Moto di un grave in presenza di resistenza viscosa
Si consideri un grave che cada soggeto al peso $\vec P = m \vec g$ e alla resistenza $\vec R = -b \vec v$, per cui:
$\vec P + \vec R = m \vec a$ proiettando sull'unico asse (verticale) diretto verso il basso abbiamo:
$(mg) - bv = m (dv) / dt$ esprimibile come $(dv) / dt = g(1 - v/a)$ con $A = (mg)/b$ ma non riescoa scriverla così, perchè mi viene uguale tranne che ho $1/g$ invece di $g$
da cui possiamo dire $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ e non capisco perchè si ha $-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$
Poi $\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - ((g)t)/A$ da qui in poi il libro non fa passagi per trovare $v(t)$ io avrei pensato di usare l'esponenziale:
$\|(1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - \exp {((g)t)/A}$
e mi verrebbe $v(t) = - v_0 - \exp {((g)t)/A}$
mentre il libro dà come risultato finale:
$v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ e sarebbe la velocità di un corpo che entra in un fluido viscoso?
Grazie
$\vec P + \vec R = m \vec a$ proiettando sull'unico asse (verticale) diretto verso il basso abbiamo:
$(mg) - bv = m (dv) / dt$ esprimibile come $(dv) / dt = g(1 - v/a)$ con $A = (mg)/b$ ma non riescoa scriverla così, perchè mi viene uguale tranne che ho $1/g$ invece di $g$
da cui possiamo dire $\int_{v_0}^{v(t)} (dv) / (1 - v/A) = g \int_0^t dt$ e non capisco perchè si ha $-A\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = (g)t$
Poi $\|\ln (1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - ((g)t)/A$ da qui in poi il libro non fa passagi per trovare $v(t)$ io avrei pensato di usare l'esponenziale:
$\|(1 - v/A)\|_{v_0}^{v(t)} = - \exp {((g)t)/A}$
e mi verrebbe $v(t) = - v_0 - \exp {((g)t)/A}$
mentre il libro dà come risultato finale:
$v(t) = A - (A - v_0) \exp{-((g)t)/A}$ e sarebbe la velocità di un corpo che entra in un fluido viscoso?
Grazie
Risposte
il libro dice letteralmente:
$[-Av - A^2 \ln (1 - v/A)]_{v_0}^{v(s)} = gs$ dalla quale può ottenersi la forma esplicita di $s(v)$...e poi parla di un altro argomento...
$[-Av - A^2 \ln (1 - v/A)]_{v_0}^{v(s)} = gs$ dalla quale può ottenersi la forma esplicita di $s(v)$...e poi parla di un altro argomento...
"davidedesantis":
il libro dice letteralmente:
$[-Av - A^2 \ln (1 - v/A)]_{v_0}^{v(s)} = gs$ dalla quale può ottenersi la forma esplicita di $s(v)$
Scrivere la legge oraria come la posizione in funzione della velocita' mi sembra oltremodo bizantino, ma se proprio lo desideri puoi sempre invertire la espressione della velocita' in funzione del tempo (e' una funzione monotona, trovi cosi' $t(v)$), e poi sostituire nell'espressione di $s(t)$. Non capisco lo scopo, ma non e' nemmeno difficile: solo brutto a vedersi
"yoshiharu":
Scrivere la legge oraria come la posizione in funzione della velocita' mi sembra oltremodo bizantino, ma se proprio lo desideri puoi sempre invertire la espressione della velocita' in funzione del tempo (e' una funzione monotona, trovi cosi' $t(v)$), e poi sostituire nell'espressione di $s(t)$. Non capisco lo scopo, ma non e' nemmeno difficile: solo brutto a vedersi
In effetti hai ragione...quindi $S(t) = S_0 + \int_{t_0}^{t} A - (A - v_0)\ exp{-((g)t)/A}$ va bene?
"davidedesantis":
In effetti hai ragione...quindi $S(t) = S_0 + \int_{t_0}^{t} A - (A - v_0)\ exp{-((g)t)/A}$ va bene?
Secondo me, si'.
Se vuoi rispondere alla domanda "dov'era il grave quando aveva la velocita' di 10 m/s" fai sempre in tempo a fare l'altra sostituzione, ma quando si parla di "legge oraria" in genere si intende la posizione in funzione del tempo...
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