Moto di un grave in presenza di resistenza viscosa
Si consideri un grave che cada soggeto al peso $\vec P = m \vec g$ e alla resistenza $\vec R = -b \vec v$, per cui:
$\vec P + \vec R = m \vec a$ proiettando sull'unico asse (verticale) diretto verso il basso abbiamo:
$(mg) - bv = m (dv) / dt$ esprimibile come $(dv) / dt = g(1 - v/a)$ con $A = (mg)/b$ ma non riescoa scriverla così, perchè mi viene uguale tranne che ho $1/g$ invece di $g$
da cui possiamo dire $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ e non capisco perchè si ha $-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$
Poi $\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - ((g)t)/A$ da qui in poi il libro non fa passagi per trovare $v(t)$ io avrei pensato di usare l'esponenziale:
$\|(1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - \exp {((g)t)/A}$
e mi verrebbe $v(t) = - v_0 - \exp {((g)t)/A}$
mentre il libro dà come risultato finale:
$v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ e sarebbe la velocità di un corpo che entra in un fluido viscoso?
Grazie
$\vec P + \vec R = m \vec a$ proiettando sull'unico asse (verticale) diretto verso il basso abbiamo:
$(mg) - bv = m (dv) / dt$ esprimibile come $(dv) / dt = g(1 - v/a)$ con $A = (mg)/b$ ma non riescoa scriverla così, perchè mi viene uguale tranne che ho $1/g$ invece di $g$
da cui possiamo dire $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ e non capisco perchè si ha $-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$
Poi $\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - ((g)t)/A$ da qui in poi il libro non fa passagi per trovare $v(t)$ io avrei pensato di usare l'esponenziale:
$\|(1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - \exp {((g)t)/A}$
e mi verrebbe $v(t) = - v_0 - \exp {((g)t)/A}$
mentre il libro dà come risultato finale:
$v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ e sarebbe la velocità di un corpo che entra in un fluido viscoso?
Grazie
Risposte
up! 
In questo vecchio post c'è qualcosa (mi autocito chiedo scusa, ma solo perché non sempre mi va di riscrivere cose già scritte).
Non ci sono tutti i passaggi , ma il metodo dovrebbe essere chiaro.
Non capisco come un libro riesca a essere non chiaro a spiegare questo tipo di argomenti comunque
Non ci sono tutti i passaggi , ma il metodo dovrebbe essere chiaro.
Non capisco come un libro riesca a essere non chiaro a spiegare questo tipo di argomenti comunque
Io il metodo l'ho capito è che non sono riuscito a passare da $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ a
$-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$ facendo i conti per conto mio...verificato che sia così non sono riuscito a dimostrare che diventa $v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ tutto qui credo sia solo passaggi di matematici di analisi però non mi vengono...
$-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$ facendo i conti per conto mio...verificato che sia così non sono riuscito a dimostrare che diventa $v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ tutto qui credo sia solo passaggi di matematici di analisi però non mi vengono...
Sarebbe il moto smorzato esponenzialmente?
non ne sono sicuro, però mi piacerebbe capire quei passaggi
"davidedesantis":
Io il metodo l'ho capito è che non sono riuscito a passare da $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ a
$-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$ facendo i conti per conto mio
Basta fare gli integrali.
Per verificare puoi derivare il membro dx rispetto a $v$ e il sinistro rispetto a $t$.
verificato che sia così non sono riuscito a dimostrare che diventa $v(t) = A - (A - v_0) \ \exp{-(g t)/A}$ tutto qui credo sia solo passaggi di matematici di analisi però non mi vengono...
Si tratta di invertire l'espressione, ricordandosi che l'esponenziale e' l'inversa del logaritmo. Il resto e' solo algebra elementare.
il fatto è che mi viene così:
$\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = A \int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (A - v)$ e al numeratore ho la derivata del denominatore ma bisogna stare attenti al segno meno. Verrebbe:
$-A (\ln (A - v) |_{v_0}^{v(t)})$ mi dai un aiutino?
Poi per l'esponenziale invece ho risolto
Grazie
$\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = A \int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (A - v)$ e al numeratore ho la derivata del denominatore ma bisogna stare attenti al segno meno. Verrebbe:
$-A (\ln (A - v) |_{v_0}^{v(t)})$ mi dai un aiutino?
Poi per l'esponenziale invece ho risolto
Grazie
Altra domanda....se volessi calcolare la legge oraria? sul libro non viene citata, però mi interesserebbe trovarla, come posso fare?
"davidedesantis":
il fatto è che mi viene così:
$\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = A \int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (A - v)$ e al numeratore ho la derivata del denominatore ma bisogna stare attenti al segno meno. Verrebbe:
$-A (\ln (A - v) |_{v_0}^{v(t)})$ mi dai un aiutino?
