Oscillatore armonico
Buongiorno
"Una massa puntiforme m = 2 kg viene attaccata ad una molla che si trova in posizione orizzontale
su un piano liscio. La molla ha costante elastica k1= 1000 N/cm. Il sistema viene poi compresso,
rispetto alla posizione di equilibrio, di $x_1=80cm$ . La forza che spinge la molla viene tolta e il
sistema lasciato libero di oscillare. Determinare:
a) l’energia cinetica massima della massa m;
Intanto vorrei per favore chiedere chiarimenti riguardo a questa domanda. E sapere la dofferenza con la domanda c) seguente (ho saltato la b) perché ho difficoltà con la questione delle energie cinetiche).
Ho letto che per un oscillatore armonico quale anche la massa appesa a una molla ha massima emergiabcinetica quando l'energia potenziale è zero in x=0, "nel centro" [quale centro?]
Nelle soluzioni c'è scritto che questa massima energia cinetica è uguale a $1/2*m*x^2$ ma questa non sarebbe l'energia potenziale elastica?
Ad un certo punto, la massa m si stacca dalla molla ad una velocità che 1/3 di v1.
Prosegue il suo moto sul piano orizzontale liscio e dopo un po' incontra un piano inclinato scabro
(di lunghezza tendente ad infinito). Determinare:
c) l’energia cinetica della massa m quando si stacca dalla molla;
Che differenza c'è tra la domanda precedente e questa? L'energia cinetica della massa quando si stacca dalla molla come cambia? E come cambia ancora lungo il piano inclinato?
Vi ringrazio
"Una massa puntiforme m = 2 kg viene attaccata ad una molla che si trova in posizione orizzontale
su un piano liscio. La molla ha costante elastica k1= 1000 N/cm. Il sistema viene poi compresso,
rispetto alla posizione di equilibrio, di $x_1=80cm$ . La forza che spinge la molla viene tolta e il
sistema lasciato libero di oscillare. Determinare:
a) l’energia cinetica massima della massa m;
Intanto vorrei per favore chiedere chiarimenti riguardo a questa domanda. E sapere la dofferenza con la domanda c) seguente (ho saltato la b) perché ho difficoltà con la questione delle energie cinetiche).
Ho letto che per un oscillatore armonico quale anche la massa appesa a una molla ha massima emergiabcinetica quando l'energia potenziale è zero in x=0, "nel centro" [quale centro?]
Nelle soluzioni c'è scritto che questa massima energia cinetica è uguale a $1/2*m*x^2$ ma questa non sarebbe l'energia potenziale elastica?
Ad un certo punto, la massa m si stacca dalla molla ad una velocità che 1/3 di v1.
Prosegue il suo moto sul piano orizzontale liscio e dopo un po' incontra un piano inclinato scabro
(di lunghezza tendente ad infinito). Determinare:
c) l’energia cinetica della massa m quando si stacca dalla molla;
Che differenza c'è tra la domanda precedente e questa? L'energia cinetica della massa quando si stacca dalla molla come cambia? E come cambia ancora lungo il piano inclinato?
Vi ringrazio
Risposte
Per comprimere la molla si deve compiere un lavoro dato da $W = 1/2 k_1 x_1^2$
Quando si libera la molla, questa spinge la massa, con una forza che è massima all'inizio, e diminuisce in seguito, azzerandosi quando la molla raggiunge la sua lunghezza a riposo (cioè la posizione all'inizio). In questo punto l'energia potenziale della molla è zero, la massa ha accelerazione zero, la sua velocità ha un certo valore, che è quello per cui $1/2 k_1 x_1^2 = 1/2 m v^2$
Da qui in avanti la molla non spinge più, ma invece tira indietro (si estende) per cui l'accelerazione della massa diventa negativa, cosicchè capiamo che la velocità massima si è raggiunta quando la molla ha la sua lunghezza a riposo (è questo il "centro" dell'oscillazione). La velocità diminuisce, la molla si tira, fino a che la velocità diventa zero. Ciò avviene quando l'energia cinetica della massa si è di nuovo convertita in energia potenziale elastica della molla (però dall'altra parte) per cui capiamo che la spostamento oltre il punto di equilibrio vale anche lui $x_1$.
