltre, dire che uno spazio vettoriale è speciale perchè generato da basi ortonormali non ha molto senso. Tipicamente, se esiste una base ortonormale dal quale può essere generato, ne esisteranno anche non ortonormali che rendono lo stesso servizio. Probabilmente intendevi solo riferirti ad uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare, per il quale ha senso parlare di basi ortonormali, pur non essendo le uniche. Insomma, come ho sostenuto nel mio primo messaggio, parole un po' in libertà. In ogni modo, non voglio scoraggiare nessuno dall'intervenire in una discussione dando il suo contributo, piccolo o grande che sia. Piuttosto, se si vuole intervenire pur avendo conoscenze limitate, come di tanto in tanto hai ricordato nel corso del tuo lungo intervento, di questo non posso non dartene atto, sarebbe meglio utilizzare toni meno apodittici e termini meno aulici, soprattutto se si sta argomentando in modo poco rigoroso. Il rischio è che rimangano impresse solo queste ultime caratteristiche dell'intervento. Per concludere, non è necessario scusarsi quando si è in buona fede e si vuole dare un aiuto. Al di là del merito, abbiamo solo avuto uno scambio di opinioni.
Intervengo solo per un piccolo appunto, sperando di non dire una corbelleria (ma confido in speculor o altri per essere eventualmente corretto):
Mah, in realtà, non credo questo sia del tutto vero. Ad esempio i "momenti" (e.g. momento di una forza rispetto ad un punto) sono vettori liberi, in quanto non hanno un vero e proprio punto di applicazione, eppure sono pur sempre vettori di una certa importanza in fisica.
"fabio.arceri":
Per i fisici, specialmente quando sono in gioco forze, il vettore che ha significato fisico è sostanzialmente quello non libero.
Mah, in realtà, non credo questo sia del tutto vero. Ad esempio i "momenti" (e.g. momento di una forza rispetto ad un punto) sono vettori liberi, in quanto non hanno un vero e proprio punto di applicazione, eppure sono pur sempre vettori di una certa importanza in fisica.
"JoJo_90":
Mah, in realtà, non credo questo sia del tutto vero. Ad esempio i "momenti" (e.g. momento di una forza rispetto ad un punto) sono vettori liberi, in quanto non hanno un vero e proprio punto di applicazione, eppure sono pur sempre vettori di una certa importanza in fisica.
Concordo. Tra l'altro, la natura stessa del prodotto vettoriale è più incline a definire un vettore libero piuttosto che applicato. Eccezion fatta per una formula del tipo $[vecF=qvecv^^vecB]$ che, definendo una forza, può senz'altro essere considerata un vettore applicato.
@JoJo_90:
A voler essere precisi, l'Halliday li definisce pseudovettori, ma non ho mai approfondito la questione. Inoltre, proprio per volermi mettere al riparo dal rischio di essere riduttivo, avevo scritto che "il vettore che ha significato fisico è sostanzialmente quello non libero", pensando a forze e ad altri enti fisici affini. Ad ogni modo, credo sarebbe interessante se qualcuno potesse dare una panoramica delle tipologie di vettori impiegati in fisica e delle relative grandezze rappresentate.
@speculor:
Già, non lo avevo considerato. Tra l'altro ha significato fisico esattamente come ce l'hanno i vettori liberi quando sono usati per rappresentare forze.
Mah, in realtà, non credo questo sia del tutto vero. Ad esempio i "momenti" (e.g. momento di una forza rispetto ad un punto) sono vettori liberi[...]
A voler essere precisi, l'Halliday li definisce pseudovettori, ma non ho mai approfondito la questione. Inoltre, proprio per volermi mettere al riparo dal rischio di essere riduttivo, avevo scritto che "il vettore che ha significato fisico è sostanzialmente quello non libero", pensando a forze e ad altri enti fisici affini. Ad ogni modo, credo sarebbe interessante se qualcuno potesse dare una panoramica delle tipologie di vettori impiegati in fisica e delle relative grandezze rappresentate.
