Parola "vettore" in fisica
Buon giorno, scrivo perchè non riesco a sedare una lite, una lite di quelle sconvolgenti, violente ma calorose, una specie di odio-amore.
C'è il mio libro di fisica e il mio libro di algebra lineare (supportato da quello di analisi...in realtà è piu un pestaggio) che si stanno prendendo a ****tti sulla mia scrivania, e avendo paura che ci scappi il morto ho deciso di calmarli un pò, per ristabilire (nella mia testa) pace e armonia.
Per l'algebra lineare chiamasi spazio vettoriale un insieme contenente qualunque cosa. Unica discriminante è che sia definita una somma e un prodotto per scalari tali che valgono I). II). .....IX). Nota bene: da nessuna parte trovo scritto che quell'oggetto debba comportarsi in qualche modo sotto rotazioni: sotto questa definizione posso prendere patate, cipolle, ceci, definire una somma e un prodotto esterno tali che...e bene, la pentola la chiamo spazio vettoriale, e quello che c'è dentro "vettori".
La prima "discrepanza" con la fisica arriva durante i corsi di fisica 1, quando mi dicono che una terna di numeri (x,y,z) non costituisce necessariamente un vettore. La rivelazione mi si rivela del tutto sconvolgente. Ma alla fine non era poi così rilevante nel corso, e ho lasciato i dubbi da parte, riuscendo comunque a passare l'esame.
Al II anno però, va sempre peggio.
Mi viene detto (Meccanica classica), che "Un vettore è un oggetto che sotto rotazioni trasforma secondo matrici ortogonali", e questa viene data come definizione, per poi estenderla a quella di tensori che "sono oggetti con piu indici, ogni indice ha la matrice sua".
In fisica mi viene introdotto il gradiente, e mi viene detto "attenzione, il gradiente è un vettore" caspita, ci sono tre numeri dentro, valgono le proprietà I-IX non può non esserlo "E invece no, perchè se prendo una base NON ORTONORMALE, o per esempio le coordinate polari $r,\theta$ l'oggetto
$((\partial f)/(\partial r),(\partial f)/(\partial \theta))$
NON E' UN VETTORE.
Il mio libro di algebra lineare mi parla di $\mathbb R^2$, e visto che quella è una coppia di numeri alla fine, cosa mi impedisce di dire che sia un vettore?
Lo stesso corso per dimostrarmi che "il gradiente è un vettore" scrive $\Delta f$ in due coordinate diverse, dimostrando che il prodotto scalare $\grad f \cdot \vec \Delta r$ non dipende dal sistema di riferimento usato.
Viene anche detto esplicitamente "Per essere un vettore una terna deve conservare il prodotto scalare, qualunque riferimento usi".
Ma scusate: la nozione di PRODOTTO SCALARE non è definita a partire da quella di FORMA BILINEARE tra spazi vettoriali? Come si fa allora a usare il prodotto scalare per controllare se un oggetto è un vettore o no?
Credo che a questo punto i miei dubbi vi siano chiari.
Se mi rispondete vi sarò grato fino alla fine dei secoli.
C'è il mio libro di fisica e il mio libro di algebra lineare (supportato da quello di analisi...in realtà è piu un pestaggio) che si stanno prendendo a ****tti sulla mia scrivania, e avendo paura che ci scappi il morto ho deciso di calmarli un pò, per ristabilire (nella mia testa) pace e armonia.
Per l'algebra lineare chiamasi spazio vettoriale un insieme contenente qualunque cosa. Unica discriminante è che sia definita una somma e un prodotto per scalari tali che valgono I). II). .....IX). Nota bene: da nessuna parte trovo scritto che quell'oggetto debba comportarsi in qualche modo sotto rotazioni: sotto questa definizione posso prendere patate, cipolle, ceci, definire una somma e un prodotto esterno tali che...e bene, la pentola la chiamo spazio vettoriale, e quello che c'è dentro "vettori".
La prima "discrepanza" con la fisica arriva durante i corsi di fisica 1, quando mi dicono che una terna di numeri (x,y,z) non costituisce necessariamente un vettore. La rivelazione mi si rivela del tutto sconvolgente. Ma alla fine non era poi così rilevante nel corso, e ho lasciato i dubbi da parte, riuscendo comunque a passare l'esame.
Al II anno però, va sempre peggio.
Mi viene detto (Meccanica classica), che "Un vettore è un oggetto che sotto rotazioni trasforma secondo matrici ortogonali", e questa viene data come definizione, per poi estenderla a quella di tensori che "sono oggetti con piu indici, ogni indice ha la matrice sua".
In fisica mi viene introdotto il gradiente, e mi viene detto "attenzione, il gradiente è un vettore" caspita, ci sono tre numeri dentro, valgono le proprietà I-IX non può non esserlo "E invece no, perchè se prendo una base NON ORTONORMALE, o per esempio le coordinate polari $r,\theta$ l'oggetto
$((\partial f)/(\partial r),(\partial f)/(\partial \theta))$
NON E' UN VETTORE.