In generale, in ogni oscillatore armonico (e anche no), c'è un continuo scambio fra energia potenziale e energia cinetica, che entrambe variano fra zero e un massimo. Una è massima quando l'altra è zero e viceversa. Il "centro" è il punto con energia potenziale zero, e energia cinetica massima. In un pendolo, per es. è il punto più basso, quando il filo è verticale. Se c'è una massa attaccata a una molla, è il punto in cui la massa si ferma quando le oscillazioni si sono estinte (per attrito o altro). Se le oscillazioni avvengono in orizzontale, come qui, è il punto in cui la molla ha la sua lunghezza a riposo; se avvengono in verticale no, è il punto in cui la molla tira in su con forza uguale al peso, che è la posizione di equilibrio da fermo.
Nella domanda c la massa (dopo raggiunto il centro, cioè mentre sta rallentando) si stacca dalla molla, e così prosegue di moto uniforme (almeno fino a che non incontra il piano inclinato scabro). L'energia cinetica è la solita, e siccome la velocità è 1/3 di quella massima, l'energia cinetica è 1/9 di quella massima.
Se poi vuoi sapere cosa succede lungo il piano inclinato, c'è una forza frenante dovuta: all'inclinazione, quindi $m*g*sin theta$, e all'attrito, quindi $m*g*mu*cos theta$
Questa forza produce una accelerazione negativa costante che a un certo punto ferma l'oggetto. Poi, secondo quanto vale l'attrito e l'inclinazione del piano, resta lì, oppure scivola indietro.
Quando si libera la molla, questa spinge la massa, con una forza che è massima all'inizio, e diminuisce in seguito, azzerandosi quando la molla raggiunge la sua lunghezza a riposo (cioè la posizione all'inizio). In questo punto l'energia potenziale della molla è zero, la massa ha accelerazione zero, la sua velocità ha un certo valore, che è quello per cui $1/2 k_1 x_1^2 = 1/2 m v^2$
Da qui in avanti la molla non spinge più, ma invece tira indietro (si estende) per cui l'accelerazione della massa diventa negativa, cosicchè capiamo che la velocità massima si è raggiunta quando la molla ha la sua lunghezza a riposo (è questo il "centro" dell'oscillazione). La velocità diminuisce, la molla si tira, fino a che la velocità diventa zero. Ciò avviene quando l'energia cinetica della massa si è di nuovo convertita in energia potenziale elastica della molla (però dall'altra parte) per cui capiamo che la spostamento oltre il punto di equilibrio vale anche lui $x_1$.
In generale, in ogni oscillatore armonico (e anche no), c'è un continuo scambio fra energia potenziale e energia cinetica, che entrambe variano fra zero e un massimo. Una è massima quando l'altra è zero e viceversa. Il "centro" è il punto con energia potenziale zero, e energia cinetica massima. In un pendolo, per es. è il punto più basso, quando il filo è verticale. Se c'è una massa attaccata a una molla, è il punto in cui la massa si ferma quando le oscillazioni si sono estinte (per attrito o altro). Se le oscillazioni avvengono in orizzontale, come qui, è il punto in cui la molla ha la sua lunghezza a riposo; se avvengono in verticale no, è il punto in cui la molla tira in su con forza uguale al peso, che è la posizione di equilibrio da fermo.
Nella domanda c la massa (dopo raggiunto il centro, cioè mentre sta rallentando) si stacca dalla molla, e così prosegue di moto uniforme (almeno fino a che non incontra il piano inclinato scabro). L'energia cinetica è la solita, e siccome la velocità è 1/3 di quella massima, l'energia cinetica è 1/9 di quella massima.
Se poi vuoi sapere cosa succede lungo il piano inclinato, c'è una forza frenante dovuta: all'inclinazione, quindi $m*g*sin theta$, e all'attrito, quindi $m*g*mu*cos theta$
Questa forza produce una accelerazione negativa costante che a un certo punto ferma l'oggetto. Poi, secondo quanto vale l'attrito e l'inclinazione del piano, resta lì, oppure scivola indietro.