@speculor:
Concordo. Tra l'altro, la natura stessa del prodotto vettoriale è più incline a definire un vettore libero piuttosto che applicato.
Già, non lo avevo considerato. Tra l'altro ha significato fisico esattamente come ce l'hanno i vettori liberi quando sono usati per rappresentare forze.
Sul fatto che i momenti fossero pseudovettori non ne ero a conoscenza. Io di pseudovettore conosco solo quello restituito dal prodotto vettoriale. Ma dal momento che le mie conoscenze sono sotto zero non posso approfondire (è anche per questo che sto seguendo con molto interesse questa discussione).
"fabio.arceri":
Per i fisici, specialmente quando sono in gioco forze, il vettore che ha significato fisico è sostanzialmente quello non libero.
Se non erro, l'insieme di tutti i vettori applicati (in $\RR^3$, ad esempio) non è neanche uno spazio vettoriale (a meno di non munirlo di un'operazione $+$ molto particolare, ma di nessuna utilità fisica).
Ho fatto qualche ricerca in rete, oltre che nei miei vecchi libri di Geometria e Algebra, per rinfrescarmi le idee.
PEr esempio, ho trovato questo capitoletto di appunti, ma il web è pieno di appunti analoghi, estratti da corsi universitari e quindi affidabili:
http://sbai.uniroma1.it/~alessandro.savo/Parte%204.pdf
ORa però vorrei fare anche qualche considerazione, giusto per partecipare a questa interessante discussione.
Per me, non bisogna esagerare col dire che in uno "spazio vettoriale" ci può stare qualunque cosa, e anche un sacco di mele può costituire uno spazio vettoriale. Quale sarebbe l'operazione di composizione interna qui, rispetto alla quale le mele sarebbero un gruppo? LA somma di due mele non è una mela, l'opposto di una mela che cosa è? No, la definizione dice che ci può stare qualunque cosa PURCHÈ siano soddisfatte le condizioni, cioè sia definita l'operazione di composizione interna, l'insieme sia un gruppo, sia definita la moltiplicazione per uno scalare, ecc ecc....sbaglio? Sesbaglio correggetemi.
Io penso poi che, come spesso succede, la Matematica in questo caso abbia attinto alla Fisica, preso la nozione di vettore e le operazioni che si possono eseguire sui vettori, ed esteso e generalizzato il concetto di vettore e di spazio vettoriale. Non conosco la storia della Matematica, mi suggerisce questo lo stesso aggettivo: "vettoriale" che si da a tale spazio.
Anche qui, chi sa parli!
JoJo, se ci pensi, il momento è un prodotto vettoriale : $vecM = vecr\timesvecF$.
PEr esempio, ho trovato questo capitoletto di appunti, ma il web è pieno di appunti analoghi, estratti da corsi universitari e quindi affidabili:
http://sbai.uniroma1.it/~alessandro.savo/Parte%204.pdf
ORa però vorrei fare anche qualche considerazione, giusto per partecipare a questa interessante discussione.
Per me, non bisogna esagerare col dire che in uno "spazio vettoriale" ci può stare qualunque cosa, e anche un sacco di mele può costituire uno spazio vettoriale. Quale sarebbe l'operazione di composizione interna qui, rispetto alla quale le mele sarebbero un gruppo? LA somma di due mele non è una mela, l'opposto di una mela che cosa è? No, la definizione dice che ci può stare qualunque cosa PURCHÈ siano soddisfatte le condizioni, cioè sia definita l'operazione di composizione interna, l'insieme sia un gruppo, sia definita la moltiplicazione per uno scalare, ecc ecc....sbaglio? Sesbaglio correggetemi.
Io penso poi che, come spesso succede, la Matematica in questo caso abbia attinto alla Fisica, preso la nozione di vettore e le operazioni che si possono eseguire sui vettori, ed esteso e generalizzato il concetto di vettore e di spazio vettoriale. Non conosco la storia della Matematica, mi suggerisce questo lo stesso aggettivo: "vettoriale" che si da a tale spazio.