Non ho capito qual e' il problema:
[tex]\ln(A-v) | ^{v(t)}_{v_0} = \ln\frac{A-v(t)}{A-v_0} = \ln\frac{1-\frac{v(t)}{A}}{1-\frac{v_0}{A}} = \ln(1-\frac{v}{A}) | ^{v(t)}_{v_0}[/tex]
Non e' la stessa espressione che citavi nel tuo post?
Per quanto riguarda la legge oraria, se non sbaglio hai la velocita' come espressione esplicita del tempo, la posizione e' solo a un integrale di distanza...
grazie mille! ma presa $\vec R = - bv$ cosa è $b$? il libro non ne parla...
"davidedesantis":
grazie mille! ma presa $\vec R = - bv$ cosa è $b$? il libro non ne parla...
Beh, e' un coefficiente di attrito (o resistenza viscosa). Ci sono vari modelli possibili di attrito, in base alle condizioni.
Questo qui e' proporzionale alla velocita'. Potresti avere anche una resistenza proporzionale al quadrato della velocita', per esempio. Se ti fai un giro su wikipedia puoi trovare un po' di esempi.
grazie mille sei stato molto disponibile
Ora provo un pò con la legge oraria...sicuramente ti devo chiedere qualcosa
Ora provo un pò con la legge oraria...sicuramente ti devo chiedere qualcosa
Sulla rete in merito alla legge oraria, ho trovato che occorre sostituire $ dt = (ds) / v$ nella $(dv) / dt = g(1 - v/A)$ e poi integrare, e fin qui ci sono, anche se non sono convinto sugli estremi di integrazioni:
$\int_{v_0}^{v(s)} (v\ dv) / (1 - v/A) = g \int_{0}^{s} ds$
cioè $v(s)$ che significa? essendo una velocità non si deve esprimere in funzione del tempo?
Il primo integrale indefinito come lo risolveresti? devo tener conto che $v\ dv = 1/2 d (v^2)$?
Verrebbe $A/2 \int_{v_0}^{v(s)} (d(v^2)) / (A -v)$ e come lo risolvo?
dovrebbe venire $[-Av - A^2 \ln(1 - v/A)]_{v_0}^{v(s)}$
Grazie
$\int_{v_0}^{v(s)} (v\ dv) / (1 - v/A) = g \int_{0}^{s} ds$
cioè $v(s)$ che significa? essendo una velocità non si deve esprimere in funzione del tempo?
Il primo integrale indefinito come lo risolveresti? devo tener conto che $v\ dv = 1/2 d (v^2)$?
Verrebbe $A/2 \int_{v_0}^{v(s)} (d(v^2)) / (A -v)$ e come lo risolvo?
dovrebbe venire $[-Av - A^2 \ln(1 - v/A)]_{v_0}^{v(s)}$
Grazie
"davidedesantis":
Sulla rete in merito alla legge oraria, ho trovato che occorre sostituire $ dt = (ds) / v$ nella $(dv) / dt = g(1 - v/A)$ e poi integrare
Ma scusa, hai la velocita' in funzione del tempo, giusto?
E allora perche' non integri semplicemente $v(t)$?
Quale equazione dovrei integrare?
"davidedesantis":
Quale equazione dovrei integrare?
Non devi integrare una equazione, devi integrare una funzione, quella che ti da' la velocita' in funzione del tempo (cioe' la soluzione della equazione differenziale in $v$ dalla quale sei partito). In questo modo ottieni la posizione in funzione del tempo (la cui derivata e' la velocita').
io sono partito da questa:
$(dv) / dt = g(1 - v/A)$ integrandola trovo la velocità e non lo spazio...
$(dv) / dt = g(1 - v/A)$ integrandola trovo la velocità e non lo spazio...
"davidedesantis":
io sono partito da questa:
$(dv) / dt = g(1 - v/A)$ integrandola trovo la velocità e non lo spazio...
Appunto. Trovi la velocita' in funzione del tempo, diciamo $v(t)$.
Poi usi la relazione
[tex]s(t) = \int_{t_0}^t \ dt v(t)[/tex]
per trovare lo spazio percorso...
"yoshiharu":
Appunto. Trovi la velocita' in funzione del tempo, diciamo $v(t)$.
Poi usi la relazione
[tex]s(t) = \int_{t_0}^t \ dt v(t)[/tex]
per trovare lo spazio percorso...
Avrei $S(t) = S_0 + \int_{t_0}^{t} A - (A - v_0)\ exp{-((g)t)/A}$
Come faccio a giungere al risultato del libro?
"davidedesantis":
Come faccio a giungere al risultato del libro?
Scusa, ma qual e' il risultato del libro?
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