Il mio libro di algebra lineare mi parla di $\mathbb R^2$, e visto che quella è una coppia di numeri alla fine, cosa mi impedisce di dire che sia un vettore?
Lo stesso corso per dimostrarmi che "il gradiente è un vettore" scrive $\Delta f$ in due coordinate diverse, dimostrando che il prodotto scalare $\grad f \cdot \vec \Delta r$ non dipende dal sistema di riferimento usato.
Viene anche detto esplicitamente "Per essere un vettore una terna deve conservare il prodotto scalare, qualunque riferimento usi".
Ma scusate: la nozione di PRODOTTO SCALARE non è definita a partire da quella di FORMA BILINEARE tra spazi vettoriali? Come si fa allora a usare il prodotto scalare per controllare se un oggetto è un vettore o no?
Credo che a questo punto i miei dubbi vi siano chiari.
Se mi rispondete vi sarò grato fino alla fine dei secoli.
Risposte
"newton_1372":
sei relativamente sicuro che tutto quanto tu abbia scritto sia corretto
bè...direi di sì...comunque aspetto correzioni da chiunque voglia farne
"newton_1372":
l'insieme in cui vivono questi bastoncini, V3, non è proprio R3 come prima pensavo...ma è solo ISOMORFO ad R3
giusto!
"newton_1372":
Se punto un sistema di riferimento, e prendo il vettore fisico puntato nella direzione 1, non è corretto dire che quello sia il vettore (1,0,0), bensì devo dire che è il vettore di coordinate (1,0,0) rispetto alla base e1,e2,e3, dove gli ei sono vettori FISICI, modulo 1, direzione lungo i e verso convenzionalmente stabilito...
parole sante!
"newton_1372":
non viviamo in R3
direi di no! ed è per questo che quando andiamo a spasso non abbiamo mai incontrato il signor (-1, 2, 8) o sua moglie, la signora (5, 0, -3)
In realtà non viviamo nemmeno in \(\displaystyle V^3 \), poiché in giro non incontriamo bastoncini appuntiti (...per fortuna). L'insieme in cui viviamo è lo spazio euclideo tridimensionale che si indica con il simbolo \(\displaystyle E^3 \) ed è composto da tutti i punti (nel senso vero e proprio di "luoghi") dello spazio in cui ci muoviamo. Da notare che \(\displaystyle E^3 \) non ha la struttura di spazio vettoriale! (non ha tutte le proprietà di spazio vettoriale). Se in \(\displaystyle E^3 \) scegliamo un punto O e lo prendiamo come origine, allora \(\displaystyle E^3 \) diventa isomorfo a \(\displaystyle V^3 \) se ad ogni bastoncino di \(\displaystyle V^3 \) facciamo corrispondere il punto di \(\displaystyle E^3 \) in cui si colloca la punta del bastoncino se gli mettiamo la coda in O (e quindi \(\displaystyle E^3 \), con un punto O preso come origine, potrebbe (credo...) essere considerato uno spazio vettoriale definendo opportunamente l'operazione di somma).
"newton_1372":
Il fisico non si chiede se l'insieme dei (p,v,t) abbia o no struttura di spazio vettoriale (matematico)...ma si chiede che punto DELLO SPAZIO FISICO segna questa ennupla..
il problema non è che punto dello spazio punta. Il punto è che (p,v,t) non descrive nessuna grandezza fisica; addirittura p, v eT sono grandezze che hanno dimensioni (nel senso di unità di misura) diverse, quindi non potrebbero mai essere componenti di un vettore che rappresenta una grandezza fisica.
"newton_1372":
Mi ci sto avvicinando?
...questo lo puoi dire solo tu
credo di aver risolto, complice una lettura delle prime pagine del Picasso fisica 1 (ps. non fa mai male!) e dell'aiuto di due dei piu grandi, gentili, premurosi, disponibili prof di tutti i tempi.
Se metto giacomo, filippo e alberto in una ennupla, e mi chiedo se sia un vettore, devo controllare cosa succede quando cambio coordinate (è questo a cui si riferivano quando dicevano "si trasforma come un vettore"). Infatti, preso uno spazio vettoriale qualsiasi, e fissata una base, se effettuo su di essa (cioè sulla base) una rotazione, so dalla teoria che la matrice che mi rappresenta la trasformazione è ortogonale...
Se metto giacomo, filippo e alberto in una ennupla, e mi chiedo se sia un vettore, devo controllare cosa succede quando cambio coordinate (è questo a cui si riferivano quando dicevano "si trasforma come un vettore"). Infatti, preso uno spazio vettoriale qualsiasi, e fissata una base, se effettuo su di essa (cioè sulla base) una rotazione, so dalla teoria che la matrice che mi rappresenta la trasformazione è ortogonale...
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