Anche qui, chi sa parli!
JoJo, se ci pensi, il momento è un prodotto vettoriale : $vecM = vecr\timesvecF$.
Si hai ragione, il momento è dato da un prodotto vettoriale. Sorry 
E hai ancora ragione quando dici che in uno spazio vettoriale non ci può stare qualunque cosa. Esso è una struttura algebrica, in cui sono definite delle operazioni (due: somma e prodotto per scalare) che godono di ben precise proprietà (otto se non ricordo male); solo gli insiemi in cui sono possibili queste operazioni e per le quali sono valide queste proprietà si dice che sono spazi vettoriali e solo gli "oggetti" che vi appartengono sono detti vettori.
P.S. Fucilatemi se ho detto eresie!
E hai ancora ragione quando dici che in uno spazio vettoriale non ci può stare qualunque cosa. Esso è una struttura algebrica, in cui sono definite delle operazioni (due: somma e prodotto per scalare) che godono di ben precise proprietà (otto se non ricordo male); solo gli insiemi in cui sono possibili queste operazioni e per le quali sono valide queste proprietà si dice che sono spazi vettoriali e solo gli "oggetti" che vi appartengono sono detti vettori.
P.S. Fucilatemi se ho detto eresie!
"navigatore":
Non conosco la storia della Matematica, mi suggerisce questo lo stesso aggettivo: "vettoriale" che si da a tale spazio.
A proposito di storia della matematica, una piccola chicca off-topic che m'è balzata in mente: quando studiavo algebra lineare lessi da qualche parte che nel corso del tempo l'approccio al suo studio da parte dei matematici è cambiato. Se non ricordo male, nell'algebra classica l'approccio più diffuso consisteva nel definire prima le caratteristiche delle operazioni (ad esempio della somma) per poi verificarne le proprietà (associativa, commutativa, ecc...); oggi, nell'algebra moderna, nella costruzione di nuove strutture algebriche pare ci sia la tendenza a fare il contrario, si preferisce cioè prima stabilire quali proprietà debbano essere soddisfatte e poi quali operazioni le rispettano.
Probabilmente ciò dipende dal fatto che nel tempo è maturata la consapevolezza che, quando si crea una struttura algebrica, saranno fondamentalmente le sue proprietà a reggerne i comportamenti desiderati, "veicolando" in tal senso le operazioni in essa ammesse. Sarebbero quindi le proprietà a condurre il gioco, con le operazioni invece solo una conseguenza diretta di queste ultime. O, perlomeno, così mi pare di capire.
Cari, come prevedevo gli scontri oltre alla mia scrivania si stanno estendendo sul forum. Purtroppo non ritengo di aver avuto una risposta definitiva e univoca (a questo punto mi chiedo se esiste).
Non capisco perchè una terna di numeri possa essere un vettore per un matematico, ma non per un fisico.
Ho ricevuto le due seguenti definizioni di vettori.
Definizione 1 Elemento di uno spazio vettoriale, ossia di una struttura (Insieme, Campo, +,*) dotata di 1), 2),....,9). Sotto questo punto di vista una terna come $(\Delta r, \Delta \theta,\Delta phi)$ (coordinate polari) costituisce un meraviglioso vettore, nessuno infatti mi proibisce di definirci un +,* opportuno che verificano le 9 proprietà.
Definizione 2 Elemento di uno spazio che sotto rotazioni trasforma con una matrice ortogonale.
Definizione 3 (avuto a ricevimento ultimamente) Vettori in fisica sono tutte quelle grandezze che si comportano come spostamenti......
Definizione 4 Vettori in fisica sono quelli che sotto rotazione conservano il prodotto scalare...
Mah....
Non capisco perchè una terna di numeri possa essere un vettore per un matematico, ma non per un fisico.
Ho ricevuto le due seguenti definizioni di vettori.