Scusi dovrei rispondere anche alla d) e alla e) mi direbbe dove sbaglio? " Determinare:
d) il lavoro complessivo fatto da tutte le forze esterne sulla massa, da quando si è staccata
dalla molla all’istante in cui ha raggiunto la quota massima sul piano scabro;
Il lavoro totale delle forze esterne per il teorema dell'energia cinetica è uguale alla variazione di energia cinetica; però non saprei se posso calcolare questo lavoro anche attraverso la definizione di energia meccanica che si conserva l'energia potenziale la pongo $0$?
Ma ho delle perplessità sull'applicazione di questo secondo metodo perché ho anche la forza di attrito che non è conservativa.
e) il lavoro fatto dalla forza di attrito sulla massa, sapendo che questa sale sul piano inclinato
fino ad una quota massima che `e il 70% di quella alla quale sarebbe salita in assenza di
attrito
Allora il lavoro della forza di attrito si calcola togliendo al lavoro totale quello delle forze esterne ?
d) il lavoro complessivo fatto da tutte le forze esterne sulla massa, da quando si è staccata
dalla molla all’istante in cui ha raggiunto la quota massima sul piano scabro;
Il lavoro totale delle forze esterne per il teorema dell'energia cinetica è uguale alla variazione di energia cinetica; però non saprei se posso calcolare questo lavoro anche attraverso la definizione di energia meccanica che si conserva l'energia potenziale la pongo $0$?
Ma ho delle perplessità sull'applicazione di questo secondo metodo perché ho anche la forza di attrito che non è conservativa.
e) il lavoro fatto dalla forza di attrito sulla massa, sapendo che questa sale sul piano inclinato
fino ad una quota massima che `e il 70% di quella alla quale sarebbe salita in assenza di
attrito
Allora il lavoro della forza di attrito si calcola togliendo al lavoro totale quello delle forze esterne ?
Ma non guardi come si presentano i tuoi post?!
d) quali sono le forze esterne? la gravità e l'attrito. Queste due, insieme, finiscono col fermare la massa, quindi il loro lavoro ha il valore dell'energia cinetica iniziale (se vuoi, cambiato di segno)
e) se non ci fosse attrito salirebbe ad una certa altezza, e tutta l'energia cinetica si trasformerebbe in energia potenziale gravitazionale. Quindi, l'energia cinetica vale il 100% della quota. Qui abbiamo invece solo il 70% della quota, quindi l'attrito si è preso il 30% della quota, o anche il 30% dell'energia cinetica.
e) se non ci fosse attrito salirebbe ad una certa altezza, e tutta l'energia cinetica si trasformerebbe in energia potenziale gravitazionale. Quindi, l'energia cinetica vale il 100% della quota. Qui abbiamo invece solo il 70% della quota, quindi l'attrito si è preso il 30% della quota, o anche il 30% dell'energia cinetica.
"mgrau":
Ma non guardi come si presentano i tuoi post?!
Ho visto l'anteprima ma non era così come mai
E' ancora colpa di una strano accento o apostrofo che c'era all'inizio
"mgrau":
d) quali sono le forze esterne? la gravità e l'attrito. Queste due, insieme, finiscono col fermare la massa, quindi il loro lavoro ha il valore dell'energia cinetica iniziale (se vuoi, cambiato di segno)
Ma perché il lavoro delle forze esterne non sarebbe
$1/2*K*X^2+1/2*m*v_f^2$? L'attrito pure è una forza esterna, non dovrebbe essere interna?
Grazie
"scuola1234":
Ma perché il lavoro delle forze esterne non sarebbe
$1/2*K*X^2+1/2*m*v_f^2$? L'attrito pure è una forza esterna, non dovrebbe essere interna?
Mi spieghi meglio cosa intendi?
Intanto quello che hai scritto è:
- l'energia potenziale della molla, che è staccata, quindi non ci interessa più
- l'energia cinetica della massa
Ora, è vero che queste hanno la stessa dimensione di un lavoro, ma faccio un po' fatica a pensare che SONO un lavoro: mi sembra meglio pensare che sono la riserva da cui si può attingere per ottenere lavoro, inteso proprio come la spostamento di una forza.