Definizione 1 Elemento di uno spazio vettoriale, ossia di una struttura (Insieme, Campo, +,*) dotata di 1), 2),....,9). Sotto questo punto di vista una terna come $(\Delta r, \Delta \theta,\Delta phi)$ (coordinate polari) costituisce un meraviglioso vettore, nessuno infatti mi proibisce di definirci un +,* opportuno che verificano le 9 proprietà.
Definizione 2 Elemento di uno spazio che sotto rotazioni trasforma con una matrice ortogonale.
Definizione 3 (avuto a ricevimento ultimamente) Vettori in fisica sono tutte quelle grandezze che si comportano come spostamenti......
Definizione 4 Vettori in fisica sono quelli che sotto rotazione conservano il prodotto scalare...
Mah....
Cari, come prevedevo gli scontri oltre alla mia scrivania si stanno estendendo sul forum. Purtroppo non ritengo di aver avuto una risposta definitiva e univoca (a questo punto mi chiedo se esiste).
Non capisco perchè una terna di numeri possa essere un vettore per un matematico, ma non per un fisico.
Ho ricevuto le due seguenti definizioni di vettori.
Definizione 1 Elemento di uno spazio vettoriale, ossia di una struttura (Insieme, Campo, +,*) dotata di 1), 2),....,9). Sotto questo punto di vista una terna come $(\Delta r, \Delta \theta,\Delta phi)$ (coordinate polari) costituisce un meraviglioso vettore, nessuno infatti mi proibisce di definirci un +,* opportuno che verificano le 9 proprietà.
Definizione 2 Elemento di uno spazio che sotto rotazioni trasforma con una matrice ortogonale.
Definizione 3 (avuto a ricevimento ultimamente) Vettori in fisica sono tutte quelle grandezze che si comportano come spostamenti......
Definizione 4 Vettori in fisica sono quelli che sotto rotazione conservano il prodotto scalare...
Mah....
Non capisco perchè una terna di numeri possa essere un vettore per un matematico, ma non per un fisico.
Ho ricevuto le due seguenti definizioni di vettori.
Definizione 1 Elemento di uno spazio vettoriale, ossia di una struttura (Insieme, Campo, +,*) dotata di 1), 2),....,9). Sotto questo punto di vista una terna come $(\Delta r, \Delta \theta,\Delta phi)$ (coordinate polari) costituisce un meraviglioso vettore, nessuno infatti mi proibisce di definirci un +,* opportuno che verificano le 9 proprietà.
Definizione 2 Elemento di uno spazio che sotto rotazioni trasforma con una matrice ortogonale.
Definizione 3 (avuto a ricevimento ultimamente) Vettori in fisica sono tutte quelle grandezze che si comportano come spostamenti......
Definizione 4 Vettori in fisica sono quelli che sotto rotazione conservano il prodotto scalare...
Mah....
$\cos Up-\arctan(Up^2-2Up+1)+ (\partial\Phi(Up))/(\partial Up)$
$\Omega$
|/\/\/\/\/\|
newton_1372, capisco la tua insofferenza, ma non possiamo fare altro che attendere. La pazienza è la virtù dei forti; abbi fede e avrai che la discussione andrà avanti.
ed anche di chi ha arsura di capire.....
nel frattempo vi aggiorno che dalla litigata tra il rosati e il pagani-salsa è nato un dolcissimo libricino, intitolato "due cuori, uno spazio vettoriale"
nel frattempo vi aggiorno che dalla litigata tra il rosati e il pagani-salsa è nato un dolcissimo libricino, intitolato "due cuori, uno spazio vettoriale"
Provo a dare il mio contributo. Rileggendo gli inizi del thread, mi sembra che la confusione nasca dal fatto che stai cercando una definizione unica per due concetti diversi e cioé il vettore come oggetto matematic ed il vettore come grandezza fisica. La confusione è alimentata anche dal fatto che quasi sempre si usa la stessa parola "vettore" per indicare questi due concetti. Quindi il tuo (...nostro ormai 
) problema lo risolverai solo quando accetterai due definizioni diverse per questi due concetti diversi, (anche se ala fine l'una è un caso particolare dell'altra).
Non c'è alcun dubbio che il vettore inteso come concetto puramente matematico è "un elemento di uno spazio vettoriale" punto e basta, con tutto quello che ciò comporta in termini di generalità sulla natura degli elementi che possono costituire uno spazio vettoriale.
Quando invece si parla di vettore come grandezza fisica, ti devi per un momento dimenticare completamente della matematica, e metterti nei panni di un fisico dei tempi di Newton (a quei tempi mancavano ancora circa 200 anni prima che qualcuno cominciasse a parlare degli spazi vettoriali...) che cerca di descrivere il mondo che lo circonda.
Ora racconterò una specie di storiella ma non è retorica... è per illustrare come (secondo me...) si sono evoluti separatamente i concetti di vettore nel senso fisico e di spazio vettoriale generico, e come sono stati unificati.
Immagina, quindi, il fisico che voglia trovare un modo per rappresentare la forza applicata da un cavallo che trascina un masso a cui è legato. Egli si accorge che tale forza è caratterizzata da tre elementi: una intensità, una direzione ed un verso. Gli viene in mente, allora, di rappresentare questi tre elementi con un bastoncino appuntito, tale che la sua lunghezza sia proporzionale alla intensità della forza, la sua direzione nello spazio sia quello della linea lungo cui si muove il cavallo ed il verso della punta indica il verso di moto del cavallo lungo quella linea. Dopo un po' di esperimenti scopre che se applica ai bastoncini una strana operazione di somma (la regola del parallelogrammo) ed associa a tale operazione definita nel mondo dei bastoncini il concetto di "sovrapposizione degfli effetti" definito nel mondo fisico, allora c'è una sorta di relazione 1 ad 1 tra il suo modello a bastoncini ed il mondo reale.
Altro fatto, apparentemente banale, di cui si accorge il fisico, è che se esegue un esperimento coi cavalli e con il masso su una piattaforma girevole, e poi lo ripete ruotando la piattaforma di un dato angolo, trova che i cavalli "tirano" esattamente con la stessa forza e che il masso si sposta esattamente delle stesse distanze. Non solo: se prima i due cavalli si muovevano lungo linee che formavano un angolo di 30°, anche nel secondo esperimento tale angolo è di 30°. Questo fatto rende ancora più convinto il fisico sulla bontà del suo modello a bastoncini, poiché egli sa che anche i bastoncini, ruotando la piattaforma, non cambiano la loro lunghezza né la direzione reciproca, esattamente come le forze.
Tutto ciò fa concludere al fisico che alcune grandezze fisiche si descrivono bene con dei bastoncini appuntiti e con la regola del parallelogrammo. 200 anni dopo, qualcuno avrebbe detto al fisico (se fosse stato vivo...): "signor fisico, in base a recenti novità nel campo della matematica, le comunichiamo che i suoi bastoncini , con la loro strana proprietà di somma e la loro caratteristica di mantenere lunghezze ed angoli reciproci durante le rotazioni, risultano essere un caso particolare di oggetti più generali che oggi chiamiamo vettori e che appartengono ad insiemi che si chiamano spazi vettoriali. Per la precisione, i "suoi" vettori, appartengono allo spazio vettoriale V3 (quello dei segmenti orientati) nel quale abbiamo formalizzato la sua operazione di somma ed abbiamo introdotto una operazione detta "prodotto scalare" che le sarà utile, tra l'altro, per calcolare le lunghezze dei bastoncini."
Da quel giorno, i fisici, per darsi un tono e non sembrare bambini dell'asilo, chiameranno i loro cari vecchi bastoncini colorati con la parola "vettori", ma naturalmente ogni volta che uno di loro si metterà a parlare di vettori al bar con un matematico verrà deriso perché lui continuerà a parlare, di fatto, di bastoncini colorati, mentre il matematico li intenderà sempre in generale come "elementi di uno spazio vettoriale" e penserà che il fisico non è in grado di capire nulla più che i bastoncini colorati. Per chiarire ancora: la forza è una grandezza fisica; lo strumento matematico per descriverla è lo spazio vettoriale \(\displaystyle V^3 \) dei segmenti orientati; poiché gli elementi di \(\displaystyle V^3 \) si chiamano, come tutti gli elementi di un qualsiasi spazio vettoriale, vettori, allora spesso si dice che la forza è un vettore. Qundi, quando un fisico dice "vettore", intende le grandezze fisiche e/o gli elementi di \(\displaystyle V^3 \), e non un elemento di un qualsiasi spazio vettoriale.