E qui le forze da vincere sono due, la gravità (tira in giù, mentre la massa sale) e l'attrito (che spinge indietro, mentre la massa avanza)
Ma quindi -scusi il tormento infinito- qual èil lavoror delle forze esterne io non ho capito perché nelle soluzioni c'è scrittto che il lavoro delle forze esterne sia :
$deltaE_c=0-E_2$
$E_c$ energia cinetica
$E_2$ energia cinetica quando $m$ si stacca dalla molla
Lei ha detto invece che devo calcolare il lavoro della forza di attrito e della forza gravitazionale ma perché nelle soluzioni invece si calcola come variazione di energia cinetica? La ringrazio
$deltaE_c=0-E_2$
$E_c$ energia cinetica
$E_2$ energia cinetica quando $m$ si stacca dalla molla
Lei ha detto invece che devo calcolare il lavoro della forza di attrito e della forza gravitazionale ma perché nelle soluzioni invece si calcola come variazione di energia cinetica? La ringrazio
"scuola1234":
qual èil lavoror delle forze esterne io non ho capito perché nelle soluzioni c'è scrittto che il lavoro delle forze esterne sia :
$deltaE_c=0-E_2$
$E_c$ energia cinetica
$E_2$ energia cinetica quando $m$ si stacca dalla molla
Lei ha detto invece che devo calcolare il lavoro della forza di attrito e della forza gravitazionale ma perché nelle soluzioni invece si calcola come variazione di energia cinetica?
Le forze esterne sono il peso e l'attrito
Per calcolare il lavoro, dovremmo conoscere il valore delle forze (il peso lo conosciamo, l'attrito no) e di quanto si spostano (e qui non sappiamo niente). PERO', siccome il lavoro non viene dal nulla, sappiamo che questo lavoro avviene a spese dell'energia cinetica, quindi sapendo di quanto diminuisce questa sappiamo anche quanto lavoro è stato prodotto.
In particolare, per la domanda d) non possiamo dire quanto lavoro è stato speso, separatamente, per la gravità e per l'attrito, ma solo la somma dei due. Per sapere questo, domanda e), abbiamo bisogno di sapere qualcosa di più (la storia del 70%)
L'aaltezza che si percorre con l'attrito è il 30%, quindi significa che anche l'energia cinetica è il 30%? Come collego questa informazione per rispomdere alla domanda sul lavoro dell'attrito?
Devo trovare la forza di attrito?
Devo trovare la forza di attrito?
"scuola1234":
L'altezza che si percorre con l'attrito è il 30%....,
il 30% IN MENO, rispetto all'altezza senza attrito. L'attrito si pappa il 30% dell'intera energia cinetica, quindi il lavoro dell'attrito è questo: il 30% del totale trovato nel punto d), il restante 70% va nel sollevamento della massa
"mgrau":
lungo il piano inclinato, c'è una forza frenante dovuta: all'inclinazione, quindi $m*g*sin theta$, e all'attrito, quindi $m*g*mu*cos theta$
Il lavoro di questa forza frenante dovuta all'inclinazione è trascurabile? Perché tra le forze esterne non viene calcolata e ha considerato solo come lavoro delle forze esterne quello della gravità e dell'attrito?
Dicendo "inclinazione", intendevo "gravità": "forza frenante dovuta al fatto che la massa sta salendo"
...ma neanche quello capivo scusi...
[ot]Ma perchè continui a darmi del lei? In questa situazione non si usa...[/ot]
Per vedere se ho capito qualcosa vorrei confrontare questo problema con un altro che mi sembra simile:
La domanda a) di questo secondo esercizio non è analoga alla domanda c) (determina l'energia cinetica della massa $m$ quando si stacca dalla molla) del problema precedente ?
"Una molla di costante elastica $K=2000 N/m$ viene posta in posizione orizzontale, su
un piano privo di attrito. Una pallina di massa 50 g viene spinta verso la molla, che
si comprime di 2 cm. Quando la forza che comprime la molla viene tolta, la molla
è libera di espandersi e la pallina scivola lungo il piano orizzontale e incontra una
guida circolare di raggio molto grande, anche essa priva di attrito. Determinare:
a) l’ energia cinetica della pallina
nell’istante in cui perde il contatto con la molla
Nelle soluzioni c'è scritto che l'energia potenziale elastica si trasforma in energia cinetica della pallina.