Ecco, spero di aver chiarito un po' la situazione...o forse l'ho confusa ancora di più...
) problema lo risolverai solo quando accetterai due definizioni diverse per questi due concetti diversi, (anche se ala fine l'una è un caso particolare dell'altra).Non c'è alcun dubbio che il vettore inteso come concetto puramente matematico è "un elemento di uno spazio vettoriale" punto e basta, con tutto quello che ciò comporta in termini di generalità sulla natura degli elementi che possono costituire uno spazio vettoriale.
Quando invece si parla di vettore come grandezza fisica, ti devi per un momento dimenticare completamente della matematica, e metterti nei panni di un fisico dei tempi di Newton (a quei tempi mancavano ancora circa 200 anni prima che qualcuno cominciasse a parlare degli spazi vettoriali...) che cerca di descrivere il mondo che lo circonda.
Ora racconterò una specie di storiella ma non è retorica... è per illustrare come (secondo me...) si sono evoluti separatamente i concetti di vettore nel senso fisico e di spazio vettoriale generico, e come sono stati unificati.
Immagina, quindi, il fisico che voglia trovare un modo per rappresentare la forza applicata da un cavallo che trascina un masso a cui è legato. Egli si accorge che tale forza è caratterizzata da tre elementi: una intensità, una direzione ed un verso. Gli viene in mente, allora, di rappresentare questi tre elementi con un bastoncino appuntito, tale che la sua lunghezza sia proporzionale alla intensità della forza, la sua direzione nello spazio sia quello della linea lungo cui si muove il cavallo ed il verso della punta indica il verso di moto del cavallo lungo quella linea. Dopo un po' di esperimenti scopre che se applica ai bastoncini una strana operazione di somma (la regola del parallelogrammo) ed associa a tale operazione definita nel mondo dei bastoncini il concetto di "sovrapposizione degfli effetti" definito nel mondo fisico, allora c'è una sorta di relazione 1 ad 1 tra il suo modello a bastoncini ed il mondo reale.
Altro fatto, apparentemente banale, di cui si accorge il fisico, è che se esegue un esperimento coi cavalli e con il masso su una piattaforma girevole, e poi lo ripete ruotando la piattaforma di un dato angolo, trova che i cavalli "tirano" esattamente con la stessa forza e che il masso si sposta esattamente delle stesse distanze. Non solo: se prima i due cavalli si muovevano lungo linee che formavano un angolo di 30°, anche nel secondo esperimento tale angolo è di 30°. Questo fatto rende ancora più convinto il fisico sulla bontà del suo modello a bastoncini, poiché egli sa che anche i bastoncini, ruotando la piattaforma, non cambiano la loro lunghezza né la direzione reciproca, esattamente come le forze.
Tutto ciò fa concludere al fisico che alcune grandezze fisiche si descrivono bene con dei bastoncini appuntiti e con la regola del parallelogrammo. 200 anni dopo, qualcuno avrebbe detto al fisico (se fosse stato vivo...): "signor fisico, in base a recenti novità nel campo della matematica, le comunichiamo che i suoi bastoncini , con la loro strana proprietà di somma e la loro caratteristica di mantenere lunghezze ed angoli reciproci durante le rotazioni, risultano essere un caso particolare di oggetti più generali che oggi chiamiamo vettori e che appartengono ad insiemi che si chiamano spazi vettoriali. Per la precisione, i "suoi" vettori, appartengono allo spazio vettoriale V3 (quello dei segmenti orientati) nel quale abbiamo formalizzato la sua operazione di somma ed abbiamo introdotto una operazione detta "prodotto scalare" che le sarà utile, tra l'altro, per calcolare le lunghezze dei bastoncini."
Da quel giorno, i fisici, per darsi un tono e non sembrare bambini dell'asilo, chiameranno i loro cari vecchi bastoncini colorati con la parola "vettori", ma naturalmente ogni volta che uno di loro si metterà a parlare di vettori al bar con un matematico verrà deriso perché lui continuerà a parlare, di fatto, di bastoncini colorati, mentre il matematico li intenderà sempre in generale come "elementi di uno spazio vettoriale" e penserà che il fisico non è in grado di capire nulla più che i bastoncini colorati. Per chiarire ancora: la forza è una grandezza fisica; lo strumento matematico per descriverla è lo spazio vettoriale \(\displaystyle V^3 \) dei segmenti orientati; poiché gli elementi di \(\displaystyle V^3 \) si chiamano, come tutti gli elementi di un qualsiasi spazio vettoriale, vettori, allora spesso si dice che la forza è un vettore. Qundi, quando un fisico dice "vettore", intende le grandezze fisiche e/o gli elementi di \(\displaystyle V^3 \), e non un elemento di un qualsiasi spazio vettoriale.
Ecco, spero di aver chiarito un po' la situazione...o forse l'ho confusa ancora di più...
Sono commosso....questo post sarà la MIA BIBBIA PERSONALE, lo leggerò tutti i giorni prima di andare a dormire, anzi, ci farò anche le preghierine...sei relativamente sicuro che tutto quanto tu abbia scritto sia corretto?
Io pensavo anche al fatto che per un fisico lo "spazio" non è un entità così astratta...ma è proprio l'ambiente in cui ci ritroviamo immersi da quando siamo nati...quindi per un fisico un vettore è proprio un "bastoncino", concreto...e a quanto sembra, l'insieme in cui vivono questi bastoncini, V3, non è proprio R3 come prima pensavo...ma è solo ISOMORFO ad R3...Se punto un sistema di riferimento, e prendo il vettore fisico puntato nella direzione 1, non è corretto dire che quello sia il vettore (1,0,0), bensì devo dire che è il vettore di coordinate (1,0,0) rispetto alla base e1,e2,e3, dove gli $e_i$ sono vettori FISICI, modulo 1, direzione lungo i e verso convenzionalmente stabilito...
Così se ne va un altra mia antica convenzione: non viviamo in R3.
E forse sto capendo anche perchè (P,T,V) non sia un vettore per un fisico: dove diamine punta? Il fisico non si chiede se l'insieme dei (p,v,t) abbia o no struttura di spazio vettoriale (matematico)...ma si chiede che punto DELLO SPAZIO FISICO segna questa ennupla...
Mi ci sto avvicinando?
Io pensavo anche al fatto che per un fisico lo "spazio" non è un entità così astratta...ma è proprio l'ambiente in cui ci ritroviamo immersi da quando siamo nati...quindi per un fisico un vettore è proprio un "bastoncino", concreto...e a quanto sembra, l'insieme in cui vivono questi bastoncini, V3, non è proprio R3 come prima pensavo...ma è solo ISOMORFO ad R3...Se punto un sistema di riferimento, e prendo il vettore fisico puntato nella direzione 1, non è corretto dire che quello sia il vettore (1,0,0), bensì devo dire che è il vettore di coordinate (1,0,0) rispetto alla base e1,e2,e3, dove gli $e_i$ sono vettori FISICI, modulo 1, direzione lungo i e verso convenzionalmente stabilito...
Così se ne va un altra mia antica convenzione: non viviamo in R3.
E forse sto capendo anche perchè (P,T,V) non sia un vettore per un fisico: dove diamine punta? Il fisico non si chiede se l'insieme dei (p,v,t) abbia o no struttura di spazio vettoriale (matematico)...ma si chiede che punto DELLO SPAZIO FISICO segna questa ennupla...
Mi ci sto avvicinando?
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