Si calcola $E_c=1/2*k*x^2$
Invece perché nel caso del calcolo dell'energia cinetica della massa $m$ -del problema precedente- quando si stacca dalla molla era sbagliato
scrivere $E_c=1/2*k*x^2$
in quanto bisognava considerare che la $m$ si stacca con una velocità diversa minore di $1/3$
La pallina come $m$ non dovrebbe avere una velocità gradualmente minore e quindi l'energia cinetica non dovrebbe essere una frazione di $1/2*k*x^2$?
Ovvero volevo sapere che differenza c'è tra l'energia cinetica di una massa- inizialmente attaccata a una molla- nell'istante in cui si stacca da essa; e l'emergia cinetica di una pallina-inizilamente non in contatto con la molla-nell'istante in cui si stacca dalla molla?
La domanda a) di questo secondo esercizio non è analoga alla domanda c) (determina l'energia cinetica della massa $m$ quando si stacca dalla molla) del problema precedente ?
"Una molla di costante elastica $K=2000 N/m$ viene posta in posizione orizzontale, su
un piano privo di attrito. Una pallina di massa 50 g viene spinta verso la molla, che
si comprime di 2 cm. Quando la forza che comprime la molla viene tolta, la molla
è libera di espandersi e la pallina scivola lungo il piano orizzontale e incontra una
guida circolare di raggio molto grande, anche essa priva di attrito. Determinare:
a) l’ energia cinetica della pallina
nell’istante in cui perde il contatto con la molla
Nelle soluzioni c'è scritto che l'energia potenziale elastica si trasforma in energia cinetica della pallina.
Si calcola $E_c=1/2*k*x^2$
Invece perché nel caso del calcolo dell'energia cinetica della massa $m$ -del problema precedente- quando si stacca dalla molla era sbagliato
scrivere $E_c=1/2*k*x^2$
in quanto bisognava considerare che la $m$ si stacca con una velocità diversa minore di $1/3$
La pallina come $m$ non dovrebbe avere una velocità gradualmente minore e quindi l'energia cinetica non dovrebbe essere una frazione di $1/2*k*x^2$?
Ovvero volevo sapere che differenza c'è tra l'energia cinetica di una massa- inizialmente attaccata a una molla- nell'istante in cui si stacca da essa; e l'emergia cinetica di una pallina-inizilamente non in contatto con la molla-nell'istante in cui si stacca dalla molla?
Nel primo problema la massa è agganciata alla molla, e sta attaccata fino a quando questa raggiunge la lunghezza a riposo (e qui la molla smette di spingere e inizia a tirare indietro) e anche oltre, così che la molla rallenta la massa, e questa si stacca (per un un qualche meccanismo che non è descritto) quando la velocità è stata diminuita fino a 1/3 del valore massimo.
Nel secondo, invece, la massa è solo appoggiata alla molla, non agganciata, per cui quando raggiunge la velocità massima, la molla non può tirare indietro perchè non è agganciata, così massa e molla si staccano in questo punto, e la velocità massima raggiunta si mantiene, mentre l'estremità libera della molla rallenta e rimane indietro
Nel secondo, invece, la massa è solo appoggiata alla molla, non agganciata, per cui quando raggiunge la velocità massima, la molla non può tirare indietro perchè non è agganciata, così massa e molla si staccano in questo punto, e la velocità massima raggiunta si mantiene, mentre l'estremità libera della molla rallenta e rimane indietro
Quindi nel primo caso l'energia cinetica è una frazione dell'energia cinetica massima perché la molla fa rallentare la massa dopo la compressione e questa energia cinetica non coincide più con l'energia potenziale elastica convertita, giusto?
Giusto (o meglio: coincide ancora, solo che dopo superato il punto neutro, la molla si riprende parte dell'energia cinetica e la ritrasforma in energia elastica)
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